Type bac janvier Corrigé

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1 Exercice (Métropole 24) Commun à tous les élèves Type bac janvier 27 - Corrigé Partie A ) L image de par la fonction f est : f () +e. Le point d abscisse sur la courbe C, représentative de la fonction f, est le point de coordonnées ( ; f ()), c est à dire ici ( ; ). Le point A, de coordonnées ( ; ) est donc bien un point de la courbe C. 2) La fonction f est dérivable sur R, en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur R. Sa dérivée est définie sur R par : f (x) +( )e x e x. On a : f (x) e x e x x, car ln est strictement croissante sur ] ; + [ x. On en déduit donc le tableau de variations suivant : x + f (x) (Non évalué :) Justifions maintenant les deux limites : On a lim x + x + et lim x + e x lim y ey, et donc par somme : f lim f +. + Pour tout x on a : f (x) e x (xe x +). Et on a : lim x xex, d après la propriété des croissances comparées. On en déduit, par somme : lim x xex +. Comme par ailleurs on a : lim x e x lim y + ey +, on en déduit, par produit : lim f +. Partie B ) a. Soit un entier naturel n non nul, et un réel x, choisi dans l intervalle [ ; ]. x étant dans l intervalle [ ; ], x est positif. La fonction exponentielle étant à valeurs strictement positives, on en déduit que e nx est également un nombre positif. La somme de deux nombres positifs étant elle-même positive, on en déduit que f n (x) est positif. On a donc prouvé que pour tout entier naturel n, la fonction f n est à valeurs positives sur l intervalle [ ; ]. I n est donc l intégrale sur un intervalle d une fonction positive sur cet intervalle, c est donc l aire (exprimée en unité d aire) de la portion de plan délimitée par : l axe des abscisses; la courbe C n, représentative de f n, et les droites verticales d équation x (l axe des ordonnées) et x. b. Sur l intervalle [ ; ], il semble que, plus n augmente, plus les courbes C n semblent se rapprocher du segment d équation y x, chaque courbe semblant être en dessous de la courbe d indice précédent. On en déduit que les aires successives sous ces courbes doivent être de plus en plus petites, et donc que la suite (I n ) doit être décroissante. Comme de plus il semble que les courbes s écrasent sur le segment d équation y x, à la limite, l aire sous la courbe devrait tendre vers l aire sous le segment, c est à dire 2. 2) On a : I n+ I n On peut donc émettre la conjecture que la suite converge vers 2 f n+ (x) dx f n (x) dx (f n+ (x) f n (x)) dx, par linéarité de l intégrale. Ä x+e (n+)x ( x+e nx) ä dx Ä x+e (n+)x x e nxä dx e (n+)x ( e x ) dx en décroissant.

2 Ce qui est ce que l on souhaitait démontrer. On va maintenant en déduire le signe de cette différence. Pour tout entier n naturel non nul et pour tout x dans l intervalle [ ; ], le nombre e (n+)x est strictement positif, car la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, quant au nombre e x, il est négatif, car x étant dans l intervalle [ ; ], on a x, et comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R, donc on en déduit que e x e, soit e x, donc il suit que e x. Le produit de deux nombres de signes contraires étant négatif, on vient de prouver que, pour tout entier n naturel non nul et pour tout x dans l intervalle [ ; ], le nombre e (n+)x ( e x ) est négatif. L intégrale entre deux bornes bien rangées d une fonction négative étant négative, on en déduit que, pour tout entier n non nul, la différence I n+ I n est négative. On en déduit que la suite (I n ) est décroissante. 3) Nous allons maintenant déterminer cette limite l. Pourtout entier n naturel non nul, une primitive de f n sur l intervalle [ ; ] est définie par : F n (x) 2 x2 + n e nx 2 x2 n e nx. On a donc : ï I n f n (x)dx 2 x2 ò n e nx F n () F n (). I n 2 2 Å n e n 2 2 ã n e 2 + n ( e n ). Comme on a : lim n + e n, on en déduit que lim n + e n et comme lim somme de limites, on en déduit : n + n, par produit, puis par lim I n n + 2. Finalement, nos deux conjectures sont bien vérifiées : la suite est bien décroissante, et converge vers une limite qui est bien, l aire sous la droite d équation y x entre les abscisses et. 2 Exercice 2 (Pondichery 23) Commun à tous les élèves Dans une entreprise, on s intéresse à la probabilité qu un salarié soit absent durant une période d épidémie de grippe. Un salarié malade est absent La première semaine de travail, le salarié n est pas malade. Si la semaine n le salarié n est pas malade, il tombe malade la semaine n+ avec une probabilité égale à,4. Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n+ avec une probabilité égale à,24. On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à, par E n l évènement le salariéest absent pour cause de maladie la n-ième semaine. On note p n la probabilité de l évènement E n. On a ainsi : p et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à : p n <. ) a. Déterminer la valeur de p 3 à l aide d un arbre de probabilité. E,4 E 2,24 E,96 E 2,76,4,96 Théorème des probabilités totales : E 2 E 2 (union d évènements disjoints) p 3 P( ),4,24+,96,4,48. b. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine. 2) a. Complétons l arbre P E3 (E 2 ) P(E 2 ) P( ),4,24,48 5,2.

