LES DECIMAUX RELATIFS

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1 Cours de Mr Jules Classe de 4 ème page 1 LES DECIMAUX RELATIFS Voici le premier chapitre d une longue série à succès. Lisez les attentivement. Appelez moi quand vous ne comprenez pas (en n oubliant pas que je ne peux être partout à la fois!). Remplissez tous les trous (au crayon à papier plutôt). Ecrivez proprement et pas trop gros. Une fois chez vous, apprenez ce cours (tout ce qui est encadré ou en gras doit être su par cœur!). N hésitez pas à utiliser de la couleur (stabilo) et à comparer les cours avec ceux du livre. I. LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS : A. Ecriture des nombres (rappels de 6 ème ) : Dans le monde d aujourd hui, nous écrivons presque tous les nombres avec les. indoarabes. Combien y a-t-il de chiffres indoarabes? Citez les tous :.. Citez un nombre qui ne s écrit pas avec les chiffres indoarabes.. Existe-t-il d autres chiffres que les chiffres indoarabes? Lesquels?. Ainsi donc, il ne faut pas confondre nombres et chiffres : «les lettres sont aux mots ce que les.. sont aux...» Pour pouvoir écrire une infinité de nombres avec un nombre fini de signes (les 10 chiffres), l Homme a construit petit à petit un système d écriture qui repose sur ces 10 chiffres et en particulier le 0. Cela s est fait en Inde (du 3 ème s. av. JC au 9 ème s. ap. JC). Puis il y a eu passage à Bagdad de ce système aux Arabes au 9 ème s.. Enfin, ce système s est propagé en Occident entre les 10 ème et 13 ème siècles. (grâce aux croisades notamment et aux traductions par les universités naissantes d œuvres arabes 1 qui étaient elles même issues d œuvres grecques ou indiennes). Ce système s appelle : La Numération Décimale (ou écriture décimale). C est un système de position (un chiffre n a pas la même valeur suivant sa place dans l écriture du nombre), à base 10 (chaque chiffre représente des unités ou des. ou des.. etc etc). Le zéro 0, peut représenter un nombre mais aussi le signe qui indique l absence d unités ou de dizaines ou de dixièmes etc, dans l écriture décimale. B. Définition (rappels de 5 ème ) : Un nombre décimal (sous entendu relatif) est un nombre composé de deux parties : Un signe ( + ou ) qui indique que le nombre est plus grand ou plus petit que 0. Une partie chiffre «finie», entière ou à virgule, qui indique l'écart avec le nombre 0. Ce nombre placé après le signe porte le nom de distance à 0 ( ou valeur absolue). Tous les nombres entiers sont-ils des décimaux relatifs? ex : 2 peut s écrire Voici une liste de nombres, barrez ceux qui ne sont pas des nombres décimaux relatifs : 5 π ,2424 0, Vocabulaire : 2 nbs de même distance à 0 mais non de même signe sont dits Exemple?.. 1 Citons l un des chefs d œuvre de l Humanité : «Al-jabr wa l muqâbala» écrit par le mathématicien arabe Al Khwarizmi. Ce livre pose le socle de l algèbre (qui vient de Al-jabr) et donc des maths modernes, telles que nous les connaissons

