EXERCICES DE GEOMETRIE BASES

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1 EXERES E GEETRE SES Exercice n 1 p. 222 Puisque et sont de même mesure, il en est de même pour les angles L et N. Notons x cet angle. Par suite, NL = N = 180 (90 + x) = 90 x. e même, NL = L = 180 (90 + x) = 90 x. n en déduit que ces angles sont égaux, donc que NL est isocèle en. Exercice n 5 p. 222 F est l image de E par la symétrie de centre, point d intersection des diagonales [] et []. Par suite, est le milieu de [EF], et comme c est aussi le milieu de [], il est immédiat que le quadrilatère EF est un parallélogramme. Exercice n 7 p. 223 Exercice n 2 p. 222 = = 120, donc les angles égaux du triangle isocèle en mesurent chacun ½ ( ) = ½ 60 = 30. e plus, = 180 ( ) = 30, donc E = = 60. Un triangle isocèle en dont l angle mesure 60 est un triangle équilatéral, donc E = 60. Enfin, E = + + E = = 180. est l angle plat, donc les points, et E sont bien alignés. Exercice n 3 p ,5 4,5 4,5 2,5 L aire du losange vaut 4 fois celle d un petit triangle. 4,5 2,5 Puisque celle d un petit triangle vaut = 5,625 2 cm 2. En conséquence, l aire du losange vaut 4 5,625 = 22,5 cm 2. Soit le point d intersection des droites (TP) et (RS). lors les angles PT et P sont égaux car opposés par le sommet. Par conséquent, avec les données de la figure, SP = SP + P = x + x = 2x. ais on a aussi SP = 180 ( ) = = 64. n en déduit que x = 32. Exercice n 9 p. 223 Exercice n 4 p. 222 F Soit le milieu de []. est un parallélogramme, donc ses diagonales [] et [] se coupent en leur milieu. E est un parallélogramme, donc ses diagonales [] et [EF] se coupent en leur milieu, donc aussi en. En particulier, les segments [] et [EF] se coupent en, qui est leur milieu commun, le quadrilatère EF est donc aussi un parallélogramme. E n constate déjà que les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur. e plus, les 4 angles sont droits : en effet, [] étant un diamètre du cercle et un point de ce cercle, est droit, tout comme puisque est aussi sur le cercle. n peut faire la même chose en disant que [] est un diamètre de cercle, et, deux points de ce cercle.

2 Exercice n 10 p. 223 du segment [PN] est la droite passant par son milieu et par. P N L angle vaut 30, l angle vaut 60 puisque le triangle est équilatéral. Par conséquent, l angle vaut 90 et est donc droit. r le cercle c de centre passant par passe aussi par puisque est équilatéral implique en particulier que =. n en déduit que la droite () est perpendiculaire au rayon [] du cercle c, c est la définition de la tangente. Exercice n 11 p. 223 a) [] et [] étant deux rayons du cercle c, on a directement que =, ce qui rend le triangle isocèle en. Par suite, on sait déjà que =. e même, [ ] et [ ] étant deux rayons du cercle c, on a directement que =, ce qui rend le triangle isocèle en. n sait donc que =. r = car ce sont deux angles opposés par le sommet. l s en suit que =. b) e l égalité précédente, puisque les points, et sont alignés, on peut affirmer que ces sont deux angles alternes-internes, et donc les droites () et ( ) sont parallèles. Exercice 14 p. 223 n se place dans le triangle. Par hypothèse, la perpendiculaire à () = () passant par, soit la hauteur issue de, et la perpendiculaire à () = () passant par, soit la hauteur issue de, se coupent en. est donc l orthocentre du triangle. n en déduit que la troisième hauteur issue de, donc () est perpendiculaire au dernier côté, à savoir (). Enfin, il suffit de remarquer qu un parallélogramme admet ses côtés opposés parallèles, donc les droites () et () sont parallèles. Puisque () est perpendiculaire à (), cette droite () est aussi perpendiculaire à (). c) La tangente à c en est perpendiculaire à (). La tangente à c en est perpendiculaire à ( ). ais les droites () et ( ) sont parallèles, donc deux droites perpendiculaires à ces droites parallèles sont parallèles entre elles, c est-à-dire que les tangentes à c en et à c en sont parallèles (sinon faire un petit dessin pour s en convaincre). Exercice 15 p. 223 E Exercice n 13 p. 223 a) représente le centre du cercle circonscrit, puisque le centre du cercle circonscrit est par définition de point de concours des trois médiatrices. b) après la définition, les trois médiatrices se coupent en le centre du cercle circonscrit, donc la médiatrice F

