Fonctions Numériques, fonctions usuelles.

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1 Fonctions Numériqus, fonctions usulls.. Fonction constant : Soit b un rél fié. Définition : La fonction constant st la fonction qui à tout rél associ l rél b. la fonction constant st donc la fonction f défini sur par f() = b mpl si b = 3 ; La courb rprésntativ d'un tll fonction st un droit parallèl à l'a ds abscisss : c'st la droit d'équation y = Dérivé : f() = b f () = 0 2. Fonction linéair Soit a un rél fié. Définition : La fonction linéair st la fonction qui à tout rél associ l rél a. la fonction linéair d cofficint a st donc la fonction f défini sur par f() = a Empl si a = 2 La courb rprésntativ d'un tll fonction st un droit passant par l'origin du rpèr : c'st la droit d'équation y = a, a st applé cofficint dirctur d la droit. Empl a > 0 ( a = 3) Empl a < 0 (a = -2) Propriétés : Ctt fonction st strictmnt croissant si a > 0 t strictmnt décroissant si a < 0 C'st un fonction impair si a 0 tout nombr rél admt un sul antécédnt par f Dérivé : f() = a f () = a Fonctions usulls

2 Tablau d variation a > 0 a < 0 3. Fonction affin Soint a t b du réls fiés. Définition : La fonction affin st la fonction qui à tout rél associ l rél a + b. la fonction affin st donc la fonction f défini sur Empl pour a = 2 t b = - 3 par f() = a + b Dérivé : f() = a + b f () = a La courb rprésntativ d'un tll fonction st un droit passant par l point d coordonné ( 0 ; b ) ( c qui prmt d comprndr pourquoi b st applé ordonné à l'origin ), c'st la droit d'équation y = a + b, a st applé cofficint dirctur d la droit. Empl a > 0 Empl a < 0 ( a = 3, b = -) (a = -2 ; b = 5 ) Propriétés : Ctt fonction st strictmnt croissant si a > 0 t strictmnt décroissant si a < 0 C'st un fonction impair t linéair si b = 0 si a 0 tout nombr rél admt un sul antécédnt par f Tablau d variation a > 0 a < 0 On put construir facilmnt la courb rprésntativ d f n calculant ls imags d du nombrs réls ou bin n calculant l'imag d'un nombr t n utilisant l cofficint dirctur Fonctions usulls 2

3 4. Fonction carré Définition : La fonction carré st la fonction qui à tout rél associ l rél ² la fonction carré st donc la fonction f défini sur par f() = ² Empl : La courb rprésntativ d'un ctt fonctionn st la courb d' équation y = ². La courb rprésntativ d ctt fonction st un parabol. C'st un courb symétriqu par rapport à l'a ds ordonnés. Propriétés : Ctt fonction st strictmnt décroissant sur ]- ; 0] t strictmnt croissant sur [ 0;+ théorèm d rangmnt. La fonction carré st un fonction positiv C'st un fonction pair Tout nombr rél strictmnt positif admt du antécédnts par ctt fonction. Un nombr strictmnt négatif n'admt pas d'antécédnts par ctt fonction. [ voir à c propos ls 0 admt un sul antécédnt par ctt fonction 0. Tablau d variation Dérivé : f() = ² f () = 2 Fonctions usulls 3

4 5. Fonction cub Définition : La fonction cub st la fonction qui à tout rél associ l rél 3 la fonction cub st donc la fonction f défini sur par Empl : La courb rprésntativ d'un ctt fonction st la courb d' équation y = 3. c'st un courb symétriqu par rapport à l'origin du rpèr ( fonction impair ) lim lim Propriétés : Ctt fonction st strictmnt croissant sur voir à c propos ls théorèm d rangmnt. C'st un fonction impair Tout nombr rél admt un sul antécédnt par ctt fonction ( sa racin cubiqu ) Tablau d variation Dérivé ; 3 6. Fonction invrs La fonction invrs st la fonction qui à tout rél associ l rél / la fonction invrs st donc la fonction f défini sur -{0 } par : Empl : La courb rprésntativ d ctt fonction st la courb d' équation y = /. C'st un courb symétriqu par rapport à l'origin du rpèr ( fonction impair ) La courb rprésntativ d ctt fonction st un hyprbol. Fonctions usulls 4

