Statistique et Probabilités

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1 Statstque et Probabltés Classe de D de l ensegnement secondare Commsson atonale des Programmes en Scences Economques et Socales

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3 Table des matères Table des matères Table des matères... 3 Introducton * Le mot «statstque» Les dfférentes branches de la statstque... 7 Parte I... 9 Éléments de statstque descrptve... 9 Chaptre : Séres statstques.... otons de base..... Termnologe..... Les dfférents types de varables (de données) Les opérateurs Σ et Π et leurs proprétés Présentaton de séres statstques à une varable sous forme de tableau Varables qualtatves Varables quanttatves Représentaton graphque de séres statstques à une varable Varables qualtatves et varables quanttatves dscrètes Varables quanttatves contnues Les valeurs de localsaton et de dsperson et les mesures de concentraton Les valeurs de localsaton (ou ben : valeurs centrales) Les valeurs de dsperson Les mesures de concentraton * Eercces Chaptre : Relatons entre varables Introducton La covarance * Le coeffcent de corrélaton lnéare * La régresson lnéare : méthode des mondres carrés ordnares uage des ponts Développements mathématques *

4 Table des matères 4.3. Epresson fnales La régresson non lnéare : méthode des mondres carrés ordnares* Applcaton résolue Eercces Chaptre 3 : ombres ndces Introducton Les ndces smples Défnton Proprétés des ndces smples Les ndces synthétques Les ndces synthétques avec pondératon Les ndces synthétques avec pondératon : l ndce des valeurs globales et les ndces de Fsher Applcaton résolue Eercces... 7 Parte II... 9 Éléments du calcul des probabltés... 9 Chaptre 4 : Calcul des probabltés.... Introducton.... Événements et opératons sur les événements..... Événements..... Opératons sur les événements Mesure de la probablté Dénombrements Les permutatons Les arrangements sans répéttons Les combnasons sans répéttons Les arrangements avec répéttons Tableau récaptulatf Théore des probabltés Aomes de la théore des probabltés Conséquences des aomes de la théore des probabltés

5 Table des matères 5.3. Evénements dépendants et ndépendants Applcatons résolues Trages successfs sans remse Trages successfs avec remse Trages smultanés Événements complémentares, ncompatbles et non ncompatbles Événements dépendants et ndépendants Théorème de Bayes* Eercces Dénombrements Calcul des probabltés Chaptre 5 : Varables aléatores dscrètes Introducton Caractérstques d une varable aléatore dscrète Lo de probablté Probabltés cumulées et foncton de répartton Valeurs centrales et valeurs de dsperson d une varable aléatore dscrète Applcaton résolue Eercces... 6 Chaptre 6 : Lo bnomale Les epérences aléatores de Bernoull Répétton d une epérence de Bernoull et lo bnomale Espérance mathématque de la lo bnomale Varance et écart type de la lo bnomale Applcaton résolue Eercces Bblographe

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7 Introducton Introducton *. Le mot «statstque» Le mot statstque vent du mot talen «statsta», sgnfant «homme d État». Ans, le mot statstque désgnat à l orgne «la collecte et l évaluaton des données concernant un État. Cette scence de l État état une représentaton purement descrptve de fats géographques et socau comme le clmat, la populaton, les coutumes, les organsatons économques, etc., à l usage des hommes d État». Aujourd hu, le mot statstque est employé dans un sens beaucoup plus large. Ans, le Robert défnt la statstque comme «scence et technques d nterprétaton de données trop complees et trop nombreuses pour être apprécées sans calcul». Elle est ans défne en tant que dscplne scolare ou unverstare. Cependant, une statstque désgne un tableau chffré ou un graphque relatf à un ensemble de données relatves à un même phénomène, ou ben encore une grandeur calculée à partr des données observées et permettant de résumer les nformatons contenues dans cet ensemble de données.. Les dfférentes branches de la statstque Tout d abord, avant de pouvor étuder un phénomène économque, socal, bologque, physque,, l faut recuellr un ensemble de données à travers des sondages, observatons, mesures, Ces données dovent ensute être tratées, agencées et représentées d une manère cohérente afn de pouvor en trer des nformatons et de formuler des nterprétatons. Ce sont les nstruments de la statstque descrptve (beschrebende Statstk) qu permettent de réalser ce traval. La statstque descrptve, qu sera l objet d étude de la premère parte de ce cours, est donc consttuée d un ensemble de méthodes permettant de décrre des données. Cette descrpton peut se fare à travers des tableau, des LIDEBERG Andreas, WAGER Irmgard, Statstques - Les Stats en Bulles, Termnales, Lcence re année, Pearson Educaton France, 7 7

8 Introducton graphques ou le calcul de certanes valeurs numérques qu résument ou condensent les nformatons contenues dans le vaste ensemble des données collectées. Ces nformatons peuvent ensute être utlsées afn d élaborer des modèles mathématques (souvent smplfés) des phénomènes que l on veut étuder. A l ade de ces modèles, on peut fare des prévsons sur l évoluton future d un certan phénomène ou ben analyser les effets probables de varatons de certanes données sur un phénomène, tout en mesurant les marges d ncerttude lées à ces estmatons. Cec est l objet de la statstque mathématque ou nférentelle (Inferenzstatstk). Cette dernère se base sur les prncpes du calcul des probabltés (Wahrschenlchketsrechnung), dont les bases seront étudées dans la deuème parte de ce cours. La statstque nférentelle elle-même ne sera tratée de manère plus approfonde qu au cours des études supéreures. En résumé, on peut donc caractérser la relaton entre la statstque descrptve et la statstque nférentelle comme sut : lors d une premère étape, on collecte et travalle sur des données réelles à partr desquelles on construt un modèle mathématque représentatf des fats observés ; cec permet ensute, dans une deuème étape, de créer des «données» calculées à l ade de ce modèle mathématque, qu permet de prévor ou de smuler la réalsaton de fats probables. Ans, on peut par eemple collecter des nformatons sur dfférents fats de la ve économque (eemples : le tau d actvté, le coût salaral, ) pour détermner la relaton qu este entre ces fats et le PIB. Cette relaton peut être décrte par un modèle mathématque que l on peut ensute utlser pour prévor les effets probables d un changement des fats observés sur le PIB. On pourrat ans par eemple estmer les effets probables d une augmentaton du tau de l assurance malade sur le nveau du PIB. 8

