Mesure avec une règle

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1 Mesure avec une règle par Matheu ROUAUD Professeur de Scences Physques en prépa, Dplômé en Physque Théorque. Lycée Alan-Fourner 8000 Bourges RÉSUMÉ La mesure d'une grandeur par un système d'acquston ndut de part sa résoluton une erreur de dscrétsaton. Nous nous attachons c à la mesure d'une longueur avec une règle graduée. Ce type de mesure nous amène à consdérer une lo de probablté contnue unforme. Nous utlsons ensute un produt de convoluton pour détermner l'ncerttude avec sa confance d'une somme de longueurs. Nous généralsons fnalement au cas général du calcul d'ncerttudes pour des varables aléatores ndépendantes en utlsant la formule de propagaton des erreurs. INTRODUCTION Nous voulons mesurer des longueurs et évaluer les ncerttudes le plus précsément possble. Incerttudes sur les valeurs mesurées et leurs sommes. Nous dsposons d une règle de 5cm graduée au mllmètre et de deux jeux de cartes. La règle est supposée parfate et les cartes de chaque jeu à l dentque.. MESURE DE LA LONGUEUR D UNE CARTE Nous plaçons la graduaton du zéro sur le bord gauche de la carte. Sur le bord drot nous consdérons la graduaton la plus proche du bord. L'expérmentateur ne lt pas entre les graduatons. L'épasseur des trats qu délmtent une graduaton est consdérée comme néglgeable devant la largeur de

2 cette graduaton. Nous obtenons ans pour le jeu : Pour le jeu : étendue E x = 8,4 ± 0,05cm. x =, ± 0,05cm. Nous acceptons une perte d'nformaton due à la résoluton δ = mm de la règle. Lorsque ultéreurement nous explotons ces données toutes les valeurs entre x x δ / et x x + δ / sont mn = moy max = moy équprobables. La lo de probablté de la varable contnue aléatore X est unforme. x est une réalsaton de X. Cette dstrbuton de probablté a une = x max x et nous vérfons pour la densté de probablté f (x) : mn + f ( x) dx =. La probablté pour que la valeur de X sot comprse entre x et x + dx est de f ( x) dx. Le résultat sera comprs avec certtude entre x mn et x max : par exemple x = 8,4 ± 0, 05cm à 00% de confance, mas x = 8,4 0, 04cm avec une probablté de 80%. ± Pour caractérser l'étalement d'une dstrbuton consdérons l'étendue E et l'écart-type σ dont la défnton pour une lo contnue est: V = σ = ( x xmoy ) f ( x) dx, V est appelée la varance. Pour une lo unforme: σ = δ 0, 9δ, et nous avons x = x moy ± σ avec une confance de 58%. L'écart-type est une grandeur adéquate pour caractérser la largeur d'une dstrbuton. L'étendue quant à elle est défne par les valeurs extrêmes qu peuvent être peu représentatves ou pre des valeurs aberrantes.. LONGUEUR DES DEUX CARTES MISES BOUT À BOUT Nous souhatons détermner l'ncerttude sur x avec x = x + x. S nous traçons x en foncton de x l'ensemble des ponts possbles forme un domane carré. L'ensemble des ponts tel que x sot constant est une porton de drote de pente - et d'ordonnée à l'orgne x : x = x + x. Il n'y a qu'un cas qu réalse x = xmn sot { x = xmn ; x = x mn } au pont A sur la fgure. Par contre sur l'ensemble du segment [CD] x = x. Nous comprenons que toutes les valeurs de x ne sont pas équprobables. moy