5 lim 0 lim 0 lim lim Propriétés : Ctt fonction st strictmnt décroissant sur chaqu intrvall ]- ; 0[ t ]0;+ [ voir à c propos l théorèm d rangmnt. C'st un fonction impair Tablau d variation Dérivé ; 7. Fonction racin carré Définition : La fonction racin carré st la fonction qui à tout rél positif associ l nombr rél positif noté st. dont l carré La fonction racin carré st donc la fonction f défini sur [0 ; + [ par f() = Empl : La courb rprésntativ d'un ctt fonction st la courb d' équation y =. La courb rprésntativ d ctt fonction st un "moitié" d parabol. Propriétés : Ctt fonction st strictmnt croissant sur [ 0;+ [ voir à c propos ls théorèm d rangmnt. La fonction racin carré st un fonction positiv. C'st un fonction ni pair ni impair ( ll n'st pas défini sur un nsmbl d nombrs "symétriqu" par rapport à 0 ) Tout nombr rél strictmnt positif admt un sul antécédnts par ctt fonction ( son carré ) : l'équation = a avc a positif admt un solution positiv a² Un nombr strictmnt négatif n'admt pas d'antécédnts par ctt fonction : l'équation = a avc a strictmnt négatif n'admt pas d solution. Fonctions usulls 5

6 Tablau d variation 8. Fonction valur absolu Définition : La fonction valur absolu st la fonction qui à tout rél associ l rél la fonction valur absolu st donc la fonction f défini sur par f() = Empl : -3 = 3, 2 = 2... ( f() = - si < 0 ; f() = si > 0 ; f(0) = 0 ) La courb rprésntativ d'un ctt fonction st la courb d' équation y =. C'st un courb symétriqu par rapport à l'a ds ordonnés. Propriétés : Ctt fonction st strictmnt décroissant sur ]- ; 0] t strictmnt croissant sur [ 0;+ [ voir à c propos ls théorèm d rangmnt. La fonction valur absolu st un fonction positiv C'st un fonction pair Tout nombr rél strictmnt positif admt du antécédnts par ctt fonction. Un nombr strictmnt négatif n'admt pas d'antécédnts par ctt fonction. 0 admt un sul antécédnt par ctt fonction 0. Tablau d variation Fonctions usulls 6

7 9. Fonction sinus Soit un nombr rél t M l point du crcl trigonométriqu associé à. (voir arc orinté ) On appll sinus d l'ordonné du point M dans l rpèr orthonormé t on not sin c rél. Pour crtains réls on connaît ls valurs du sinus : applés valurs rmarquabls, crtains propriétés prmttnt d simplifir ls prssions avc ds cosinus t ds sinus c sont ls formuls ds angls associés t ls formuls d'addition,duplication tc... Courb rprésntativ d la fonction sinus construit à partir du crcl trigonométriqu : Propriétés d la fonction sinus : La fonction sinus st un fonction impair : n fft, pour tout rél on a : sin(-) = -sin() La fonction sinus st un fonction périodiqu d périod 2, n fft pour tout rél, sin( + 2 ) = sin() C'st aussi un fonction borné, pour tout rél on a : - sin() Variations d la fonction sinus : Dérivé : (sin ) ' = cos Propriété : cos ² + sin ² = Fonctions usulls 7

8 0. Fonction cosinus Soit un nombr rél t M l point du crcl trigonométriqu associé à. (voir arc orinté ) On appll cosinus d l'absciss du point M dans l rpèr orthonormé t on not cos Pour crtains réls on connaît ls valurs du cosinus : applés valurs rmarquabls, crtains propriétés prmttnt d simplifir ls prssions avc ds cosinus t ds sinus c sont ls formuls ds angls associés t ls formuls d'addition,duplication tc... Dérivé : (cos )' = sin Courb rprésntativ d la fonction cosinus construit à partir du crcl trigonométriqu :. Fonction tangnt Si cos non nul, on appll tangnt d l rél noté tan défini par : On put définir tan géométriqumnt comm indiqué sur la figur. tan = msur algébriqu du vctur rlativmnt au vctur. Valurs rmarquabls Angls associés Propriétés. Dérivé d la fonction : La fonction tangnt st dérivabl sur tout intrvall ou la fonction cosinus st non null. Fonctions usulls 8

