Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

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1 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet : u +1 u ou: Ue suite est décroissate si chaque terme est iférieur ou égal à so précédet : u +1 u ou: Ue suite est mootoe si elle est croissate ou si elle est décroissate. De maière aalogue, o défiit ue suite strictemet croissate, strictemet décroissate ou strictemet mootoe lorsque l'iégalité qui lie ses termes est stricte. Ue suite est costate si tous ses termes sot égaux. Exemples : a) La suite 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, est ue suite croissate. b) La suite 1, 1 2, 1 3, 1, est ue suite strictemet décroissate. 4 c) Observer la croissace de la suite u = 4, IN * Cette suite 'est i croissate i décroissate. O dira cepedat que cette suite est strictemet croissate à partir de so terme de rag 4. d) La croissace ou la décroissace d'ue suite (u ) peut être détermiée par l'étude du sige de u +1 u. La suite (u ) doée par u = est strictemet croissate, car pour tout IN * u +1 u =

2 44 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exemples : e) La suite (u ) doée par est décroissate, car u 1 =1 u +1 = u 3 2 pour 1 u +1 u = Exercice 4.1 : Les suites (u ) suivates sot-elles croissates? décroissates? a) u =1 1, IN * b) u =1+ ( 1), IN * c) u = , IN d) u = cos π, IN 2 u 0 = 3 e) u +1 = u 2, 0 3

3 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 45 Défiitios : Ue suite (u ) est majorée s'il existe u ombre réel M tel que chaque terme de la suite est iférieur ou égal à ce ombre. Das ce cas, le ombre M est appelé u majorat de la suite. La bore supérieure de la suite est le plus petit majorat de cette suite. Ue suite (u ) est miorée s'il existe u ombre réel m tel que chaque terme de la suite est supérieur ou égal à ce ombre. Das ce cas, le ombre m est appelé u miorat de la suite. La bore iférieure de la suite est le plus grad miorat de cette suite. Ue suite est borée si elle est à la fois majorée et miorée. Exemples : La suite: 1 ; 1,1 ; 1,11 ; 1,111 ; 1,1111 ; est ue suite strictemet croissate qui 'atteidra jamais la valeur 2. Elle est dite majorée par 2. Trouver d'autres majorats de cette suite et quel pourrait être le plus petit de tous les majorats? Théorème : Toute suite majorée possède u plus petit majorat. De même, toute suite miorée admet u plus grad miorat. Preuve Nous admettos ce théorème sas démostratio. Vous le démotrerez qu ue fois votre maturité e poche. Exercice 4.2 : Exercice 4.3 : Repredre les suites de l exercice précédet ; sot-elles majorées? miorées? Idiquer les évetuelles bores. Idicatio : esquisser rapidemet ces suites. Soit ( u ) la suite défiie pour tout etier > 0 par : u 1 = 0,1 ; u 2 = 0,11 etc u = 0,1 1 ( chiffres 1) a) Motrer que cette suite est strictemet croissate. b) Cette suite semble-t-elle coverger vers ue valeur? c) Motrer que u peut s écrire comme ue somme de termes qui formet eux-mêmes ue suite géométrique. d) Trouver le terme gééral de la suite u. e) Détermier la bore supérieure de cette suite f) Qu e est-il de la suite 1 ; 1,1 ; 1,11 ;

4 46 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exercice 4.4 : O cosidère la suite ( u ) IN * défiie par u = a) Motrer que (u ) est strictemet croissate. b) Démotrer que cette suite admet -1 pour miorat c) Quelle est la bore iférieure de la suite? Exercice 4.5 : Démotrer que 1/2 est u miorat de la suite IN * Exercice 4.6 : O cosidère la suite ( u ) IN * défiie par : u 1 = 2 u +1 = 2u, 1 a) Écrire les quatre premiers termes de cette suite, puis les exprimer e puissace de 2. b) Exprimer u, u +1 puis u +1 u e foctio de. c) E déduire que cette suite est croissate et majorée. Exercice 4.7 : O cosidère la suite ( s ) IN de terme gééral : s = a) Calculer s 1, s 2, s 3 et s 4 b) Détermier le plus petit terme figurat das la somme défiissat s. c) Détermier le plus grad terme figurat das la somme défiissat s. d) E déduire l ecadremet suivat : + 1 s

5 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE "Covergece" d ue suite vers + ou - : Exemple d itroductio : Cosidéros la suite h = 5. Existe-t-il ue valeur que h e puisse dépasser? Disos u milliard pour se fixer les idées.