3 ,24 E n+ pn E n,76 E n+,4 E n+ ( pn ) E n,96 E n+ b. En appliquant le théorème des probabilités totales : E n+ E n E n+ E n E n+ (union d évènements disjoints) p n+,24p n +,4( p n ) (,24,4)p n +,4,2p n +,4 c. Pour tout n N, u n+ p n+,5,2p n +,4,5,2p n,,2(p n,5),2u n donc (u n ) est la suite géométrique de premier terme u,5 et la raison r,2. Par propriété, pour tout n N : u n u r n,5,2 n et donc : p n u n +,5,5(,2 n ). d. Limite de la suite (p n ). Comme,2 < alors par théorème : lim n + (,2)n et donc lim n + p n,5. e. Le nombre J qui est affiché en sortie d algorithme est le rang du premier terme de la suite (p n ) qui s approche de la limite,5 à K près, où K est un entier fixé au départ. La convergence de l algorithme est assurée par l existence de la limite vue en (d). 3) Une semaine donnée, on peut définir une épreuve de Bernoulli, où le succès est l évènement E un salarié est absent pour maladie. L état de chaque salarié étant supposé indépendant de l état des autres, on obtient donc un Schéma de Bernoulli sur les 22 salariés de l entreprise. La variable aléatoirex qui donne le nombre de succèsdans ce schémade Bernoulli suit, par propriété,la loi binomiale B(22 ;,5). Par propriété, µ E(X) np 22,5 et σ» np( p) 22,5,95 3,23. Exercice 3 (Polynésie 23) : Élèves ne suivant pas l enseignement de spécialité mathématiques ) a. u 3 u +2u et u 2 3 u u b. Pour tout entier naturel n, notons P n la propriété : < u n. Initialisation : Si n Alors u 2 >, donc P est vraie. Hérédité : Supposons que pour k entier naturel quelconque, on ait P k vraie (c-à-d. < u k ). Montrons que P k+ est vraie aussi (c-à-d. < u k+ ). Par hypothèse de récurrence < u k donc < 3u k et < +2u k. Ainsi, u k+ est le quotient de deux nombres strictement positifs, donc < u k+ et P k+ est vraie. P est vraie et P n est héréditaire, par le principe de récurrence on a bien pour tout entier naturel n, < u n.

