Filière : SMI Semestre 3. Module 18. Cours de Statistique Descriptive. Professeur HAKAM Samir

Transcription

1 Flère : SMI Semestre 3 Module 18 Cours de Statstque Descrptve Par le Professeur HAKAM Samr Année :

2 Table des matères Introducton Dstrbuton statstque Généraltés Populaton Varables statstques Echantllon Présentaton des données statstques Eectfs - Fréquences - Fréquences cumulées Dstrbuton statstque Représentatons graphques Représentatons graphques d'une dstrbuton de varables qualtatves Les tuyaux d'orgues Représentaton crculare Représentatons graphques d'une dstrbuton de varables quanttatves dscrètes Dagramme en bâtons Polygône des fréquences Courbe des fréquences cumulées Représentatons graphques d'une dstrbuton de varables quanttatves contnues Hstogramme Polygône des fréquences Courbe des fréquences cumulées Les mesures de tendance centrale et de dsperson 11.1 Les mesures de tendance centrale Le mode Varable qualtatve ou quanttatve dscrète Varable quanttatve contnue La médane Varable quanttatve dscrète Varable quantatve contnue Moyennes

3 Moyenne arthmétque Moyenne quadratque Moyenne géométrque Moyenne harmonque Les mesures de dsperson L'étendue Varable quanttatve dscrète Varable quanttatve contnue Les quartles Varable quanttatve dscrète Varable quanttatve contnue L'écart nterquartle Dagramme en boîte Dagramme tge et feulle La varance et l'écart-type Varable quanttatve dscrète Varable quanttatve contnue Le c cent de varaton Moments Changement d'orgne et d'unté Changement d'orgne et d'unté Centrer et rédure une varable Parmètre de forme Symétre et asymétre Coecent d'asymétre Coecent de d'asymétre de Pearson Coecent de d'asymétre de Yule Coecent de d'asymétre de Fsher Le Coecent d'aplatssement Applcatons : Le théorème de Tchebychev Lasons entre deux varables statstques Représentaton graphque du nuage de ponts Ajustement lnéare Covarance et coecent de corrélaton Drote de régresson Résdus et valeurs ajustées Equaton de la varance

4 Introducton La statstque désgne l'ensemble des méthodes mathématques relatve à la collecte, à la présentaton, à l'analyse et à l'utlsaton des données numérques. Ces opératons permettent de trer des conclusons et de prendre des décsons dans les stuatons d'ncerttudes qu'on rencontre dans les domanes scentques, économques, scences soales ou des aares... En présence d'un ensemble de données chrées, on a un désr spontané de smplcaton. Selon des crtères, la statstque cherche d'une part à représenter, ordonner et classer des données ; d'autre part, à résumer la multplcté et la complexté des notons par des caractérstques synthétques. Le statstcen est ans condut à collecter des données, construre des graphques, détermner des caractérstques centrale et calculer des caractérstques de dsperson. L'organsaton, la descrpton et la présentaton des données sous forme de tableaux ou de graphques sont l'objet de la statstque descrptve. L'nterprétaton et les conclusons que l'on peut trer d'un ensemble de données font l'objet de la statstque Inférentelle

5 Chaptre 1 Dstrbuton statstque 1.1 Généraltés Populaton Toute étude statstque concerne un ensemble Ω appelé populaton dont les éléments sont appelés des ndvdus. Dénton : Une populaton c'est l'ensemble d'ndvdus ou d'objets qu possèdent un ou pluseurs caractères spécques en commun. Une populaton statstque est dte ne s l'on peut détermner avec précson le nombre d'ndvdus qu la composent snon elle est dte nne. Exemple : ) Dans une étude sur le sport, la populaton peut être l'ensemble des personnes qu pratquent un sport. ) Dans une étude sur les revenus mensuels dans une entreprse, la populaton peut être l'ensemble des personnes qu travallent dans cette entreprse Varables statstques L'étude statstque consste en l'analyse d'une varable X appelé parfos caractère qu sert à décrre l'aspect d'une populaton objet de l'étude. On dstgue deux types de varables : qualtatves et quanttatves. Dénton 1.1. : Une varable X est dte qualtatve s les valeurs prses sont des mots ou des lettres. Une varable X est dte quanttatve s les valeurs prses sont des nombres réels. Exemple 1.1. : ) La couleur des cheveux, Etat du temps constaté à Rabat pendant le mos de Janver 015 (pluveux, orageux, beau, venteux, broullard,...), mode de transport pour se rendre à la faculté (voture, tax, bus, tramway, moto, bcyclette, à ped) dénssent des varables qualtatves. ) La talle, le pods, le salare, l'âge, les températures matnales relevées sous abr chaque jour 1

6 à Rabat, les notes sur 0 obtenues en statstque par les étudants SMI, la hauteur des précptatons tombées chaque mos à Rabat sont des varables quanttatves. On dstngue deux types de varables quanttatves : dscrète et contnue Dénton : Une varable quanttatve X est dte dscrète s les valeurs qu'elle peut prendre sont solées les unes des autres. Une varable quanttatve X est dte contnue s elle peut prendre toutes les valeurs d'un ntervalle de IR ou une réunon d'ntervalles de IR ou l'ensemble des réels IR. Exemple : ) Les performances en saut en hateurs de 100 athlètes est une varable quanttatve dscrète. ) La consommaton en carburant aux 100 km d'un nouveau modèle d'une voture est une varable quanttatve contnue Echantllon Pour obtenr un rensegnement exact concernant une varable X, l faut étuder tous les ndvdus de la populaton. Quand cela n'est pas possble, on restrent l'étude à une parte de la populaton appelée échantllon. Dénton : E de Ω. Un échantllon est une parte ne représentatve de la populaton c'est donc un sous ensemble 1. Présentaton des données statstques 1..1 Eectfs - Fréquences - Fréquences cumulées L'étude concrète d'une varable X donne N valeurs qu consttuent la dstrbuton statstque de X (auss appelé sére statstque). Cette dstrbuton est, en générale, présentée d'une façon groupée : Sous la forme {(x, n ) / 1 p} dans le cas d'une varable qualtatve ou quanttatve dscrète (avec x 1 < x < < x p dans le cas d'une varable quanttatve dscrète). Sous la forme d'ntervalles ou de classes {(]x, x +1 ], n ) / 1 p} dans le cas d'une varable quanttatve contnue. Dénton 1..1 : ) l'eectf n est le nombre d'ndvdus de la populaton ou de l'échantllon pour lesquels X prend la valeur x (dans le cas d'une varable qualtatve ou quanttatve dscrète) ou une valeur de l'ntervalle ]x, x +1 ] (dans le cas d'une varable quanttatve contnue). La somme des eectfs est appelée la talle de la populaton ou de l'échantllon et est notée N. N = n 1 + n + + n p ) On appelle fréquence de la valeur x ou de la classe ]x, x +1 ] le nombre réel f = n p On a évdement f = 1 N =1