6 48 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Défiitio : Ue suite (u ) est dite "covergete" vers + si et seulemet si, pour tout réel positif A, il existe u etier N tel que pour tout etier supérieur ou égal à N, o a u > A. E repreat l exemple précédet et e appliquat la défiitio précédete : u N2 A 2 u N1 A 1 u N 1 N 2 Quelle que soit la hauteur A de la "barre", à partir d u certai idice N, o est sûr que les termes de la suite serot toujours audessus de A. Remarquos que la valeur de N déped de la hauteur A que l o veut dépasser. Traduite e lagage symbolique, la défiitio précédete deviet : Défiitio : Exemple: A IR +, N IN * lim u =+ + tel que N u > A O cosidère la suite ( u ) IN * défiie par u = Calculer le plus petit etier aturel N tel que : N u >1'000

7 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 49 Exercice 4.8 : O cosidère la suite ( u ) IN * > 1 défiie par u = Calculer le plus petit etier aturel N tel que : N u > Exercice 4.9 : Détermier u ombre etier aturel N tel que : a) N (1,1) >1'000 b) N (0,5) < 0,05 Ces suites sot-elles "covergetes" vers +? Exercice 4.10 : O cosidère la suite défiie par u = pour 1 a) Calculer les 5 premiers termes de la suite et e doer des valeurs approchées à 10-2 près. b) Motrer que cette suite est mootoe croissate. ( ) IN *, c) E observat la représetatio ci-dessous de la suite u quelle cojecture peut-o faire sur la limite de cette suite? d) O cosidère la bade ]10 ; + [. Motrer qu à partir d u certai idice 0 à détermier, tous les termes de la suite appartieet à cet itervalle. e) Effectuer de même avec la bade ]A ; + [ avec A > 10. Motrer qu à partir d u certai idice 0 à détermier e foctio de A, tous les termes de la suite appartieet à cet itervalle. f) Que pouvez-vous affirmer au sujet de la covergece de la suite u?

8 50 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exemple: Motrer que la suite (h ) de terme gééral h = 5 2 est "covergete" vers +. Exercice 4.11 : Motrer que la suite (u ) de terme gééral u = "covergete" vers +. est Défiitio : Ue suite (u ) est dite "covergete" vers - si ses termes devieet et restet iférieurs à tout ombre égatif doé arbitrairemet. Exercice 4.12 : Doer la défiitio précédete e lagage symbolique e l accompagat d ue figure d étude covaicate. Exercice 4.13 : O cosidère la suite ( u ) IN * {1} défiie par u = 2 1. a) Motrer que la suite (u ) est décroissate b) Calculer le plus petit etier aturel N tel que : N u < 1'000 c) Calculer le plus petit etier aturel N tel que : N u < A

9 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 51 Exercice 4.14 : O cosidère la suite ( u ) IN défiie par : u 0 = 4 u +1 = 2u 2 3 u + 2 pour 0 a) Motrer que u > 3 IN b) Motrer que u +1 3 > 3 2 (u 3) IN c) Motrer que u > IN * ( ) IN est-elle covergete, c est-à-dire existe-t-il u d) La suite u ombre réel A tel que lim u = A Covergece d ue suite vers u ombre Exemple d itroductio : Cosidéros la suite ( u ) IN * doée par u = Calculer les termes d idice = 1, 2, 3, 10, 100, 1'000. Quelle cojecture peut-o effectuer? Esquisser cette suite : O observe que les termes de cette suite u ( ) s approchet de plus e plus du ombre 1/2 lorsque l idice deviet grad.