2 Cours de Mr Jules Classe de 4 ème page 2 II. ADDITION DE 2 DECIMAUX RELATIFS (5EME) : A. De même signe : Règle : La somme de deux décimaux de même signe aura : pour signe : le signe commun. pour distance à zéro : la somme des distances à zéro. Exemples : (+2) + (+3) =. (-5) + (-4) =.. B. De signes contraires : Règle : La somme de deux décimaux de signe contraire aura : pour signe : le signe de celui qui a la plus grande distance à 0 pour distance à 0 : la différence de la plus grande distance à 0 avec la plus petite. Cas particulier très important : La somme de deux nombres opposés est! Exemples : (-3) + (+9) =.. (+7) + ( - 4) =. (+12,217) + (-12,217) =. III. SOUSTRACTION DE 2 DECIMAUX RELATIFS (5EME) : Soustraire un nombre revient à additionner son.. Exemples : (-2,5) (+9,5) = (-2,5) +.. =.. (+3,7) (- 8,3) = +.. = (- 2,1) (+2,1) =.. = (+5,2) (+5,2) =! (-3,1247) (-3,1247) =! IV. SIMPLIFICATIONS DES ECRITURES POUR L ADDITION ET LA SOUSTRACTION (5EME). Conventions : On peut supprimer le signe + et les ( ) des nombres positifs. On peut supprimer les ( ) du premier terme d une expression. Exemple : (-2) + ( +3) peut s écrire.. (+3) (+6) peut s écrire Finalement, d après les règles de calculs pour l addition et la soustraction et les conventions ci dessus, on utilisera systématiquement les règles de simplifications suivantes : L écriture +(+ x) est remplacée par l écriture + x L écriture (- x) est remplacée par l écriture + x L écriture + ( - x) est remplacée par l écriture - x L écriture (+ x) est remplacée par l écriture - x Règles rappelées par Simon Stevin dans son Arithmétique (1625). Exercice : simplifier les écritures puis calculer : (+3) (-6) = +(-3) (+6) = - 2 -

3 Cours de Mr Jules Classe de 4 ème page 3 J en profite pour rappeler deux autres conventions d écriture qu il faudra appliquer évidemment : Il doit toujours y avoir quelque chose écrit à droite d un signe égal. Deux signes opératoires ne peuvent jamais être écrits l un à côté de l autre sans parenthèses. Exemple : voici le début d un calcul, corriger les fautes d écriture et terminer le calcul: = + ( - 3) = =. = V. SOMMES ALGEBRIQUES. A. Définition : Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions. Comme nous l'avons vu, une soustraction peut remplacer une addition et inversement (avec des nombres de signes différents). Par exemple : (+ 7) (- 3) = (+ 7) + (+ 3). Il est donc inutile de faire la différence entre une addition et une soustraction : c'est pourquoi on parle de sommes algébriques. Dans une somme algébrique, on peut donc avoir au choix : une suite d'additions une suite de soustractions une suite d'additions et de soustractions une suite de nombres relatifs dans laquelle les signes de l'addition et les parenthèses sont sousentendus. Voici le même exemple écrit sous 4 formes différentes : suite d'additions : (+ 24) + (- 12) + (- 9) + (+ 34) + ( - 25) + (+ 42) + (- 1) suite de soustractions : (+ 24) (+ 12) (+ 9) (- 34) (+ 25) (- 42) (+ 1) Suite d additions et de soustractions : (+ 24) + (- 12) (+ 9) (- 34) + ( - 25) (- 42) + (- 1) suite de nombres relatifs : C'est la dernière forme qui est la plus simple d'écriture : on l'appelle la forme simplifiée de la somme algébrique. Essayez d expliquer pourquoi. B. Changement de l ordre des termes dans une somme algébrique : Ouh là! Je vous vois déjà changer l ordre des termes pour effectuer des regroupements judicieux. On a le droit, mais pas n importe comment évidemment! Et comme vous aimez trop le n importe comment Soit une somme algébrique : Règle : On pourra changer l ordre de ses termes que lorsqu elle est sous forme simplifiée! Règle : Dans ce cas, lorsqu on change un terme de place, on n oublie surtout pas de prendre son signe avec lui! Il faut toujours tenir compte du signe devant un nombre. Exemple : se transforme si on veut en et non pas en (faux) Exercice : soit 13 (-15) 13 (-14). Echanger les 1 er et le 4 ème termes de place ainsi que les 2 ème et 3 ème, puis calculer. R = 29 (simplifiez avant de changer l ordre!) - 3 -