3 est le centre de gravité du triangle F. En effet, étant le milieu de [F] (par construction de la figure donnée dans l énoncé), () est la médiane issue de du triangle F. e plus, le quadrilatère FE étant un rectangle, ses diagonales se coupent en leur milieu, en particulier (E) coupe le côté [F] en son milieu, donc (E) est la médiane issue de du triangle F. Finalement, puisque est l intersection de deux médianes (E) et (), est le centre de gravité du triangle F. position de par rapport à et, il suffit alors de tracer une perpendiculaire à [] passant par, et de choisir l un des points d intersection avec le cercle pour point. b. Si = 3 cm et = 7 cm, on peut aussi construire le point. Pour cela, il suffit de tracer une parallèle à () distante de 3 cm par rapport à cette dernière, et de choisir l un des points d intersection avec le cercle comme point. Exercice 16 p. 223 ' c. Si = 4 cm et = 7 cm, on ne peut pas construire le point. En effet, la méthode précédente ne donne en aucun cas de point d intersection entre la parallèle et le cercle. ela peut s interpréter de la manière suivante : puisque = 7 cm, le rayon du cercle circonscrit est de 3,5 cm. > 3,5 cm, donc on ne peut pas trouver de tel point. G 1. n place le point, milieu de [G]. 2. après le cours, si désigne le milieu du côté [], on sait que le centre de gravité G se trouve sur le segment [ ] aux deux tiers du sommet. n place ainsi le point tel que G = G (on aura donc bien 2 cm que, G et sont alignés dans cet ordre, et G = 2 3 ). 3. après le point 2, est le milieu de [], on place donc le symétrique de par rapport à, et le triangle recherché est ainsi obtenu. Exercice n 23 p cm n note a l angle codé par un trait (donc la moitié de l angle ), et b la moitié de l angle, donc l angle codé par un trait double. En se plaçant dans le triangle, on sait que a + b = 180 donc a + b = 45 donc 2(a + b) = 90 4 cm donc + = 90 et donc = 180 ( + ) = = 90. Le triangle est donc bien rectangle en. Exercice n 24 p. 224 Notons déjà que si doit être un triangle rectangle en, alors [] est un diamètre du cercle circonscrit qui contiendra donc. Les trois figures associées se trouvent en-dessous des solutions a. Si = 6 cm et = 2 cm, on peut construire le point. En effet, ces informations nous donnent la

4 Exercice n 37 p. 225 Exercice 39 p. 225 ' d d 1. n commence par tracer le cercle de centre, de rayon assez grand pour pouvoir couper d en deux points distincts que l on note et. 2. n trace ensuite le cercle de centre et de rayon. 3. n continue avec le cercle de centre et de rayon = (à noter que les trois cercles ont donc le même rayon). 4. La deuxième intersection de ces deux derniers cercles est le point recherché (la première étant ). ' ' n commence par tracer la droite ( ) qui coupe d en un point nommé. onséquence : étant sur d, le symétrique de [ ] par rapport à d est [], et puisque [ ], on sait déjà que []. n trace ensuite la droite () qui coupe d en un point noté. onséquence : puisque est sur d, le symétrique de () = () par rapport à d est ( ), et puisque (), on sait aussi que ( ). après les deux conséquences ci-dessus, est l intersection des droites () et ( ), il suffit alors de les tracer pour déterminer la position du point. Un peu de théorie : et sont sur la droite d, donc les deux derniers cercles seront l image d eux-mêmes par la symétrie. r, on a vu dans le cours que l image d une intersection est l intersection des images, et puisque est un point d intersection des deux cercles, sera l autre point. Exercice n 40 p. 225 K Exercice n 38 p. 225 Première solution est un triangle isocèle en, donc la hauteur issue de en est aussi la médiatrice. Notons le pied de cette hauteur, de sorte que = et () (). étant le symétrique de par rapport à (), on a que () et =. Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, donc est un losange. Seconde solution n considère la symétrie s d axe (). Par cette symétrie, a pour image et a pour image (puisque ces deux points sont sur la droite de symétrie), et a pour image (d après l énoncé). Par conséquent, [] a pour image [] et [] a pour image [], et comme les longueurs sont conservées, on a = et =. r = car est isocèle en, donc = = =. Les quatre côtés ont même longueur, donc est un losange. Notons l intersection des droites (K) et (). l faut démontrer deux choses : que () (K) ; que =. Premier point Grâce au théorème des milieux (toutes les hypothèses sont vérifiées), on sait que (K) // (). r () est la hauteur issue de dans le triangle, donc () (), et donc () (K). Second point Puisque (K) // (), on peut appliquer la réciproque du théorème des milieux dans le triangle pour pouvoir affirmer que la droite (K) coupe [] en son milieu. est donc le milieu de [], donc =.