7 C'est la proporton de l'eectf d'une valeur de la varable par rapport à N la talle totale de la populaton ou de l'échantllon. ) On appelle fréquence cumulée de la valeur x ou de la classe ]x, x +1 ] le nombre réel F (x) = {/x x} f C'est la proporton des untés statstques de la populaton ou de l'échantllon qu possèdent une valeur nféreure ou égale à une valeur x donnée d'une varable quanttatve. Exemple 1..1 : ) Varable qualtatve : La répartton des adultes d'une résdence selon le nveau d'nstructon. Nveau eectfs fréquences d'nstructon n f Prmare Secondare Unverstare Total N = 35 1 ) Varable quanttatve dscrète : Les performances en saut en hauteur (en cm) de 10 athlètes sont : 191, 194, 197, 191, 00, 03, 00, 197, 03, 03. Hauteur eectfs fréquences fréquences cumulées en cm n f F (x) Total N = 10 1 ) Varable quanttatve contnue : Etude de la consommaton aux 100 km de 0 votures d'un nouveau modèle : 5.56, 5.35, 5.98, 5.77, 5.18, 5.66, 5.8, 5.11, 5.58, 5.49, 5.59, 5.33, 5.55, 5.45, 5.76, 5.3, 5.57, 5.5, 5.8, 6.0. Consommaton eectfs fréquences fréquences cumulées en ltre n f F (x) [5, 5.] ]5., 5.4] ]5.4, 5.6] ]5.6, 5.8] ]5.8, 6] Total N = 0 1 3

8 1.. Dstrbuton statstque Dénton 1.. : Une dstrbuton statstque est une représentaton des données collectées dans un tableau où gurent les valeurs que prenne la varable, les eectfs, les fréquences et les fréquences cumulées relatves à chaque valeur ou ensemble de valeurs prses par la varable. 1.3 Représentatons graphques Représentatons graphques d'une dstrbuton de varables qualtatves Les tuyaux d'orgues Les tuyaux d'orgues des eectfs (respectvement des fréquences) de la dstrbuton statstque, {(x, n ) / 1 p} (respectvement {(x, f ) / 1 p}) s'obtent en traçant sur un repére orthonormé, pour tout = 1,, p, un rectangle de base de centre x et de hauteur égale à l'eectf ou la fréquence de la valeur x. Sur l'axe des abscsses on représente les modaltés de la varable, alors que sur l'axe des ordonnées on représente les eectfs ou les fréquences selon que l'on désre tracer un dagramme des eectfs ou des fréquences. Exemple : Représentaton du dagramme en tuyaux d'orgues des fréquences pour le nveau d'étude des adultes d'une résdence. Fgure 1.1 Dagramme en tuyaux d'orgues 4

9 Représentaton crculare C'est une représentaton où chaque modalté est représentée par une porton du dsque. S S est l'are du dsque, l'are d'une porton est égale à f S, où f est la fréquence de la modalté correspondante. L'angle α de chaque porton s'obtent en multplant la fréquence par 360, l'angle du dsque (α = f 360) Exemple 1.3. : Représentaton du dgramme crculare des fréquences pour le nveau d'étude des adultes d'une résdence. Fgure 1. Dagramme crculare 1.3. Représentatons graphques d'une dstrbuton de varables quanttatves dscrètes Dagramme en bâtons Le dagramme en bâtons des eectfs (respectvement des fréquences) de la dstrbuton statstque {(x, n ) / 1 p} (respectvement {(x, f ) / 1 p}) s'obtent en traçant sur un repére orthonormé les bâtons A B, c'est à dre les segments jognant les pont A (x, 0) et B (x, n ) (respectvement B (x, f )) pour 1 p. Sur l'axe des abscsses on représente les valeurs de la varable, alors que sur l'axe des ordonnées on représente les eectfs ou les fréquences selon que l'on désre tracer un dagramme des eectfs ou des fréquences. 5

10 Exemple : La dstrbuton des performances en saut en hauteur de 100 athlètes sont représentées dans le tableau suvant : Hauteur eectfs fréquences fréquences cumulées en cm n f F (x) Total Représentaton du dagramme en bâtons pour la dstrbuton des performances en saut en hauteur de 100 athlètes. Fgure 1.3 Dagramme en bâtons Polygône des fréquences C'est une lgne brsée jognant les ponts de coordonnées (x, f ). C'est auss la lgne qu jont les sommets des bâtons du dagramme. Exemple : Représentaton du polygône des fréquences pour la dstrbuton des performances en saut en hauteur de 100 athlètes. 6

11 Fgure 1.4 Polygône des fréquences Courbe des fréquences cumulées C'est une courbe en escalers qu représente la foncton : F (x) = 0 s x < x 1 et F (x) = f j snon j:x j x Exemple : Représentaton de la courbe des fréquences cumulées pour la dstrbuton des performances en saut en hauteur de 100 athlètes. Fgure 1.5 Courbe des fréquences cumuleés 7

12 1.3.3 Représentatons graphques d'une dstrbuton de varables quanttatves contnues Consdérons une varable contnue X dont les valeurs se stuent dans un ntervalle I. On dvse cet ntervalle en k classes dsjontes ]a, a +1 ], = 1,..., p. On prendra toujours des classes de même ampltude (a +1 a = constante). Pour tout, on note n le nombre de valeurs de X dans la classe ]a, a +1 ] qu'on appelle eectf de cette classe. Le chox du nombre de classes est lassé au son de l'utlsateur. Plus le nombre d'observatons est grand plus le nombre de classes est élévé. On admet cependant, pour ader à la compréhenton, que ce nombre devrat être entre 5 et 15. Pour dresser le tableau de dstrbuton des eectfs et des fréquences on pourra suvre les étapes suvantes : Etape 1 : Détermner p le nombre de classes à consdérer dans l'étude. Pour N l'eectf de la populaton ou de l'échantllon, on peut le calculer selon l'une des deux régles suvantes : ) Règle de Sturge : P = log 10 (N) ) Règle de Yule : P =.5 4 N Avec p = l'enter le plus proche de P. Etape : Calculer l'étendue e = x max x mn où x mn est la valeur mnmale de la varable X et x max est la valeur maxmale de la varable X. Etape 3 : Dvser l'étendue e par p le nombre de classes, pour avor une dée sur la valeur de l'ampltude des classes que l'on notera a. on a Etape 4 : On construt alors les classes a = e p [x mn, x mn + a], ]x mn + a, x mn + a],, ]x mn (p 1) a, x mn + p a] Etape 5 : S'assurer que chaque observaton appartent à une et une seule classe. Exemple : Etude de la consommaton aux 100 km de 0 votures d'un nouveau modèle : 6.11, 6.05, 5.98, 5.77, 5.18, 5.66, 5.8, 5.11, 5.58, 5.49, 5.6, 5.33, 5.55, 5.45, 5.76, 5.3, 5.57, 5.5, 5.8, 6.0. Pour la méthode de Sturge P = log 10 (0) = Pour la méthode de Yule P = = 5.87, D'où le nombre de classe est p = 5. Nous avons x mn = 5.11 et x max = D'ou e = = 1 et a = e p = 1 5 = 0. Consommaton eectfs fréquences fréquences cumulées en ltre n f F (x) [5.11, 5.31] ]5.31, 5.51] ]5.51, 5.71] ]5.71, 5.91] ]5.91, 6.11] Total 0 1 8

