Elle est associative, commutative et son élément neutre est la suite nulle notée 0

Transcription

1 Chapitre 9 : Sites mériqes-résmé de cors 1. Gééralités 1.1 Défiitio et exemples Déf: O appelle site tote applicatio de das. Si la site est otée, l'image de est oté pltôt qe (). O otera idifféremmet la site o ( ) Vocablaire:. Le terme 0 est le premier terme de la site est le terme de rag de la site o ecore le terme gééral de la site. Le terme +1 est le terme qi sit le terme Le terme -1 est le terme qi précède le terme Notatio: O ote l'esemble des sites réelles. O pet étedre la otio de site à e famille de réels idexées à partir d rag p. La site est alors oté ( ) p et so premier terme est p. O adaptera les résltats qi sivet e remplaçat das les éocés par p Opératios algébriqes sr les sites : Additio das : +v est la site de terme gééral +v. Elle est associative, commtative et so élémet etre est la site lle otée 0 o (0), l opposé de est la site de terme gééral. Mltiplicatio das : v est la site de terme gééral v Elle est associative, commtative et so élémet etre est la site costate égale à 1. Elle est assi distribtive sr l'additio. Mltiplicatio par scalaire: Soit, la site () est la site de terme gééral. C'est e loi extere das. 1.3 Comportemet global d e site: a) Sites majorées, miorées, borées : O dit qe ( ) est majorée lorsq il existe réel M tel qe, por tot, M o ecore M,, M Cela est éqivalet à {, } est e partie majorée de. O dit qe ( ) est miorée lorsq il existe réel m tel qe, por tot, m o ecore m,, m Cela est éqivalet à {, } est e partie miorée de. O dit qe ( ) est borée lorsq elle est à la fois majorée et miorée. Propositio 9.1: ( ) est borée si et selemet si il existe +,,. Méthodes de démostratio Etablir directemet l'iégalité o l'ecadremet vol. Etdier le sige des différeces - M et - m. Si = f(), o pet tiliser les propriétés de la foctio f. Démostratio par récrrece. b) Sites mootoes : O dit qe ( ) est e site croissate si et selemet si, por tot, +1 O dit qe ( ) est e site décroissate si et selemet si, por tot, +1 N.Véro-LMB-ov 2013

2 O dit qe ( ) est mootoe si et selemet si elle est croissate o décroissate. O dit qe ( ) est e site costate si et selemet si por, tot, = +1. O dit qe ( ) est statioaire si et selemet si elle est costate à partir d' certai rag: N, N, = +1 Propositio 9.2: Tote site croissate est miorée par so premier terme. Tote site décroissate est majorée par so premier terme. Méthodes de démostratio: Etde d sige de la différece +1-. Si les termes de la site sot strictemet positifs, comparaiso d qotiet +1/ à 1. Si = f(), o pet étdier les variatios de la foctio f. Démostratio par récrrece après cojectre d ses de variatio. c) Sites périodiqes : Déf: O dit q'e site est périodiqe de période p * lorsqe, +p =. d) Propriétés vraies à partir d certai rag, sites statioaires Déf: O dit q'e site vérifie e propriété P, à partir d' certai rag (APCR) lorsq'il existe N tel qe N, vérifie P. Exemple: O dit qe ( ) est statioaire lorsq elle est costate APCR. c'est à dire: N, N, = Limite d'e site: 2.1 Site covergete Déf: O dit q'e site a por limite réel lorsqe >0, N,, N - Das ce cas o dit qe a por limite o ecore coverge vers et o ote lim = o ecore. Remarqe: Das cette défiitio les iégalités pevet être larges o strictes saf > 0. Site covergetes de référece: lim 1 0 avec p N * lim 1 0. p Si -1<a<1 alors lim a 0. Tote site costate égale à coverge vers. Tote site statioaire est covergete. Vocablaire: Si admet por limite, o dit q'elle est covergete, das tos les atres cas o dit q'elle est divergete. Propositio 9.3: Propriétés des sites covergetes ( - ) 0-0 Si e site ( ) coverge vers, alors est iqe et est LA limite de ( ) Si e site est covergete alors elle est borée. Si ( ) coverge vers alors l l coverge vers ll. Si ( ) coverge vers > 0 alors ( ) est miorée par réel strictemet positif, APCR. N.Véro-LMB-ov 2013

3 2.2 Limite ifiie Déf : Soit e ( ) e site de. O dit qe ( ) a por limite + lorsqe A, N, N A O ote alors lim = + o ecore +. O dit qe ( ) a por limite - lorsqe B, N, N B O ote alors lim = - o ecore -. Remarqes: Das cette défiitio les iégalités pevet être larges o strictes saf >0. Sites de référece: p lim lim avec p N* lim Si a>1 alors lim a Propositio 9.4: Propriétés des sites de limite ifiie: Si lim = + alors 'est pas majorée. Si lim = - alors 'est pas miorée. Si est croissate et o majorée alors lim = +. Si est décroissate et o miorée alors lim = -. Remarqe: Ue site qi ted vers est divergete. 2.3 Opératios et limites a) Somme lim + - limv ' lim( +v ) + ' + - +????? - Et assi: Si est miorée et si limv = + alors lim( +v ) = + Si est majorée et si limv = - alors lim( +v ) = - b) Prodit lim > 0 < limv ' lim(.v ).' ?? Et assi Si borée et si limv = 0 alors lim( v ) = 0 Si miorée par m > 0 APCR et si limv = + alors lim( v ) = + Si est majorée par M < 0 APCR et si limv = + alors lim( v ) = - c) Iverse lim lim 1/ 1 / N.Véro-LMB-ov 2013