5 Exercice n 41 p. 226 n considère la symétrie s de centre. L image de (respectivement ) est (respectivement ), donc l image de () est (). r d passe par, donc son image par s est elle-même, c est-à-dire d. Puisque l image d une intersection est l intersection des images, on a que l image de, intersection de () et d, est N, intersection de () et d. Enfin, l image de [] sera sont [N] puisque admet pour image et a pour image N. n en déduit que = N. Exercice n 50 p. 226 a) Les angles et N interceptent le même arc Exercices d approfondissement Exercice n 80 p. 229 a) Par la translation de vecteur E, E a pour image, a pour image, et donc (E) a pour image la droite perpendiculaire à () passant par, et () a pour image la perpendiculaire à () passant par. L image de, intersection des droites (E) et (), est donc l orthocentre du triangle. b) Remarquons que (E) (), donc () () (en effet, le vecteur de la translation est toujours perpendiculaire à ()), et () () car () est la hauteur issue de, donc les points, et sont alignés. Exercice n 81 p. 229 onnons des noms aux différents points de la figure : L 41, ils ont donc même mesure, donc N = 60. e même, les angles et N interceptent le même arc, donc N = = 60. Enfin, pour les mêmes raisons, = = 60. b) N = N + N = = 120 et N + = = 180, ils sont donc bien supplémentaires. ls n interceptent par contre pas le même arc, puisque et N sont de part et d autre de la droite (). onclusion du b : e n est évidemment pas une démonstration, mais on pourrait conjecturer que si et N sont deux points qui n interceptent pas le même arc, alors + N = 180 c est-à-dire et N sont supplémentaires). Exercice n 52 p. 227 n commence par déterminer : = cos(41 ) 10 0,7547 7,55 cm. n détermine ensuite : = ,55 2 6,56 cm. n a rajouté trois points sur la figure. n va déterminer l angle L : n sait que N = 60 et N = 90, donc N = 30, ce qui implique que NL = = 50. r N = 180 ( N + N ) = = 40, d où L = 180 ( L + L ) = 180 ( LN + N ) = = 90. n va déterminer l angle N : n vient de déterminer que L = N = 40, donc = = 60. r = N = 30, donc = 180 ( ) = 180 ( ) = 90. Par l énoncé, (N) (). n vient aussi de montrer que (L) () et () (). Les droites (N), (L) et (), c est-à-dire d 1, d 2 et d 3 sont donc concourantes puisque ce sont les trois hauteurs du triangle. Le périmètre vaut donc p = 7,55 + 6, = 24,11 cm, 7,55 6,56 et l aire vaut a = = 24,764 24,76 cm 2. 2

