Corrigé de la Feuille d exercices FE-3-001

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1 Chapitres de 3 e sur le PGCD de deux nombres entiers Exercice 1.01 : a) Oui, 4 est un diviseur de 28 b) Non, 32 n est pas un multiple de 6 c) Non, 4 ne divise pas 18 d) Oui, 35 est divisible par 5 Corrigé de la Feuille d exercices FE Exercice 1.02 : a) 12, 30, 246, 4238 sont divisibles par 2 car ils se terminent tous par 0, 2, 4, 6 ou 8 (ils sont pairs). b) 12, 27, 30, 246 sont divisibles par 3 car la somme de leur chiffre est un multiple de 3. c) 30, 325 sont divisibles par 5 car ils se terminent tous par 0 ou 5. d) 27 se divise par 9 car la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Exercice 1.03 : Les nombres divisibles par 7 compris entre 220 et 260 sont : 224, 231, 238, 245, 252 et 259. On justifie pour 224. Les autres sont obtenus en ajoutant 7 à celui qui le précède = = = = 32 qui est un nombre entier donc 224 se divise par 7. 7 Ceux qui sont divisibles par 4 sont : 224, 252 car le nombre formé des deux derniers chiffres est un multiple de 4. Exercice 1.04 : Diviseurs de 32 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 Diviseurs de 67 : 1 ; 67 Diviseurs de 81 : 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 Diviseurs de 144 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 16 ; 18 ; 24 ; 36 ; 48 ; 72 ; 144 Exercice 1.05 : Les différentes possibilités répondant à ce problème sont données par la liste des diviseurs de 324 (car chaque atelier doit contenir le même nombre de personnes) compris entre 30 et 60. Différentes possibilités : 36 et 54. Il y aura donc 36 ou 54 personnes par atelier.

2 Exercice 1.06 : a) Diviseurs de 6 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 b) = 6 La somme des diviseurs de 6 (excepté 6) donne 6. c) On remarque que cette somme est égale au nombre dont on additionne les diviseurs. d) Diviseurs de 496 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ; 124 ; 248 ; = est bien un nombre parfait. e) Test avec 20 : = n est pas un nombre parfait. Test avec 21 : = n est pas un nombre parfait. Test avec 22 : = n est pas un nombre parfait. Test avec 23 : n est pas un nombre parfait. Test avec 24 : = n est pas un nombre parfait. Test avec 25 : = n est pas un nombre parfait. Test avec 26 : = n est pas un nombre parfait. Test avec 27 : = n est pas un nombre parfait. Test avec 28 : = est un nombre parfait. Test avec 29 : n est pas un nombre parfait. Test avec 30 : = n est pas un nombre parfait. En conclusion, 28 est le seul nombre parfait compris entre 20 et 30 (extrémités comprises). Exercice 1.07 : a) b) 63 = ð q = 15 r = = ð q = 18 r = = ð q = 24 r = 5 32 = ð q = 0 r = 32 Exercice 1.08 : = = 2 Dans la division euclidienne de par 12, le reste est 2. Exercice 1.09 : Dividende = Diviseur Quotient + Reste = = 257 Le dividende est 257. Exercice 1.10 : On donne l'égalité : 168 = (*) Dans la division euclidienne de 168 par 15, le quotient est 11 et le reste est 3. On peut remarquer que l on a également (à partir de (*)) : 168 = Dans la division euclidienne de 168 par 11, le quotient est 15 et le reste est 3. Exercice 1.11 : On donne l'égalité : 325 = a) Dans la division euclidienne de 325 par 78, le quotient est 4 et le reste est 13. b) Attention, si on a bien l égalité 325 = , il faut bien comprendre que cette égalité n est pas l écriture en ligne de la division euclidienne de 325 par 4 car dans une division euclidienne, le reste (ici 4) doit être inférieur strictement au quotient (ici 4). La division euclidienne de 325 par 4 est : 325 = Donc, dans la division euclidienne de 325 par 4, le reste est 1 et le quotient est 81.

