Statistiques. Ordonnées

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1 CHAPITRE 3 Statistiques Échauffez-vous! 1 Reliez chaque liste de nombres à la moyenne de ceux-ci. 1 ; 2 ; ; 1 ; 3 ; 5 ; ; 1,5 ; 2 ; 3, ; 19 ; ; 58 ; 32 ; a) Placez sur le graphique les points A(1 ; 2) et B(5 ; 4), puis tracez la droite (AB). b) Cochez les cases correspondant aux réponses exactes. Le coefficient directeur a et l ordonnée à l origine b de la droite (AB) sont : a = 0,5 et b = - 0,5 a = 0,5 et b = 0,5 a = 0,5 et b = 1,5 L équation réduite de la droite (AB) est : y = 0,5x - 0,5 y = 0,5x + 0,5 y = 0,5x + 1,5 c) Rayez les encadrés inexacts. 0,5 4,5 + 1,5 est égal / n est pas égal à 3,75. y Ordonnées x Abscisses Le point C(4,5 ; 3,75) appartient / n appartient pas à la droite (AB). d) Complétez, en faisant apparaitre sur le graphique les traits permettant les lectures. Le point d abscisse 2 appartenant à la droite (AB) a pour ordonnée 2,5 ; le point d ordonnée 3,5 appartenant à la droite (AB) a pour abscisse 4. A B Vocabulaire La moyenne de N nombres x 1, x 2,..., x N est égale au quotient de la somme de ces nombres par N : x 1 + x x N wx =. N Vocabulaire L équation réduite d une droite (non parallèle à l axe des ordonnées) est de la forme y = ax + b. a est le coefficient directeur de cette droite et b est son ordonnée à l origine

2 1 Séries statistiques à deux variables quantitatives 1. Représenter un nuage de points Un éditeur commercialise un logiciel. Voici, pour chacun des quatre derniers trimestres, les statistiques sur le nombre x i de démonstrations faites auprès des acheteurs potentiels de ce logiciel et le nombre y i de ventes, présentées de deux manières (graphique à compléter dans l activité) : Nombre de démonstrations, x i Nombre de ventes, y i Tableau de données Nuage de points L ensemble des quatre couples (11 ; 850), (14 ; 1 000), (16 ; 1 100) et (17 ; 1 250) issus du tableau est appelé série statistique à deux variables x et y (ou série statistique (x ; y), ou encore série statistique (x i )). L ensemble des quatre points de coordonnées (11 ; 850), (14 ; 1 000), (16 ; 1 100) et (17 ; 1 250) forme le nuage de points de cette série statistique. 900 Ventes, y Nombre de démontrations, x Activité 1 Cochez la case correspondant à la réponse exacte. 1. a) Pour 16 démonstrations effectuées, combien de logiciels ont-ils été vendus? b) Pour logiciels vendus, combien de démonstrations ont-elles été faites? Complétez sur le graphique le nuage de points de la série statistique (x ; y). 2. Calculer les coordonnées du point moyen d un nuage Le point moyen du nuage de points d une série statistique (x i ) est le point de coordonnées ( x x ; x y), où x x est la moyenne des nombres x i et x y la moyenne des nombres y i. Activité 2 1. Pour la série statistique du paragraphe 1, calculez x et x y. x = = 14,5 et 4 x y = = Cochez la case correspondant à la réponse exacte. Le point moyen a pour coordonnées : (14,5 ; 0) (14,5 ; 1 050) (1 050 ; 14,5) (1 050 ; 0) 3. Placez le point moyen sur le graphique

