Algèbre linéaire pour GM Jeudi 07 novembre 2013 Prof. A. Abdulle. Exercice 1 Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc :

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1 Algèbre linéaire pour GM Jeudi 07 novembre 2013 Prof A Abdulle EPFL Série 7 Corrigé Exercice 1 Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc : a b c a On a A1 A 2 A 3 A 4 B1 B 2 A1 B 1 + A 2 B 2 A 3 B 1 + A 4 B 2, donc b On a A1 A 2 A 3 B 1 B 2 B A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3, donc 4 8 c On a A1 A 2 B1 B 2 A1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2, donc

2 Exercice 2 a Montrer qu une matrice partitionnée triangulaire inférieure A11 0 A, A 21 A 22 avec A 11 matrice de taille n n et A 22 matrice de taille m m, est inversible si et seulement si A 11 et A 22 sont inversibles b Montrer que les matrices partitionnées I 0 U X I et V I Y, 0 I où I est la matrice identité n n, sont toujours inversibles Donner l inverse a En utilisant une des charactérisations des matrices inversibles nous déduisons respectant la forme triangulaire de A la matrice A de taille n + m n + m est inversible la matrice A a n positions pivots dans les n premières lignes et m positions pivots dans les m dernières lignes la matrice A a n positions pivots dans le bloc A 11 et m positions pivots dans les m dernières lignes la matrice A a n positions pivots situées dans le bloc A 11 et m positions pivots situées dans le bloc A 22 A 11 de taille n n, A 22 de taille m m sont inversibles b Première partie: U est une matrice partitionnée triangulaire inférieure que l on a étudiée dans la partie a de cet exercice Comme A 11 A 22 I, la matrice identité de taille n n, on déduit directement que U est inversible comme la matrice identité est inversible Calculons encore l inverse I 0 B1 B 2 X I B 3 B 4 B 1 B 2 XB 1 + B 3 XB 2 + B 4! I 0, 0 I donc on déduit successivement que B 1 I, B 2 0, B 3 X et B 4 I Finalement, on obtient 1 I 0 I 0 X I X I Deuxième partie: Nous observons que V T a la forme de la matrice U étudiée dans la partie précedente de cet exercice donc 1 I 0 I 0 V 1 T V T 1 Y T I Y T I Nous concluons que V 1 I Y 0 I 2

3 Exercice 3 Soient A 11 et A 22 des matrices carrées a On suppose que A 11 est inversible Déterminer X, Y et S satisfaisant A11 A A 12 I 0 A11 0 I Y, A 21 A 22 X I 0 S 0 I où le produit matriciel de droite est compatible avec la multiplication par bloc b On suppose que A 11 et A sont inversibles Montrer que S est inversible Remarque : La matrice S est appelée le complément de Schur a Admettons que A 11 est une matrice de taille n n et A 22 de taille m m Donc, la matrice A est de taille m + n m + n, A 21 de taille m n et A 12 de taille n m On calcule que I 0 I 0 A11 A 11 Y X I A S I Y 0 I X I A11 A 11 Y 0 S XA 11 XA 11 Y + S Successivement, on peut déduire que Y est de taille n m, X de taille m n et S de taille m m De plus, on remarque que Y A 1 11 A 12, X A 21 A 1 11, S A 22 A 21 A 1 11 A 12 b D abord, comme A 11 est inversible, la décomposition de la partie a est bien définie En utilisant, l exercice précédent on obtient I 0 I Y A11 0 A, X I 0 I 0 S où la partie gauche de l équation est un produit de matrices inversibles, donc la partie droite de l équation est également inversible Par l exercice 2, il est pour cela nécessaire que la matrice S soit inversible Exercice 4 i Calculer le déterminant suivant : ii Calculer les déterminants suivants : a b a b a b, a + b a + b a + b a b 0 a a + b c a b a 3

