OPERATIONS SUR LES NOMBRES : L ADDITION

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1 OPERATIONS SUR LES NOMBRES : L ADDITION Une opération ne porte jamais sur des ensembles mais sur leurs cardinaux. Elle est définie dans IN. Dans l ensemble IN des nombres naturels, l addition associe aux cardinaux de deux (ou plusieurs) ensembles le cardinal de la réunion de ces ensembles. Cette opération répond à la notion de la composition interne. L ADDITION DE NOMBRES ENTIERS a- Définition L addition dans IN est une loi de composition interne, notée + et définie par : Card A + Card B = Card (AUB) où A et B sont deux ensembles disjoints. Elle est associative, commutative et possède un élément neutre 0. On constate que ce cardinal dépend uniquement des cardinaux de chacun des ensembles si, et seulement si, ces ensembles sont disjoints, c est-à-dire si leur intersection est vide. Par exemple, on a : A = {a, b, m, n, p} et Card A = 5 B = {m, n, p} et Card B = 3 donc Card A + Card B = 8, mais Card (AUB) = 5 donc Card (AUB) < Card A + Card B. La somme de deux entiers naturels peut se définir de la manière suivante : c est le cardinal de l ensemble E, réunion de deux ou plusieurs ensembles disjoints. a. b. m. n. p. A B * * * * * * * * * Card E = (Card A + Card B) 9 = On peut dire que le cardinal 9 est la somme des cardinaux 4 et 5, et que l addition est l opération qui, au couple (4, 5), associe leur somme 9. C est donc une loi de composition interne dans IN. b- Propriétés L'addition est commutative : Quels que soient les nombres a et b, on a : a + b = b + a. add_1.doc 1

2 L'addition est associative : Quels que soient les nombres a, b, c, on a :a + (b + c) = (a + b) + c. Il existe, pour l'addition, un élément neutre : 0. Quel que soit le nombre naturel a, on a : a + 0 = 0 + a = a. LA TECHNIQUE OPERATOIRE DE L'ADDITION La technique opératoire de l'addition est fondée : - d'une part, sur les principes de la numération de position dans une base donnée - d'autre part, sur les propriétés des opérations dans IN. Par exemple, on calcule, en base de dix, la somme ( ). On a : 475 = 4 * * * = 2 * * * 10 La somme peut s'écrire : = 6 * * * 10 Mais, lorsque l'on travaille sur la numération de position en base de dix, il est indispensable de ne garder que des coefficients inférieurs à dix pour les diverses puissances de cette base. La décomposition suivante 11 en et 13 en est donc obligatoire, puis on écrit la somme sous la forme : = 7 * * * 10 C'est à dire, sous la forme habituelle : = 723 Lorsque l'on pose l'opération, les calculs peuvent être traduits de la façon suivante : (5 + 8) ( ) ( ) Dans la pratique, on emploie le principe des retenues et on écrit : add_1.doc 2

3 Objectifs La notion d addition au C E 1 1/ Situation de jeu : écrire tous les nombres de 0 à 20 sous la forme d'une somme de deux nombres. 2/ Construire la table de Pythagore. Reconnaître sur cette table la commutativité de l'addition et le rôle joué par le 0. 3/ Reconnaître l'associativité de l'addition. 4/ Reconnaître et utiliser la compatibilité de la relation d'ordre avec l'addition. 5/ Utiliser les tables et les propriétés de l'addition dans différents exercices. Matériel Pour le matériel, on utilise : - un jeu de 52 cartes auquel on a enlevé les figures (rois, dames, valets) - une feuille polycopiée représentant le tableau suivant : (tableau 1) joueur A joueur B 1re carte 2e carte 1re carte 2e carte - une feuille polycopiée qui sera utilisée collectivement (tableau 2) une feuille polycopiée où est présentée la table de Pythagore vierge Déroulement des activités 1/ Par groupe de 2, chacun tire 2 cartes et inscrit les nombres dans le tableau 1. Faire jouer plusieurs parties. A la fin, on déclare gagnant l'enfant qui aura gagné le plus de parties. add_1.doc 3

