FONCTIONS CIRCULAIRES

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1 BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- FONCTIONS CIRCULAIRES Table des matières I Fonctions circulaires I. Définitions I. Valeurs remarquables I. Variations et courbe représentative I. Dérivation II Fonctions circulaires réciproques II. definitions II. Fonction arc sinus II. arc cosinus II. arc tangente IIIFonctions e it et e at IV Dérivée et primitive d une fonction à valeurs complexes --

2 BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- I Fonctions circulaires I. Définitions Définition Soit x un réel, il lui correspond un unique point M sur le cercle trigonométrique tel que x soit une mesure en radians de l angle ( i, OM). Le cosinus de x, noté cos x, est l abscisse de M dans le repère (O; i ; j ). Le sinus de x, noté sin x, est l ordonnée de M dans le repère (O; i ; j ). La tangente de x, notée tan x, est le rapport sin x cos x pour x + k. M cos x et sin x sont donc respectivement l abscisse et l ordonnée du point M dans le repère (O; i ; j ) On note : M cos x sin x sin x j x i cos x A Propriété cos x + sin x = cos x et sin x I. Valeurs remarquables

3 BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- x sin x cos x tan x I. Variations et courbe représentative La fonction sinus est impaire et périodique. La fonction cosinus est paire et périodique. La fonction tangente est impaire et périodique. x sin(x) ր ց x cos(x) x tan x + I. Dérivation Propriété Les fonctions sinus et cosinus sont définies et dérivables sur R, la fonction tangente est définie et dérivable sur tout intervalle ne contenant pas + k, et on a : cos (x) = sin(x). sin (x) = cos(x). tan (x) = cos (x) = + tan (x). --

4 BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- II II. Fonctions circulaires réciproques definitions Considérons une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs dans R qui à un réel x de I associe un réel y. Nous voudrions savoir si nous pouvons définir une fonction «retour» qui permette, à partir de y, de revenir à x. Définition Soient I et J deux intervalles de R et f : I J une fonction continue strictement monotone. Il existe une unique fonction f : J I telle que pour tout x I et pour tout x J : f f(x) = f (f(x)) = x et f f (x) = f(f (x)) = x. Cette fonction est appelée fonction réciproque de f. Remarque Graphiquement, la courbe de la fonction réciproque f d une fonction f s obtient en appliquant une symétrie d axe la droite d équation y = x. C est le cas, par exemple, pour les fonctions logarithme et exponentielle sur R, où encore pour les fonctions carré et racine carrée sur [; + [. II. Fonction arc sinus Définition La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l intervalle [ ; ]. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [ ; ]. Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois sin. y = arcsin x y = sin x y = arcsin x signifie que y est le réel (l arc) compris entre et dont le sinus vaut x. x [ ; ], arcsin x = x Exemple ( ) arcsin = car ( ) sin =. Démonstration de la dérivée : Pour tout x de [ ; ], on a sin(arcsin(x)) = x. En dérivant les deux membres, on obtient : arcsin(x) cos(arcsin(x)) = d où arcsin(x) = Comme cos(arcsin(x)) = cos(arcsin(x)). sin (arcsin( x)) = x, on obtient le résultat cherché. --

5 BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- II. arc cosinus Définition La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l intervalle [; ]. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [ ; ]. Cette fonction est appelée arc cosinus et notée arccos ou parfois cos. y = arccos x y = arccos x signifie que y est le réel (l arc) compris entre et dont le cosinus vaut x. x [ ; ], arccos x = x y = cos x II. arc tangente Définition 5 La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l intervalle ] ; [. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur R. Cette fonction est appelée arc tangente et noté arctan ou parfois tan. y = tan x y = arctan x y = arctan x signifie que y est le réel (l arc) compris entre et dont la tangente vaut x. x R, arctan x = + x -5-

6 BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- III Fonctions e it et e at Définition Pour tout nombre réel θ et tout nombre complexe a = α + iβ, on pose : e iθ = cos θ + i sin θ. e at = e αt [ cos(βt) + ß sin(βt) ] Démonstration de la seconde égalité : e at = e (α+iβ)t = e αt e iβt = e αt [ cos(βt) + i sin(βt) ]. Remarque On peut retrouver ainsi les formules de Moivre et d Euler, pour tout θ R et n N : (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) cos θ = eiθ + e iθ sin θ = eiθ e iθ i IV Dérivée et primitive d une fonction à valeurs complexes Définition 7 Une fonction d une variable réelle à valeur complexe est une fonction qui à un nombre réel associe un nombre complexe. Exemple la fonction définie sur R par f(x) = x x i est à valeur complexe. Remarque On peut considérer que la fonction f est constituée de deux sous fonctions : f (x) = x et f (x) = x. On a ainsi f(x) = f (x) + if (x). Propriété Soit f(x) = f (x) + if (x) une fonction continue d une variable réelle à valeur complexe. Si f et f sont dérivables, alors f est dérivable et f (t) = f (x) + if (x). Si F et F sont les primitives de f et f alors F est intégrable et F(x) = F (x) + if (x). Exemple Soit la fonction définie sur R par f(x) = x x i. f (x) = xi. F(x) = x x i. --