4 iii Calculer le déterminant des matrices suivantes Comment le déterminant dépend t-il de l angle ϕ? Pourquoi? cos ϕ sin ϕ A sin ϕ cos ϕ iv Soit A et B Calculer det AB i 11 Il est plus simple de développer par rapport à la deuxième ligne ii Premier déterminant: 0 car la troisième ligne est la somme des deux premières, second déterminant: a 3 iii det A cos 2 ϕ + sin 2 ϕ 1, est indépendant de l angle ϕ Toutes les matrices de rotation vérifient la propriété det A 1 voir aussi l exercice 5c iv det B 0, donc det AB det A det B 0 Exercice 5 Calculer le déterminant des matrices élémentaire suivantes Indiquer à quelles opérations élémentaires chaque matrice correspond A α 1, B , C α A 1, A ajoute à la quatrième ligne la troisième ligne multipliée par α, B 1, B échange les lignes 1 et 2, C α, C multiplie la première ligne par α Exercice 6 Soit A une matrice n n Montrer que si deux lignes de A sont identiques, alors det A 0 Que peut-on dire si deux colonnes sont identiques? Deux lignes de A sont identiques ssi deux colonnes de A T sont identiques Si deux colonnes de A T sont les même, alors les colonnes sont linéairement dépendantes, ainsi A T est non inversible, c-à-d det A T det A 0 On peut donc conclure dans tous les cas det A 0 Méthode 2: Échanger deux lignes ou colonnes de A multiplie le déterminant de A par 1 En échangeant deux lignes identiques ou colonnes de A, la matrice A ne change pas On a donc: det A det A Ainsi det A 0 4

5 Exercice 7 Soit A a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a Calculer les cofacteurs C 13, C 31, C 41, C 24 b Développer le déterminant en cofacteurs par rapport à la troisième ligne a b Exercice 8 Montrer: C det A a 24 a 32 a 41 + a 22 a 34 a 41 + a 24 a 31 a 42 a 21 a 34 a 42 a 22 a 31 a 44 + a 21 a 32 a 44 C det A a 14 a 23 a 42 + a 13 a 24 a 42 + a 14 a 22 a 43 a 12 a 24 a 43 a 13 a 22 a 44 + a 12 a 23 a 44 C 41 1 det A 41 1 a 14 a 23 a 32 + a 13 a 24 a 32 + a 14 a 22 a 33 a 12 a 24 a 33 a 13 a 22 a 34 + a 12 a 23 a 34 C det A a 13 a 32 a 41 + a 12 a 33 a 41 + a 13 a 31 a 42 a 11 a 33 a 42 a 12 a 31 a 43 + a 11 a 32 a 43 det A a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 + a 34 C 34 + a 31 det A 31 a 32 det A 32 + a 33 det A 33 a 34 det A 34 a Si A est une matrice inversible, alors det A 1 1 det A b Si A et Q sont des matrices inversibles de taille n n alors det QAQ 1 det A c Si U est une matrice carrée telle que U T U I alors det U ±1 d Si A est une matrice carrée telle que det A 3 0 alors A est non inversible a Soit I la matrice identité de taille n n Alors 1 det I det A 1 A det A 1 det A Ainsi det A 1 1 det A b C est une conséquence de a: det QAQ 1 det Q det A det Q 1 det Q det A 5 1 det Q det A

6 c De telle matrices U s appellent des matrices orthogonales On a 1 det I det U T U det U T det U det U 2 Ainsi det U 2 1 d où det U ±1 d On a det A 3 det A 3 Ainsi det A 3 0 ssi det A 0 ce qui équivaut au fait que la matrice A est non inversible Exercice 9 preuve du Thm 1 Sect 32 du cours Soit A une matrice carrée de taille n et E une matrice élémentaire de taille n Montrer det EA det E det A, où 1 si E est l operation "addition sur une ligne de A un multiple d une autre ligne de A ; det E 1 si E permute deux lignes de A; α si E multiplie une ligne de A par α On démontre le théoreme par récurrence sur la taille de la matrice On vérifie d abord a b le résultat pour une matrice A de taille 2 2 Les matrices élémentaires sont c d E 1 1 0, E α, E 3 α 0, E 4 1 α, E α 1 c d On calcule: det E 1 A det cb ad det A On vérifie de manière similaire a b le résultat pour les autres matrices élémentaires E 2,, E 5 On suppose que le résultat est vrai pour des matrices de taille k k où k 2 Soit n k + 1 et A une matrice carrée de taille n L opération associée à E modifie au plus deux lignes de la matrice A Comme n 3, il existe une ligne i de A qui n est pas modifiée par l opération E On note A ij la matrice obtenue à partir de A en supprimant la ligne i et la colonne j, et de même, on note B ij la matrice obtenue à partir de EA en supprimant la ligne i et la colonne j On développe en cofacteurs le déterminant de la matrice EA par rapport à la ligne i: detea a i1 1 i+1 det B i1 + + a in 1 i+n det B in On observe que la matrice B ij s obtient à partir de A ij en effectuant une opération élémentaire Par hypothèse de récurrence, on a donc det B ij ζ det A ij, avec ζ 1, 1 ou α respectivement selon la matrice E Ainsi, detea ζa i1 1 i+1 det A i1 + + ζa in 1 i+n det A in ζ det A En prenant en particulier A I n, on obtient det E 1, 1 ou α respectivement Le résultat detea det E det A est donc démontré pour des matrices de taille n, ce qui achève la démonstration par récurrence 6