13 Hstogramme L'hstogramme des eectfs (respectvement des fréquences) de la dstrbuton statstque {(]a, a +1 ], n ) / 1 p} (respectvement {(]a, a +1 ], f ) / 1 p}) s'obtent en traçant sur un repère orthonormé, pour tout = 1,, p, un rectangle de base la longueur du segment ]a, a +1 ] et de hauteur égale à l'eectf ou la fréquence de cette classe. Sur l'axe des abscsses on représente les bornes des classes ]a, a +1 ] de la varable c'est à dre les ponts a 1, a,, a p, a p+1, alors que sur l'axe des ordonnées on représente les eectfs ou les fréquences selon que l'on désre tracer un hstogramme des eectfs ou des fréquences. Exemple : Représentaton de l'hstogramme des fréquences de la dstrbuton de l'exemple Fgure 1.6 Hstogramme Polygône des fréquences Le polygône des fréquences de la dstrbuton {(]a, a +1 ], f ) / 1 p} est la lgne brsée jognant les ponts de coordonnées (c, f ) où c = a + a +1 le centre de la classe, = 1,, p. Lorsque la borne nféreure de la premère (resp. supéreure de la dernère) classe est observée c'est à dre l'ntervalle est fermé en a 1 (resp. a p+1 ) (comme c'est le cas dans l'exemple 1.3.6), on complète la courbe en jognant les ponts (c 0, 0) et (c 1, f 1 ) (resp. (c p, f p ) et (c p+1, 0)) où c 0 = a 1 a (resp c p+1 = a p+1 + a ). Lorsque la borne nféreure de la premère (resp. la borne supéreure de la dernère) classe n'est pas observée c'est à dre l'ntervalle est ouvert en a 1 (resp. en a p+1 ), on complète la courbe en jognant les ponts (a 1, 0) et (c 1, f 1 ) (resp. (c p, f p ) et (a p+1, 0)). Exemple : Représentaton du polygône des fréquences de la dstrbuton de l'exemple

14 Fgure 1.7 Polygône des fréquences Courbe des fréquences cumulées La courbe des fréquences cumulées de la dstrbuton {(]a, a +1 ], f ) / 1 p} s'obtent en jognant les ponts de coordonnées (a +1, F ) où F = f f, = 1,, p et (x, 1) pour x a p+1. Lorsque la borne nféreure de la premère classe est observée c'est à dre l'ntervalle est fermé en a 1, F (a 1 ) 0, (comme c'est le cas dans l'exemple 1.3.6), on complète la courbe en jognant les ponts (c 0, 0) et (a, F 1 ) où c 0 = a 1 a et F 1 = f 1. Lorsque la borne nféreure de la premère classe n'est pas observée c'est à dre l'ntervalle est ouvert en a 1, F (a 1 ) = 0, on complète la courbe en jognant les ponts (a 1, 0) et (a, F 1 ). Exemple : l'exemple Représentaton de la courbe des fréquences cumulées de la dstrbuton de Fgure 1.8 Courbe des fréquences cumulées 10

15 Chaptre Les mesures de tendance centrale et de dsperson.1 Les mesures de tendance centrale La tendance centrale se propose de synthétser l'ensemble d'une sére statstque en fasant ressortr une poston centrale de la valeur du caractère étudé. Il exste pluseurs mesures de tendance centrale. Le mode, la médane et la moyenne.1.1 Le mode Varable qualtatve ou quanttatve dscrète Dénton.1.1 : Le mode est une valeur de la varable pour laquelle l'eectf ou la fréquence est maxmal(e). Le mode est noté m d. Une dstrbuton peut être unmodale, bmodale ou plurmodale. Exemple.1.1 : ) Consdérons la dstrbuton des notes d'un groupe d'étudants. x 8/0 9/0 10/0 11/0 1/0 13/0 14/0 n l'eectf maxmal est 17 La varable est quanttatve dscrète. On a m d = 11/0. Cette dstrbuton est unmodale. ) Consdérons la dstrbuton des couleurs des votures dans un parkng x Rouge Blanche Verte Jaune Nore Grse n l'eectf maxmal est 7 La varable est qualtatve. Ic on a tros modes : Blanche, Jaune et Grse. Cette dstrbuton est plurmodale. 11

16 .1.1. Varable quanttatve contnue Dans le cas d'une varable quanttatve contnue, les données sont regroupées en classes. S les classes sont toutes de même ampltude, une classe modale est celle dont la fréquence ou l'eectf est le plus élevé. Exemple.1. : Sot la dstrbuton suvante [x, x +1 [ [500, 700[ [700, 900[ [900, 1100[ [1100, 1300] f la fréquence maxmale est 0.34, donc la classe modale est [700, 900[. Remarque : S les classes ne sont pas de même ampltude, on dot oblgatorement corrger les eectfs et les fréquences (c'est à dre rendre les classes de même ampltude) avant de : Construre l'hstogramme Construre le polygône des fréquences Détermner la classes modale le mode m d (qu appartent à la classe modale) est détermné par nterpolaton lnéare. Pour llustrer une telle nterpolaton, consdérons l'exemple suvant : Les salares mensuels ( en mllers de drhams ) du personnel d'une entreprse se répartssent comme sut : Classe Eectf fréquence fréquence cumulée n f F (x +1 ) ], 3] 15 0, 19 0, 19 ]3, 4] 0 0, 5 0, 44 ]4, 6] 0 0, 5 0, 69 ]6, 10] 4 0, 31 1 Total 79 1 Les classes ne sont pas de même ampltude, l faut donc corrger les données, la plus pette ampltude est a = 1 Classe Eectf corrgé fréquence [, 3] 15 0, 19 ]3, 4] 0 0, 5 ]4, 5] 10 0, 15 ]5, 6] 10 0, 15 ]6, 7] 6 0, 0775 ]7, 8] 6 0, 0775 ]8, 9] 6 0, 0775 ]9, 10] 6 0, 0775 Total 79 1 Il est clar que ]3, 4] est la classe modale. Nous allons utlser l'hstogramme pour détermner m d. En utlsant les trangles d'une part ABC 1