9 Pour tout appartnant à ]- /2+k ; /2+ +k [ où k : (tan )' = + tan² = /cos². Variation d la fonction : Courb rprésntativ d la fonction tangnt à partir du crcl trigonométriqu : 2. Fonctions polynôms Définition : Un fonction polynôm st un fonction f défini sur par : où ls cofficints a 0, a, a 2,..., a n sont ds réls, On confond souvnt la notion d fonction polynôm avc la notion d polynôm. Empls : p() = ²-5+ 3 f = ( ) Cas particulirs : si n = 0, un fonction polynôm st applé ncor fonction constant, si la constant st 0, on l'appll fonction null. si n =, un fonction polynôm st applé fonction affin. f()= a +b Fonctions usulls 9

10 si n = 2, un fonction polynôm st applé fonction polynôm du scond dgré. 3. Fonctions polynôms du scond dgré Définition : Un fonction polynôm du scond dgré st un fonction f défini sur par : f ( ) = a ² + b + c où a, b t c sont trois réls tls qu a 0. La courb rprésntativ d c typ d fonction st un parabol. Empls d'étud d fonction polynôm du scond dgré : On considèr la fonction f défini sur par : f ( ) = ² t C sa courb rprésntativ.. Détrminons ls variations d ctt fonction : Pour tout rél, on a : f ' () = Etudions l sign d f ' () ; > 0 si > - On n déduit ls variations d la fonction f sur f st croissant sur [- ; + [ t f st décroissant sur ] - ; -]. Calculons l'trmum : f (-) = (-)² + 2(-) - 4 = = Calculons ls limits au borns d l'nsmbl d définition 3. Construir la courb rprésntativ C d la fonction f. Pour cla il suffit d s srvir ds résultats ds qustions précédnts t d calculr qulqus imags d nombrs : f(0) = -4 ; f() = - ; f(2) = = 4 ; f(3) = = 3 t d'utilisr ls propriétés d symétri d la courb rprésntativ C Fonctions usulls 0

11 ( la parabol admt un a d symétri ) 4 - Fonction polynôm du troisièm dgré Définition : Un fonction polynôm du troisièm dgré st un fonction f défini sur par : f ( ) = a 3 + b 2 + c + d où a, b, c t d sont quatr réls tls qu a 0. Empls d'étud d fonction polynôm du troisièm dgré : On considèr la fonction f défini sur par : f ( ) = t C sa courb rprésntativ.. Détrminons ls variations d ctt fonction : Pour tout rél, on a : f ' () = 3² = 3(² ) Etudions l sign d f ' (), il st du sign d ² on n déduit l sign d f '() ( voir sign d'un polynôm du scond dgré ) puis ls variations d f : f(2) = = = 4 f(4) = = = 0 Fonctions usulls

12 2. Détrminons ls limits au borns d l'nsmbl d définition 3. Tangnt au point d'absciss 3. cofficint dirctur d la tangnt : f ' (3) = -3 ordonné du point : f (3) = = = 2 équation d la tangnt : y = f ' (3)( - 3) + f (3) y = -3( - 3) + 2 y = Courb rprésntativ d la fonction f. 5 - Fonctions rationnlls Définition : Un fonction rationnll st un fonction f défini par : où p t q sont du fonctions polynôms. Un fonction rationnll st défini sur tout intrvall où q() st non nul. Fonctions usulls 2

13 6 - Fonction ponntill. Théorèm t définition : Il ist un uniqu fonction f dérivabl sur R tll qu :f = f t f(0) =. Ctt fonction sra applé fonction ponntill. Ell sra noté : p( ) 2. Conclusion : ou p : R R p() Pour tout R ' ( p() ) = p( ) t p(0) = 3. Rlation fonctionnll caractéristiqu d la fonction ponntill : Pour tous réls t y : p(+y) = p().p(y) 4. Propriétés, utilisation d la notation Notation p Pour tous réls a t b : p(a+b) =p(a).p(b) Conséquncs : p(2a) = ( p(a) )² ( p( a ) n p( na ) = ) Notation Pour tous réls a t b : a+ b a b = na 2a a = ( ) = ( a ) n 2 Pour tout rél a : p(a) > 0 a Pour tout rél a : > 0 Pour tout rél b : Pour tous réls a t b p( b ) = p( b) pa p( a b) = p( b) Pour tout rél a : Pour tous réls a t b p(0) = 0 = b = b a b = a b La fonction st dérivabl sur t a pour dérivé la fonction 5. Utilisation d la calculatric : touch Complétr l tablau suivant : : ,5 - -0,5 0 0,5,5 2 3 L nombr rél 6. Etud t rprésntation graphiqu : a) Ensmbl d définition = 2,78 à 0-3 près Fonctions usulls 3