7 Exercice 10 Résoudre les systèmes linéaires suivants en utilisant la règle de Cramer: a b x 1 2x 2 + x 3 0 2x 2 8x 3 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 9 x 1 + 4x 2 + x 3 1 2x 1 + 3x 2 + x 3 2 3x 1 + 7x 2 + 2x 3 1 a On écrit le système linéaire sous la forme Ax b On a det A 2, donc le système possède une unique solution, que l on calcule de la façon suivante Les trois composantes x i sont données par x i A ib, où A A i b est la matrice de taille 3 3 obtenue à partir de A en remplaçant la ième colonne dea par le vecteur b 29 On obtient x 1 58, x et x D où x b On procède de la même manière Cependant, det A 0, donc la matrice est non inversible et la règle de Cramer ne peut pas être appliquée Exercice 11 i Montrer que si A est une matrice de taille 2 2, alors l aire du parallélogramme déterminé par les colonnes de A est égale à det A Indication: Faire des opérations sur les colonnes de A ou les lignes de A T ii Soit a 1 et a 2 deux vecteurs non nuls de R 2 Montrer que l aire du parallélogramme délimité par les vecteurs a 1 et a 2 est la même que l aire du parallélogramme délimité par a 1 et a 2 + c a 1, où c R est un scalaire i Pour une matrice diagonale de taille 2 2 de la forme à u, v a 0 0 d on a det à ad et ad est clairement l aire du rectangle associé Alors on doit démontrer qu on peut transformer toutes les matrices A de taille 2 2 en une matrice diagonale sans changer l aire du parallélogramme associé ou det A On sait que les opérations élémentaires utilisées pour transformer A en une matrice diagonale opérations de types I et II ne changent pas det A Il suffit donc de démontrer l assertion de la question ii 7

8 ii L aire d un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur Les parallélogrammes ont la même base et une hauteur identique, donc la même aire: a2+ca1 a2 a1 Exercice 12 a Montrer que l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n, a 0 +a 1 t++a n t n, où a 0,, a n R est un espace vectoriel b Montrer que l ensemble des polynômes à coefficients réels est un espace vectoriel c Montrer que l ensemble des polynômes de degré 2 n est pas un espace vectoriel d Montrer que l ensemble des suites, y 3, y 2, y 1, y 0, y 1, y 2, avec y k R muni de l addition et la multiplication par un scalaire comme définies en cours est un espace vectoriel e Montrer que l espace vectoriel défini en a et b est un sous-espace vectoriel de l espace des fonctions f : R R muni de l addition et la multiplication par un scalaire comme définies en cours f Montrer que C R est un espace vectoriel muni de l addition et la multiplication par un scalaire, comme définies en cours g Montrer que C 1 R {f : R R, f est dérivable de dérivée continue} est un sousespace vectoriel de C R muni de l addition et la multiplication par un scalaire, comme définies en cours Un espace vectoriel réel est un ensemble non vide V d objets appelés vecteurs sur lesquels sont définies deux opérations: l addition et la multiplication par un scalaire V V V u, v u + v R V V a, u au Ces deux opérations doivent satisfaire les axiomes suivants pour tout u, v, w V et c, d R 8