3 La lo de probablté f de X se calcule à partr de celle f de X et f de X. Pour une somme de varables aléatores ndépendantes le résultat est donné par un produt de convoluton []: f ( x) = x < x mn f ( x) = 0 x mn < x < x moy f ( x) = ( x x mn ) δ f ( y ) f ( x y )dy x moy < x < x max f ( x) = ( x max x) δ x > x f ( x) = 0 max Nous avons alors une probablté trangulare. lo de Nous obtenons x = 9,6 ± 0,cm avec 00% de confance, et x = 9,6 ± 0,055cm avec 80% de confance. 3. ANALOGIE AVEC LE LANCER DE DEUX DÉS Pour chaque dé les sx valeurs sont équprobables. Ic la lo de probablté n'est plus contnue mas dscrète. Pour le lancer smultané de deux dés, la somme des valeurs obtenues est comprse entre

4 deux et. Dans ce cas l n'y a plus équprobablté, une manère de fare deux avec un double un, deux manères de fare tros avec un et deux ou deux et un... Pour fare sept nous obtenons le maxmum de possbltés. Nous retrouvons ans une lo trangulare. 4. LONGUEUR DE DEUX CARTES D'UN MÊME JEU MISES BOUT À BOUT Les cartes d'un jeu étant supposées dentques s la longueur de l'une d'elle est surestmée, l en sera de même pour la deuxème. Dans ce cas les erreurs s'ajoutent et ne peuvent pas se compenser. Pour deux cartes dfférentes, la premère mesure pouvat être sous-estmée et la deuxème surestmée, une compensaton pouvant alors se produre. Ic ce n'est plus le cas et pour X = X + X ' nous obtenons une lo de probablté à nouveau unforme de largeur δ. Nos varables aléatores ne sont plus ndépendantes. Pour le jeu : x =,4 ± 0,04cm x = x = 6,8 0, 08cm à 80% de confance. 8 ± 5. SOMME DE N LONGUEURS INDÉPENDANTES Nous avons X = N X =. Chaque longueur X sut une lo unforme de largeur δ. Pour la somme de neuf varables aléatores ndépendantes après tératon du calcul nous obtenons la courbe suvante:

5 Nous avons dans ce cas x = xmoy ± 0, cm à 80%. A 00% de confance x = xmoy ± 0, 45cm ce qu amène à consdérer des domanes où la probablté de présence de X est vrament néglgeable. Une ncerttude de 0,45cm semble nutle alors que 99% des cas étaent déjà présents avec une ncerttude de 0,cm. Rasonner avec une confance de 00% revent à consdérer l'étendue, celle-c est addtve pour une somme de varables. L'étendue est proportonnelle à N. Mas cette approche ne tent pas 80% 95% 99% compte d'une chose: la courbe se resserre autour de la moyenne quand N augmente. N= 0,40δ 0,48δ 0,50δ 0,55δ 0,78δ 0,90δ 3 0,66δ 0,97δ,9δ 4 0,75δ,δ,4δ 5 0,84δ,5δ,60δ 6 0,9δ,38δ,76δ 7 0,99δ,49δ,9δ 8,06δ,59δ,05δ 9,δ,69δ,8δ 0,δ,8δ,3δ 0,7δ,5δ 3,3δ 50,6δ 4,0δ 5,δ 00 3,7δ 5,7δ 7,4δ Il exste une autre grandeur addtve: la varance. L'écart-type racne de la varance est proportonnel à N et tent compte des compensatons d'erreurs. La courbe obtenue est ce qu'on appelle une courbe en cloche. Un théorème statstque, appelé théorème central lmte, ndque que pour N grand la courbe tend vers une gaussenne. L'étendue d'une gaussenne est nfne pour un écart-type fn. Nous pouvons résumer l'évoluton de l'ncerttude sur la somme de N longueurs ndépendantes mesurées avec une même résoluton δ dans le tableau c-contre. En talque, à partr de N=0, l s'agt de smulatons numérques réalsées sur ordnateur par génératon de nombres aléatores. Les résultats des mesures sont souvent donnés avec une confance de 95%, ce qu correspond pour une gaussenne à une ncerttude d'envron σ. 6. AUTRES APPLICATIONS Un coureur souhate mesurer son temps de parcours. Sa montre à affchage numérque ndque qu'l part à 0h 5mn et qu'l arrve à h mn. L'affchage est à la mnute, l est donc partt entre 0 h5mn 00s et 0 h5mn 59s. D'où la date de départ dans l'ntervalle t = 0h5mn 30s ± 30s. La résoluton est d'une mnute. La durée du parcours est t = t t. Les résultats restent vras pour une dfférence. Nous avons N= et t = 9 mn± 47s avec 95% de confance. Même démarche s des étudants mesurent une dfférence d'angles sur un gonomètre. Chaque mesure étant à la mnute d'arc près l'ncerttude du résultat est de 47 secondes d'arc à 95%. Sept personnes veulent rentrer en même temps dans un ascenseur. Sa charge maxmale est de 500kg. Leurs masses ndvduelles sont mesurées avec un pèse personne d'une résoluton de un klogramme. La masse totale est de 499kg. Quelle est la probablté d'être en surcharge? Pour N=7 l'ncerttude attent un klogramme avec une confance de 80%. Il y a donc une chance sur dx pour que l'ascenseur sot en surcharge. Au laboratore de nombreux apparels de mesure dsposent d'affchages numérques.