10 52 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exemple (suite) : Détermier les idices pour lesquels la différece etre 1/2 et u est iférieure à 1/100, puis 1/1000, puis ( ) IN * ue suite. U ombre réel A est appelé limite de la Défiitio : Soit u suite ( u ) et o ote A = lim u, si u est arbitrairemet proche + de A dès que est suffisammet grad. Lorsqu ue suite admet u ombre limite A, o dit qu elle coverge vers ce ombre. A ε N Défiitio équivalete : O dit qu ue suite ( u ) IN * coverge vers le réel A si et seulemet si tout itervalle ouvert coteat A cotiet aussi tous les termes de la suite à partir d u certai rag. Traduites e lagage symbolique, les défiitios précédetes devieet : Défiitio : ε IR + *, N IN * lim u = A + tel que N A ε < u < A + ε Le ombre ε est u ombre strictemet positif, il est arbitrairemet petit. L etier N idique u rag à partir duquel ( N) tous les termes u sot «das la bade» de demi-largeur ε cetrée e A.

11 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 53 Remarque: Ue suite qui est pas "covergete" vers + ou - et qui est pas covergete est appelée ue suite divergete. Exercice 4.15 : O cosidère la suite ( u ) IN * représetée ci-dessous. a) Vers quelle valeur cette suite semble-t-elle tedre? Sachat que lim u =1, détermier N tel que : + b) N les u sot compris das ue bade de demi largeur ε = 0,4 c) N les u sot compris das ue bade de demi largeur ε = 0,2 Exemple : La suite représetée das l exercice précédet est u = 1. Sachat que lim + u =1, a) détermier N tel que : N les u sot compris das ue bade de demi largeur ε =10 9. b) détermier N tel que : N les u sot compris das ue bade de demi largeur ε

12 54 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exercice 4.16 : O cosidère la suite ( u ) IN * dot le terme gééral est : u = + 3 a) Vers quelle valeur cette suite semble-t-elle tedre? Sachat que lim u = 1, détermier N tel que : + b) N les u sot compris das ue bade de demi largeur ε = 0,1 c) N les u sot compris das ue bade. de demi largeur ε Exemple : O cosidère la suite ( u ) IN * dot le terme gééral est doé par u = 2 1. a) Vers quelle valeur semble coverger cette suite? b) E utilisat la défiitio symbolique de la covergece d ue suite, motrer que lim u = 2 +

13 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 55 Exercice 4.17 : O cosidère la suite ( u ) IN * défiie par u = a) Écrire sous forme décimale les 1 er, 10 ème, ème et ème termes de la suite. E déduire la valeur probable de lim u + b) E utilisat la défiitio de covergece e lagage symbolique, détermier N IN * tel que : N, A ε < u < A + ε pour u ε IR + * Théorème : Démotrer que la suite ( u ) IN * dot le terme gééral est u = 1 coverge vers 0. Exercice 4.18 : Exercice 4.19 : Démotrer le théorème précédet Étudier la covergece de la suite ( u ) IN *de terme gééral : u = ( 1) 1 Et si vous cosidériez la suite v = u Exercice 4.20 : Étudier la covergece de la suite ( 1) + 1 IN * Exercice 4.21 : Das la littérature, la défiitio symbolique de la covergece d ue suite est : ( ) u ε IR + *, p IN * lim u = a + tel que > p u a < ε Motrer que cette défiitio est équivalete à celles proposées das le cadre de ce cours. ( ) Exercice 4.22 : O cosidère la suite u covergete vers a. Motrer que la suite v ombre dot o précisera la valeur. ( ) défiie par v = u +1 coverge vers u

14 56 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE Critères de covergece Théorème : Ue suite croissate et majorée coverge. Ue suite décroissate et miorée coverge. Ue suite mootoe et borée coverge. preuve : majorat bore supérieure A ε N Théorème : Si ue suite (u ) coverge vers A alors A est uique. O l appelle doc la limite de la suite (u ). A 2 Exercice défi : Démotrer le théorème précédet e supposat par l absurde qu elle puisse coverger vers 2 ombres différets A 1 et A 2 et e costruisat ue cotradictio à l aide de la figure ci-cotre. d A 1 N 2 N 1 Théorème : Démotrer qu ue suite (u ) coverge vers 0 si et seulemet si la suite u ( ) coverge vers 0. Exercice défi : Démotrer le théorème précédet.