17 et CIC 1 et d'autre part ADB et BIC 1 de la gure c-dessous on a Fgure.1 Hstogramme cotg(α) = BC AB = C 1C C 1 I = Y A Y C a cotg(β) = AD AB = C 1B C 1 I = Y A Y D a Y I Y C = Y A Y c x C x I a d'où le système Y A Y I = Y A Y D x C x I a en fasant la somme on obtent On en dédut x C x I Y A Y C = a (Y A Y C ) + (Y A Y D ) = Y I Y C x C x I = Y A Y I x C x I Y A Y C = (Y A Y C ) + (Y A Y D ) x C x I a ou encore x I = x C a(y A Y C ) (Y A Y C ) + (Y A Y D ) Où x +1 est la borne supéreure de la classe modale, a l'ampltude commune à toutes les classes, f +1 la fréquence de la classe modale, f la fréquence de la classe qu précède la classe modale et f + la fréquence de la classe qu sut la classe modale. m d = x +1 a (f +1 f + ) (f +1 f + ) + (f +1 f ) ou m (n +1 n + ) d = x +1 a (n +1 n + ) + (n +1 n ) Applcaton numérque : x +1 = 4, a = 1, f = 0.19, f +1 = 0.5 et f + = 0.15, on a m d = 4 1 ( ) ( ) + ( ) =

18 .1. La médane La médane est la valeur m de la varable qu partage les éléments de la sére statstque, préalablement classés par ordre crossant, en deux groupes d'eectfs égaux : 50% des ndvdus présentent une valeur nféreure ou égale à la médane et 50% présentent une valeur supéreure ou égale à la médane Varable quanttatve dscrète Soent x 1, x,, x N les valeurs prses par la varable. On les ordonne de la plus pette à la plus grande et on note x (1) la plus pette valeur x () la deuxème valeur,, x () la me valeur, x (N) la plus grande valeur. Alors on a Exemple.1.3 : m = ) Consdérons la dstrbuton suvante x ( N+1 ) s N est mpar x ( N ) + x ( N +1) s N est par x n eectfs cumulés On a N = 30 donc N est par d'où N x = 15 et m = ( N ) + x ( N +1) = x (15) + x (16) = = 35. x (16) = 40 car le premer eectf cumulé supéreur ou égal à 16 est 4 et x (4) = 40. ) Consdérons la dstrbuton suvante x n eectfs cumulés On a N = 33 donc N est mpar d'où N + 1 égal à 17 est 18 et x (18) = 30. = 17 et m = x (17) = 30 car le premer eectf cumulé supéreur ou.1.. Varable quantatve contnue La médane est la soluton de l'équaton F (x) = 0, 5. Pour la détermner, on commence par détermner la classe médane ]x, x +1 ] qu vére F (x ) < 0, 5 et F (x +1 ) 0, 5 La médne m (qu appartent à la classe médane) est ensute détermnée à partr d'une nterpolaton lnéare. Reprenons l'exemple de la dstrbuton des salares mensuels (en mllers de drhams) 14

19 du personnel d'une entreprse : Classe Eectf fréquence fréquence cumulée n f F (x +1 ) ], 3] 15 0, 19 0, 19 ]3, 4] 0 0, 5 0, 44 ]4, 6] 0 0, 5 0, 69 ]6, 10] 4 0, 31 1 Total 79 1 On a F (4) = 0, 44 < 0.5 et F (6) = 0.64 > 0.5, la classe médane est donc ]4, 6]. Nous utlserons la courbe des fréquences cumulées pour détermner m. En consdérant les trangles ABD et AIC de la gure c-dessous, on a Fgure. Courbe des fréquences cumulées tg(α) = DB AD = Y B Y A = F (x +1) F (x ) x B x A x +1 x = CI AC = Y I Y A = 0, 5 F (x ) x I x A m x 0, 5 F (x ) d'où m = x + (x +1 x ) F (x +1 ) F (x ) Applcaton numérque : x = 4, x +1 = 6, F = 0.44, F +1 = 0.69 et 0, 5 0, 44 m = 4 + (6 4) 0, 69 0, 44 = 4, 48 15

20 .1.3 Moyennes Moyenne arthmétque ) Varable quanttatve dscrète La moyenne arthmétque notée x, est égale à la somme des valeurs dstnctes de la varable multplées par leurs eectfs respectfs dvsée par la somme des eectfs. n x n x x = = n N et comme f = n N on a auss x = f x Exemple.1.4 : Consdérons la dstrbuton de l'exemple.1.3 ) x = ) Varable quanttatve contnue = = La moyenne arthmétque notée toujours x, est égale à la somme des centres des classes de la varable multplées par leurs eectfs respectfs dvsée par la somme des eectfs. n c n c x = = n où c est le centre de de la classe assocée à l'eectf n. et comme f = n N on a auss x = f c Exemple.1.5 : Reprenons l'exemple de la dstrbuton des salares mensuels N x = 15, , = 399, 5 79 = 5, Moyenne quadratque ) Varable quanttatve dscrète La moyenne quadratque notée x q, est égale à la somme des carrés des valeurs dstnctes de la varable multplées par leurs eectfs respectfs dvsée par la somme des eectfs. n x n x x q = = = f x ( car f = n n N N ) 16

21 Exemple.1.6 : Consdérons la dstrbuton de l'exemple.1.3 ) x q = ) Varable quanttatve contnue = = La moyenne quadratque notée toujours x q, est égale à la somme des carrés des centres des classes de la varable multplées par leurs eectfs respectfs dvsée par la somme des eectfs. n c n c x q = = = f c ( car f = n n N N ) où c est le centre de de la classe assocée à l'eectf n. Exemple.1.7 : Reprenons l'exemple de la dstrbuton des salares mensuels x q = Moyenne géométrque = = ) Varable quanttatve dscrète La moyenne géométrque notée x G, d'une varable quanttatve dscrète est donnée par : x G = N x n où N = n Exemple.1.8 : Consdérons la dstrbuton de l'exemple.1.3 ) x G = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ) Varable quanttatve contnue Dans ce cas La moyenne géométrque est donnée par : x G = N c n où c est le centre de la classe assocée à l'eectf n Exemple.1.9 : Reprenons l'exemple de la dstrbuton des salares mensuels x G = 79, , = Remarque : Le logarthme de la moyenne géométrque est égale à la moyenne arthmétque du logartme de la varable. ln(x G ) = n ln(x ) N où ln(x G ) = n ln(c ) N 17