6 La résoluton est au derner dgt près. Mas l'ncerttude globale est ben supéreure. Il faut consulter la notce de chaque apparel. CONCLUSION La démarche générale consste à combner des los de probabltés. L'outl mathématque utlsé est un changement de varables, pus une ou pluseurs ntégratons. Pour la mesure avec une règle décrte dans cet artcle, l s'agssat d'une somme de deux varables aléatores ndépendantes et nous avons obtenu un produt de convoluton. S l'on veut fare un calcul plus rapde une analyse de varance peut suffre. Nous avons une varable aléatore X qu dépend de N varables aléatores ndépendantes X : X = f ( X, X,..., X,..., X N ). Nous appelons σ l'écart-type de X et σ celu de X. Pour des σ fns et de pettes varatons, nous avons la formule de propagaton des écart-types []: σ n f = σ = x. Et, ndépendamment des los de probabltés, cette relaton entre les varances reste vrae. On pourra ans donner son résultat avec une ncerttude à σ ou 3 σ. Exste-t-l une formule analogue en terme de confance? Ou, mas elle est approxmatve, c'est la formule de propagaton des ncerttudes: avec x moy f = n = f x x = x ± x, x = xmoy ± x et une confance constante. Cette formule est très pratque et permet un calcul rapde et rasonnable des ncerttudes combnées[3]. Qu plus est, elle est exacte s la forme des dstrbutons est la même pour X et les X. Par exemple s les X sont à dstrbuton gaussenne toute combnason lnéare l'est auss. Nous tenons ans compte des compensatons et nous évtons d'utlser la formule f = n = f x x qu surestme les ncerttudes, parfos même avec un tel excès que l'on en perd son sens physque. Cette dernère formule ne tent compte d'aucunes compensatons, on a la pre des stuatons, statstquement mprobable. Ic, par exemple pour N = 00, on aurat une ncerttude de 50δ, au leu de 5,7δ dans la pratque (confance de 95%). Dans cet artcle nous nous sommes concentré sur la résoluton d'un système d'acquston qu donne une erreur de dscrétsaton. Mas on peut auss être amené à consdérer des erreurs systématques et des erreurs aléatores. Ic la règle état supposée parfate, c'est à dre juste et fdèle[4]., BIBLIOGRAPHIE [] SAPORTA Glbert. Probabltés, analyse des données et statstque. Technp, p.

7 [] PROTASSOV Konstantn. Probabltés et ncerttudes dans l'analyse des données expérmentales. Presses Unverstares de Grenoble, p. [3] ROUAUD Matheu. Calculs d'ncerttudes. <URL: [4] BREUIL P, DI BENEDETTO D. Incerttude et étalonnage. <URL: p.