9 Parte I Éléments de statstque descrptve 9

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11 Chaptre : Séres statstques Chaptre : Séres statstques. otons de base.. Termnologe Comme déjà ndqué plus haut, la statstque descrptve a comme objet le tratement et l analyse de données. Ces données peuvent concerner l ensemble de tous les éléments, encore appelés untés statstques ou ndvdus, relatfs au phénomène que l on veut étuder. L ensemble comprenant toutes les untés statstques est encore appelé la populaton. En tant qu eemples de populatons, on peut cter entre autres la populaton de tous les élèves de D du Luembourg, la populaton de tous les salarés du Luembourg, la populaton de toutes les ampoules électrques produtes par une entreprse, En parlant d ndvdus, on ne parle donc pas nécessarement de personnes, mas auss d anmau, d objets, de fats, d agrégats économques, Il s agt donc de données que l on peut dénombrer et observer. Afn de recuellr des données concernant une populaton entère, on procède à un recensement, qu est une étude réalsée sur l ensemble des ndvdus d une populaton. Comme l est souvent très couteu ou pratquement mpossble de recuellr des nformatons sur une populaton entère, l faut souvent se contenter d étuder un sous-ensemble de la populaton d ntérêt, encore appelé échantllon, et d en trer ensute les conclusons utles sur la populaton. Cependant, afn que ces conclusons trées à partr de l analyse de l échantllon sur la populaton soent valables, l faut que cet échantllon présente une structure de caractérstques smlare à celle de la populaton (structure d âge, de see, de professon, de revenu, de relgon, ) qu l est censé représenter. En d autres mots, l échantllon dot être représentatf de la populaton que l on veut étuder. Dans le cas où la collecte de données ne concerne qu un «Volkszählung». Au Luembourg, un recensement a leu tous les ans. Le derner recensement a eu leu en, le prochan est donc prévu pour.

12 Chaptre : Séres statstques échantllon d une populaton, on parle de sondage 3. Dfférentes possbltés de consttuer un échantllon sont décrtes dans la secton suvante. En collectant des données concernant les ndvdus d une populaton ou d un échantllon, on s ntéresse à une ou pluseurs varables ou caractères statstques. Il s agt de trats communs à tous les ndvdus. En reprenant l eemple de la populaton des élèves de D du Luembourg, des varables que l on pourrat observer concernant ces ndvdus sont entre autres leur lycée, leur âge, leur see, leurs notes en économe poltque (ou dans d autres branches), leurs notes en applcaton ou en condute, A travers cet eemple, on remarque ben qu l este dfférents types de varables, que nous allons étuder dans une des prochanes sectons. L ensemble des valeurs des varables observées pour un même ndvdu est encore appelé une observaton. Dans la sute du cours 4, nous allons nous concentrer sur l étude d observatons qu ne sont consttuées que d une seule varable, désgnée par le symbole 5. En collectant des observatons concernant dfférents ndvdus, on remarque que les varables observées auront des valeurs dfférentes d un ndvdu à l autre. On appelle modaltés les dfférentes valeurs que peut prendre une varable statstque selon les ndvdus. Ces modaltés sont désgnées par le symbole. Ans, en reprenant l eemple des élèves de D du Luembourg, s désgne la varable «note des élèves en économe poltque», alors la varable peut prendre des modaltés dont les valeurs sont comprses dans l ntervalle [ ; 6]. Souvent, une même modalté d une certane varable est observée auprès de pluseurs ndvdus. On entend par effectf statstque ou fréquence absolue d une modalté, le nombre d ndvdus d une populaton ou d un échantllon dont la modalté de la varable est la même. On note n l effectf de 3 Il se peut que les ndvdus statstques ne soent pas des êtres humans, mas des pèces produtes, des données ssues de la comptablté de l entreprse, Dans ces cas, la collecte de données se fat par des prélèvements de pèces, l analyse des données dsponbles, 4 Au chaptre, où nous allons étuder la relaton estant entre varables concernant une même année, la deuème varable sera désgnée par le symbole y. 5 On peut tout auss ben utlser d autres symboles pour désgner les varables d une observaton.

13 Chaptre : Séres statstques la modalté. Ans, s la modalté a été observée auprès de 39 élèves, alors n 39, avec,,, 6. Le nombre total d ndvdus (et d observatons) d une populaton ou d un échantllon est appelé effectf total, noté. En ce qu concerne par eemple la populaton d élèves de D du Luembourg 6. De manère générale, on appelle sére statstque (à une varable) un ensemble de K couples ( ; n ) avec,,, K, où est la ème modalté de la varable et n représente l effectf ou la fréquence absolue correspondante. otons encore qu en addtonnant les effectfs n, n,, n K, on retrouve l effectf total... Les dfférents types de varables (de données) Les varables observées dans une populaton ou dans un échantllon peuvent être regroupées en foncton de leur nature. Ans, les varables peuvent ou ben représenter des qualtés des ndvdus observés, ou ben des quanttés... Les varables qualtatves (ou catégorelles) Les varables qualtatves reflètent des grandeurs non quantfables, des caractérstques relatves au ndvdus observés (natonalté, see, couleur des yeu, état cvl, ). Dans la plupart des cas, l ndvdu observé ne peut être classé que dans une seule modalté de la varable. Par eemple, pour la varable «état cvl», les modaltés possbles seraent : célbatare, pacsé, maré, veuf, dvorcé et pour la varable «see», les seules modaltés sont masculn et fémnn. On dstngue entre varables qualtatves nomnales et varables qualtatves ordnales. Une varable qualtatve est dte nomnale, s les dfférentes catégores ne peuvent pas être ordonnées (see, couleur des yeu, état cvl, ) tands qu une varable est dte ordnale s les dfférentes catégores 6 Selon «Les chffres clés de l éducaton natonale Statstques et ndcateurs», MEFP 3

14 Chaptre : Séres statstques peuvent être ordonnées (qualté d un produt : mauvase, moyenne, bonne, ecellente).. Les varables quanttatves Les varables quanttatves eprment des grandeurs quantfables, pouvant être décrtes par des nombres enters ou réels. On dstngue entre varables quanttatves dscrètes, dont les valeurs numérques prennent eclusvement des nombres enters (nombre de personnes, nombre d enfants à charge d un ménage) et les varables quanttatves contnues, dont les valeurs numérques peuvent prendre n mporte quelle valeur à l ntéreur d un certan ntervalle (talle, salares, revenus, )..3. Les opérateurs Σ et Π et leurs proprétés.3. L opérateur de sommaton Σ La lettre grecque Σ 7 représente un opérateur de sommaton qu permet de smplfer l écrture de sommes de séres de nombres. Consdérons par eemple la sére suvante de nombres :,,...,,. La somme de ces nombres peut être réécrte de manère plus condensée sous la forme suvante : epresson se lt «somme des valeurs, varant de à».. Cette Afn d llustrer l utlsaton de cette formule, prenons l eemple de la sére de valeurs suvante : Ans, Σ : lettre grecque «sgma» majuscule 4