3 3. Comment représenter, sur tableur, le nuage de points d une série statistique à deux variables? Méthode 1 Étape 1 Ouvrir une feuille de calcul Entrer les titres et les données statistiques. Étape 2 Sélectionner les données statistiques Ouvrir l assistant graphique Choisir «Type de graphique», puis «Nuages de points» et le premier sous-type de graphique ; cliquer sur «Terminer». Étape 3 Améliorer la lecture en modifiant l échelle dans «Format de l axe» et en créant un quadrillage dans «Options du graphique». Étape 4 Ajouter les titres sur l axe des abscisses et sur l axe des ordonnées dans «Options du graphique». Le tableau suivant donne la population d un pays pour les six dernières années. Représentez sur tableur le nuage de points de la série statistique (x ; y), puis complétez le graphique suivant en reportant les trois points manquants. Solution Étape 1 On écrit les titres dans les cellules A1 et A2, puis les différentes années dans les cellules B1 à G1 et les effectifs dans les cellules B2 à G2. Étape 2 On sélectionne les cellules B1 à G2, puis, pour obtenir la figure, on choisit le «Type de graphique» Nuages de points. Étapes 3 et 4 En modifiant l échelle, en créant un quadrillage et en ajoutant les titres, on obtient le graphique suivant (à compléter). 40 chapitre 3 statistiques 45

4 2 Ajustement affine 1. Déterminer une droite d ajustement d un nuage de points Le gestionnaire d un lycée a tracé le nuage de points de la série statistique (x i ), où les valeurs x i sont les températures extérieures moyennes (en C) lors de 6 semaines, et les valeurs y i sont les consommations de fioul (en L) correspondantes de la chaudière. Les points de ce nuage étant approximativement alignés, il a aussi tracé à la main sur le graphique une droite «ajustant au plus près» les points du nuage. Cette droite est une droite d ajustement du nuage : les coordonnées (x i ) des points vérifient de façon approchée l équation y = ax + b de cette droite. La fonction affine f définie par f(x) = ax + b est un ajustement affine de la série statistique (x i ). Consommation de fioul (en L), y Température (en C), x Activité 1 Pour la série précédente, cochez la case correspondant à la réponse exacte. 1. Une droite d ajustement a été envisagée parce que les points du nuage sont approximativement alignés. Vrai Faux 2. a) Les coordonnées du point moyen du nuage sont : (235 ; 4,5) (4,5 ; 235) b) La droite d ajustement tracée passe par ce point. Vrai Faux 2. Réaliser une estimation en utilisant une droite d ajustement À l aide d un tracé ou d une équation d une droite d ajustement d une série statistique (x i ), on peut réaliser des estimations de valeurs de y, correspondant à des valeurs de x données : par interpolation lorsque la valeur donnée appartient à l intervalle des valeurs x i ; par extrapolation lorsque cette valeur est à l extérieur de cet intervalle. Activité 2 La droite d ajustement tracée au paragraphe 1 a pour équation y = - 20x Complétez, en utilisant le tracé de la droite. Pour x = 2, on lit y 285. Pour une semaine de température extérieure moyenne 2 C, la consommation de fioul estimée (par interpolation) est 285 L. Pour x = 9, on lit y 145. Pour une semaine de température extérieure moyenne 9 C, la consommation de fioul estimée (par extrapolation) est 145 L. 2. Complétez, en utilisant l équation de la droite. Pour x = 2, y = = 285. Pour x = 9, y = = Les résultats obtenus aux questions 1. et 2. sont-ils cohérents? Oui

