L intégrale pour présenter quelques fonctions usuelles Dans AlmaSoror

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1 L intégrle pour présenter quelques fonctions usuelles Dns AlmSoror Lurent Moonens Aspirnt u F.N.R.S. (Belgique) moonens@mth.ucl.c.be Le 2 vril 27 Pour ce numéro vril, je propose u lecteurs e l pge scientifique e écouvrir comment certines fonctions usuelles (fonctions trigonométriques et logrithmiques) peuvent être introuites grâce à l notion intégrle inéfinie (voir p. e. le numéro e septembre AlmSoror). Nous nous ecusons à l vnce pour les pssges un peu techniques qui sont inhbituels ns cette pge scientifique. L intégrle inéfinie Rppelons-nous qu étnt onné eu réels < b et une fonction positive f ssocint à un nombre réel le nombre réel positif f(), l intégrle e f e à b, notée b f ou b f(t) t représente l ire comprise entre l courbe représenttive e f ns un système es crtésiens, l e es bscisses et les verticles pssnt pr et b ns ce même système es (voir le numéro e septembre et l figure ci-essous). L intégrle inéfinie e f (ssociée à ) notée F ns l suite est lors l fonction ssocint u nombre réel l vleur e l intégrle entre et : F () = f = f(t) t. Le théorème fonmentl e l nlyse (voir le numéro e septembre) nous ssure lors que l intégrle inéfinie e f peut être obtenue grâce à une primitive e f : si F est une primitive e f sur l roite réelle, lors on l reltion F () = F () F (). L fonction F est une primitive e f sur l roite réelle si l on F () = F () = f() pour chque nombre réel. Il est à noter que certines fonctions n mettent ucune primitive sur l roite réelle. En prticulier, l érivée e l fonction F est l fonction f elle-même : F () = F () = f(). Nous llons ns l suite nous intéresser à l intégrle inéfinie e l fonction inverse et une fonction irrtionnelle. 2 Fonction logrithmique L présenttion l plus cournte e l fonction logrithme nturel (encore ppelé logrithme népérien ou logrithme e bse e) consiste à bor éfinir le nombre e et l eponentielle e bse e et à introuire ensuite l fonction logrithme nturel comme l réciproque e cette fonction eponentielle. Nous proposons ici e montrer que l on peut fire un choi un peu ifférent (qui est celui e J. Stewrt []) : présenter le logrithme népérien comme l intégrle inéfinie e l fonction inverse. L fonction inverse I ssocie u nombre réel non nul son inverse, utrement it I() = si. Le grphe e cette fonction est représenté à l figure 2. Nous éfinirons lors le logrithme nturel u réel positif, noté ln, pr les formules ln = ln = I = I = t si >, t t si < < ; t et étnt entenu que le logrithme nturel e est nul : ln =.