4 constitution d'un répertoire : On distribue une feuille polycopiée représentant le tableau 2. On exploite ensuite collectivement les résultats obtenus au cours du jeu précédent. Les résultats sont représentés dans le tableau. On demande aux enfants si certains ont obtenu 15 et comment ils l ont obtenu. (plusieurs réponses possibles : 7+8, 9+6) On précise avec eux la façon dont ils ont réalisé leur calcul, on dit que dans chaque cas on a additionné les deux nombres. Toutes les solutions vont être rassemblées dans le tableau 2. 2/ On veut faire construire la table aux enfants. Pour cela, on leur distribue la feuille comportant la table de Pythagore vierge, ils doivent maintenant la compléter. (leur préciser qu ils peuvent utiliser le répertoire constitué auparavant. Faire expliquer aux enfants comment ils procèdent pour compléter la table, puis analyser avec eux les différents procédés. Observation de la table : Les remarques des élèves sont exploitées pour expliquer la commutativité et le rôle joué par 0. Concernant la commutativité, on fera remarquer aux enfants que, dans chaque colonne du répertoire, on trouve des sommes du type a + b mais également des sommes du type b + a. En ce qui concerne le rôle du 0, on ne tiendra compte que de la première ligne et de la première colonne de la table. Associativité de l'addition On fixe au tableau trois cartes représentant un 8, un 7 et un 3. Demander aux élèves d'écrire la somme de ces trois cartes, puis de calculer cette somme. On va maintenant laisser les élèves expliquer la manière dont ils ont effectué leur calcul. La plupart d'entre eux procèdent d'une manière linéaire qui se traduit par : ou (8 + 7) + 3 = 18 \ / / \ / 18 Face à ce calcul, on va tenter de leur montrer qu'il y a une manière plus simple de calculer c'est à dire : ou 8 + (7 + 3) = 18 \ \ / \ / 18 On peut maintenant conclure par l'égalité suivante : (8 + 7) + 3 = 8 + (7 + 3) Addition de nombres Objectifs 1/ Maîtriser la technique opératoire de l addition de deux ou plusieurs nombres à deux chiffres (puis à trois chiffres). 2/ Appliquer cette technique à des exercices complémentaires (nombres à deux et à trois chiffres). add_1.doc 4

5 Déroulement des activités 1/ On propose le problème suivant : pour acheter un cadeau à leur mère, Marie et Pierre rassemblent leur argent de poche. Marie a 57 F et Pierre a 36 F. Combien d argent ont-ils ensemble? On laisse les enfants rechercher et calculer comme ils le désirent. Ensuite on exploite collectivement les différentes techniques de calcul réalisées. On écrit au tableau tout les calculs mais l on retient essentiellement trois méthodes : a- le calcul en ligne : = 93 b- l utilisation de l arbre de calcul : c- la technique opératoire 2/ Explication et consolidation de la technique opératoire Demander aux enfants qui ont eu recours à la technique opératoire d expliquer leur façon de procéder. - exploitation collective : on utilise le tableau suivant pour leur faire inscrire la somme d u Puis on se sert du tableau pour exprimer et faire répéter la démarche correspondant à l opération posée : - 7 plus 6 égale 13 - J écris 3 unités et je retiens 1 (une dizaine) - 1 plus 5 égale 6-6 plus 3 égale 9 - j écris 9 (neuf dizaines) Il est important d éviter l emploi de la conjonction «et» pour traduire le signe +. On envoie ensuite un élève au tableau pour qu il réalise le même type d exercice. On lui demande de poser l opération suivante Il doit l effectuer en récitant sa façon de calculer. (Reprendre plusieurs fois cet exercice visant essentiellement à un apprentissage correct du «récitatif» lié à la technique opératoire). Il est nécessaire de terminer cette phase par le calcul de différentes sommes à plusieurs nombres. On choisira, par exemple, la progression suivante : somme avec une retenue égale à 1 somme avec une retenue supérieure ou égale à 2 -exercices de complémentation : on propose aux élèves le tableau suivant : d u add_1.doc 5

6 On leur demande de représenter le nombre 23 avec des bandes correspondant à 10 (bandesdizaines) et avec des carrés correspondant à 1 (carrés-unités). Ils doivent maintenant analyser l écriture du nombre 47, à savoir 4 dizaines et 7 unités. Lorsqu ils ont réalisé ce travail, ils peuvent constituer la collection «manquante» en utilisant les bandes-dizaines et les carrés-unités. Il leur est maintenant possible de compléter le tableau et de vérifier en effectuant la somme. Il est important de reprendre plusieurs fois des exercices de complémentation qui seront tout d abord sans retenue puis on fera intervenir des retenues. Également, il est préférable de rappeler la technique opératoire sur des nombres à deux chiffres (technique déjà introduite au cours préparatoire). Au cours d une seconde séquence, on consolidera la technique opératoire en travaillant sur des nombres à trois chiffres. Ce travail pourra aboutir sur l étude des nombres de 100 à add_1.doc 6