5 3. Comment déterminer, à la calculatrice, l équation réduite d une droite d ajustement d un nuage de points? Méthode 2 Étape 1 Entrer les valeurs x i dans la liste 1, puis les valeurs y i dans la liste 2. Modèle Casio : MENU STAT EXE. Modèle TI : STAT ENTER. Étape 2 Déterminer les coefficients a et b de l équation y = ax + b de la droite. Modèle Casio : CALC SET et choisir List1 sur la ligne 2VAR XList et List2 sur la ligne 2VAR YList EXE REG X. Modèle TI : STAT CALC LinReg(ax+b) et écrire L1, L2 ENTER. On donne l évolution du nombre d internautes en France (en millions) de 2004 à Année, x i Nombre d internautes, y i 23,7 26,2 28,6 30, En admettant que les points du nuage de la série statistique (x i ) sont approximativement alignés, déterminez à la calculatrice une équation y = ax + b d une droite d ajustement (arrondir a à 10 4 près et b à l unité). Solution Étapes 1 et 2 On obtient a 2,848 6 et b La droite d ajustement a donc pour équation y = 2,848 6x Comment déterminer, avec un tableur, l équation réduite d une droite d ajustement d un nuage de points? Méthode 3 Étape 1 Entrer les valeurs x i et les valeurs y i dans les colonnes A et B. Étape 2 Déterminer le coefficient a de l équation y = ax + b de la droite, en entrant dans la cellule C1 la formule =DROITEREG(B1:B ;A1:A ) et en sélectionnant la plage des valeurs y i dans la colonne B, puis celle des valeurs x i dans la colonne A. Étape 3 Déterminer le coefficient b de l équation de la droite, en entrant dans la cellule C2 la formule =ORDONNEE.ORIGINE(B1:B ;A1:A ) et en sélectionnant la plage des valeurs y i dans la colonne B, puis celle des valeurs x i dans la colonne A. Reprenez l énoncé du paragraphe 3 ci-dessus. Solution Étapes 1 et 2 On entre les valeurs x i dans les cellules A1 à A6, les valeurs y i dans les cellules B1 à B6 et les formules =DROITEREG(B1:B6;A1:A6) dans la cellule C1, =ORDONNEE.ORIGINE(B1:B6 ; A1:A6) dans la cellule C2. Étape 3 On obtient a 2,848 6 et b La droite d ajustement a donc pour équation y = 2,848 6x chapitre 3 statistiques 42 47

6 Exercices et problèmes 1 1. Tableau de données Budget R et D (en milliers d euros), x i Chiffre d affaires (en milliers d euros), y i Total Moyenne a) Les coordonnées du point moyen du nuage de la série statistique sont (45 ; 165). b) Graphique Chiffre d affaires (en milliers d euros), y Nuage de points Budget R et D (en millers d euros), x 2. a) Les coordonnées du point moyen du nuage sont (2007 ; 56,0 %). b) Voir le graphique Nuage de points sur calculatrice 2. Les coordonnées du point moyen du nuage de la série statistique sont (1,3 ; 2,75) Nuages de points sur tableur 61 % 60 % Part des emballages de papier-carton, y 2. Coordonnées des points moyens 59 % 58 % 57 % 56 % 55 % 54 % 53 % 52 % 51 % 50 % 49 % 48 % Année, x En arrondissant l ordonnée à l unité, le point moyen de la série statistique (x ; y) a pour coordonnées (2007 ; 593) et le point moyen de la série statistique (x ; z) a pour coordonnées (2007 ; 668). 5 a) Visuellement, un ajustement affine apparaît envisageable, car les points du nuage sont approximativement alignés. b) Visuellement, un ajustement affine n apparaît pas envisageable, car les points du nuage sont loin d être alignés. c) Visuellement, un ajustement affine n apparaît pas envisageable, car les points du nuage sont loin d être alignés. d) Visuellement, un ajustement affine apparaît envisageable, car les points du nuage sont approximativement alignés. 43 chapitre 3 statistiques 43

7 6 On obtient a = 0,002 et b = 0,52. Une droite d ajustement a donc pour équation y = 0,002x + 0, et 2. Graphique 3. a) Pour x = 1 500, y = 0, ,466 5 = 1,291 5, soit environ 1,3 volt. Pour x = 2 500, y = 0, ,466 5 = 1,841 5, soit environ 1,8 volt. b) Pour x = lux et x = lux, il n y a pas de différence entre les résultats graphiques et les résultats obtenus par le calcul Tableau statistique Éclairement (en lux), x i 2. a) Graphique 2,8 2,4 2 1,6 1,2 Tension de sortie (en volts), y i 600 0, , , ,4 Tension de sortie (en volts), y 9 1. a) Nuage de points Production (en tonnes), y A Année, x 0,8 0, Éclairement (en lux), x b) Pour x = 1 500, on lit y 1,3. La tension de sortie correspondant à un éclairement de lux est 1,3 volt. Pour x = 2 500, on lit y 1,8. La tension de sortie correspondant à un éclairement de lux est 1,8 volt. b) Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont approximativement alignés. 2. a) Les coordonnées du point moyen A du nuage de points sont (5,5 ; 57,9). b) Voir le graphique. 3. a) Pour x = 11, on lit y 70,5. Une estimation de la production de l année 11 est 70,5 tonnes (voir le graphique pour les tracés). b) Pour x = 11, y = 2, ,2 = 70,5, soit 70,5 tonnes. 44

