DERIVES PRIMITIVES - EQUATIONS DIFFERENTIELLES - INTEGRALES
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- Solange Simon
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1 DERIVES PRIMITIVES - EQUATIONS DIFFERENTIELLES - INTEGRALES I) Dérivés : Propriétés : - Soit I u itervlle et f défiie sur I vec x 0 I : f x f(x f est dérivle sur x 0 : _ Si lim 0 ) x x0 = α, u réel fii. x x 0 f x _ Si lim 0 + f(x 0 ) 0 = β, vec β = f (x 0 ), u réel fii Avec = x x 0 _ Si f x 0 + = f x ε() Avec R tel que = f x 0 et ε 0 qud 0 O otiet doc ue Approximtio ffie de f : f x 0 + f x 0 + f x 0. Si f dérivle e x 0, lors ue tgte (T) à l coure C f u pts d scisse x 0 tq : Y T = f x 0 x x 0 + f(x 0 ) Si C f à ue tgte (T) u pts d scisse x 0, o prllèle à l xe des ordoées, lors f est dérivle Si f est dérivle e I, lors f est cotiue sur I. - f cotiue sur ;, et dérivle sur ; : Rolle : Si = f(), lors c ; tel que f c = 0. T.A.F (= th. d ccroissemet fiis) : c ; tel que f f =. f (c) - Vritio de f. Soit f dérivle sur I : Si f est ulle sur I lors f est costte Si f > 0 sur I lors f est strictemet croisste Si f < 0 sur I lors f est strictemet décroisste - Extrem : Si f s ule e chget de sige, lors f dmet u mximum ou u miimum e ce poit. Sur I, si f s ule e x 0 et chge de sige lors e x 0 u extremum locl à f Remrque : si f s ule ss chger de sige lors u poit d iflexio (tgete coupe C f ) - Iéglité des ccroissemets fiis : Soit f cotiue et dérivle sur ; : Si m f M, lors x < x < et x ; : x x m f x f(x ) x x M - Applictio à l coure : f x 0 = 0 tgete horizotle f x 0 = tgete de pete : y y 0 = (x x 0 ) Cocvité (= vers le hut) ; Covexité (= vers le s) : Cocve (resp. Covexe) : M; M sur C f ; l corde MM est toujours e dessous (resp. u dessus) de C f.
2 (x; x ) ds I, t 0; : f t x + t. x t f x + t. f(x ) (Resp. f t x + t. x t f x + t. f(x )) Si f est 2 fois dérivle sur I : f cocve (resp. covexe) f décroisste (resp. croisste) f < 0 (resp.f > 0) Ses de vritio : x α + f + x α + f + f Mximum f Miimum Dérivées successives : Dérivée iéme : f x = ( ) Foctio composées :! x + - Soit u et v, deux foctios : Si u est déf. sur I tel que u existe et I et si v est déf. sur J tel que v () existe et = u() J, doc si u I J lors : vou = u () v ou() Dérivées usuelles : f f coditios f f coditios k 0 R u + v u + v R x I =R u. v u. v + v. u R x. x I =R ; N k. u k. u R e x e x R e u u. e u R l (x) /x I =R + l (u) u /u R + x 2 x x x + I =R + N I =R u v v u. v v. u v 2 R cos (x) si (x) I =R u R ; N si (x) cos (x) I =R VoU U. V ou R t (x) + t (x)² I =R u u 2 u R + rccos (x) I =R ± rccos (u) u x² u² R ± rcsi (x) u I =R ± rcsi (u) x² u² R ± rct (x) u I =R rct (u) + x² + u² R v v 2 R