15 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 57 Théorème : Les puissaces successives d u ombre réel strictemet positif et iférieur à 1 formet ue suite covergete. preuve : Théorème : Ue suite covergete est borée.

16 58 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Remarque : Du théorème précédet, o e déduit u critère de divergece : Ue suite qui est pas borée diverge. Cette deuxième affirmatio s appelle la cotraposée du théorème ci-dessus. D ue implicatio, o peut toujours e proposer ue deuxième qui s appelle la cotraposée : Si A B alors o B o A Si A implique B alors o B implique o A Exemple : Proposez la cotraposée des affirmatios suivates au sujet d u quadrilatère ABCD : Si ABCD est u rectagle alors il admet u agle droit. Si ABCD est u parallélogramme alors AB = DC. Théorème : Ue suite borée est pas écessairemet covergete. Exercice 4.23 : a) Proposer ue figure d étude permettat de visualiser le théorème précédet. b) Que pouvez-vous affirmer au sujet de la suite u = ( 1), IN? c) L affirmatio suivate est-elle exacte : ( u ) borée u ( ) covergete ( ) et ( v ) sot deux suites qui coverget respectivemet Théorème : Si u vers a et b, et si λ est u ombre réel, alors : 1. la suite de terme gééral u + v coverge vers a + b. 2. la suite de terme gééral λu coverge vers λa. 3. la suite de terme gééral u v coverge vers a b. 4. la suite de terme gééral u v coverge vers a b, si b 0 et v 0 pour tout.

17 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 59 Exercice 4.24 : Exercice 4.25 : ( ) coverge vers a et ( v ) coverge vers b, motrer que ( ) coverge vers a + b. a) Si u u + v ( ) est borée et ( v ) coverge vers 0, motrer que ( ) coverge vers 0. b) Si u u v c) E déduire que : ( ) coverge vers a et ( v ) coverge vers b, alors ( u v ) Si u coverge vers a b. Idicatio : Commecer par motrer que : u v a b = u (v b) + (u a) b afi d e déduire que ( u v a b)coverge vers Motrer que la propositio suivate est fausse. ( ) est borée et ( v ) coverge vers b, motrer que ( ) coverge. Si u u v Applicatios : 1 Rappelos que la suite coverge vers 0 et que toute suite IN * costate (u = λ) coverge vers λ. Vers quelles valeurs coverget les suites dot o doe le terme gééral : a) u = 3 +1 b) u = c) u = 3 2 d) u =

18 60 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exercice 4.26 : Étudier la covergece des suites (u ) défiies par leur terme gééral : a) u = b) u = c) u = 1 2 Idicatio : motrer que 2 > IN puis utiliser le théorème des 2 gedarmes. d) u = k, k IR e) u = cos π 2 f) u = ( 1) + 1 Exercice 4.27 : Détermier si les suites suggérées ci-dessous coverget ou diverget. Si elles coverget, trouver vers quelle valeur. 7 a) 11, 9 21, 11 31, 13 41, 15 51, 4 b) 1, 3, 9 5, 16 7, 25 9, c) 5 6, 25 36, , Exercice 4.28 : Soit ( u ) IN la suite doée par so terme gééral : u = a) Cojecturer la limite de la suite à l aide de la calculatrice. b) E déduire que u = 6 et déduisez-e la limite. 1+ 6/ +1 Exercice 4.29 : O cosidère la suite ( s ) IN de terme gééral : a) Motrer que s + 1 b) Motrer que s s = k=1 2 + k c) Après avoir observé que + 1 s 2 2, e déduire la + 1 limite de ( s ) IN Exercice 4.30 : Pour IN *, o pose s = k= k Démotrer que ( s ) coverge vers ue limite que l o précisera.