8 10 1. et 2. Graphique b) Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont approximativement alignés. 2. a) On obtient a = 270 et b = 190. La droite d ajustement correspondante a donc pour équation y = 270x b) Voir le graphique. 3. a) Pour x = 6, y = = La quantité d aluminium qui sera recyclée l année 6 peut être estimée à tonnes. b) Pour x = 6, on lit y 1 810, ce qui vérifie graphiquement le résultat précédent a) Tableau 3. a) Pour x = 0,82, y = 2,5 0,82 1,825 = 0,225. Pour une tension de 0,82 V, l intensité du courant qui traverse la diode est 0,225 A. Pour x = 0,88, y = 2,5 0,88 1,825 = 0,375. Pour une tension de 0,88 V, l intensité du courant qui traverse la diode est 0,375 A. b) Pour x = 0,82, on lit y 0,22. Pour x = 0,88, on lit y 0,37. b) Nuage de points sur tableur a) Nuage de points 2. a) Voir le graphique précédent. b) a 0,667 et b 0,000 à 0,001 près. Comme x = sin(i) et y = sin(r), on en déduit que l on peut écrire sin(r) = 0,667sin(i). 3. Ici n 1 = 1 et sin(r) = 0,667sin(i). On résout l équation 1 sin(i) = n 2 0,667sin(i), équivalente à n 2 = 1 0,667 1, chapitre 3 statistiques 45

9 13 Partie A 1. Nuage de points de la série (x i ) sur tableur 2. Les points du nuage étant loin d être alignés, un ajustement affine n est pas envisageable. Partie B 1. Les points du nuage apparaissent approximativement situés sur la courbe représentative de la fonction inverse. 2. Pour compléter le tableau précédent, on entre dans la cellule C2 la formule =1/B2 et on la recopie vers le bas jusqu à la cellule C7 en utilisant la poignée de remplissage. b) Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont approximativement alignés. c) Pour ajouter une droite d ajustement du nuage de points de la série statistique (x i ; z i ) et afficher une équation de cette droite, on sélectionne les points du nuage sur la figure, puis dans le menu «Graphique» on choisit «Ajouter une courbe de tendance» et le type «Linéaire», enfin on coche l option «Afficher l équation sur le graphique» et on entre la valeur 4 dans «Prévision» pour prolonger le tracé de la droite. 3. a) Pour représenter graphiquement le nuage de points de la série (x i ; z i ) sur le graphique précédent, on sélectionne les cellules C2 à C7, on clique successivement sur (copier), sur le graphique et sur (coller). Partie C Pour x = 10, z = 0, ,088 6 = 8, La population au bout de 10 heures peut être estimée à : y = 1 0,12 million. 8,

10 Comme à l écran Tracer une droite d ajustement d un nuage de points On s intéresse à l évolution de la subvention accordée par une entreprise à son club sportif les 4 dernières années. On désigne par x la variable dont les valeurs sont les années et par y la variable dont les valeurs sont les taux d évolution (en %), d une année à la suivante, du montant de la subvention. 1. On a obtenu la feuille de calcul ci-contre avec un tableur. Le montant initial de la subvention est Les cellules de la colonne C ont été mises au format pourcentage sans décimale. Cochez la formule entrée dans la cellule C3, puis recopiée jusqu à la cellule C6. =A3/A2 =(A3-A2)/A2 =(A3-A2)/A3 2. Sur le graphique ci-contre, obtenu avec le tableur, est représenté le nuage de points de la série statistique (x ; y). a) Parmi les formules suivantes, cochez celle qui permet d obtenir l abscisse x du point moyen M du nuage M dans la cellule B7, puis l ordonnée xy du point moyen M du nuage dans la cellule C7, en recopiant de B7 à C7. =MOYENNE(B1:B6) = MOYENNE(B3:B6) = MOYENNE(B) b) Placez le point moyen M sur le graphique, après avoir calculé ses coordonnées. wx = = 2,5 et wy = = 12,25. Ainsi, M(2,5 ; 12,25) a) Expliquez pourquoi l ajustement du nuage par une droite est pertinent. L a justement du nuage par une droite est pertinent, car les points du nuage sont approximativement alignés. b) On sait que le tableur permet d obtenir l équation d une droite d ajustement d un nuage de points. Il permet aussi d obtenir un tracé de cette droite et d afficher l équation y = ax + b. Sur le graphique précédent, on obtiendrait ainsi l équation y = - 3,7x + 21,5. Tracez la droite correspondante sur ce graphique. c) On admet que l ajustement par cette droite reste pertinent jusqu à l année 5. Estimez le taux d évolution du montant de la subvention de l année 4 à l année 5. Pour x = 5, y = 3 ; soit une hausse estimée à 3 %. En déduire une estimation du montant de la subvention l année ,03 = 4 892,5 ; soit un montant estimé à 4 892,50 e