6 Exercice n 82 p. 229 et d 4 seront aussi concourantes en un point, qui n est autre que le symétrique du point par rapport à S (en effet, on rappelle que l image d une intersection est l intersection des images). Exercice n 83 p. 229 K S Soient d la bissectrice de l angle et E le point d intersection de d avec le cercle se trouvant sur le petit arc. Faisons une figure pour récapituler ces informations : L E a) n utilise le théorème des milieux à plusieurs reprises : ans le triangle, (KL) coupe respectivement [] et [] en leurs milieux K et L, donc (KL) // () ; ans le triangle, () coupe respectivement [] et [] en leurs milieux et, donc () // () ; ans le triangle, (K) coupe respectivement [] et [] en leurs milieux et K, donc (K) // () ; ans le triangle, (L) coupe respectivement [] et [] en leurs milieux L et, donc (L) // (). es deux premiers points, on peut déduire que (KL) // (), et des deux derniers, (K) // (L). u final, les côtés opposés sont deux à deux parallèles, c est une condition suffisante pour affirmer que le quadrilatère KL est un parallélogramme. b) est le milieu de [], et la médiatrice de [] passe nécessairement par puisque et sont sur le même cercle de centre. où () est cette médiatrice, ce qui implique que () (). L image ( ) de () par la symétrie de centre S sera donc perpendiculaire à ( ). ais ( ) // () car une symétrie centrale transforme une droite en droite parallèle, donc ( ) (). Enfin, l image de par cette symétrie est K, puisque S est le centre du parallélogramme KL, donc ( ) est la droite perpendiculaire à () passant par K, c est-à-dire d 3. n montre de la même manière que l image de () est la perpendiculaire à () passant par L (c est-àdire d 4 ), que l image de (K) est la droite perpendiculaire à () passant par (c est-à-dire d 1 ), et que l image de (L) est la perpendiculaire à () passant par (c est-à-dire d 2 ). Les droites (), (), (K) et (L) sont concourantes en, donc les droites images d 1, d 2, d 3 Les angles E et E sont égaux, et =, donc est l image de par la symétrie d axe (E). Puisqu on a E = E et =, on a aussi E = E, et comme =, on a aussi que est l image de par la symétrie d axe (E). Par définition de la symétrie axiale, les droites () et () sont donc toutes les deux perpendiculaires à (E), donc parallèles entre elles. Exercice n 84 p. 229 a) nalyse : Les quatre points sont cocycliques. En effet, les triangles P et Q sont tous deux rectangles (respectivement en P et Q), et admettent [] comme hypoténuse commune. après un théorème du cours, P appartient au cercle de diamètre [], et Q vérifie la même propriété. onc les quatre points, P, Q et sont situés sur le même cercle de diamètre []. b) Synthèse : n trace d abord la droite (). n construit ensuite au compas la médiatrice du segment [], et on appelle le point d intersection entre cette médiatrice et (). n trace enfin le cercle de centre passant par, en notant P et Q les deux points d intersection avec le cercle c. Par le théorème réciproque de celui utilisé à la question a, on sait que le triangle P est rectangle car P se trouve sur le cercle de diamètre []. r [P] est un rayon de c, donc (P) est bien la tangente

7 en P au cercle c. n effectue le même raisonnement pour justifier que (Q) est bien la tangente en Q au cercle c. Exercice n 85 p. 229 nalyse : n suppose le problème résolu (pour cela, on fait une figure à main levée approximative, mais quand même assez précise pour pouvoir émettre une conjecture). Puisque est le milieu de [ ], la parallèle à () passant par coupe le troisième côté du triangle (donc ) en son milieu, sachant que est le point d intersection de d et d. puisque les points et sont fixes, le théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle nous permet d affirmer que lorsque décrit le cercle c, décrit aussi un cercle, celui de diamètre []. Remarque instructive : ette transformation s appelle une homothétie de centre et de rapport parce que, 2, sont alignés, et = 1 2 (autrement dit, la distance entre le centre et l image d un point mesure la moitié de la longueur du centre au point ). Synthèse : n trace la parallèle à d passant par. elle-ci coupe la droite d en un point noté (en effet, les droites d et d sont sécantes). Soit le symétrique de par rapport par rapport à, et le symétrique de par rapport à. n va montrer que est le milieu de [ ]. Pour cela, on se place dans le triangle. est le milieu de [] et ( ) est parallèle à d = ( ), donc (par le théorème des milieux), ( ) coupe le dernier côté [ ] en son milieu. Puisque ( ), c est lui le milieu!! Exercice n 86 p. 230 Les droites d et se coupent en un point noté. n trace la droite d, symétrique de d par rapport à. Si est un point quelconque de d, son image par cette symétrie vérifiera la propriété demandée, à savoir que soit la médiatrice de [ ] (caractérisation de la symétrie axiale). r doit aussi appartenir à la droite d, on en déduit que est le point d intersection entre d et d. n construit ensuite en tant que symétrique de par rapport à. Exercice n 87 p. 230 ' Soit un point quelconque sur le cercle c de diamètre []. Le triangle est donc rectangle en. Puisque est le milieu de [] et le milieu de [], la réciproque du théorème des milieux nous assure que ( ) // (), et donc ( ) ( ) car () ( ). Le triangle est donc rectangle en, et