22 Moyenne harmonque ) Varable quanttatve dscrète C'est lnverse de la moyenne arthmétque des nverses des valeurs de la varable. On la note x H, N x H = n /x ) Varable quanttatve contnue Dans ce cas La moyenne harmonque est donnée par : N x H = n /c Remarque : x H x G x x q. Les mesures de dsperson Les ndcateurs de dsperson sont nombreux, les plus courants sont : L'étendue, l'écart nterquartle, la varance, l'ecart-type et le c cent de varaton...1 L'étendue..1.1 Varable quanttatve dscrète L'étendue mesure l'écart entre la plus pette valeur de la varable et la plus grande : e = x max x mn où x mn (resp. x max ) est la valeur mnmale (resp. maxmale ) prses par la varable. Exemple..1 : Soent les 4 seres statstques suvantes a) 10, 10, 10, 10, 0, 30, 30, 30, 30 x = = = b) 0,, 1, 0, 0, 19, 18, 0, 0 x = = = c) 1, 4, 6, 8, 0, 3, 34, 36, 39 x = = = d) 10, 1, 14, 16, 0, 4, 6, 8, 30 x = = = 0 Ces quatre séres ont la même moyenne x = 0 et la même médane m = 0. Pourtant ces séres sont trés dérentes. Cette dérence provent de leur dsperson, en eet : Etendue(a) = = 0, Etendue(b) = 18 = 4, Etendue(c) = 39 1 = 38 et Etendue(d) = = 0. Quoque les séres a) et d) ont la même étendue, les valeurs de la sére d) contrarement à celles de la sére a) sont unformément espacées...1. Varable quanttatve contnue Dans ce cas l'étendue est la dérence entre la borne supéreure de la dernère classe et la borne nféreure de la premère classe. 18

23 e = x max x mn où x max (resp. x mn ) est la borne supéreure (resp. nféreure) de la dernère (resp. premère) classe... Les quartles Nous savons que la médane dvse la dstrbuton en deux partes égales. Il exste d'autres ndcateurs utles : a) Les quartles qu dvse la dstrbuton en quatre (4) partes égales b) Les décles qu dvse la dstrbuton en dx (10) partes égales c) Les cenles qu dvse la dstrbuton en cent (100) partes égales Les quartles sont notés Q 1, Q et Q 3 et on a F (Q 1 ) = 0.5, F (Q ) = 0.5 et F (Q 3 ) = La médane est le ème quartle, le 5ème décle et le 50ème centle....1 Varable quanttatve dscrète On cosdère une sére statstque dont les valeurs du caractère étudé, ont été rangés dans un ordre crossant : x 1 x x 3 x n 1 x n La médane m e sépare la sére en deux séres de même eectf. La sére nféreure dont les valeurs du caractère sont nféreures ou égale à la médane m e, et la sére supéreure dont les valeurs du caractère sont supéreures ou égale à la médane m e. On appelle premer (resp. trosème) quartle, la médane de la sére nféreure (resp. supéreure) on le note Q 1 (resp. Q 3 ). Exemple.. : ) Consdérons la dstrbuton suvante x n eectfs cumulés On a N = 30 et m = 35 x n eectfs cumulés }{{} sére nféreure avec N 1 = 15 x n eectfs cumulés }{{} sére supéreure avec N 1 = 15 donc N 1 est mpar d'où N = 8 = Q 1 = x N ( 1 +1 ) = x (8) = 0 et Q 3 = x N ( 1 +1 ) = x (8) = 40. ) Consdérons la dstrbuton suvante x n eectfs cumulés On a N = 33 et m = 30. x n eectfs cumulés }{{} sére nféreure avec N 1 = 16 x n eectfs cumulés }{{} sére supéreure avec N 1 = 16 19

24 donc N 1 est par d'où N 1 = 8 = Q 1 = x N ( 1 Q 3 = ) + x ( N 1 +1) = x (8) + x (9) = x N ( 1 ) + x ( N 1 +1) = 40. = x (8) + x (9) = 0 et... Varable quanttatve contnue Des technques smlares à celles utlsées pour détermner la médane dans le cas contnue permettent de détermner ces ndcateurs. Pour le premer quartle x < Q 1 x +1 F (x ) < 0, 5 F (x +1 ) } 0, 5 F (x ) et Q 1 = x + (x +1 x ) F (x +1 ) F (x ) Pour le trosème quartle x < Q 3 x +1 F (x ) < 0, 75 F (x +1 ) } 0, 75 F (x ) et Q 3 = x + (x +1 x ) F (x +1 ) F (x ) Exemple..3 : Reprenons la dstrbuton des salares mensuels. Classe Eectf fréquence fréquence cumulée n f F (x +1 ) ], 3] 15 0, 19 0, 19 ]3, 4] 0 0, 5 0, 44 ]4, 6] 0 0, 5 0, 69 ]6, 10] 4 0, 31 1 Total , 5 0, < F (Q 1 ) = = 3 < Q 1 4, d'où Q 1 = 3 + (4 3) = 3, 4 0, 44 0, 19 0, 75 0, < F (Q 3 ) = = 6 < Q 3 10, d'où Q 3 = 6 + (10 6) = 6, , L'écart nterquartle Q 1 étant le premer quartle et Q 3 le trosème quartle, l'écart nterquartle est la dérence entre le trosème et le premer quartle, l est noté R(Q) = Q 3 Q 1. L'ntervalle [Q 1, Q 3 ] est appelé ntervalle nterquartle. Il content 50% des observatons, le reste se répart avec 5% à gauche de Q 1 et 5% à drote de Q 3. L'écart nterquartle R(Q) est la largeur de l'ntervalle nterquartle. C'est une mesure de longueur de cet ntervalle et donc une mesure de dsperson des données autours de la médane. Plus l est grand, plus les données sont dspersées autours de la médane. Plus l est pett, plus les données sont proches de la médane. Exemple..4 : Reprenons l'exemple de la dstrbuton des salares mensuels. L'ntervalle nterquartle est [3, 4, 6, 19] et l'écart nterquartle est R(Q) = 6, 19 3, 4 =, 85. 0

25 ..3 Dagramme en boîte Ce dagramme est auss appelé boîte à moustaches. Il utlse la valeur du 1 er quartle Q 1 (qu correspond à 5% des eectfs), la valeur du ème quartle Q = m (la médane qu correspond à 50% des eectfs), la valeur du 3ème quartle Q 3 (qu correspond à 75% des eectfs), l'écart nterquartle R(Q) et les valeurs mnmum et maxmum de la sére. On représente sur un axe gradué (horzontal ou vertcal) les dérentes valeurs de la sére Q 1, Q, Q 3, x mn, x max ans que Q R(Q) et Q R(Q). Le dagramme est formé d'un rectangle ayant pour extrémté nféreure le 1 er quartle et pour extrémté supéreure le 3ème quartle. A l'ntereur de ce rectangle, on trace un segment représentant la médane. A gauche et à drote de ce rectangle, on trace deux segments appelé moustaches nféreure et supéreure qu ont pour extrémté respectvement Q R(Q) et Q R(Q). Fgure.3 Boîte à moustaches La boîte a pour largeur l'écart nterquartle (Q 3 Q 1 ). les moustaches sont basées généralement sur 1.5 fos la largeur de la boîte. Dans ce cas, une valeur est atypque ou aberrante s elle dépasse de 1.5 fos l'écart nterquartle à gauche du 1 er quartle ou à drote du 3ème quartle. La boîte à moustaches permet de répondre à certanes questons : Exste-t-l des observatons atypques? en les repérant et les dentant La dstrbuton est-elle symétrque? en repérant la poston de la médane dans la boîte. La parte centrale (50% des eectfs) est-elle plus ou mons concentrée ou étalée par rapport au reste de la dstrbuton? Comparasons de dstrbutons selon des groupes? Pour comparer les dstrbutons d'une même varable selon les groupes, on juxtapose sur le même graphque les boîtes à moustaches dénes respectvement pour les groupes en utlsant la même échelle. Exemple..5 : Deux groupes de S3 Statstque comparent leurs résultats du Contrôle nal et déclarent : nos classes ont le même prol pusque dans les deux cas la médane et le mode des résultats est 10. 1