15 Chaptre : Séres statstques.3. Proprétés de l opérateur Σ* Sot une constante a : a) a a, car a a + a a + a a ( ) +... a b) ( a+ ) a+, car ( a+ ) ( a ) + ( a+ ) ( a+ ) + ( a+ ) + ( a a a+ a) + ( ) fos a+ Sot la sére y, y,..., y, y. c) ( + ) y + y, car ( + ) y ( y ) + ( + y ) ( + y ) + ( + y ) + ( ) + ( y y ) Remarques : +... y y + y + Sot la sére.,,...,, o La somme des ses éléments s écrt alors o Attenton :. 5

16 Chaptre : Séres statstques Soent les séres o La somme y y,,...,, et,,...,,. + y + + y y y y... + y s écrt en écrture condensée comme y. o Attenton : y ne correspond pas au produt des sommes des éléments des deu séres : y o De même : y o y y o y y o y y y.3.3 L opérateur de multplcaton Π* La lettre grecque Π 8 représente un opérateur de multplcaton, permettant de smplfer l écrture de produts de séres de nombres. Consdérons par eemple la sére suvante de nombres :,,...,,. Le produt... de ces nombres peut être réécrt de manère plus condensée sous la forme suvante :. Cette epresson se lt «produt des valeurs, varant de à». 8 Π : lettre grecque «p» majuscule 6

17 Chaptre : Séres statstques. Présentaton de séres statstques à une varable sous forme de tableau.. Varables qualtatves Pour représenter une varable qualtatve à l ade d un tableau, on ndque, pour chaque modalté de la varable, l effectf (ou la fréquence relatve) y correspondant. L eemple suvant permet d llustrer le cas de la varable qualtatve nomnale «état cvl» et de ses dfférentes modaltés. Le recensement de la populaton du Luembourg de l année a fourn les résultats suvants concernant l état cvl : État cvl ombre de personnes célbatare 8556 maré(e) 5 3 dvorcé(e) 9 4 veuf(ve) 86 5 Sans ndcaton 786 populaton totale : Varables quanttatves.. Varables dscrètes La représentaton sous forme de tableau des varables quanttatves dscrètes se fat de manère analogue à celle des varables qualtatves. Pour chaque modalté de la varable, on ndque l effectf y correspondant. L eemple suvant llustre le cas de la varable «nombre d enfants de mons de 5 ans dans le ménage 9», dont les modaltés ne peuvent prendre que des valeurs entères : 9 selon le recensement de la populaton du Luembourg de l année 7

18 Chaptre : Séres statstques.. Varables contnues ombre d'enfants âgés de mons de 5 ans ombre de ménages et plus 5 nombre total de ménages: 7953 Source : www. statec.publc.lu Ben que les varables contnues pussent prendre toute valeur réelle, prenons un eemple fctf, afn d llustrer leur tratement. Consdérons les notes obtenues par élèves d une classe de D en économe poltque : Présentées sous cette forme, les notes ne se prêtent guère à une nterprétaton de la performance des élèves. Il convent donc de réaménager les données afn de meu en pouvor trer des nformatons. a) Présentaton selon l effectf (ou ben : fréquence absolue) ( n ) Une possblté pour meu présenter ces données est de les répartr sur dfférentes classes (ou ntervalles) de longueur (ou ampltude) égale et d ndquer pour chaque classe le nombre de notes y comprses, c'est-à-dre, son effectf n. 8

19 Chaptre : Séres statstques La répartton des notes sur 6 classes d ampltude mène à la présentaton suvante, : otes ombre d élèves n [; [ [ ; [ 3 [ ; 3[ 5 4 [3 ; 4[ 6 5 [4 ; 5[ 4 6 [5 ; 6] Total : 6 n On remarque la somme des effectfs n de chaque classe est égale à l effectf total. Remarque* : Ben qu on n at pas procédé de la manère pour des rasons de smplfcaton, pour détermner le nombre de classes sur lesquelles l s agt de répartr les observatons, on peut avor recours à la formule suvante : K ln K ln b) Présentaton selon la fréquence relatve ( f ) Souvent, on s ntéresse à une présentaton des observatons qu apparaît plus ndépendante de la talle de l échantllon. Il convent alors d eprmer les données sous forme de pourcentages. Cec est souvent utle lorsqu l s agt de trer des conclusons sur une populaton à partr des nformatons fournes par l analyse d un échantllon. Afn de réalser cette transformaton des effectfs en fréquences relatves, on dvse l effectf n de chaque classe par l effectf total afn d obtenr les fréquences relatves f correspondantes. Pour des rasons de smplfcaton, on néglge le fat qu l est mpossble d obtenr une note égale à. Tuyau : Lorsque vous résolvez des eercces, commencez à tracer vos tableau toujours le plus à gauche possble afn de dsposer d assez de place pour rajouter des colonnes! 9

20 Chaptre : Séres statstques f n K n n otons quelques proprétés de f : o f K o f La sére transformée des notes se présente alors comme sut : otes ombre d élèves n Fréquence relatve f [; [,5 [ ; [, [ ; 3[ 5,5 [3 ; 4[ 6,3 [4 ; 5[ 4, [5 ; 6], Total : 6 n 6 f Remarque : Les fréquences peuvent auss être calculées pour les dfférentes modaltés des varables qualtatves ou quanttatves dscrètes. 3. Représentaton graphque de séres statstques à une varable 3.. Varables qualtatves et varables quanttatves dscrètes La représentaton graphque de varables qualtatves et de varables quanttatves dscrètes se fat souvent sous forme de dagrammes en bâtons ou de dagrammes crculares. Le dagramme en bâtons est le plus souvent utlsé pour vsualser les effectfs de chaque modalté, tands que les dagrammes crculares permettent de meu llustrer l mportance d une certane modalté par rapport à l effectf total. Afn d llustrer les deu cas, reprenons les données de l eemple précédant concernant l état cvl des ménages luembourgeos :

21 Chaptre : Séres statstques Dagramme en bâtons 5 nombre de pers état cvl Dagramme crculare* 5% 6% % célbatare maré(e) 4% dvorcé(e) veuf(ve) 46% sans ndcaton Les représentatons graphques d une varable quanttatve dscrète se font de manère semblable à celles de la varable qualtatve llustrée plus haut. Fnalement, on peut noter que pour chacun des deu types de varables représentés c-dessus, l est possble de transformer les effectfs correspondant à chaque modalté en fréquences relatves dans le but de construre un dagramme en bâtons (ou un dagramme crculare*) par fréquence relatve, représentant les données ntales sous forme de pourcentages.

