Chapitre 4 : Les mouvements de rotation, les systèmes de particules et le centre de masse

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1 OS 4 ème Chaptre 4 : Les mouvements de rotaton, les systèmes de partcules et le centre de masse U n corps peut être anmé d un mouvement de translaton et d un mouvement de rotaton. Il peut y avor également une superposton de ces types de mouvements. Pour calculer certanes grandeurs mportantes, on emploe des notatons dfférentes selon le type de système. Ans, la masse totale s écrt : m = m pour une dstrbuton dscrète ( =,..N) m = dm pour une dstrbuton contnue (N à et m àdm) Exemple Calculer la masse totale d une sphère de rayon R dont la dstrbuton de masse est donnée par sa masse volumque ρ(r) : C ρ ( r ) = r Défnton : mouvement de translaton Nous avons à fare à un mouvement de translaton lorsqu une lgne jognant ponts quelconques du corps reste parallèle à elle-même. Nous parlerons de mouvement de rotaton dans le cas contrare. Ces mouvements s applquent à des soldes. Mas, au fat, qu est-ce qu un solde? Défnton : corps solde Un corps est dt solde lorsque les postons des ponts matérels le consttuant sont fxes les unes par rapport aux autres. On peut dstnguer types de systèmes de ponts matérels :.- Un système dont la dstrbuton des PM est dscrète : on peut les compter, les dénombrer. C est le cas par exemple de l étude de corps en nteracton, chaque corps étant approxmable par un PM..- Un système dont la dstrbuton des PM est contnue : on ne peut plus compter les PM, car l y en a une nfnté. C est le cas d un solde non approxmable en tant que PM. Rotatons Energe de rotaton et moment d nerte Supposons qu un corps solde sot en rotaton autour d un axe fxe. Toutes les partcules qu le composent ne vont pas à la même vtesse : plus une partcule se stue lon de l axe, plus elle se déplace rapdement. En revanche, par rapport à l axe, toutes les partcules tournent du même angle pendant un ntervalle de temps donné. On caractérse la rotaton du solde par sa vtesse angulare ω : tous les ponts du solde ont la même vtesse 0-03 PG

2 OS 4 ème angulare ω. Il est ben clar qu un corps en rotaton possède une énerge cnétque lée à la rotaton. L énerge cnétque du corps est la somme de l énerge cnétque de chaque PM de masse m : E cn = m v () Pusque la vtesse angulare caractérse la rotaton et est la même pour chaque PM, l convent d exprmer les vtesses v en foncton de cette vtesse angulare. v = ω r () r = dstance du PM de masse m à l axe de rotaton Donc ω r = ( mr ) ω = m Iω (3) E cn = ( ) Il apparaît un terme entre parenthèses ( mr ) qu est lé non seulement à la masse du corps solde, mas plus précsément à une dstrbuton de sa masse. Ce terme est appelé moment d nerte I du corps relatvement à l axe de rotaton. L nerte d un corps est la résstance qu l oppose au changement dans l état de son mouvement. Cette résstance est physquement représentée par la masse nertelle. Cette même proprété de la matère ntervent comme une résstance au changement dans le mouvement de rotaton ; elle est alors appelée nerte de rotaton. Cette résstance rotatonnelle dépend à la fos de la quantté de masse et de sa répartton autour de l axe de rotaton. Défnton : moment d nerte Le moment d nerte I d un corps autour d un axe est défn par : I = r m [kg.m ] (4) r = dstance du PM de masse m à l axe S on chost l axe Oz // à l axe fxe de rotaton (ce qu on fat souvent par conventon), le moment d nerte vaut : m + (5) I = ( x y ) Le moment d nerte tent compte de la dstrbuton de masse autour de l axe : chaque masse est pondérée par le facteur r, s ben que corps peuvent avor la même masse, la même géométre, mas les moments d nerte par rapport à l axe peuvent être dfférents. Notons qu un corps, s l ne possède qu une masse, peut posséder une nfnté de moments d nerte pusqu on est lbre de chosr autant d axes que l on désre. On dot donc toujours précser par rapport à quel axe on calcule I. Moments d nerte des corps rgdes Dans le cas d un corps rgde (dstrbuton de masse contnue), la somme dscrète I = r m est remplacée par une ntégrale. Nous devons fare la somme des contrbutons des éléments de masse nfntésmaux dm, donc chacun apporte la contrbuton di = r dm au moment d nerte. L élément de masse dm dot être chos de telle sorte que toutes les partcules qu le composent soent stuées à la même dstance perpendcularement à l axe. Le moment d nerte du corps solde devent : I = di = r dm r = dstance perpendculare à un axe 0-03 PG