11 Évaluation Nom Prénom Classe Date Exercice 1 5 points L évolution au fil des années du pourcentage de personnes âgées de 18 ans et plus disposant d au moins un micro-ordinateur à leur domicile est illustrée par le graphique ci-contre, sur lequel, les points du nuage étant approximativement alignés, figure le tracé d une droite d ajustement. En utilisant cette droite et en laissant apparents les traits utiles à la lecture, estimer graphiquement : a) le pourcentage de personnes disposant d au moins un micro-ordinateur en 2009 ; Pour x = 2009, on lit y 71 ; soit environ 71 % de personnes. b) la première année pour laquelle le pourcentage de personnes disposant d au moins un microordinateur a dépassé 44. Pour y = 44, on lit x 2002, 8. La première année est y x Exercice 2 5 points On reprend la situation de l exercice 1. La droite d ajustement représentée a pour équation y = 4,285 7x ,3. Utiliser cette équation pour calculer une estimation : a) de la proportion de personnes disposant d au moins un micro-ordinateur en 2009 ; Pour x = 2009, y = 4, ,3 = 70,617 1 ; soit environ 70,6 % de personnes. b) de la première année pour laquelle le pourcentage de personnes disposant d au moins un micro-ordinateur a dépassé 44. On résout l inéquation 4,285 7x 8 539,3 > 44, équivalente à 4,285 7x > 8 583,3, soit x > 8 583,3 4, Or, 8 583,3 4, ,78. L année estimée est donc chapitre 63 statistiques Statistiques 48 53

12 Exercice 3 10 points Un industriel a fait mener une étude visant à déterminer le nombre d acheteurs potentiels d un de ses produits, selon son prix. Les résultats sont regroupés dans le tableau. Nombre Prix (en euros), x i d acheteurs potentiels, y i a) Représenter sur le graphique le nuage de points de la série statistique (x i ). b) Indiquer pourquoi un ajustement affine est envisageable. Un ajustement affine est envisageable, car les points du nuage sont approximativement alignés. c) Déterminer, avec la calculatrice ou le tableur, les coordonnées du point moyen M du nuage et le placer sur le graphique. On obtient wx = 17,5 et wy = 190. Ainsi, les coordonnées du point moyen M du nuage sont (17,5 ; 190). 2. a) Déterminer avec la calculatrice ou le tableur les coefficients a et b de l équation y = ax + b d une droite d ajustement du nuage, puis écrire cette équation. On obtient a = 15,2 et b = 456. Une droite d ajustement a donc pour équation y = 15,2x b) Tracer cette droite d ajustement sur le graphique. 3. a) Utiliser cette équation pour estimer par le calcul le nombre d acheteurs potentiels pour un prix fixé à 19 euros. Pour x = 19, y = 15, = 167,2. On peut estimer à167 le nombre d acheteurs potentiels pour un prix fixé à 19 e. b) Vérifier graphiquement le résultat précédent (laisser apparents sur le graphique les traits utiles). Pour x = 19, on lit y 167, soit environ 167 acheteurs potentiels Nombre d acheteurs potentiels, y M Prix (en euros), x