22 Chaptre : Séres statstques 3.. Varables quanttatves contnues Dans le cas de varables contnues, la représentaton graphque ponctuelle des effectfs pour chaque modalté solée n est plus possble, étant donné que les modaltés peuvent prendre n mporte quelle valeur réelle à l ntéreur d un certan ntervalle. En admettant pour smplfer que les effectfs soent réparts de manère homogène sur la longueur des ntervalles, ls dovent par conséquent être représentés par des surfaces rectangulares. Le graphque résultant de la réunon des rectangles représentant les effectfs de chaque classe est appelé «hstogramme» des effectfs. 3.. Hstogramme et polygone des effectfs a) Classes à ampltudes égales (a) L hstogramme des effectfs 3 est un graphque qu représente les effectfs n de chaque classe par des surfaces d are S, de manère à ce que S n. Ans, la surface totale de l hstogramme correspond à l effectf total : K K S n En prncpe, la surface S d un certan rectangle devrat être détermnée par l égalté S a h, où a est l ampltude de la classe et h la hauteur du rectangle. Afn de pouvor construre l hstogramme, l faudrat donc d abord détermner les hauteurs h des rectangles de l hstogramme, connassant l effectf n et l ampltude a. S h a n a bâton au dessus d un pont précs de l ae des abscsses 3 On peut, sur base des mêmes prncpes que ceu décrts c-dessous, construre un hstogramme des fréquences, où les surfaces représentent les fréquences relatves au n leu des effectfs. S f

23 Chaptre : Séres statstques A ttre de smplfcaton 4, étant donné que chaque classe a la même ampltude a, nous fons cette ampltude a comme unté de mesure (on procède donc comme s a ). Ans, h S n. L hstogramme des effectfs représentant les notes des élèves en économe poltque se présente alors comme sut : Hstogramme des effectfs n notes Le polygone des effectfs se construt à partr de l hstogramme, en jognant les mleu des bases supéreures des rectangles (donc les ponts de coordonnées ( ; ) c n où c correspond au centre de la ème classe) de l hstogramme par des lgnes, de manère à ce que la surface en dessous du polygone des effectfs corresponde à la surface totale de l hstogramme. Pour que l are du polygone corresponde effectvement à l are de l hstogramme, l faut commencer à tracer le polygone à partr du mleu d une classe (fctve) d ampltude a précédant la premère classe (donc au pont de c ;, coordonnées ( ) premère classe). c étant le centre de la classe (fctve) précédant la 4 Cette smplfcaton nous permet de mettre en ordonnée de l hstogramme, au leu de, ce qu rend la lecture du graphque beaucoup plus facle. n h 3

24 Chaptre : Séres statstques ème En ce qu concerne le derner ( K ) rectangle, l faut reler le mleu de sa base supéreure (pont ( c ; ) k n k suvant la dernère classe (pont ( ) ) au mleu d une classe (fctve) d ampltude a c ). K+; Le graphque complet aura alors l allure suvante : Hstogramme et polygone des effectfs n notes b) Classes à ampltudes dfférentes) Il se peut que les observatons soent regroupées en classes d ampltudes dfférentes. Dans ce cas, on ne peut plus se contenter de mettre n en ordonnée, étant donné que les ampltudes des classes ne correspondent plus à la même unté de mesure 5. Il faut donc adapter les hauteurs de certans rectangles afn que leur surface corresponde à leur effectf. De ce fat, dans le cas de classes à ampltudes dfférentes, l faut mettre h au leu de n en ordonnée de l hstogramme. Afn de fare cec, l faut d abord chosr une des 5 Les surfaces correspondant au classes ayant des ampltudes plus grandes ne correspondraent plus à l effectf de ces classes et ne seraent plus comparables au autres classes. A ttre d eemple, une sére de deu classes [; [ et [ ; 3[, où chacune comprend un effectf de, ne peut pas être représentée par un hstogramme comprenant rectangles de hauteur, étant donnée que la surface du deuème rectangle serat alors de (au leu de ). Afn de calculer la hauteur du rectangle représentant la deuème classe, on dot multpler son effectf par le rapport des ampltudes des deu classes, ce qu revent à dvser l effectf par. 4

25 Chaptre : Séres statstques ampltudes comme unté de mesure 6. Pour toutes les classes dont l ampltude est égale à cette unté de mesure, la hauteur h est égale à l effectf n. Pour toutes les classes dont l ampltude est dfférente de l unté de mesure, l faut adapter la hauteur comme sut : h. Illustrons ce cas sur base des mêmes notes obtenues par les élèves de D en économe poltque, mas répartes cette fos-c sur des ntervalles correspondant au «mentons» à obtenr lors de l eamen de fn d études secondares, tout en chosssant 4 comme unté de mesure : otes ombre d élèves n Ampltudes des classes a Hauteurs des rectangles 4 [; 3[ 8 3 h 8,6 3 4 [3 ; [ 3 6 h 3 6 [ ; 4[ h h 3 n 3 4 [4 ; 48[ 4 8 h n 5 [48 ; 5[ 4 4 [5 ; 6] 8 h 6, 5 8 h Total : 6 n Dans ce cas, l hstogramme des effectfs prend une forme plus partculère 7 : 6 En prncpe, afn de lmter le nombre de calculs, on chost l ampltude la plus fréquente. 7 On néglge c la constructon du polygone des effectfs dans le cas de classes à ampltudes négales. 5