26 Qu'en pensez-vous? notes groupe groupe Vérer que les deux médanes valent 10 et détermner les quartles de chaque sére. Tracer côte à côte les dagrammes en botes de ces deux séres. Les eectfs cumulés des deux groupes est : notes groupe groupe N 1 = 36 est par d'où N x N 1 = 18 = m ( 1 1 = ) + x ( N 1 N = 37 est mpar d'où N ) Les séres nféreures et supéreurs du groupe 1 et sont : = x (18) + x (19) = 19 = m = x ( N +1 ) = x (19) = 10. = = 10. notes groupe groupe }{{} sére nféreure avec N 1 = N = 18 notes groupe groupe }{{} sére supéreure avec N s1 = N s = 18 Les eectfs des séres nféreures et supéreurs du groupe 1 et sont : notes groupe groupe }{{} sére nféreure avec N 1 = N = 18 notes groupe groupe }{{} sére supéreure avec N s1 = N s = 18 On a N 1 = N = 18 est par d'où : x N ( 1 Q 11 = ) + x ( N 1 +1) = x (9) + x x N (10) ( = 7 et Q 1 = ) + x ( N +1) = x (9) + x (10) = 8. On a N s1 = N s = 18 est par d'où : x N ( s1 Q 31 = ) + x ( N s1 +1) = x (9) + x x N (10) ( s = 13 et Q 3 = ) + x ( N s +1) = x (9) + x (10) = L'écart { nterquartle des deux groupes est : R(Q1) = 13 7 = 6 et R(Q) = = 3.5. Q R(Q1) = Q R(Q1) = = Q R(Q) =.75 Q R(Q) = Le graphque c-dessous met ben en évdence que l'écart nterquartle est plus resserré pour le groupe que le groupe 1 donc les élèves du groupe ont globalement un nveau plus homogène que ceux de du groupe 1. On peut remarquer que 17 est une valeur atypque pour le groupe tands que le groupe 1 n'a pas de valeur atypque. La dstrbuton du groupe 1 est symetrque car la boîte est symetrque par rapport au segment de la médane tands que celle du groupe est asymetrque à gauche.

27 Fgure.4 Boîte à moustaches des Gr 1 et..4 Dagramme tge et feulle Un dagramme tge et feulle est une autre façon de résumer et représenter un ensemble de données de la dstrbuton d'une varable quanttatve. C'est un dagramme plus nstructf pour les bases de données relatvement pettes (mons de 100 untés). Il se stue à m chemn entre le tableau de dstrbuton et le graphque. Comment construre un dagramme tge et feulle? Séparer chaque nombre en une tge qu content tous les chres sauf le derner et une feulle, sot le derner chre. Les tges ont autant de chres que nécessare, alors que la feulle n'a qu'un seul chre. On place les tges sur une colonne vertcale avec la plus pette tge en haut. On écrt chaque feulle à drote de sa tge en ordre crossant. Notons qu'une valeur est répétée autant de fos qu'elle apparaît. Les avantages d'une telle présentaton sont multples : Toutes les valeurs y sont nommées et ordonnées Ce tracé ressemble quand on le tourne à un dagramme en bâtons. On peut y ajouter l'eectf de chaque tge. On peut y lre faclement le nombre de données, la valeur la plus grande, la plus pette, la plus fréquente ans que les éventuelles valeurs aberrantes. On peut repérer faclement la médane, les quartles, les décles. On peut remarquer la symétre ou l'asymétre (lorsque sa forme générale est désaxée). Exemple..6 : On consdère une sére de taux d'hémoglobne dans le sang (en g.l 1 ) mesuré chez des adultes présumés en bonne santé. La sére ordonnée est : Un tracé en tges et feulles donne : 3

28 Tge Feulle Eectfs On peut lre ans que la valeur 105 est la plus pette valeur qu semble être une valeur aberrante, que 179 la plus grande valeur, que 10 gure fos dans la sére, 138 gure 4 fos. Pour calculer la médane, on a N = 6 par et N = 31 = m = x (31) + x (3) = = 149.5, pour calculer le 1 er quartle, on a N N = 31 mpar et + 1 = 16 = Q 1 = x (16) = 133 et pour calculer le 3ème quartle, on a N 3 N = 31 mpar et + 1 = 47 = Q 3 = x (47) = 160. Un dagramme dos à dos de tge et feulle peut être employé pour comparer deux bases de données. C-dessous, nous représentons les notes sur 100 de deux groupes du cours de statstque d'un examen en utlsant le dagramme dos à dos de tge et feulle : Groupe A Groupe B Eectfs Feulle Tge Feulle Eectfs La varance et l'écart-type La varance est un résumé statstque qu mesure la concentraton ou la dsperson des observatons autour de la moyenne. L'écart-type permet d'avor une dée de la façon dont les valeurs de la sére s'écatent par rapport à la moyenne, c'est donc une mesure de dsperson. Un écart-type fable correspond à une sére concentrée autour de la moyenne Varable quanttatve dscrète La varance V (x) est la moyenne arthmétque des carrés des écarts des valeurs de la varable à la moyenne arthmétque V (x) = 1 n (x x) = f (x x) où N = n N 4

29 La racne carrée de la varance est appelée l'écart-type 1 σ(x) = n (x x) N = f (x x) Exemple..7 : Consdérons la dstrbuton suvante x n on a N = 31 et x = 3.58 V (x) = 4( ) + 8(0 3.58) + 4( ) ( ) + 3( ) + 3( ) 31 σ(x) = = 15.0 Relaton de Köng : n (x x) =..5. Varable quanttatve contnue = = ( ) n x Nx = V (x) = 1 n x x N La varance V (x) est la moyenne arthmétque des carrés des écarts des centres des classes à la moyenne arthmétque V (x) = 1 n (c x) = N f (c x) où c est le centre de la classe assocée à n La racne carrée de la varance est appelée l'écart-type 1 σ(x) = n (c x) N = f (c x) Exemple..8 : Reprenons la dstrbuton des salares mensuels. Classe Eectf fréquence fréquence cumulée n f F (x +1 ) ], 3] 15 0, 19 0, 19 ]3, 4] 0 0, 5 0, 44 ]4, 6] 0 0, 5 0, 69 ]6, 10] 4 0, 31 1 Total 79 1 on a x = 5.05 V (x) = 15( ) + 0( ) + 0(5 5.05) + 4(8 5.05) 79 = = σ(x) = =.118 Relaton de Köng : n (c x) = ( ) n c Nx = V (x) = 1 n c x N 5