4 2.4 Utilisatio de sites extraites Def: Soit ( ) e site. O dit qe la site (v ) est e site extraite de la site lorsq'il existe e applicatio de das, strictemet croissate telle qe:, y =x(). Das la pratiqe: O tilise le pls sovet les sites extraites sivates: ( 2) et ( 2+1) Théorème 9.1: désige réel o Si e site ted vers alors tote site extraite de ted assi vers. Si les sites extraites ( 2) et ( 2+1) tedet vers la même limite alors ( ) ted assi vers. Das la pratiqe: O tilise sovet por motrer qe la site est divergete: O tilise por motrer qe la site a por limite Limite de site et ordre das : Propositio 9.5: désige réel o Si lim = avec > 0 alors > 0 APCR Si lim = avec < 0 alors < 0 APCR Si lim = avec 0 alors 0 APCR Attetio: les iégalités doivet être strictes Propositio 9.6: Passage à la limite das les iégalités Soit et v dex sites covergetes resp. vers et '. si v APCR, alors Remarqe: Avat de "passer à la limite" il fat avoir prové la covergece. Attetio! Les iégalités strictes e passet pas à la limite, elles devieet larges. Théorème 9.2 dit des gedarmes o de covergece par ecadremet: Soit,v et w trois sites de et réel. Si, v w APCR et si lim v = lim w = alors coverge assi vers. Corollaire: Soit et v, dex sites de et réel. Si l - l v APCR et si lim v = 0 alors la site coverge vers. Théorème 9.3 dit de divergece par comparaiso : et v désiget des sites Si v APCR et si lim v = +, alors lim = + Si v APCR et si lim v = -, alors lim = - 3 Dex théorèmes de covergece 3.1 Sites mootoes Théorème 9.4 dit de la limite mootoe: Tote site croissate et majorée par coverge vers sa bore spériere. Tote site décroissate et miorée coverge vers sa bore ifériere. Attetio!! - Ce théorème assre la covergece mais e doe pas explicitemet la limite. N.Véro-LMB-ov 2013

5 - Si ( ) est croissate et majorée par M alors ( ) coverge vers avec M. - Il existe des sites covergetes o mootoe: 0.5 Coséqece : Tote site mootoe admet e limite. - Si ( ) est croissate et majorée alors avec si ( ) est o majorée alors + - Si ( ) est croissate et miorée alors avec si ( ) est o miorée alors Sites adjacetes Def: Dex sites et v sot dites adjacetes lorsqe l e est croissate et l atre décroissate. ( -v ) coverge vers 0 Exemples à coaître: - Sites des approximatios décimales par défat et par excès d réel. - Sites des bores das e recherche par dichotomie Théorème 9.5 dit des sites adjacetes: Dex sites adjacetes et v coverget vers la même limite. De pls, si croissate et v décroissate alors, v. 4. Sites récrretes liéaires 4.1 Récrrece liéaire d ordre 1 Def : ( ) est e site arithmético-géométriqe o récrrete liéaire d ordre 1 lorsq il existe dex réel a et b, tels qe, +1 = a +b. 1 er cas: a=1 : est e site arithmétiqe de raiso b. O a, p, = p + (-p)b et S = k kp ( p 1)( p ) 2 2 ème cas: a1 et b=0 : est e site géométriqe de raiso a. O a, p, = pa -p et S = kp k p 1 a p1 1 a 3 ème cas: a1 et b0 : O ote l iqe soltio de l éqatio ax+b = x O motre qe la site v de terme gééral est géométriqe de raiso a. O e dédit qe :, = ( 0 - ).a + coverge ssi (a ) coverge ssi a < 1 o 0 = et das tos les cas la limite est. 4.1 Récrrece liéaire d ordre 2 Def : ( ) est e site récrrete liéaire d ordre 2 lorsq il existe dex réels a et b, b0, tels qe, +2 = a +1 + b. Théorème 9.6 (Admis provisoiremet) : O cosidère l'éqatio caractéristiqe: r²-ar-b=0 (E c) Si (E c) admet dex racies réelles r 1 et r 2, alors (A,B)²,, = Ar 1 + Br 2 Si (Ec) admet e racie doble (r 0) alors (A,B)²,, = (A+B).r 0 Si (Ec) admet dex racies complexes cojgées re i et re -i alors (A,B)²,, = r (Acos()+Bsi()) Das la pratiqe : O détermie les valers de A et B e tilisat les valers de 0 et de 1. N.Véro-LMB-ov 2013