14 b) Fonction dérivé, tablau d variation c) Ls limits : d) Equation d la tangnt T au point d absciss 0. ) Approimation affin au voisinag d 0. 7) Rprésntation graphiqu : h lim h 0 h = o Fonctions usulls 4

15 7- FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. Définition : La fonction logarithm népérin st la fonction qui possèd ls trois propriétés suivants : Son nsmbl d définition st ]0;+ [ Ell st dérivabl sur ]0;+ [ d fonction dérivé : / Ell s'annul n On admt qu ctt fonction ist t qu'll st uniqu ; on not ctt fonction ln. 2. Propriété : La fonction Logarithm Népérin noté Ln st la fonction réciproqu d la fonction ponntill. C st à dir : Figur : Pour tout y strictmnt positif : y = équivaut à = ln(y) y o 3 Conséquncs : 2. P) La fonction ln st défini sur ] ;+ [ 3. P2) ln( ) = 0. ln y = 4. P3) Pour tout y strictmnt positif y = = = = P4) ln( ) ln( ) 0 P5) ln() ln( ) 0 Rlation fonctionnll caractéristiqu t propriétés algébriqus : La fonction ponntill transform un somm n produit. On démontr qu la fonction ln transform un produit n un somm. P6) Pour tous réls a t b strictmnt positifs : ln(ab) = ln(a) + ln(b). P7) ln( 2 ) = a ln( a n ) = P8) Pour tout rél b strictmnt positif ln( ) ln( b) Etud d la fonction ln a) Ensmbl d définition : Fonctions usulls 5 b = a b a ) = ln( a 2 P9) Pour tous réls a t b strictmnt positifs ln( ) = ln( a) ln( b). ln( P0) Pour tout rél a strictmnt positif )

16 b) Limits : c) Dérivé : Pour tout rél strictmnt positif (ln( ))' = d) Tablau d variation, tablau d valurs t rprésntation graphiqu Tablau d variation 0 + Ln' = / Ln + - Rprésntation graphiqu En utilisant l tablau d variation t un tablau d valurs d la fonction Ln, on a la rprésntation graphiqu suivant : X 0,0 0, 0,2 0,5 0,8 0,9, LnX y o Quls smblnt êtr ls nombrs ayant un imag négativ par la fonction Ln? P) SIGNE DE LN(X) : Ln () = 0 équivaut à = Ln () < 0 équivaut à 0 < < Ln ( ) > 0 équivaut à > P2 ) D la continuité t la croissanc strict d la fonction Ln, on déduit : Pour tous réls a t b strictmnt positifs : Ln a = Ln b équivaut a : a = b Ln a < Ln b équivaut a : a < b ln(a) ln(b) a b D autrs limits à rtnir : ln( + h) ln ) lim = ; 2) lim = 0 ; 3) lim ln = 0 h 0 h ln n 4) lim = 0 5) lim ln = 0 n ntir naturl non nul + n + 0 Fonctions usulls 6

17 La fonction (lnou) ou Logarithm d'un fonction Définition t fonction dérivé U st un fonction dérivabl strictmnt positiv sur un intrvall I. ' La fonction Ln o U st dérivabl sur I t on a ( ln( U )) U ' U =. Empl: 2 Soit la fonction f défini sur ; + 3 par f() = Ln ( ) Donnr son nsmbl d définition, son nsmbl d dérivabilité t calculr f () Fonction logarithm décimal : L systèm d numération étant un systèm à bas 0, l mathématicin BRIGGS fonction logarithm décimal noté log tll qu log(0) =. Pour tout strictmnt positif ln log = ln0 La fonction log a ls mêms propriétés algébriqus t ls mêms variation qu la fonction ln. log00 = log0 log0 n 2 = nlog0 = n = 2log0 = 2 ( ) privilégi la Fonctions usulls 7