Proposés par Hugues SILA, professeur de mathématiques des lycées

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1 Téléchargé gratuitemet sur le site tél : Travaux dirigés de mathématiques Classe : 1 ères C, D, TI aée Scolaire 2014/2015 Proposés par Hugues SILA, professeur de mathématiques des lycées EXERCICES 1-1 : Basique 1 La locatio d'ue machie coûte 60 FCFAla 1 ère jourée. La 2 ème jourée de locatio coûte 65 FCFAet chaque jourée supplémetaire 5 FCFAde plus que la précédete. Combie de jours pourra-t-o utiliser la machie avec u budget de 3570 FCFA? Vous ferez apparaître sur votre copie tous les calculs écessaires. 1-2 : Basique 2 1. (u ) désige ue suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raiso 4. a. Calculer u 1, u 2, u 3. b. Doer u e foctio de et calculer u (v ) désige ue suite géométrique de premier terme v 0 = 2 et de raiso 3. a. Calculer v 1, v 2, v 3. b. Doer v e foctio de et calculer v 10. c. Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite (v ). 1-3 : Basique 3 Au pays des plates géates, les éuphars pousset e doublat chaque jour leur surface. U mati u éuphar éclôt au cetre d'u étag circulaire d'u rayo de 100 m ; le éuphar mesure alors 1 cm de rayo. 1. Exprimer la surface S du éuphar après jours e foctio de l'etier. 2. À l'aide de la calculatrice, détermier le jour au cours duquel le éuphar recouvrira tout l'étag. 3. Motrer que le rayo r du éuphar, après jours, est le terme gééral d'ue suite géométrique dot o précisera la raiso. 4. Deux éuphars écloset u certai jour à ue distace de 20 m l'u de l'autre. L'u mesure 1 cm de rayo, l'autre 2 cm. A l'aide d'ue calculatrice, détermier le jour au cours duquel leurs feuilles se chevaucherot. 1-4 : Basique 4 3 (u ) est la suite défiie sur par u 2. Détermier le ses de variatio de cette suite. 2 1 Préciser sa limite. 1-5 : Basique 5 (u ) est la suite géométrique de premier terme u 0 = 8 et de raiso q = 1 2. Hugues SILA travaux dirigés de mathématiques premières S 2014/2015 1

2 Téléchargé gratuitemet sur le site tél : Calculer les termes u 1, u 2, u Motrer que la somme S u u... u est égale à : Basique 6 Soit la suite (u ) défiie par u 0 = 1 et 2u u 1 2 3u. 1. Calculer les termes u 1 et u La suite (u ) est-elle arithmétique? géométrique? 3. Reprseter graphiquemet les premiers termes de u. Quelles cojectures émettez-vous? 4. O admet que, pour tout, u est pas ul. O pose v 1 2 u. a. Calculer v 0, v 1, et v 2. b. Calculer v +1 e foctio de v. E déduire que (v ) est ue suite arithmétique. c. Exprimer v e foctio de. E déduire u e foctio de. 1-7 : Basique 7 Détermier la mootoie des suites v v (o pourra comparer 2 v 1-8 : Basique 8 O cosidère la suite 1 1 u et et1 ) v défiies par u 2008 et w défiie par w Écrire le terme gééral w à l'aide du symbole. 2. Doer ue valeur approchée de w 1, w 2 et w 3 à 0,1 près. Cojecturer la mootoie de la suite w. 3. Démotrer votre cojecture. 1-9 : Salaires U chef d etreprise paie F par a pour l etretie de ses machies. Lors du reouvellemet du cotrat pour les dix prochaies aées, ue société lui propose deux formules : Cotrat A : Le cotrat augmete de 5% par a. 1. Exprimer e foctio de le motat u du cotrat lors de la ième aée. 2. Calculer le motat du cotrat pour la 10 ème aée. 3. Au bout de combie d aées le cotrat dépasserait-il le double du cotrat iitial? 4. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 aées. Hugues SILA travaux dirigés de mathématiques premières S 2014/2015 2