26 Chaptre : Séres statstques Hstogramme des effectfs h 3,5 3,5,5, notes 3.. Polygones des effectfs cumulés Il este deu types de polygones des effectfs cumulés, à savor le polygone des effectfs cumulés crossants et le polygone des effectfs cumulés décrossants. Avant de pouvor construre ces polygones, l faut d abord établr les séres des effectfs cumulés crossants et décrossants : otes ombre d élèves n Effectfs cumulés crossants n j j Effectfs cumulés décrossants 8 n j j [; [ [ ; [ 3 9 [ ; 3[ [3 ; 4[ 6 4 [4 ; 5[ [5 ; 6] Total : 6 n Dans ce cas précs, l effectf cumulé crossant relatf au ème ntervalle ndque le nombre de notes strctement nféreures à la valeur de la borne supéreure de l ntervalle en queston. n 8 on suppose que 6

27 Chaptre : Séres statstques L effectf cumulé décrossant relatf au ème ntervalle ndque le nombre de notes supéreures ou égales à la valeur de la borne nféreure de l ntervalle en queston. A ttre d eemple, les effectfs cumulés relatfs au 3 ème ntervalle ndquent que 8 élèves ont une note strctement nféreure à 3 et 7 élèves ont une note supéreure ou égale à. Le polygone des effectfs cumulés crossants se construt en relant les ponts ayant comme abscsse les bornes supéreures de chaque ntervalle et comme ordonnée les effectfs cumulés crossants qu y correspondent, tout en commençant par le pont ayant comme abscsse la borne nféreure du premer ntervalle et comme ordonnée : Polygone des effectfs cumulés crossants 5 eff. cum. cross notes Cette courbe permet, pour une note quelconque, d ndquer de manère appromatve le nombre de notes qu y sont nféreures. Le polygone des effectfs cumulés décrossants se construt en relant les ponts ayant comme abscsse les bornes nféreures de chaque ntervalle et comme ordonnée les effectfs cumulés décrossants qu y correspondent (le derner pont a comme abscsse la borne supéreure du derner ntervalle et comme ordonnée ) : 7

28 Chaptre : Séres statstques Polygone des effectfs cumulés décrossants 5 eff. cum. décross notes Cette courbe permet, pour une note quelconque, d ndquer de manère appromatve le nombre de notes qu y sont supéreures. Remarque : On peut auss représenter les polygones des effectfs cumulés crossants et décrossants sur un seul graphque. Polygones des effectfs cumulés crossants et décrossants eff. cum. cross. et décrossants notes 8

29 Chaptre : Séres statstques Les deu courbes vont alors se couper au pont ayant comme ordonnée la valeur /, c'est-à-dre, la moté de l effectf total. L abscsse qu y correspond est appelée «médane» 9. La présence de classes à ampltudes négales ne change ren à la procédure de constructon des polygones des effectfs cumulés. 4. Les valeurs de localsaton et de dsperson et les mesures de concentraton Les séres statstques sont surtout utlsées pour fare des comparasons de certanes caractérstques de populatons dans l espace ou dans le temps. Cependant, les séres statstques sont souvent basées sur les observatons relatves à un nombre très élevé d ndvdus (effectf total grand). Afn de pouvor effectuer des comparasons de séres statstques, l est nécessare de résumer les nformatons qu elles contennent au moyen de certanes valeurs précses. Parm ces valeurs, on dstngue les «valeurs de localsaton» (ou ben «valeurs centrales»), les «valeurs de dsperson» et les mesures de concentraton. 4.. Les valeurs de localsaton (ou ben : valeurs centrales) Ces valeurs permettent de décrre de manère résumée la «parte centrale» de séres statstques, ce qu faclte la comparason rapde de séres dfférentes. 4.. Le mode ( M o, la domnante) a) Varables qualtatves et varables quanttatves dscrètes * Dans le cas de varables qualtatves ou de varables quanttatves dscrètes, on appelle mode la valeur de la varable correspondant à l effectf le plus élevé. 9 vor pont

30 Chaptre : Séres statstques b) Varables quanttatves contnues En ce qu concerne les varables quanttatves contnues, l s agt plutôt de détermner la classe modale. Dans le cas d une sére statstque contnue subdvsée en classes de même ampltude, la classe modale correspond par conséquent à celle présentant l effectf le plus élevé. On chost souvent le centre de la classe modale en tant que valeur modale. otes ombre d élèves n [ ; [ [ ; [ [ ; 3[ 5 classe modale [3 ; 4[ 6 [4 ; 5[ 4 [5 ; 6] Total : La note modale est donc de 35 ponts. 4.. La médane ( M e) 6 n La médane est la valeur de la varable qu partage la sére statstque en deu partes de talle égale (talle /). De manère smplfée, on peut dre que la médane est la valeur qu lasse 5 % des observatons à sa gauche et 5 % des observatons à sa drote. a) Varables quanttatves dscrètes * Afn de pouvor détermner la médane d une sére statstque dscrète, l faut tout d abord arranger les modaltés de manère crossante. 3

31 Chaptre : Séres statstques Ensute, l faut dstnguer deu cas : o s l effectf est mpar, la médane correspond à la observaton ; + ème o s l effectf est par, la médane correspond à la moyenne arthmétque smple de la ème et de la + ème observaton. Reprenons en tant qu eemple les notes solées obtenues par élèves en économe poltque : ème observaton + ème observaton M e 3,5 ponts ème obs. ème obs. 3 + ème obs. ème obs. 34 Dans ce cas précs, la note médane de 3,5 ponts est telle que élèves (la moté, 5 %) ont une note qu y est nféreure et élèves ont une note qu y est supéreure. b) Varables quanttatves contnues Afn de pouvor détermner la médane d une sére statstque contnue groupée en classes, l faut d abord établr l effectf cumulé crossant correspondant à chacune des classes. Ensute, l faut détermner la classe médane (ou ben : l ntervalle médan), c'est-à-dre, la classe comprenant la valeur assocée à la ème observaton, c'est-à-dre la valeur de la varable qu partage la sére statstque en deu partes de talles égales. Illustrons la détermnaton de la classe médane à travers la sére des notes en économe poltque : 3

32 Chaptre : Séres statstques otes ombre d élèves n Effectf cumulé crossant [; [ [ ; [ 3 [ ; 3[ 5 8 [3; 4[ 6 4 [4 ; 5[ 4 8 [5 ; 6] effectf cumulé crossant Total : 6 n Comme, et que est encadré par les valeurs 8 et 4 de l effectf cumulé crossant, nous savons que l ntervalle [3 ; 4[ correspond à la classe médane. La médane est donc comprse entre 3 et 4. Le polygone des effectfs cumulés crossants c-dessous permet de vsualser la noton de médane. Dans ce cas précs, la médane correspond à la note qu partage l effectf total ( ) en deu partes de talles égales à notes. On peut donc parler dans ce cas c de la «note médane». Polygone des effectfs cumulés crossants eff. cum cross M e notes Afn de détermner la valeur médane de manère plus précse, nous procédons comme sut. Sur le polygone des effectfs cumulés crossants c- 3