2 Le logrithme nturel e > est onc le nombre positif représentnt l ire comprise sous le grphe e l fonction inverse et entre les verticles issues e et comme iniqué à l figure 3. Le logrithme nturel e < < est qunt à lui le nombre négtif ont l opposé égle l ire comprise sous le grphe e l fonction inverse et entre les verticles issues e et comme iniqué à l figure 4. Nous vons représenté à l figure 5 le grphe e ln en fonction e. Il est intéressnt e noter que les propriété hbituelles e l fonction logrithme nturel peuvent se éuire ns le cre eclusif e cette présenttion : le théorème fonmentl e l nlyse livre en effet imméitement le fit que l érivée e l fonction logrithme nturel est l fonction inverse : ln = ln =, >. Pour émontrer l formule hbituelle ln(y) = ln + ln y pour > et y >, nous proposons l méthoe suivnte. Écrivons, pr éfinition (tritons le cs > et y >, les utres cs sont nlogues) y ln(y) = t t. Comme < < y, on peut écomposer l intégrle précéente en y t t + y t = ln + t t t. En effectunt lors l substitution t = u ns l ernière intégrle, nous trouvons t = u et y y t t = y u u = u = ln y, u et l formule que nous conjecturions est émontrée. On peut e même émontrer utres formules usuelles à l ie es propriétés e l intégrle (le lecteur ur cepennt remrqué que trviller ns ce cre nécessite une certine mîtrise es techniques intégrtion comme le chngement e vribles, l propriété itivité etc.). 3 Fonctions trigonométriques Consiérons l fonction positive irrtionnelle f éfinie en < < pr l formule f() = 2. Le lecteur hbitué u clcul es érivées reconnîtr en f l érivée e l fonction rcsin. On montre lors qu étnt onné un nombre réel compris entre et π 2, il eiste un unique nombre réel y vérifint l reltion y t =. t 2 Ce nombre réel est ppelé le sinus e et noté sin. De même, il eiste un unique nombre réel z vérifint l reltion t =. t 2 z Ce nombre réel z est ppelé le cosinus e et est noté cos. Remrque. Dns le cre que nous proposons, l formule π 2 = t 2 t peut illeurs être prise comme éfinition u nombre π. Une utilistion hbile u théorème fonmentl e l nlyse et es propriétés et techniques intégrtion permet lors e éuire les propriétés es fonctions trigonométriques comme le fit que l érivée e l fonction sinus est l fonction cosinus : sin = sin = cos, π 2. De même, l érivée e l fonction cosinus est l fonction opposée u sinus : cos = cos = sin, π 2. Des règles e érivtion, il est lors isé e tirer l première formule fonmentle e l trigonométrie : cos 2 + sin 2 = si π 2. En effet, éfinissons l fonction F sur l intervlle [, π 2 pr l formule F () = cos 2 + sin 2. On clcule lors s érivée u point : F () = 2 cos cos + 2 sin sin, = 2 cos sin + 2 sin cos, =. Le théorème fonmentl e l nlyse entrîne lors l églité F () F () = F (t) t = t =, ]

3 et on trouve F () = F () = près s être convincu es églités sin = et cos = qui suivent fcilement es éfinitions onnées plus hut. Les hbituelles formules ition rcs peuvent se émontrer e mnière nlogue (on consulter [2] pour plus e étils). Références [] J. Stewrt, Anlyse Concepts et contetes (truction e l Anglis pr M. Citt-Vnthemsche), De Boeck, Bruelles. [2] J. Mwhin, Anlyse Fonements, techniques, évolution De Boeck, Bruelles, 997. Conclusion Si, ns le cs es fonctions trigonométriques, l technicité e l émrche présentée ici ecèe celle e l émrche hbituelle, il s vère que c est pr une émrche nlogue que l on introuit les célèbres fonctions elliptiques e Jcobi, ont A. Wiles s est servi pour émontrer le théorème e Fermt-Wiles. Pr illeurs, nombre uteurs éfinissent l notion ngle entre eu vecteurs (ns es espces prfois très bstrits : on peut éfinir une notion ngle entre eu polynômes, entre eu fonctions continues, entre eu mtrices crrées e même orre, etc.) à prtir e l notion e prouit sclire, qui evient lors fonmentle : cos ( u, v) = u v u v. Dns un tel cre, il evient lors inispensble que l introuction e l fonction cosinus précèe l introuction e l notion ngle : l vision géométrique ynt recours u cercle trigonométrique isprît. L solution présentée plus hut est une (es nombreuses) mnière(s) introuire les fonctions trigonométriques. L écriture sin = 3 3! + 5 5! e l fonction sinus comme l somme un nombre infini e monômes e egré impir en est une utre (mis emne ussi u trvil si l on veut en éuire les propriétés usuelles e l fonction sinus). On pourr consulter [2] pour un eposé clir et complet e cette présenttion es fonctions trigonométriques.

4 FIG. L intégrle e f entre et b représente l ire e l région grisée. FIG. 3 Le nombre ln représente l ire e l région grisée ( > ). FIG. 2 L fonction inverse est éfinie en chque nombre réel non nul. Son grphe rpporté à un système es crtésiens est une hyperbole. FIG. 4 Le nombre ln représente l ire e l région grisée ( < )

5 FIG. 5 Grphe e ln en fonction e

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