4 Cours de Mr Jules Classe de 4 ème page 4 C. Une méthode de calcul meilleure que les autres : Pour calculer une somme algébrique de plus de deux nombres, toutes les méthodes qui donnent le bon résultat sont correctes; mais en voici trois assez fréquemment utilisées : somme à calculer méthode 1 : par calculs en chaîne (+ 12) + (+ 5) + (- 8) + (- 15) + (+ 9) + (- 24) On transforme d abord les soustractions (si il en a) en additions. Ici il n y en n a pas. = (+ 17) + (- 8) + (- 15) + (+ 9) + (- 24) On a calculé la somme des deux premiers termes. = (+ 9) + (- 15) + (+ 9) + (- 24) On a calculé la somme des deux premiers termes. = (- 6) + (+ 9) + (- 24) Et ainsi de suite... = (+ 3) + ( - 24) = - 21 somme à calculer méthode 2 : par regroupements (+ 12) + (+ 5) + (- 8) + (- 15) + (+ 9) + (- 24) On transforme d abord les soustractions (si il en a) en additions. Ici il n y en n a pas. = (+ 12) + (+ 5) + (+ 9) + (- 8) + (- 15) + (- 24) On regroupe les positifs et les négatifs. = [+ ( )] + [- ( )] On calcule la somme des positifs et la somme des négatifs. = (+ 26) + (- 47) Il reste une addition de deux nombres de signes contraires. = - (47 26) que l'on effectue. = - 21 somme à calculer (+ 12) + (+ 5) + (- 8) + (- 15) + (+ 9) + (- 24) = méthode 3 : par simplifications d écriture On simplifie les écritures en appliquant les règles de simplifications. = On effectue les calculs de la gauche vers la droite. = = etc etc etc Et ainsi de suite = - 21 Commentaires : La méthode 1 nécessite juste de connaître les règles d addition et la transformation de soustraction en addition. C est la méthode la plus simpliste! La méthode 2, un peu plus évoluée, nécessite en plus de savoir regrouper correctement des termes. Elle reste compliquée. La méthode 3, la plus évoluée, la plus puissante et la plus simple finalement, nécessite de connaître juste les règles de simplifications d écriture et de savoir calculer des additions et soustractions. C est la meilleure et celle qu on utilisera le plus souvent, presque systématiquement. Remarque : Après la simplification d écriture, on peut, au lieu de commencer les calculs en chaîne, changer l ordre des termes en faisant bien attention à déplacer chaque nombre avec son signe. Cela peut servir à faire des regroupements judicieux (nombres qui vont s annuler, regroupements donnant de petits résultats ) Exemple : +(-99) 13 + (+30,7) (-13) 10, = , , on a simplifié. = ,7 10, en gras, les nombres qui ont bougé. = on calcule par paire (attention pour la dernière paire, on a et non On tient tjs compte du signe devant chq nb!). = 19 Au final, je ne vois pas de façon plus simple pour effectuer ce calcul

5 Cours de Mr Jules Classe de 4 ème page 5 Exercice 1 : Simplifier les écritures puis calculer : A = (+7) + (-3) (-4) (+5) (+9) + (+1) = R = -5 B = (-48) + (-18) 11 (-48) (-18) (-11) = R = 0 Exercice 2 : Simplifier les écritures puis calculer en regroupant judicieusement : C = (-43) + (-19,5) (-49) (+33) (+0,5) = R = -47 D = (-36,6) (-53) (-16,6) (+14) = R = 19 Exercice 3 : Voici un exercice (rédigé par un élève moyen) bourré de fautes. Etes vous capable de les expliquer puis de les corriger? E = (-23) 13 1 Meuhh. Tro easy c que donne le prof! Y nous prends pour des gogol ou koi? = j ai simplifier le premier terme et j ait calculés le dexième et le 3 ème termes. = -11 g kalqlé les terme tougether. Twou fingers in the baba! F = -(+12) 13 + (-15) + 12 Eh! Oh! Mossieur, vous nous prenait pour des louzdés ou koi? = J aient simplifier, facil. = Ptit tour de passpass entre les terme n 2 et n 4, ni vu ni konnu. = Pour : vu kil ont ensembles même signe pareils en commun, j ai répercuté les 2 distanses vers 0 entre elles ce qui te donne 24. Ai je besoin que j explique pour l autre et cela dans l évidence (attention, être évident est trompeur!) me donnes 28. = 40 Voilà le travail, sufit de dmander. Yo! Exercice 4 : On donne x = +5 et y = - 2,5. Calculer : x + y = (+5) + (-2,5) = 5 2,5 = 2,5 (on remplace, simplifie puis calcule, toujours la même méthode!) x y = - x + y = - x y = Exercice 5 : On donne x = + 7, y = - 5 et z = - 2. Calculer : ( x y ) z = x (y z) = (-x + y) + z = -x + (y z) = - 5 -