33 Chaptre : Séres statstques dessus, nous voyons que la valeur de la médane correspond à l abscsse du pont ayant comme ordonnée et se trouvant sur le segment de drote délmté par les ponts de coordonnées (3 ; 8) et (4 ; 4). ous voyons auss que la valeur de la pente de ce segment est égale à A partr de ce même graphque, nous voyons encore que la valeur de la pente du segment de drote délmté par les ponts de coordonnées (3 ; 8) et M ; -8 ) est égale à - 3 ( e M e -8 M e -3 En outre, on constate clarement que la valeur de la pente de ce segment de drote est la même que la valeur de la pente du segment délmté par les ponts de coordonnées (3 ; 8) et (4 ; ). Comme les valeurs des deu pentes sont égales, nous pouvons établr l égalté suvante : -8 M e pouvons détermner la valeur eacte de la médane : 4 3 M e 3+ ( 8) 33, 3 ponts En transformant cette égalté, nous La note médane est donc telle que 5 % des élèves ont obtenu une note nféreure à 33, 3 ponts et que 5 % des élèves ont obtenu une note supéreure à 33, 3 ponts. Le graphque suvant permet de ben vérfer les calculs :. 33

34 Chaptre : Séres statstques Polygone des effectfs cumulés crossants eff. cum cross , notes A partr de l epresson précédente, essayons ensute de dégager une formule générale permettant de calculer la médane. Pour fare cec, défnssons d abord les symboles suvants : o nf est la lmte nféreure de la classe médane ; o sup est la lmte supéreure de la classe médane ; o y nf est l effectf cumulé crossant correspondant à la classe précédant la classe médane ; o est la moté de l effectf total ; o y sup est l effectf cumulé crossant correspondant à la classe médane. Dans l eemple précédent, ces symboles prenaent les valeurs suvantes : nf 3 sup 4 y nf 8 y sup 4 En remplaçant les valeurs par leurs symboles respectfs dans la formule 4 3 M e 3+ ( 8), nous trouvons la formule générale suvante :

35 Chaptre : Séres statstques M e nf sup + y nf ysup y nf nf Le graphque c-dessous permet de vsualser cette formule : Polygone des effectfs cumulés crossants eff. cum cross y sup y nf nf sup M e notes Remarques : La médane est utlsée par de nombreu nsttuts de statstque pour détermner le seul de pauvreté monétare nhérent à la populaton d une certane régon ou d un certan pays. Ans, au Luembourg, le seul de rsque de pauvreté est défn comme le revenu équvalent à 6 % du revenu médan des ménages. La médane peut tout auss ben être détermnée sur base des fréquences relatves cumulées crossantes, en remplaçant la valeur de par,5 (5 % de l effectf total) et en substtuant dans les symboles y nf et y sup les valeurs des fréquences relatves cumulées crossantes encadrant la valeur,5. La médane présente l avantage de ne pas dépendre de valeurs aberrantes (eagérément basses ou hausses) de la varable. On peut auss détermner graphquement la médane en traçant les courbes des effectfs (ou des fréquences relatves) cumulés crossants et 35

36 Chaptre : Séres statstques décrossants. La médane correspond alors à l abscsse du pont d ntersecton des deu courbes. Polygones des effectfs cumulés crossants et décrossants 5 eff. cum. crossant et décrossants , notes 4..3 La moyenne arthmétque smple ( ) a) Varables quanttatves dscrètes La moyenne arthmétque smple, notée, de valeurs solées se calcule de la manère suvante : Afn d llustrer ce cas, consdérons la sére des notes (solées) obtenues en économe poltque comme une sére de varables dscrètes. Dans ce cas, la moyenne des notes se calcule comme sut : ( ) 3, 6 b) Varables quanttatves contnues En présence d une sére statstque contnue comprenant valeurs répartes sur K classes, le calcul de la moyenne se fat sur base des centres de classe c et de l effectf n de chaque classe

37 Chaptre : Séres statstques K n c Calculons ensute la moyenne des notes obtenues en économe poltque, groupées en classes : otes ombre d élèves n Centre de classe c n c [; [ 5 5 [ ; [ 5 3 [ ; 3[ [3 ; 4[ 6 35 [4 ; 5[ [5 ; 6] 55 Total : 6 n n 6 c Étant donné que les fréquences relatves f de chaque classe correspondent à n, la moyenne peut encore se calculer de la manère suvante : Remarques : K Tout comme pour la médane, pour des données groupées en classes, la moyenne ne peut être détermnée que de manère appromatve, étant donné que l on ne connaît pas les valeurs eactes de la varable (la moyenne trouvée au pont a) état de 3,6 ponts). La moyenne arthmétque smple présente, contrarement à la M e, le désavantage d être dépendante de valeurs aberrantes. f c 37

38 Chaptre : Séres statstques c) Proprétés de la moyenne arthmétque smple *. La somme des écarts entre les observatons d une sére statstque et leur moyenne est égale à. Démonstraton : ( ) 443 vor proprété b) de l'opérateur Σ 443 otons que cette proprété reste valable pour des séres statstques contnues groupées en K classes.. La somme des carrés des écarts entre les observatons d une sére statstque et un nombre quelconque o est mnmale lorsque Démonstraton : Posons S ( ) o o. Afn de mnmser l epresson S, prenons d abord sa dérvée premère par rapport à o : S' ( ) ( ) ( ) Ensute, nous allons annuler S ' pour trouver la valeur de o pour laquelle S attent un etremum : ( ) ( ) o En consdérant la proprété () ( ) o qu une soluton possble à l équaton précédente est, nous pouvons conclure o. Dérver l epresson revent à calculer les dérvées des termes avec,, 38 ( ) et d addtonner ensute ces dérvées. ( )