3 II) Formule de Tylor : Théorème de Tylor : f défiie sur ;, et ( + ) fois dérivle sur ; : f x 0 = f x f(x 0) x x 0 + ε(x 0 ) f x f x 0 + f x 0 (x x 0 ) Alors : c ; : f = k=0 k f k Loclemet : x 0 ; et x x 0 et x < c < x 0 : k! + ( ) + f + c +! f x = (x x 0 ) k f k x 0 + (x x 0 ) + f + c k=0 ted vers 0 Doc pproximtivemet : f x polyôme de d () k! +! Formule de Mc-Luri : Si x 0 = 0, l formule de Tylor pred le om de «formule de Mc-Luri» : f x = f 0 + xf 0 + x2f 2 2! f 0! + x + +! f + θx ; 0 < θ < L prtie priciple est u polyôme e x : 0 + x + 2 x² + + x de coefficiet k = f k 0 III) Développemet limité : Propriétés : f(x) dmet u DL d ordre e 0 f x = P x + x E(x) Avec E x 0 qud x 0 et P(x) : polyôme de degré - S il existe le DL est uique - Si f dmet u DL d ordre e 0, elle dmet u DL d ordre m <, oteu e pret les thermes de P de degré iférieur ou égl à m k! Démostrtio: Soit f vec u DL d ordre : f x = k=0 k. x k + x E(x) Avec E x 0 qud x 0 m Soit <, lors f x = k=0 k. x k + k=m+ k. x k + x. E(x) m k=0 k=m+ f x = k. x k + x m. k. x k m m k=0 f x = k. x k + x m. E (x) Et otos que E (x) vérifie lim x 0 E x = 0 Pr uicité, o otiet doc Le DL de f de d m e 0 + x ( m). E x - Si f est pire, l prtie polyomile e comporte que des thermes de degré pir. - Si f est impire, l prtie polyomile e comporte que des thermes de degré impire. Démostrtio : Supposos f pire : f x = k. x k + x. E(x) Mis f x = f x = k=0 k. ( x) k + ( x). E( x) f x = k=0 k. ( x) k + x. ( ) + E x Ted vers 0 qud x 0 k=0
4 Pr uicité : - Qud k est pire : k. x k = k. ( x) k doe : k = k - Qud k est impire : k. x k = k. ( x) k doe : k = 0 Lie vec Mc Luri : Mc Luri : f x = poly + reste Et reste = x + f + c +! vec c compris etre x et x 0 = 0 Ce reste peut ussi s écrire : x. x. f + c +! Hypothèse : f + (x) orée u voisige de 0 (ex : si cotiue) : Ds ce cs M R tel que : f + (c) < M c 0 0 x. f + (c) +! < x. M +! Doc, si x 0, x. f + (c) 0 +! Pr uicité, c est Le DL de f de d e 0. Théorème : si f est + fois dérivle sur ; vec f (+) orée sur ;. Alors so DL d ordre existe et est doée pr Mc Luri. Remrque : L pluprt des foctios que ous étudieros serot idéfiimet dérivle. DL usuel e 0 : - cos x = + 0 x² x ! ( )p x 2p. + 2p! x2p. E (x) - si x = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + + ( )p. - e x = + x + x² 2! + x 3 3! + + x! + x. E 3 (x) - l x + = 0 + x x 2 - ( + x) α = + α. x + DL e x 0 : 2 + x 3 3 x 4 α α x 2 2! x 2p + 2p+! + x2p+. E 2 (x) ( ). x + x. E 4 (x) + Théorème des gedrmes α α α 2 x 3 3! + + α α (α +)x! Avec : lim x 0 E x = 0 lim x 0 E 2 x = 0 lim x 0 E 3 x = 0 lim x 0 E 4 x = 0 lim x 0 E 5 x = 0 + x. E 5 (x) Si f est défiie u voisige d u poit x 0 (suf peut-être e x 0 ), le chgemet de vrile : u = x x 0 rmèe l étude de f(x) e x 0 à celle de f(x) = f(x 0 + u) e 0. Exemple : Au voisige de, le DL de l(x) est : l x = l + u = u u2 2! + u3 3! u4 4! + u4. ε(x) l x = x x 2 DL e ± : 2! + x 3 3! x 4 4! + x 4. ε(x) Avec lim x ε x = 0 De l même fço le chgemet de vrile : u = rmèe l étude de f(x) e ± à celle de f x = x f u e 0 : Nous pouvos doc, dorévt, étudier que les DL e 0.