6 Cours de Mr Jules Classe de 4 ème page 6 VI. MULTIPLICATION DE NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. A. Produit de 2 décimaux relatifs : Voir activités p. Règle : Le produit de deux décimaux relatifs a : pour signe : soit.lorsque les deux facteurs sont de même signe..lorsque les deux facteurs sont de signe différent. pour distance à 0 : le produit des deux..des deux facteurs. Exemples : (+ 2) (+8) = (- 5) ( + 0,1) = (- 2,5) (+4) = (- 0,5) (- 100) = Propriétés : Dans une multiplication, l ordre des facteurs ne compte pas. A fortiori 2, dans une suite de multiplications, ce qui permettra de faire des regroupements judicieux. Exemples : 25 3,55 4 = 1,5 0, = Simplifications et conventions d écriture : on peut encore une fois supprimer les signes + et les ( ) des nombres de signe.. attention, 2 signes ne peuvent toujours pas être écrits directement l un à côté de l autre sans parenthèses. Exemple : corrigez et simplifier l écriture (+2) - 3 (+6) (-2) = B. Produit de plusieurs décimaux relatifs : Règle : Le produit de plusieurs décimaux relatifs a : pour signe : soit.lorsqu il y a un nombre.de facteurs négatifs..lorsqu il y a un nombre.de facteurs négatifs. pour distance à 0 : le produit des..de tous les facteurs (en faisant des regroupements judicieux si possible) Exemple : (+ 2) 3 (- 1) (-2) =.. (- 123,27) 4 (- 0,5) = Remarque : Les signes + des facteurs positifs n interviennent pas dans la recherche du signe final du produit. VII. DIVISION PAR UN NOMBRE DECIMAL RELATIF NON NUL. Voir activité p Règle : Le quotient d un décimal relatif par un décimal relatif non nul admet : pour signe : soit.lorsque les deux facteurs sont de même signe..lorsque les deux facteurs sont de signe différent. pour distance à 0 : le quotient des deux..des deux facteurs. Exemples : 6 (-3) =. ( - 1,2) (-4) = 2 What does it mean? - 6 -

7 Cours de Mr Jules Classe de 4 ème page 7 Remarque : Pourquoi la règle des signes de la multiplication s applique aussi au quotient? Parce qu en fait, diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse! Ex : -6 0,5 = -6 2 = Simplification d écriture : on remplacera toujours le signe de la division par une barre de fraction. VIII. REGLES DE PRIORITE. A. Calculs sans parenthèses : La multiplication (donc la division) est toujours.. sur l addition (donc aussi sur la soustraction). Exemples : (+6) (-6) (+3) = (- 2) 6 + ( - 9) : ( - 3) = Conséquence : Inutile de mettre des parenthèses autour d un produit! Exercice : simplifier l écriture puis calculer : (3 pomme) (2 pomme) = 2 a + (5 a) = B. Calculs avec parenthèses ou crochets : Parfois, lorsqu on modélise une situation, on a besoin dans un enchaînement d opérations qu une addition (ou une soustraction) soit effectuée avant les multiplications ou divisions. Comment faire? On utilise pour cela des..ou des, ce qui a pour effet de changer l ordre des priorités. Dans un calcul complexe, les calculs se font rarement de la gauche vers la droite! Résumé des règles de priorité : on effectue dans l ordre : les ou les. en commençant par les plus intérieurs. les.. et/ou les divisions. les.. et/ou les. Simplifications d écriture : Le signe peut être sous entendu devant une parenthèse ou un crochet. Exemple : 2 [3 + 5 (-2 + 3)] peut s écrire plus simplement 2 [3 + 5 (-2 + 3) ] Exercices : simplifier, calculer puis comparer avec les résultats du A au dessus. [(-6) (-6)] (+3) = (-2) ( 6 + (-9) ) (-3) = Calculer : [ 2 (5 + (-3))] = R = -2 Soient a = -2 ; b = -1 ; c = -a, calculer : 2a b a + 2b + c b = R = 0 (il y a une manière très simple) a + c (b a c b) = R =