39 Chaptre : Séres statstques Comme la dérvée seconde de S est toujours strctement postve ( '' ) on peut fnalement conclure que la soluton S, o mnmse l epresson S. d) Calcul de la moyenne arthmétque smple par changement d orgne et d échelle En foncton de l ordre de grandeur des valeurs de la varable d une sére statstque contnue, l peut s avérer utle de transformer la sére statstque dans le but d alléger les calculs de la moyenne. Afn de réalser cette transformaton, on a recours à ce que l on appelle un «changement d orgne et d échelle». Il s agt c tout smplement d une transformaton lnéare des dfférents centres de classe c, ce qu entraîne que leur moyenne subra la même transformaton lnéare. A partr des centres de classe c, nous allons créer une nouvelle sére de valeurs dont les éléments sont notés z et que nous obtenons en retranchant de chaque c un nombre quelconque et en dvsant ce résultat par un certan paramètre a ( a R) et. Les nombres a et sont choss en foncton des caractérstques des données. La sére smplfée devent alors : c. a z On peut donc dre que cette transformaton lnéare des c permet de «centrer et de rédure» la sére statstque. Ensute, on calcule la moyenne des données transformées z à travers les formules usuelles. A partr de la moyenne z de la sére transformée, on peut faclement trouver la moyenne de la sére ntale. Comme on sat que la moyenne des données observées subt la même transformaton que les observatons, on peut en trer que. En retransformant cette a z epresson, on peut trouver à travers l epresson suvante : az + Reprenons les données de l eemple précédent avec 35 et a Le nombre peut par eemple correspondre au centre de la classe modale, de la classe centrale ou de la classe médane et le paramètre peut par eemple correspondre à l ampltude d une des classes. a 39

40 Chaptre : Séres statstques otes ombre d élèves n Centre de classe c n c z n z [; [ [ ; [ [ ; 3[ [3 ; 4[ 6 35 [4 ; 5[ [5 ; 6] 55 4 Total : 6 n n c 66 n 6 6 z 4 4 z, (,) az 35+ ponts 4..4 Cas partculers de moyennes * a) La moyenne arthmétque pondérée ( w) Dans le calcul de la moyenne arthmétque smple, on attrbue un pods (ou ben : une mportance) dentque égal à à chacune des observatons. Cependant, on peut juger utle d attrbuer des pods w (weghts) dfférents à certanes observatons, en foncton de leur mportance ou de la fablté des données. La moyenne arthmétque pondérée notée (de observatons dscrètes) w se calcule alors comme sut : w W w avec w W Ce type de moyenne est par eemple utlsé pour calculer la moyenne annuelle pondérée des notes d un élève, où on attrbue des pods dfférents au dfférentes branches. 4

41 b) La moyenne quadratque ( Q ) Chaptre : Séres statstques Le calcul de la moyenne quadratque est utle lors de la détermnaton de certanes «valeurs de dsperson», comme par eemple la varance ou l écart type (vor pont 4..). Pour une sére statstque dscrète à observatons, la moyenne quadratque se calcule comme sut : ou ben : Q Q Pour une sére statstque contnue, groupée en K classes de centre c et d effectf n, la moyenne quadratque est détermnée par la formule suvante : ou ben : Q K n c Q K n c ou ben, en utlsant les fréquences relatves : ou ben : K Q f c Q K f c c) La moyenne géométrque ( G ) La moyenne géométrque est surtout utlsée lors du calcul de tau de crossance moyens, du calcul de moyennes de coeffcents multplcateurs ou 4

42 Chaptre : Séres statstques ben lorsque la sére statstque observée présente une évoluton eponentelle (dans ce cas, l utlsaton de la moyenne arthmétque peut mener à des conclusons/résultats bzarres). La moyenne géométrque nous sera utle au cours du chaptre 3, tratant le calcul des ndces. La moyenne géométrque d une sére statstque composée de observatons est calculée à l ade de la formule suvante : G... Afn de faclter les calculs, on procède à une lnéarsaton de cette formule à travers une transformaton logarthmque : lng ln... ln + ln ln ( ln + ln ln ) ln Dans le cas d une sére contnue à K classes de centres c et d effectfs n, la formule s écrt comme sut : G c n n c... c nk K c n La transformaton logarthmque mène ensute à la formule suvante : n n ln n n n nk K G ln c c... ck lnc + lnc ln K n lnc ( n lnc + nlnc nk lnck) Illustrons le calcul de cette moyenne à travers un eemple smplfé. Sur les 3 dernères années, le CHIDA d une entreprse a augmenté de %, pus de % et fnalement de 4 %. Quel est l accrossement annuel moyen du CHIDA de cette entreprse?,,,,7 3 4 Le tau de crossance annuel moyen du CHIDA de cette entreprse est donc de,7 %. c K 4

43 Chaptre : Séres statstques d) La moyenne harmonque ( H ) La moyenne harmonque est utlsée pour calculer des moyennes de rapports ou de pourcentages (eemples : vtesses moyennes, productvtés horares moyennes du traval, rendements moyens de la terre, tau de change moyens, ). En outre, cette moyenne sera utlsée lors du calcul des ndces au chaptre 3. Pour une sére statstque de observatons, elle se calcule d après la formule suvante : H Souvent, on utlse l nverse de cette formule, plus facle à manpuler pour calculer d abord H, ce qu permet ensute de détermner H : H Illustrons l utlsaton de cette moyenne à travers un eemple concret. Pour un certan trajet, on fat 3 km/h en moyenne à l aller et 6 km/h en moyenne au retour. Quelle a été la vtesse moyenne de l aller et du retour? 3 + H km km km 3 6 h h h Ans, H 4 km/h. km 4 h 4..5 Valeurs centrales et symétre d une sére statstque * La forme de l hstogramme d une sére statstque peut révéler des nformatons sur la dstrbuton des observatons. Sur base de tros séres de données unmodales, dont l effectf total de 8 est à chaque fos répart sur 7 classes d ampltude, nous allons dégager une relaton emprque entre les Supposons que le trajet sot de 6km. On a donc beson de h pour l aller et de h pour le retour, en total donc 3h pour km, ce qu fat une moyenne de km/3h 4km/h. 43

44 Chaptre : Séres statstques valeurs des prncpales valeurs centrales, à savor le mode, la médane et la moyenne arthmétque smple. La relaton y dégagée permet de rendre compte de la symétre de la dstrbuton des observatons. sére statstque symétrque M o 35 M e c n n M o M e sére statstque asymétrque à gauche M o 5 c M e,94 6 n n M o < M e < 44