3 Exercice 1.12 : Pour déterminer le nombre d étagères nécessaires, il faut effectuer la division euclidienne de 360 par = Il faudra alors 17 étagères (une sera complète et l autre contiendra seulement 8 livres). Exercice 1.13 : Pour déterminer le nombre de semaines que représentent 80 jours, il faut effectuer la division euclidienne de 80 par = jours représentent donc 7 semaines complètes ainsi que 3 jours. S'il part un jeudi, il reviendra un dimanche (car 3 jours après un jeudi, c est un dimanche). Exercice 1.14 : a) Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 Diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 Diviseurs communs à 24 et 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 ð PGCD (24;36) = 12 b) Diviseurs de 20 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 Diviseurs de 63 : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63 Diviseurs communs à 20 et 63 : 1 ð PGCD (20;63) = 1 c) Diviseurs de 72 : 1 ; 2 ; (inutile de tous les écrire vu que seul 1 pourra être commun). Diviseurs de 63 : 1 Diviseurs communs à 20 et 63 : 1 ð PGCD (72;1) = 1 d) Diviseurs de 434 : 1 ; 2 ; 7 ; 14 ; 31 ; 62 ; 217 ; 434 Diviseurs de 98 : 1 ; 2 ; 7 ; 14 ; 49 ; 98 Diviseurs communs à 434 et 98 : 1 ; 2 ; 7 ; 14 ð PGCD (434;98) = 14 e) Diviseurs de 42 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42 Diviseurs de 168 : (inutile de les écrire vu que 42 est un diviseur de 168 donc les diviseurs communs seront ceux de 42). Diviseurs communs à 42 et 168 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42 ð PGCD (42;168) = 42 f) Diviseurs de 124 : 1 ; 2 ; 4 ; 31 ; 62 ; 124 Diviseurs de 0 : Tous les nombres entiers non nuls (1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ). Diviseurs communs à 124 et 0 : 1 ; 2 ; 4 ; 31 ; 62 ; 124 ð PGCD (124;0) = 124

4 Exercice 1.15 : a) 20 est un diviseur commun à 180 et à 120 donc oui, il peut y avoir vingt joueurs. 9 n est pas un diviseur commun à 180 et à 120 (car il ne divise pas 120) donc non, il ne peut pas y avoir 9 joueurs. b) Le nombre possible de joueurs est donné par la liste des diviseurs commun s à 180 et à 120. Diviseurs de 180 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 30 ; 36 ; 45 ; 60 ; 90 ; 180 Diviseurs de 120 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 24 ; 30 ; 40 ; 60 ; 120 Diviseurs communs à 180 et à 120 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 30 ; 60 Exercice 1.16 : a) Le nombre de bouquets doit être un diviseur commun à 30 et 24 car il veut utiliser toutes ses fleurs et composer des bouquets identiques. Puisqu il veut confectionner le maximum de bouquets, on choisira parmi ces diviseurs communs le plus grand. On doit d après ce que l on vient de dire déterminer le PGCD de 30 et 24. Diviseurs communs à 30 et 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ð PGCD (30;24) = 6 Il pourra réaliser au maximum 6 bouquets identiques. b) 30 6 = 5 24 = 4 Chaque bouquet contiendra 5 marguerites et 4 tulipes. 6 Exercice 1.17 : a) = = = = = = = = = 1 ð PGCD (76;21) = 1 (dernier reste non nul) 1 1 = 0 b) = = = 24 ð PGCD (120;48) = 24 (dernier reste non nul) = 0 c) = = = = 26 ð PGCD (182;78) = 26 (dernier reste non nul) = 0 d) = = = = = = = 9 ð PGCD (153;117) = 9 (dernier reste non nul) 9 9 = 0

5 Exercice 1.18 : a) = = = = = = = = = = 4 ð PGCD (182;42) = 4 (dernier reste non nul) 4 4 = 0 b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 ð PGCD (534;235) = 1 (dernier reste non nul) 1 1 = 0 c) = = = = = = = = = = = = 13 ð PGCD (1053;325) = 13 (dernier reste non nul) = 0

6 d) = = = = = = = 180 ð PGCD (2340;1980) = 180 (dernier reste non nul) = 0 Exercice 1.19 : a) 138 = = ð PGCD (138;63) = 3 (dernier reste non nul) 12 = b) Pour déterminer le nombre d étapes nécessaires en utilisant la méthode des soustractions successives, il suffit d additionner tous les quotients dans les différentes divisions euclidiennes car quand on écrit «138 = », avec la méthode des soustractions successives, on aurait retiré 2 fois le nombre 63 en écrivant « = 75 puis = 12» = 11 La méthode des soustractions successives aurait nécessité 11 étapes. Exercice 1.20 : a) 682 = = ð PGCD (682;352) = 22 (dernier reste non nul) 330 = b) 248 = c) 140 = = ð PGCD (140;84) = 28 (dernier reste non nul) 56 = d) 2310 = = = ð PGCD (2310;1470) = 210 (dernier reste non nul) 630 = Exercice 1.21 : Puisque le pâtissier désire confectionner le plus grand nombre de tartelettes identiques en utilisant tous les fruits, on doit rechercher le PGCD de 411 et 685. Utilisons l algorithme d Euclide. 685 = = ð PGCD (685;411) = 137 (dernier reste non nul) 274 = Le pâtissier pourra faire 137 tartelettes = = 5 Chaque tartelette sera composée de 3 framboises et 5 fraises. 137