5 Opértios : ) Trsformtios élémetires : - Le DL de x f(x) se déduit de celui de f(x) e remplçt, ds l prtie régulière, x pr x. - Le DL de x f(x) se déduit de celui de f(x) e multiplit l prtie régulière pr - Remplcer x pr x p ds l prtie régulière de f(x) DL d ordre p de l foctio g x = f(x p ) 2) Somme : Le DL d ue somme de deux foctios, d ordre, e 0, s otiet e pret pour prtie priciple l somme des prties priciples (l somme des restes formt u reste de même ordre) 3) Produit : Le DL du produit de deux foctios, d ordre, e 0, s otiet e multiplit les prties priciples etre elles et e e grdt que les thermes de degré iférieur ou égl à. 4) Quotiet : Si g(0) 0, le DL du quotiet de f pr g, d ordre, e 0, s otiet e effectut l divisio des prties priciples, suivt les puissces croisstes. 5) Foctio composée : Pour oteir le DL de gof e 0, coisst celui de f e 0 : f x = P x + x. ε (x), et celui de g e 0 :g u = Q u + u. ε 2 (x), (o suppose que f 0 = 0), o sustitue le polyôme P(x) à u ds l expressio de g(u), et o e grde que les thermes de degré. 6) Pr Dérivtio : Si l dérivée ( + ) éme de f est orée e 0, o otiet u DL d ordre ( ) e 0 de f e dérivt l prtie priciple du DL d ordre de f : Si f x = 0 + x + + x + x ε (x) lors f x = + 2 x + + x + x ε 2 (x) 7) Pr Itégrtio : Si f dmet ue primitive F (u voisige de 0), o u DL d ordre ( + ) de F e itégrt l prtie priciple du DL de f. Le terme costt vut F(0). IV) Primitives : Propriétés : - Soit f ue foctio déf. sur I : F est ue primitive de f F x = f(x), x I. Si f est cotiue sur I, lors f dmet des primitives sur I. Si F primitive de f, lors k R vec k = cste : G x = F x + k Si f dmet des primitives sur I, lors ue seule et uique primitive (F) s ule e α I tel que F α = 0. Si F primitive de f sur I, lors k R, k. F est ue primitive de k. f sur
6 Primitives usuelles : f F coditios f F coditios k k. x + C R u + v u + v + C R x + R x + + C N R. u. u + C R e x e x + C R U. V ou VoU + C R 2 x + C R + u Z. x u + + C u R x 2 + C x R+ u u 2. u + C R + cos (x + ) si x + u + C R u l u + C R + si (x + ) cos x + + C R u u l u + C R cos (x) si x + C R u. e u e u + C R si (x) cos x + C R u. u u C Z { } R t (x) l cos x + C π 2 ; π u + C 2 u² u V) Equtio différetielle : Résolutio ds R : - Soit (E 0 ): y = Esemle des solutios de E 0 : x x + k ; k R - Soit (E ): y = y Esemle des solutios de E : x ke x ; k R - Soit (E 2 ): y = y + Esemle des solutios de E 2 : x + k. e.x ; k R Si x 0 ; y 0 R², lors ue solutio uique de y = y + qui vérifie f x 0 = y 0 VI) Itégrles : Sert à clculer l ire coteue etre (Ox) et l coure F (= primitive de f) Clcules : - Soit D = M x; y x et 0 y f(x) et f cotiue sur ; : D = f(t)dt. u. = i j f est positive : f t. dt 0 Aire sous l courec f exprimée e u. (= uité d ire) c f est égtive : f t. dt 0 Si C ; : c f t. dt + f t. dt = f t. dt
7 Si x = 0, lors f t. dt Vleur moyee : f t. dt = 0 = F(t) = F F() ; vec F : primitive de f - Soit f cotiue sur ; : Vleur moyee : μ f = f t. dt Iéglité de l moyee : - Soit f cotiue et déf. sur I ; ; I² et m; M R² tels que m f(x) M : Formules : m( ) f x. dx M( ) - Soit f et g cotiue sur I, ; I² tels que : x I : g(x) f(x) lors Si α; β I², lors f x. dx Si k R : Itégrtio pr prtie : = f x. dx k. dx = k( ) g x. dx f x. dx αf + βg t. dt = α f t. dt + β g t. dt - Soit I u itervlle ; u; v dérivle sur I vec ; I² : u x. v x. dx = u x v(x) u x. v x. dx Clcule de volume : - Soit ; R² tels que et t ;, l sectio du solide pr le pl (oxy) dot l ire est exprimée pr f(t) : Volume du solide pr rottio utour de (ox) : V = π f(t) ². dt Méthode de clcul : - Pour les frctios rtioelles, l divisio euclidiee est à employer, ce qui implique : d (umérteur) < d (déomiteur) Sio, il fut utiliser l décompositio e élémet simple. - Itégrtio pr prtie pour produit de foctio. - Chgemet de vrile. - Utiliser les primitives usuelles.
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