30 ..6 Le c cent de varaton Tous les ndcateurs de dsperson que nous avons vu jusqu'à présent dépendent des untés de mesure de la varable. Ils ne permettent pas de comparer des dspersons de dstrbutons statstques hétérogènes. Le c cent de varaton, qu est un nombre sans dmenson, permet cette comparason lorsque les valeurs de la varable sont postves. Il s'écrt CV = σ(x) x S CV < 0, 5 alors la dsperson n'est pas mportante. S CV > 0, 5 alors la dsperson est mportante. Exemple..9 : Dans une maternté on a relevé le pods ( en kg ) à la nassance de 47 nouveau-nés. Les données collectées sont résumées dans le tableau suvant : classe n c n c (c x) (c x) n (c x) ], 5; 3, 0] 8, 75, 00 0, 73 0, 539 4, 63 ]3, 0; 3, 5] 15 3, 5 48, 75 0, 3 0, 059 0, 7935 ]3, 5; 4, 0] 0 3, 75 75, 00 0, 7 0, 079 1, 4580 ]4, 0; 4, 5] 4 4, 50 18, 00 0, 5 0, 704 1, 0816 Total , 75 7, , 75 7, 5963 x = = 3, 48, σ(x) = = 0, , 1616 = 0, 4019 et CV = = 0, , 48 Le c cent de varaton étant fable, le pods à la nassance est concentré autour de la moyenne...7 Moments Dénton..1 : Le moment d'ordre r d'une varable statstque est la quantté m r = 1 N Pour r = 0, m 0 = 1. n x r Pour r = 1, m 1 = x la moyenne arthmétque. ou m r = 1 n c r N où N = n Dénton.. : Le moment centré d'ordre r d'une varable est la quantté µ r = 1 n (x x) r ou µ r = 1 n (c x) r où N = N N n Pour r = 0, µ 0 = 1. Pour r = 1, µ 1 = 0 Pour r =, µ = V (x) la varance. 6

31 ..8 Changement d'orgne et d'unté..8.1 Changement d'orgne et d'unté Dénton..3 : On appelle changement d'orgne l'opératon consstant à ajouter la même quantté b IR à toutes les observatons : y = x + b, = 1,, n. On appelle changement d'unté l'opératon consstant à multpler par la même quantté a IR toutes les observatons : y = a x, = 1,, n. On appelle changement d'orgne et d'unté l'opératon consstant à multpler toutes les observatons par la même quantté a IR pus à ajouter la même quantté b IR à toutes les observatons : y = a x + b, = 1,, n. Théorème..1 : S on eectue un changement d'orgne et d'unté sur une varable X, alors Sa moyenne est aectée du même changement d'orgne et d'unté, y = a x + b Sa varance et son écart-type sont aectés par le changement d'unté et pas par le changement d'orgne, V y = a V x et σ y Vy = a σ x Preuve : S y = a x + b, alors y = 1 n V y = 1 n (a x + b) = a ( 1 n =1 (y y) = 1 n =1 x ) + b = a x + b =1 (a x + b ax b) = a 1 n =1 (x x) = a V x =1 Remarque : σ y = V y = a V x = a σ x Les paramètres de poston (mode, médane et moyenne) sont tous aectés par un changement d'orgne et d'unté. Les paramètres de dsperson sont tous aectés par un changement d'unté mas pas par un changement d'orgne (sauf le coecent de varaton)...8. Centrer et rédure une varable Centrer et rédure une varable statstque quanttatve X consste la remplacer par la varable : X X σ(x). X X pour la centrer (moyenne 0). La varable : X X a pour moyenne arthmétque 0 elle est σ(x) centré. Dvser par l'écart-type σ(x) pour la rédure (écart-type = 1). La varable X X a pour varance σ(x) et écart-type 1 elle est rédute. 7

32 .3 Parmètre de forme.3.1 Symétre et asymétre Une dstrbuton est dte symétrque s le mode, la médane et la moyenne sont confondus. Une dstrbuton qu n'est pas symétrque est dte asymétrque Remarque : Une varable statstque est symétrque s ses valeurs sont répartes de manère symétrque autour de la moyenne c'est à dre s le polygône des fréquences a la forme d'une clôche comme dans la gure c-après. Fgure.5 Cloche A la dérence de la médane et du mode, la moyenne arthmétque est fortement nuencée par les valeurs extrêmes. Lorsque les valeurs sont dstrbuées de manère symétrque, la moyenne arthmétque coïncde avec la médane et le mode. Lorsque la dstrbuton est asymétrque, la moyenne arthmétque dépasse la médane s les valeurs extrêmes sont élevées et se stue en dessous de la médane s les valeurs extrêmes sont basses. Une dstrbuton est dte asymétrque à drote, s la courbe du polygône des fréquences est étalée à drote, on a généralement : mode < médane < moyenne. Une dstrbuton est dte asymétrque à gauche, s la courbe du polygône des fréquences est étalée à gauche, on a généralement : moyenne < médane < mode. La gure c-dessous llustre ces dférents cas lorsque la dstrbuton ne présente qu'un seul mode. Fgure.6 symetre et asymetre 8

33 .3. Coecent d'asymétre le coecent d'asymétre a pour rôle de fournr une mesure de dssymétre d'une dstrbuton Coecent de d'asymétre de Pearson Le premer coecent d'asymétre de Pearson est basé sur une comparason de la moyenne et de la médane, et est normalsé par l'écart-type. Il est calculé à partr de la formule suvante : A P 1 = 3 x m σ où x est la moyenne, m la médane et σ l'écart-type. Lorsque la dstrbuton statstque est unmodale, on utlse le second coecent de Pearson basé sur une comparason de la moyenne et du mode, et est normalsé par l'écart-type. Il est calculé à partr de la formule suvante : A P = x m d σ où x est la moyenne, m d le mode et σ l'écart-type..3.. Coecent de d'asymétre de Yule Le coecent d'asymétre de Yule est basé sur les postons des tros quartle et est normalsé par l'écart nterquartle. Il est calculée à partr de la formule suvante : A Y = Q 1 + Q 3 Q R(Q) où Q 1, Q, Q 3 les 3 quartles, et R(Q) l'écart nterquartle Coecent de d'asymétre de Fsher Le coecent d'asymétre de Fsher est basé sur le moment d'ordre 3 et est normalsé par le cube de l'écart-type. Il est calculée à partr de la formule suvante : A F = µ 3 σ 3 où µ 3 le moment centré d'ordre 3, et σ l'écart-type. Tous les coecents d'asymetre ont les mêmes proprétés. S la dstrbuton est symétrque, le coecent est nul. On admettra que s le coecent de Fsher A F ] 0.1, 0.1[, la dstrbuton est symétrque. S la dstrbuton est asymétrque à drote (resp. à gauche) c'est à dre la courbe est étalée à drote (resp. à gauche), le coecent est postf (resp. négatf). Remarque : Les paramètres d'asymétre ne sont pas aectés par un changement d'unté ou d'orgne. Exemple.3.1 : On consdère la sére statstque suvante (masse en grammes des oeufs de poule d'un élevage). masse : x Eectf : n x V σ µ 3 m = Q m d Q 1 Q 3 R(Q) A P 1 A P A Y A F La dstrbuton des masses est asymetre à drote car les coecents d'asymetre sont postfs. 9