8 Cours de Mr Jules Classe de 4 ème page 8 IX. PRODUIT D UN NOMBRE PAR UNE SOMME ALGEBRIQUE : Comment calculer des expressions de type produit par une somme (par exemple 3 (5 + π) et plus généralement de type k(a + b))? Illustrons géométriquement ce produit k (a + b). On peut considérer pour cela un rectangle de largeur k et de longueur (a+b). k Pour calculer l'aire totale du a grand rectangle formé b par les deux rectangles et, il y a deux manières possibles : Première manière On calcule directement l'aire du grand rectangle dont les dimensions sont : et. Deuxième manière On calcule la somme des aires des deux petits rectangles : Aire Rectangle = Aire Rectangle = Aire du grand rectangle = Aire du grand rectangle = Evidemment, Les deux calculs permettent de calculer la même aire, on peut donc écrire :... = Généralisons : pour toutes valeurs de k, a et b, on a : k a + k b = k (a + b) Le sens permet de transformer une somme en un p c est l action de factoriser ou Factorisation. Le sens permet de transformer un p en une s c est l action de développer ou Développement. 5 Remarques : Une même expression peut donc avoir 2 formes : une forme développée ou somme : ka + kb et une forme factorisée ou produit : k(a + b) Le facteur k s appelle le facteur commun. Il est commun aux deux termes ka et kb, ce qui nous permet de le factoriser (le mettre en commun) dans ka + kb pour trouver k(a + b) L égalité k(a + b) = ka + kb s appelle : égalité de distributivité de la multiplication par rapport à l addition 3. L égalité reste évidemment valable avec la soustraction : k(a b) = Evidemment, on a aussi par exemple k(a + b + c + d) = ka + kb + kc + kd 3 Quand on développe k (a + b) en ka + kb, c est comme si on «distribuait» k sur a et sur b

9 Cours de Mr Jules Classe de 4 ème page 9 On aura l occasion de revenir sur cette très importante égalité de distributivité. On va voir que la technique du développement (sens...) est très utile pour calculer rapidement : Exemple : On veut calculer 99 (-13) sans poser l opération, en utilisant le développement : méthode : 99 (-13) = (100 1) (-13) on a décomposé l un des deux nombres (pas les deux!) = 100 (-13) 1 (-13) on a développé en utilisant (a b) k = ak bk = on a calculé 100 (-13) et 1 (-13) en tenant toujours compte des signes devant chaque nombre. = A vous maintenant, calculer ces produits, sans poser l opération, en utilisant le développement : 7,2 25 = (-51) 12 = R = -612 (-23) (-13) = (-41) (-8,9) = R = 364,9 Quant à la technique de la factorisation (sens ), elle sera très utile plus tard pour la résolution des équations. Néanmoins, elle peut déjà servir pour certain calcul : Exemple : on veut calculer sans poser les opérations 1,25 1,1 + 0,75 1,1. Pas évident! Méthode : 1,25 1,1 + 0,75 1,1 = 1,1 (1,25 + 0,75) 1,1 était facteur commun. On le factorise grâce à ak + bk = k(a+b) = 1,1 2 On a calculé la parenthèse. = 2,2 A vous maintenant, calculer ces expressions en utilisant la factorisation : 0,857 12,7 0,857 2,7 = 1,147 99,3 + 0,7 1,147 = R = 8,57 R = 114,7-9 -