9 1 u + v v + u 2 u + v + w u + v + w 3 Il existe un élément zéro 0 dans V tel que u + 0 u pour tout u 4 Il existe un élément u V tel que u + u 0 5 c u + v cu + cv 6 c + d u cu + du 7 c du cd u 8 1u u a On doit vérifier les 8 axiomes ci-dessus Pour l addition, on considère deux polynômes u et v donnés par a 0 + a 1 t + + a n t n et b 0 + b 1 t + + b n t n Alors u + v a 0 + a 1 t + + a n t n + b 0 + b 1 t + + b n t n a 0 + b 0 + a 1 + b 1 t + + a n + b n t n ce qui est bien un polynôme de degré n L élément zéro de l axiome 3 est donné par le polynôme nul u 0 c-à-d u 0 x Les autres propriétés s obtiennent de la même manière par calcul direct Note: Par convention, le degré du polynôme nul est, ceci pour avoir la propriété degréab degréa + degréb b On doit de nouveau montrer que les 8 axiomes ci-dessus sont vérifiés Pour l addition, on considère deux polynômes u et v donnés par a 0 + a 1 t + et b 0 +b 1 t+ Alors u+v a 0 + a 1 t + +b 0 + b 1 t + a 0 + b 0 +a 1 + b 1 t+ qui est de la même forme que u et donc un polynôme à coefficients réels L élément zéro de l axiome 3 est donné par le polynôme nul u 0 Les autres propriétés s obtiennent de la même manière par calcul direct c Il suffit de montrer qu on moins un des 8 axiomes ci-dessus n est pas vérifié L élément zéro devrait être le polynôme nul u 0, qui n est pas un polynôme de degré 2, et donc n appartient pas à l espace, ce qui contredit l axiome 3 Autre solutions Montrons que l addition n est pas à valeurs dans V on dit que l ensemble n est pas fermé par addition On considère deux polynômes u et v de degrés 2 donnés par a 0 + a 1 t + a 2 t 2 et b 0 + b 1 t + b 2 t 2 L ensemble de ces polynômes n est pas fermé par addition, comme le montre l exemple suivant: le polynôme x + x 2 + x x 2 2x est un polynôme de degré 1 et non 2 et par conséquent il n appartient pas à l espace d On doit à nouveau vérifier les 8 axiomes ci-dessus Pour l addition, on considère deux suites u :, y 1, y 0, y 1, et v :, z 1, z 0, z 1, Alors u+v, y 1, y 0, y 1, +, z 1, z 0, z 1,, y 1 + z 1, y 0 + z 0, y 1 + z 1, qui est une suite de la même forme que u et v L élément zéro est donné par la suite nulle v :, 0, 0, 0, L opposé de u est u :, y 1, y 0, y 1, Les autres axiomes s obtiennent immédiatement avec la même technique 9

10 e Un sous-ensemble H d un espace vectoriel V est un sous-espace vectoriel si les propriétés suivantes sont vérifiées i Le vecteur nul de V est dans H ii H est fermé pour la addition C-à-d, pour tout u et v dans H, la somme u + v est dans H iii H est fermé pour la multiplication par un scalaire C-à-d pour tout u H et c R le vecteur cu est dans H D abord, l espace des fonctions polynomiales est un sous-ensemble de l espace des fonctions Ensuite, on doit vérifier la propriété i, les autres propriétés ii et iii ayant déjà été vérifiées L élément zéro de l espace des fonctions f : R R est donné par la fonction nulle f 0, qui peut être vue comme le polynôme nul, qui appartient bien à l espace des polynômes f On doit encore vérifier les 8 axiomes Par le cours d analyse, on sait que la somme de deux fonctions continues est continue, de même pour le produit d une fonction continue par un scalaire L élément nul est donné par la fonction nulle f 0 qui est bien continue, et les autres axiomes sont vérifiés de la même manière g On doit encore vérifier les propriétés énoncées au e i Le vecteur nul de C R est donné par la fonction nulle f 0, qui est différentiable et donc aussi dans C 1 R ii H est fermé pour l addition On sait par le cours d analyse que la somme de deux fonctions de C 1 R est encore dans C 1 R iii De même, H est fermé pour la multiplication par un scalaire Exercice 13 Indiquer pour chaque énoncé s il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse a Si B est obtenue en intervertissant deux lignes de A, alors det B det A b Si les colonnes de A sont linéairement dépendantes, alors det A 0 c Le déterminant de A est le produit des éléments diagonaux de A d Soit A une matrice carrée telle que deta 13 0 Alors A est inversible Vrai: b Faux: a, c, d Exercice 14 Indiquer pour chaque énoncé s il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse a Si deux lignes d une matrice de taille 7 7 sont les mêmes, alors det A 0 b Si A est une matrice carrée dont le déterminant vaut 2, alors deta

11 c Si A et B sont des matrices de taille n n telles que det A 2 et det B 5, alors deta + B 7 d Si A est une matrice carrée triangulaire inférieure, alors A est inversible Vrai: a Faux: b, c, d Informations générales, séries et corrigés: cf Les exercices de type vrai ou faux proviennent du livre: DC Lay Algèbre linéaire : théorie, exercices et applications De Boeck, Bruxelles,