4 c. Comme pour tout entier naturel n, < u n, pour étudier les variations de la suite, on peut comparer u n+ et. u n u n+ +2u n 3 u n u n +2u n 3 Mais, u n < 2u n < 2 +2u n < 3 < car +2u n >. +2u n Finalement la suite (u n ) est croissante. 2) a. Pour tout entier naturel n, v n+ u n+ +2u n u n+ 3u n +2u n +2u n +2u n +2u n La suite (v n ) est donc une suite géométrique de raison 3. b. Pour tout entier naturel n, v n v q n 3 n. u n 3v n c. Pour tout entier naturel n, v n u n u n ( u n )v n u n v n u n +u n v n u n v n u n 3n +v n 3 n +. d. Comme 3 >, lim n + 3n +. L étude du quotient conduit donc à une forme indéterminée. u n 3n 3 n + + Å ã n 3 n + 3 Comme < Å ã n <, lim 3 n + 3 Å ã n Par somme lim +, enfin, par quotient lim n + 3 u n n + La suite (u n ) converge vers. Exercice 3 (Métropole 25) Élèves suivant l enseignement de spécialité Partie A On considère l équation (E) : 5x 26k m où x et k désignent des nombres entiers relatifs et m est un paramètre entier non nul. ) et ; les deux nombres 5 et 26 sont donc premiers entre eux. D après le théorème de Bézout, on peut déduire qu il existe un couple d entiers relatifs (u; v) tel que 5u 26v. On cherche un tel couple en utilisant l algorithme d Euclide et en écrivant les restes successifs comme combinaisons linéaires de 5 et de 26 : ( 5+ 26) ( 5+ 26) 2(2 5 26) (2 5 26) ( ) Donc le couple (7; 4) est solution de l équation 5u 26v. 2) donc 5 (7m) 26 (4m) m Le couple (7m; 4m) est une solution particulière de l équation (E) : 5x 26k m. 3) On suppose que 5(x x ) 26(k k ) avec x 7m et k 4m, donc 5(x 7m) 26(k 4m) Alors 5x 5 7m 26k+26 4m, ce qui implique 5x 26k 5 7m 26 4mou encore 5x 26k m Donc le couple (x; k) est solution de (E).

5 On suppose que (x; k) est solution de (E) : 5x 26k m On sait que (x ; k ) est une solution de (E) : 5x 26k m On soustrait membre à membre : 5(x x ) 26(k k ) Donc 5(x x ) 26(k k ) On peut dire que (x ; k) est solution de l équation (E) si et seulement si 5(x x ) 26(k k ). ß x 26q+7m 4) Si le couple (x; k) vérifie le système où q Z, alors : k 5q+4m 5x 26k 5(26q+7m) 26(5q+4m) 5 26q+5m 26 5q 4m m. Donc le couple (x; k) est solution de (E). Si le couple (x; k) est solution de (E), on sait que 5(x 7m) 26(k 4m) 5(x 7m) 26(k 4m) Donc 5 divise 26(k 4m). Or 5 et 26 sont premiers entre eux donc, d après le théorème de Gausse, 5 divise k 4m; donc il existe un entier relatif q tel que k 4m 5q et donc k 5q+4m. 5(x 7m) 26(k 4m) k 4m 5q Donc, si (x; k) est solution de l équation (E), on a : 5(x 7m) 26 5q x 7m 26q donc x 26q+7m ß x 26q+7m k 5q+4m Lessolutionsdel équation(e)sontdoncexactementlescouples(x; k)d entiersrelatifstelsque: Z Partie B ) On code le mot MATHS : Donc le mot MATHS se code en FHGIR. lettre x 5x + 7 reste lettre M F A 7 7 H T G H I S R ß x 26q+7m k 5q+4m où q 2) Soit x le nombre associé à une lettre de l alphabet à l aide du tableau initial et y le reste de la division euclidienne de 5x+7 par 26. a. Si y est le reste de la division de 5x+7 par 26, cela signifie que (5x+7) y est un multiple de 26, donc qu il existe un entier relatif k tel que (5x+7) y 26k, ce qui équivaut à 5x 26k y 7 b. 5x 26k y 7 7 5x 7 26k 7 y 7 7 5x 7 26k 7y (mod 26) 5x x (mod 26) 7 26 (mod 26) 7 26k (mod 26) x 7y+3 (mod 26) (mod 26) c. Voici donc un système de décodage d une lettre : à cette lettre, on associe l entier y correspondant, on associe ensuite à y l entier x qui est le reste de la division euclidienne de 7y+3 par le nombre 26, on associe à x la lettre correspondante. 3) On décode les trois lettres W, H et L : 4) Donc le mot WHL se décode en BAC. lettre y 7y + 3 reste lettre W B H 7 52 A L 8 2 C À chaque lettre de l alphabet, on fait correspondre une seule lettre de l alphabet par le système de codage décrit dans le texte, celui qui fait passer de la lettre correspondant au nombre entier x à la lettre correspondant au nombre entier y. Réciproquement, chaque lettre de l alphabet est l image d une unique lettre de l alphabet que l on obtient par le système de décodage expliqué à la question 2.c. Le système de codage réalise donc une bijection sur l ensemble des lettres de l alphabet. Donc deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.