45 Chaptre : Séres statstques sére statstque asymétrque à drote c M o 55 M e 47,9 44 n n M o > M e > On remarque donc que pour une sére asymétrque, la moyenne toute seule est une mesure nsuffsante pour résumer les caractérstques de la sére. Dans bon nombre de cas (séres de revenus, rchesse, ), l faut ben tenr compte de ce fat, étant donnée que la répartton des valeurs se fat souvent de manère négale autour de la moyenne. Applquons encore les notons vues c-dessus à la dstrbuton des notes des élèves en économe poltque. ous savons que M o 35, M e 33, 3 et que 33. Comme M o > M e >, nous pouvons en conclure que la sére est très légèrement asymétrque à drote. 4.. Les valeurs de dsperson Pour meu pouvor comparer la structure (c est-à-dre la répartton des observatons à l ntéreur) de dfférentes séres statstques, on a recours au «valeurs de dsperson». 45

46 4.. Les quantles ( q p) Chaptre : Séres statstques A côté de la médane, on peut s ntéresser à d autres valeurs qu partagent l effectf d une sére statstque en sous-ensembles comprenant p %, respectvement ( p) % de l effectf. Ans, on défnt le quantle q p comme la valeur de la varable qu lasse p % de l effectf total à sa gauche et ( p) % à sa drote. En dstnguant dfférentes valeurs de p, on peut défnr : o les quartles p 5 q 5 premer quartle p 5 q 5 deuème quartle p 75 q 75 trosème quartle la médane o les décles p q premer décle p q deuème décle p 3 q 3 trosème décle p 4 q 4 quatrème décle p 5 q 5 cnquème décle p 6 q 6 sème décle p 7 q 7 septème décle p 8 q 8 hutème décle p 9 q 9 neuvème décle premer quntle deuème quntle la médane trosème quntle quatrème quntle o les centles (ou percentles) p q premer centle p q deuème centle p 5 q 5 cnquantème centle p 99 q 99 derner centle la médane Les quantles sont détermnés de manère analogue à la médane. Détermnons, à ttre d eemple, le 3 ème quartle ( q 75) de la sére des notes en économe poltque. Dans ce cas, q 75 est la note telle que 75 % des élèves (ou 46

47 Chaptre : Séres statstques ben :,75 élèves) ont une note qu y est nféreure et 5 % ont une note qu y est supéreure. Applquons donc une formule smlare à celle utlsée lors du calcul de la médane : où : q 75 nf + 75 (, y ) nf y sup sup y nf nf o nf est la lmte nféreure de la classe comprenant la valeur de la varable assocée à la (,75) ème observaton (respectvement la valeur de la varable assocée à la fréquence cumulée de,75) ; o sup est la lmte supéreure de la classe en queston ; o y nf est l effectf cumulé crossant correspondant à la classe précédant la classe en queston ; o y sup est l effectf cumulé crossant correspondant à la classe en queston. Les valeurs à remplacer dans la formule c-dessus peuvent être détermnées à l ade du tableau suvant : otes ombre d élèves n Effectf cumulé crossant [; [ [ ; [ 3 [ ; 3[ 5 8 [3 ; 4[ 6 4 [4; 5[ 4 8 [5 ; 6] effectf cumulé crossant,75 5 Total : 6 n Comme,75,75 5, l ntervalle [4 ; 5[ correspond à classe comprenant la (,75) ème observaton. Ans, les autres symboles de la formule énoncée c-dessus seront à remplacer par les valeurs suvantes : 47

48 Chaptre : Séres statstques nf 4 sup 5 y nf 4 y sup q ,5 ponts. On peut 8 4 On trouve alors que ( ) donc dre que 75 % des notes sont nféreures à 4,5 ponts et que 5 % des notes y sont supéreures. De manère analogue, le er quartle ( q 5) de la sére des notes en économe poltque vaut ( ) 3 q , ce qu sgnfe que 5 % 8 3 des notes sont nféreures à 4 ponts et que 75 % des notes y sont supéreures. Remarque : Certans quantles, comme par eemple les décles ou les quntles, sont souvent utlsés par les nsttuts de statstque pour évaluer la dstrbuton des revenus dans une régon ou un pays et de rendre compte ans des négaltés de revenus ou socales. Dans une optque smlare, certans quantles sont utlsés pour calculer d autres valeurs de dsperson comme par eemple l écart nterquartle ou le rapport nterdécle. 4.. L écart nterquartle ( eq ) L écart nterquartle est la dstance entre le trosème et le premer quartle. Il mesure la longueur de l ntervalle qu content 5 % des valeurs de la varable, répartes en deu partes égales autour de la médane. eq q 75 q 5 Quant à notre eemple des notes en économe poltque, eq q 75 q5 4,5 4 8,5 ponts. Cela sgnfe que la note la plus fable des 5 % des notes les plus élevées est de 8,5 ponts supéreure à la melleure note des 5 % des notes les plus fables. On peut donc dre en même temps que les 5 % des élèves ayant obtenu les melleures notes ont au mons 8,5 ponts de plus que les 5 % des élèves ayant les notes les plus basses. Remarque : On peut auss calculer un écart nterdécle ou un écart nterquntle. 48

49 Chaptre : Séres statstques 4..3 Le rapport nterdécle ( rd ) Pour mesurer l négalté de la dstrbuton d une varable, on peut calculer le rapport entre le 9 ème et le er décle. q rd q Ce rapport est souvent utlsé pour mesurer des négaltés de revenu. Dans ce cas, le rd est le rapport entre le revenu mamal des % des ménages les plus pauvres et le revenu mnmal des % des ménages les plus rches. En d autres mots, le rd permet d eprmer le nveau de ve mnmal des % des ménages les plus asés en un pourcentage du nveau de ve mamal des % des ménages les mons favorsés. 9 Remarque : On peut auss calculer un rapport nterquartle 3 q8 nterquntle. q 4..4 La varance 4 ( σ ) a) Défnton et formules q q 75 5 ou un rapport La varance est la moyenne arthmétque smple des carrés des écarts des valeurs de la varable à la moyenne (ou ben : c est la moyenne quadratque des écarts des valeurs du caractère à la moyenne ). o sére contnue à valeurs, groupées en K classes de centre c : σ K n ( c ) K nc 3 Applqué à la sére des notes de élèves en économe poltque, le rapport nterquartle est de,778 ce qu veut dre que la note du 6 ème élève (note mnmale des 5 % des élèves ayant les notes les plus élevées) est de 77,8 % supéreure à (ou ben : vaut,778 fos) celle du 5 ème élève (note mamale des 5 % des élèves ayant les notes les plus basses). 4 σ : lettre grecque «sgma» mnuscule 49