19 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE Covergece d ue suite du type u +1 = f (u ) Exemple d itroductio : De ombreux algorithmes itératifs sot fodés sur des suites du type : u 0 = a (valeur iitiale) u +1 = f (u ), pour 1 où f est ue foctio réelle. Pour f (x) = cos(x), o peut visualiser graphiquemet les premiers termes de la suite (u ) sur le graphique ci-dessous a) Quelle cojecture peut-o faire au sujet de cette suite? La représetatio graphique de la suite u semble-t-elle cofirmer votre cojecture? b) À la solutio de quelle équatio va correspodre lim + u?

20 62 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exercice 4.31 : Effectuer la même démarche avec f (x) = 4(x x 2 ) représetée cidessous : Exemple d itroductio : O a représeté ci-dessous la foctio f (x) = x x + 3 O cosidère la suite u 0 = 5 u +1 = f (u ) a) Doer ue valeur approchée à 10-3 près de u 1, u 2, u 3, u 4. b) Costruire sur le graphique la droite d d équatio y = x. c) E vous aidat de la droite d, représeter sur l axe des abscisses du graphique les 5 premiers termes de la suite (u )

21 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 63 Exemple (suite) : d) Détermier les coordoées des poits d itersectio etre la courbe de f et la droite d. e) Motrer que IN, u 1/3. f) Motrer que la suite (u ) est décroissate. g) Quelle cojecture peut-o faire e ce qui cocere la limite de la suite (u )?

22 64 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4 Exercice 4.32 : Exercice 4.33 : Soit la suite défiie par u 1 =1 u +1 = 3u + 2 u + 2 a) Doer ue valeur approchée à 10-3 près de u 2, u 3, u 4, u 5. b) Motrer par récurrece que si 0 u 2, alors 0 u c) Résoudre x 2 + x + 2 0, puis exprimer u +1 u e foctio de u. Déduire de ce qui précède que u +1 u 0 pour tout. d) E déduire que cette suite est covergete. e) E posat a = lim u, Justifier que cette suite coverge vers la + solutio de l équatio : a = 3a + 2, que l o calculera. a + 2 u 1 =1 Soit la suite défiie par 1 u +1 = 1+ u a) Doer ue valeur approchée à 10-3 près de u 2, u 3, u 4, u 5. b) Démotrer par récurrece que 0 u 1. c) Cette suite est-elle décroissate? d) Cette suite semble-t-elle covergete? Si oui, calculer lim u. + 1 e) Estimer le ombre suivat : p =

23 CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 65 Exercice 4.34 : O a représeté ci-dessous la foctio f (x) = x l(x) O cosidère la suite u 0 = 7 u +1 = f (u ) a) Au moye du graphique ci-dessus (ou mieux algébriquemet), détermier le miimum de f sur ]0 ; + [, e déduire que pour tout etier aturel, o a u 1. b) Exprimer u +1 u e foctio de u. Motrer que (u ) est mootoe décroissate. c) Costruire sur le graphique la droite d d équatio y = x. d) E vous aidat de la droite d, représeter sur l axe des abscisses les ciq premiers termes de la suite (u ). e) Motrer que cette suite est covergete et calculer lim u. + Exercice 4.35 : Soit (u ) la suite défiie par : u 0 =1 u +1 = u +1 O ote f la foctio défiie sur [-1 ; + [ par f (x) = x +1 a) Représeter la courbe y = f (x), la droite y = x et les premiers termes de la suite u. b) Quelles cojectures peut-o faire à partir de la représetatio précédete? c) Motrer par récurrece que pour tout : 0 u < 2. d) Motrer par récurrece que (u ) est croissate. e) Motrer que (u ) est covergete. f) E s aidat de la représetatio graphique, détermier lim + u g) Estimer le ombre suivat :

24 66 CROISSANCE ET CONVERGENCE CHAPITRE 4