7 Exercice 1.22 : Puisqu il doit y avoir le même nombre de figurants dans chaque groupe et que le nombre d équipe doit être maximal, on va rechercher le PGCD de 651 et 465. Utilisons l algorithme d Euclide. 651 = = ð PGCD (651;465) = 93 (dernier reste non nul) 186 = Le réalisateur répartira ses figurants dans 93 équipes = = 5 Chaque équipe sera constituée de 7 figurants habillés en noir et 5 habillés en rouge. Exercice 1.23 : a) On recherche le PGCD de 224 et 288 vu que le photographe souhaiterait utiliser toutes les photos en fabriquant un maximum de panneaux identiques. Utilisons l algorithme d Euclide. 288 = = ð PGCD (288;224) = 32 (dernier reste non nul) 64 = Le photographe pourra réaliser 32 panneaux. b) = = 7 Sur chaque panneau, il y aura 9 portraits et 7 photos de paysage. 32 Exercice 1.24 : Il est conseillé pour cet exercice de faire un petit schéma en dessinant un quadrillage représentant le mur de la salle de bains. Puisque le côté d un carreau est un nombre entier de centimètres, on recherche un nombre entier. Etant donné que l on veut utiliser un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée avec le côté le plus grand possible, on va rechercher le PGCD de 210 et 135. Utilisons l algorithme d Euclide. 210 = = = ð PGCD (210;135) = 15 (dernier reste non nul) 60 = En conclusion, il faudra utiliser des carreaux de forme carrée de côtés 15 cm = = 9 Il y aura sur ce mur de salle de bains, 14 rangées de carreaux sur 9 colonnes de carreaux = 126 Il faudra donc utiliser 126 carreaux. Exercice 1.25 : a) Diviseurs de 42 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42 Diviseurs de 65 : 1 ; 5 ; 13 ; 65 Diviseurs communs à 42 et 65 : 1 b) Vu que 1 est le seul diviseur commun à 42 et 65 alors PGCD (42;65) = 1 donc 42 et 65 sont premiers entre eux.

8 Exercice 1.26 : a) 364 = = = ð PGCD (364;195) = 13 (dernier reste non nul) 26 = b) PGCD (364;195) = 13 1 Donc, 195 et 364 ne sont pas premiers entre eux. Exercice 1.27 : Rappelons que deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1. Autrement dit, deux nombres sont premiers entre eux s ils n ont pas de diviseur commun autre que 1. Ainsi, si l on trouve un diviseur commun (autre que 1) à deux nombres, alors ces deux nombres ne seront pas premiers entre eux (puisqu alors PGCD > 1). a) 98 et 114 sont tous les deux pairs donc se divisent par 2. On en conclut que 98 et 114 ne sont pas premiers entre eux. b) 125 et 75 se terminent tous les deux par 5 donc sont divisibles par 5. Alors, 125 et 75 ne sont pas premiers entre eux. c) 27 et 63 se divisent tous les deux par 3 car = 9 multiple de 3 et = 9 pareil. Donc, 27 et 63 ne sont pas premiers entre eux. Exercice 1.28 : Pour cet exercice, on pourra au choix soit calculer le PGCD des deux nombres proposés soit trouver un diviseur commun aux deux pour conclure qu ils ne sont pas premiers entre eux (voir remarque exercice 1.27). a) 212 et 324 sont tous les deux pairs donc se divisent par 2. On en conclut que 98 et 114 ne sont pas premiers entre eux. b) 1085 = = = = ð PGCD (1085;837) = et 837 ne sont pas premiers entre eux. 62 = c) 667 = = = = ð PGCD (667;103) = et 103 sont premiers entre eux. 4 = d) 645 et 1375 se terminent tous les deux par 5 donc sont divisibles par 5. Alors, 125 et 75 ne sont pas premiers entre eux. Exercice 1.29 : a) Liste des entiers naturels inférieurs à 24 premiers avec 24 : 1 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23. b) Liste des entiers inférieurs à 31 premiers avec 31 : tous les entiers jusqu à 30 vu que 31 n est divisible que par 1 et 31. Un nombre comme 31 qui n est divisible que par 1 et lui-même est ce que l on appelle un nombre premier. Exercice 1.30 : a) 462 = = = ð PGCD (462;65) = 1 2 = b) PGCD (462;65) = 1 donc les nombres 462 et 65 sont premiers entre eux. On en conclut d après le cours que la fraction 462 est irréductible, c est-à-dire qu on ne peut pas diviser numérateur et 65 dénominateur de cette fraction par un nombre autre que 1 de manière à la simplifier.