6 5. Relatios de comparaiso 5.1 Site domiée, site égligeable Def: Soit ( ) et (v ) sot dex sites réelles: O dit qe ( ) est domiée par (v ) et o ote = O(v ) si et selemet si il existe e site borée (b ) telle qe, APCR, =b v O dit qe ( ) est égligeable devat (v ) et o ote =o(v ) si et selemet si il existe e site ( ) covergete vers 0 telle qe APCR, = v Das la pratiqe: O tilisera les caractérisatios sivates, valables lorsqe v 0 APCR = O(v ) ( v ) est borée et = o(v ) lim v = 0 Remarqes : Les écritre = O(v ) et = o(v ) e sot pas réellemet des égalités mais des apparteaces. = o(v ) se ote assi << v. Il est clair qe si = o(v ) alors = O(v ) Propositio 9.7:,v et w sot des sites de Si = O(v ) et v = O(w ) alors = O(w ) Si = o(v ) et v = O(w ) alors = o(w ) Si = o(v ) et v = o(w ) alors = o(w ) Comparaiso des sites de référece: Soit,,a,b (l()) = o( ) si, > 0 = o(a ) si > 0 et a > 1 = o( ) si < (a ) = o(b ) si 0 < a < b a = o(!) si a > 1! = o( ) O obtiet e échelle de comparaiso des sites de limite +: (l()) a b! avec 0 < < < et 1 < a < b Propositio 9.8 : Compatibilité avec les opératios: Soit, v,x et y des sites de : Combiaiso liéaire : o( w ) a bv o( w ), (a,b)² v o( w ) Prodit: o( x ) v o( x y ) v o( y ) Pissaces: Si ( ) et (v ) strictemet positives APCR alors o( v ) 0, o( v ) 1 1 Iverse: Si ( ) et (v ) o lles APCR, alors o( v ) o( ) v Ces résltats restet vrais por la relatio de domiatio. O obtiet e échelle de comparaiso des sites de limite lle: ! a (l()) N.Véro-LMB-ov 2013

7 5.2 Sites éqivaletes : Def: Soit ( ) et (v ) sot dex sites réelles.o dit qe ( ) est éqivalete (v ) et o ote v si et selemet si il existe e site (a ) covergete vers 1 telle qe APCR, = a.v. Das la pratiqe: O tilisera les caractérisatios sivates: v -v = o(v ) = v + o(v ) Si v 0 APCR, alors ~ v lim ( v ) = 1 Propositio 9.9 : La relatio est e relatio d éqivalece sr Propositio 9.10 : Soit et v dex sites de et, 0 Si coverge vers alors. Si v et si v admet e limite alors admet la même limite Si ~ v alors et v ot même sige strict APCR Attetio : ~ 0 sigifie qe ( ) est lle APCR. Abotir à ce résltat, est e gééral la coséqece d e errer de raisoemet! Propositio 9.11 Compatibilité avec les opératios: Soit,v,x et y des sites de. Mltiplicatio par scalaire: v v où Prodit: x v x y v y Pissace: Si ( ) strictemet positives APCR, ~ v 0, ~ v Iverse: Si ( ) o lle APCR, 1 1 v v Attetio!! O e pet i sommer, i sostraire, les éqivalets ²²+1 et ²-² o obtiedrait e sommat 10 absrde O tilisera por les sommes : si x = y + z avec z = o(y ) alors x ~ y o bie o trasformera la somme e prodit. E gééral, v 'impliqe pas f( ) f(v ). ²²+1 est vrai alors qe exp(²)exp(²+1) est fax pisqe lim(exp(²+1)/exp(²)) = e1. Propositio 9.12: Soit f: dérivable e 0 telle qe f'(0) 0. Si 0 alors (f( )-f(0)) f'(0) O e dédit les éqivalets sivats valables por tote site ( ) de limite lle: *, (1+ ) -1 si( ) ta( ) 1-cos( ) l(1+ ) exp( )-1 sh( ) th( ) arcta( ) arcsi( ) 2 2 N.Véro-LMB-ov 2013

8 6. Extesio ax sites de ombres complexes : O appelle site de ombres complexes tote applicatio de das. O ote l'esemble des sites complexes. Def: Soit (z ) e site de, o li associe les sites réelles sivates R = Re(z ) I = Im(z ) D = lz l O va se rameer à ces sites por l'étde de (z ) grâce ax résltats sivats: Def: Soit (z ) e site de et. (z ) est borée lorsqe (D ) est borée (z ) coverge vers lorsqe ( z - ) coverge vers 0 O ote limz = Figre : Illstratio das le pla complexe Remarqes : Pas de mootoie!!! Ue site o covergete est divergete, pas de otio de limite ifiie. Les opératios sr les limites fiies restet valables. Propositio: Soit (z ) e site de et. Si (z ) coverge alors (z ) est borée. Si limz = alors alors lim lz l = et lim z =. limz = limr = Re(z ) = Re() et limi = limim(z ) = Im( ) Def: (t ) est e site extraite de (z ) ssi, t = z() où est e applicatio strictemet croissate de das. Les résltats sr les sites extraites restet valables. N.Véro-LMB-ov 2013