34 .3.3 Le Coecent d'aplatssement Le coecent d'aplatssement mesure le degré d'aplatssement d'une dstrbuton. On l'obtent à partr du moment centré d'ordre 4. Coecent d'aplatssement de Pearson β = µ 4 V (x) où V (x) est la varance et µ 4 le moment centré d'ordre 4 Coecent d'aplatssement de Fcher F = β 3 où β est le coecent d'aplatssement de Pearson 3 est le degré d'aplatssement d'une lo gaussenne centrée rédute. S F = 0, le polygone statstque de la varable centrée rédute X X σ qu'une courbe en cloche, on dt que la varable est mesokurtque. à le même aplatssement S F > 0, le polygone statstque de la varable centrée rédute est mons aplat qu'une courbe en cloche, la concentraton des valeurs de la sére autour de la moyenne est forte, on dt que la varable est leptokurtque. S F < 0, le polygone statstque de la varable centrée rédute est plus aplat qu'une courbe en cloche, la concentraton des valeurs autour de la moyenne est fable, on dt que la varable est platykurtque. Fgure.7 Applatssement Exemple.3. : Reprenons la dstrbuton des masse des oeufs de poule de l'exemple.3.1. µ 4 = , V (x) = 73.8, β = 3. et F = 0. > 0 = la varable est leptokurtque et le polygone statstque de la varable centrée rédute est mons applat qu'une courbe en cloche, la concentraton des valeurs de la sére autour de la moyenne est forte. 30

35 Fgure.8 Polygône des fréquences de la varable centrée rédute.4 Applcatons : Le théorème de Tchebychev Nous avons vu qu'l exste pluseurs mesures de postons et de dspersons. La moyenne est sans doute la mesure de poston la plus répandue alors que la varance et l'écart-type sont les mesures de dsperson les plus utlsées. Nous allons vor comment en n'utlsant que la moyenne et l'écart-type, l est possble d'explorer des données. Le théorème de Tchebychev permet d'évaluer le pourcentage des données qu se trouvent à k écarttypes de la moyenne c'est à dre le pourcentage des données appartenant à l'ntervalle [x k σ, x+ k σ], pour un enter k donné. Théorème.4.1 : Pour un enter k, au mons 100 (1 1 )% des observatons, d'une sére k de données, se trouvent à k écart-type de la moyenne de cette sére. Exemple.4.1 : Les notes de 100 étudants d'un contrôle de statstque ont une moyenne x = 14 avec un écart-type σ(x) = 1. comben d'étudants ont une note entre 1 et 16? Remarquons que 1 = x σ(x) et que 16 = x + σ(x). Ans, d'après le théorème de Tchebychev, le pourcentage d'étudants ayant obtenue une note entre 1 et 16 est supéreur ou égal à 100 (1 1 )% = 75%. Le pourcentage garant par le théorème de Tchebychev peut être amélorer sous certanes condtons. Règle Emprque S les observatons sont répartes de manère symétrque autour de la moyenne alors Approxmatvement 68% des valeurs sont à un écart-type de la moyenne. Approxmatvement 95% des valeurs sont à deux écart-type de la moyenne. Approxmatvement toutes les valeurs sont à tros écart-type de la moyenne. 31

36 Chaptre 3 Lasons entre deux varables statstques L'étude statstque peut se porter sur deux caractères présents dans tous les membres de la populaton. Ces deux caractères sont représentés par deux varables X et Y. On peut utlser l'nformaton dont on dspose pour étuder la lason qu exste éventuellement entre ces deux caractères. 3.1 Représentaton graphque du nuage de ponts Une étude smultanée sur deux varables quanttatves X et Y sur une populaton de n ndvdus a donné les dérents ponts de mesures : (x 1, y 1 ), (x, y ), (x 3, y 3 ),, (x n 1, y n 1 ), (x n, y n ) Ces données sont représentées par pares. le premer élément de la pare correspond à la valeur prse par la varable X et le second par Y. x k et y k k = 1,, n sont des valeurs observées. On représente une dstrbuton statstque à deux caractères quanttatfs par l'ensemble des ponts A k, de coordonnées (x k, y k ), k = 1 n, chaque ndvdu correspond à un pont du plan. On appelle nuage de ponts l'ensemble des ponts A k, de coordonnées (x k, y k ), k = 1,, n. La représentaton graphque du nuage de ponts est essentelle pour détermner s'l exste ou non une relaton entre les varables X et Y. On représente sur l'axe des abscsse les mesures x k, k = 1, n et sur l'axe des ordonnées les mesures y k, k = 1, n est le ponts A k correspond à la pare (x k, y k ). 3

37 Fgure 3.1 Nuage de ponts 3. Ajustement lnéare L'objectf est de mettre en évdence l'exstence d'une relaton entre deux varables quanttatves (contnues ou dscrètes). On cherche un modèle de la forme : Y = ax + b + ε où : Y est la varable dépendante. X est la varable explcatve (ndépendante). ε est l'erreur ntrodute par le modèle (varable centrée). a et b les paramètres du modèle avec a la pente de la drote d'ajustement et b l'ordonné à l'orgne. y k = a x k + b k = 1,, n les valeurs ajustées. e k = y k yk k = 1,, n les résdus Covarance et coecent de corrélaton La covarance des varables X et Y s'écrt : avec x = 1 n x k et y = 1 n Cov(x, y) = 1 n y k. (x k x)(y k y) La covarance dépend des untés de mesures dans lesquelles sont exprmées les varables. De même, on dént le coecent de corrélaton : ρ xy = Cov(x, y) σ(x) σ(y) avec σ(x) et σ(y) l'écart-type des varables X et Y qu est un nombre sans dmenson destné à mesurer l'ntensté de la lason entre les varatons de la varable X et celles de Y. On a toujours : 1 ρ xy 1 33