3 Téléchargé gratuitemet sur le site tél : Cotrat B : Le cotrat augmete de 3500 F par a. 1. Exprimer e foctio de le motat v du cotrat lors de la ième aée. 2. Calculer le motat du cotrat pour la 10 ème aée. 3. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 aées. 4. Quel est le cotrat le plus avatageux? 1-10 : Suites arithmétiques Soit 0 u ue suite arithmétique. O sait que u et u premier terme de cette suite. 2. E déduire u e foctio de. 3. Pour quelle valeur de a-t-o u 127? 4. A partir de quel rag a-t-o u 250? 5. Calculer la somme S u u... u : Suites arithmétiques - 2 Soit u 1 la suite arithmétique de raiso 4 et de premier u 25 k1 S u k k 1-12 : Suites arithmétiques - 3 O cosidère la suite u défiie par u et u 1. Calculer u Démotrer que la suite premier terme et la raiso de v u Calculer la raiso et le. Calculer la somme v défiie par v u est ue suite arithmétique dot o précisera le 3. E déduire l expressio de v e foctio de, puis l expressio de u e foctio de. 4. E déduire que la suite u est strictemet mootoe et borée : Suites géométriques - 1 O laisse tomber ue balle d ue hauteur de 1 mètre. A chaque rebod elle rebodit des 3/4 de la hauteur d où elle est tombée. 1. O ote u la hauteur atteite au ième rebod. Calculer la hauteur atteite au 2 ème rebod, au 10 ème, au 1000 ème. 2. A quel rebod la hauteur atteite est elle iférieure à mètre? Quelle est alors la distace parcourue par la balle? 1-14 : Suites géométriques - 2 (c) E traversat ue plaque de verre teitée, u rayo lumieux perd 23% de so itesité lumieuse. Hugues SILA travaux dirigés de mathématiques premières S 2014/2015 3

4 Téléchargé gratuitemet sur le site tél : Soit I 0 l itesité d u rayo lumieux à so etrée das la plaque de verre et I 1 so itesité à la sortie. Exprimer I 1 e foctio de I O superpose plaques de verre idetiques ; o ote I l itesité du rayo à la sortie de la -ième plaque. a. Exprimer I e foctio de I 1. b. Quelle est la ature de la suite I? Détermier l expressio de I e foctio de et de I 0. c. Quel est le ses de variatio de I? 3. Quelle est l itesité iitiale d u rayo dot l itesité après avoir traversé 4 plaques est égale à 15? 4. Calculer le ombre miimum de plaques qu u rayo doit avoir traversé pour que so itesité sortate soit iférieure ou égale au quart de so itesité etrate? 1-15 : Suites géométriques - 3 O place u capital C de FCFAà 6% par a e capitalisat les itérêts. 1. De combie dispose-t-o au bout d u a? de 2 as? de as? 2. Au bout de combie d aées le capital iitial sera-t-il doublé? 3. O place C à t% par a. Sachat qu au bout de 10 as ce capital est doublé quel est le taux auel des itérêts? 4. O rajoute C tous les as, toujours à 6% par a. De combie disposera-t o au bout de 10 as? 1-16 : Ecore ue suite O défiit ue suite (u ) par u u1 u Calculer u 1, u 2, u 3. La suite (u ) est-elle croissate ou décroissate? 2. O pose v = u Calculer v 0, v 1, v 2, v Motrer que la suite (v ) est géométrique, e préciser la raiso. 4. E déduire l expressio de v e foctio de. 5. E déduire l expressio de u e foctio de. 6. Quelle est la limite de (u )? 7. O pose S = u 0 + u 1 + u u. Doer l expressio de S e foctio de. 8. Calculer P = V 0X V 1x XV 1-17 : Ecore ue suite - 2 u0 1 O défiit ue suite (u ) par 1 u1 u 1 2 Hugues SILA travaux dirigés de mathématiques premières S 2014/2015 4