9 Exercice 1.31 : a) 3510 = ð PGCD (3510;3276) = = = = = On obtient une fraction b) 15 = ð PGCD (15;14) = 1 14 = Le numérateur et le dénominateur obtenus sont bien premiers entre eux. On en déduit que la fraction obtenue est irréductible. A noter que cette vérification est inutile car la division par le PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) nous assure que l on ne peut plus diviser cette fraction pour la simplifier davantage (tout ceci à condition d être sûr d avoir divisé par le PGCD). Exercice 1.32 : 5148 = = ð PGCD (5148;2431) = = b) A = = = A = Exercice 1.33 : Lorsque l on calcule ces additions de fractions, on doit penser en fin de calculs à simplifier ces fractions ce qui se fait en recherchant le PGCD. Si c est 1, c est que la fraction est déjà simplifiée. Si ce n est pas 1, c est qu on peut la simplifier en divisant par le PGCD et il faut le faire!!! B = = = = C = PGCD (19;54) = 1 = = = = = 8 5 D = PGCD (112;70) = 14 = = = PGCD (19;42) = 1

10 Exercice 1.34 : a) Pour déterminer si un nombre est divisible par 2 ; 5 ; 9 ;, on utilise un des critères de divisibilité (voir cours si nécessaire) est divisible par 5 et par est divisible par 2 et est divisible par 2. b) 774 n est pas irréductible car on peut la simplifier au moins par 9 d après les résultats de la question a) n est pas irréductible car on peut la simplifier au moins par 2 d après les résultats de la question a). 774 c) 1035 = = = ð PGCD (1035;322) = = La fraction 322 n est pas irréductible car 1035 et 322 ne sont pas premiers entre eux vu que PGCD (1035;322) = Non demandé (petit bonus) : Simplifions cette fraction = = Exercice 1.35 : a) Calculons le PGCD de et 9488 avec l algorithme d Euclide = = ð PGCD (20755;9488) = = b) M = = = = = On utilise le résultat de la question a). On peut vérifier que PGCD (29;16) = 1 c) Un nombre est décimal s il possède une partie décimale finie. M = 29 = 1,8125 Donc, oui, M est décimal. 16 Un nombre est rationnel s il peut s écrire sous la forme d une fraction. Il est clair d après le résultat de la question b) que le nombre M est rationnel.

11 Exercice 1.36 : Les poteaux sont régulièrement espacés sur une ligne droite donc il faut d abord chercher les diviseurs communs à 345 et 184. Diviseurs de 345 : 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 23 ; 69 ; 115 ; 345 Diviseurs de 184 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 23 ; 46 ; 92 ; 184 Diviseurs communs à 345 et 184 : 1 ; 23 L écart entre deux poteaux consécutifs est soit de 1 m soit de 23 m. Si l écart était de 1 m, il y en aurait bien plus de 100. Comme le technicien a dit qu il en était tombé entre 10 et 100, c est que l écart entre deux poteaux consécutifs est de 23 m = = 8 Entre les deux premiers poteaux non tombés, il y a donc 15 espaces soit 14 poteaux. (Attention, il faut retirer 1 par rapport au nombre d espaces. Faire le test avec deux ou trois espaces pour s en rendre compte). Entre les deux derniers poteaux non tombés, il y a donc 8 espaces soit 7 poteaux = 21 C est donc 21 poteaux qui sont tombés lors de cette tempête. Exercice 1.37 : Le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser est donné par le PGCD de et L algorithme d Euclide donne : = = = = ð PGCD (17017;1183) = 91 (dernier reste non nul) 182 = Ce philatéliste pourra réaliser 91 lots = = 13 Chaque lot contiendra 187 timbres français et 13 timbres étrangers. Exercice 1.38 : 1/ Rappelons une règle importante : «Baisser un prix de 20% revient à le multiplier par 1 0,20 soit par 0,80». «Augmenter un prix de 20%, revient à le multiplier par 1 + 0,20 soit par 1,20». 120,40 0,80 = 96,32 La facture après remise sera de 96,32. 2/ a) Vu que les sachets sont identiques et en nombre maximal, le nombre de sachets sera donné par le PGCD des deux nombres. Utilisons la méthode des soustractions successives pour changer = = = = 43 ð PGCD (301;172) = 43 (dernier reste non nul) = 0 Ce confiseur réalisera au maximum 43 sachets identiques. b) = = 4 Chaque sachet contiendra 7 caramels et 4 chocolats. 43