5 Téléchargé gratuitemet sur le site tél : Motrer que u1, u2, u 3. La suite (u ) est-elle géométrique, arithmétique? O défiit la suite (v ) par v u 2 6. Calculer v0, v1, v2, v Motrer que la suite (v ) est géométrique de raiso E déduire l expressio de v puis celle de u e foctio de. 5. Quelle est la limite de (v )? Celle de (u )? 6. Calculer S v0 v1... v. ' 7. Calculer S u0 u1... u : Suite liéaire - 1 O cosidère la suite u défiie par u u u Calculer les 6 premiers termes de cette suite ; que pouvez vous cojecturer sur so comportemet (ses de variatio, limite)? 2. O pose v u 3 ; motrer que v est ue suite géométrique, doer l expressio de v puis celle de u e foctio de. Prouver les résultats obteus de maière diviatoire au a. 3. O cosidère s v0 v1... v et S u0 u1... u. Doer les expressios de s et S e foctio de ; détermier leurs limites quad ted vers l ifii. Problèmes : Partie 1 : Les lettres de Gasto 3 O défiit la suite ( u ) par u0 2000, u1 u Das u repère de votre choix, représeter les droites d équatio respectives y 3 y x 200, puis les premiers termes de la suite ( u ) O pose pour tout v u 800. Motrer que la suite ( v ) est géométrique. E déduire l expressio de u e foctio de et la limite de ( u ). Au bout de combie de temps a-t-o u 810? 3. Gasto L, garço de bureau aux éditios Dupuis, se plait à sa dulciée : «Voyez-vous, m oiselle Jeae, tous les jours je sais traiter le quart de mo courrier e retard, mais il m arrive 200 lettres de plus chaque mati.» «Mosieur Gasto, vous arriverez bie à trouver ue solutio, vous êtes si itelliget» Oui, mais quelle solutio, sachat qu hier soir il y avait 2000 lettres sur le bureau de otre héros? 4. La questio a. est idépedate de ce qui précède x et Hugues SILA travaux dirigés de mathématiques premières S 2014/2015 5

6 Téléchargé gratuitemet sur le site tél : x0 x1 a. Si ( x ) est ue suite croissate, o défiit ( y ) par... x y. Motrer que ( y ) est 1 croissate et que pour tout o a y x. Que peut-o dire pour ue suite ( x ) décroissate (o e justifiera pas ses affirmatios). b. O appelle M la quatité de lettres qu il y eu e moyee sur le bureau de Gasto pedat les premiers jours (e comptat comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres). Exprimer M e foctio de. Quel est le ses de variatio de M. La suite M est-elle covergete? Gééralisatio : O cosidère ue suite v doée (???) et la suite u dot le terme gééral u est la moyee arithmétique : u 1 k1 v k. A partir du calcul des premiers termes et d ue représetatio graphique, o demade de cojecturer ue expressio de u e foctio de, que l o demade de démotrer Partie 2 :Équatio trigoométrique O cosidère l'équatio 1 2 cos 4x 1 0. E : 1. a. Résoudre cette équatio das, puis das l'itervalle ;. b. Facultatif : représeter les solutios sur u cercle trigoométrique. Uité graphique : 4 cm a. Vérifier que pour tout réel x, cos4x 8 cos x 8 cos x 1. b. E déduire que l'équatio E 1 est équivalete à 2 doer les solutios de E 2 das l'itervalle ;. 3. a. Motrer que l'équatio 2 b. Résoudre l'équatio E 3 : 4 2 E : 16 cos x 16 cos x 1 0 et X cos x E est équivalete au système X 16 X X 16 X c. E déduire les valeurs exactes de cos, cos, cos et cos Hugues SILA travaux dirigés de mathématiques premières S 2014/2015 6

7 Téléchargé gratuitemet sur le site tél : Problème 2 Partie 1 La courbe C f est la représetatio graphique de la foctio f dérivable sur l itervalle [ 6 ; 7]. Les droites tracées sot tagetes à C f. 1. Doer les valeurs de f( 2) et f 1,5). 2. Résoudre graphiquemet les équatios suivates : a. f( x) 0. c) f(x) = 1 b. f '( x) 0. d) f(x)= 5 3. Résoudre graphiquemet les iéquatios suivates : a. f( x) 0 ; f(x)<2 PARTIE 2 Hugues SILA travaux dirigés de mathématiques premières S 2014/2015 7

8 Téléchargé gratuitemet sur le site tél : PARTIE 3 PROBLEME 3 C. Hugues SILA travaux dirigés de mathématiques premières S 2014/2015 8

9 Téléchargé gratuitemet sur le site tél : D. E. F. G. Hugues SILA travaux dirigés de mathématiques premières S 2014/2015 9