3 OS 4 ème 3 Exemple Sot cylndres, les de masse m, de rayon R et de hauteur h. L un est creux et toute sa masse est dstrbuée à la pérphére, l autre est plen et sa masse est dstrbuée unformément. Calcule leur moment d nerte relatvement à leur axe de révoluton. masses m et m sont relées par une tge de masse néglgeable. S l on applque une force F sur la tge en un pont quelconque, le système subt une rotaton. Mas, s l on applque la force au CM, le seul mouvement observé est une translaton (fgure c). En ce sens, le système se comporte comme s toute sa masse état concentrée au CM. On observe que : l / l = m /m <=> m l = m l (6) On peut exprmer la poston du CM dans le système de coordonnées représenté à la fgure c-dessus : l = x cm x et l = x - x cm (7) En remplaçant ces valeurs dans l équaton précédente, on obtent m (x cm x ) = m ( x - x cm ) (8) Le centre de masse Un système est un ensemble ben défn de partcules qu peuvent ou non nteragr ou être relées entre elles. Quelle que sot la complexté du mouvement du système, l exste un seul pont, le centre de masse, noté CM, dont le mouvement de translaton caractérse le système dans son ensemble. L exstence du CM peut être montrée de la manère suvante. ans x cm = m x m + m + m x (9) La poston du centre de masse est une moyenne pondérée dans laquelle chaque coordonnée est multplée par la masse stuée en ce pont. Le même rasonnement s applque à un nombre quelconque de partcules ans qu à un système à 3 dmensons PG

4 OS 4 ème 4 Pour N partcules, nous avons : r = cm m = N = N N m = = m r m (0) = masse totale du système () Exemple : Une tge mnce de longueur 3L forme un coude à angle drot à une dstance L d une de ses extrémtés. Détermner la poston du CM par rapport au coude (orgne O du système d axe O xy ). On donne L=, m. Le CM d un corps symétrque homogène est toujours stué sur un axe ou un plan de symétre. Le CM d une sphère homogène, d un dsque homogène ou d une tge homogène est stué en leur centre géométrque. Dans le cas d un corps solde composé de pluseurs morceaux symétrques, on peut détermner la poston du CM du corps en consdérant chaque morceau comme une masse ponctuelle possédant la masse du morceau et stuée au CM du morceau. Le problème revent à détermner la poston du CM d un ensemble de masses ponctuelles. Sot un système S de masse m formé de sous-systèmes S et S de masse m et m respectvement (m = m + m ). Sot r G et r G les postons respectves des centres de masse G et G des sous-systèmes S et S. La poston du CM de S est donnée par : r G m r = m G + m r + m G Fnalement, s l orgne du référentel est chose sur le CM, on a r G = 0 N donc m r = 0 = Exemple : détecton d exoplanètes, exoplanète autour d alpha du centaure Le mouvement du CM Quelle est la valdté de la ème lo de Newton? Nous avons déjà vu précédemment qu elle est valable pour des PM. L est-elle également pour un solde? Dérvons l expresson (0) fos : vcm = mv () M Nous pouvons réécrre cette équaton en consdérant la quantté de mouvement totale P : P = M. v = m v + m v... CM + (3) 0-03 PG

5 OS 4 ème 5 La quantté de mouvement totale P d un système de partcules est équvalente à celle d une seule partcule de masse M = m se déplaçant à la vtesse du centre de masse v CM. Nous pouvons donc trater les mouvements de translaton d objets étendus ou de systèmes de partcules comme s l s agssat de partcules ponctuelles dont toute la masse serat concentrée au CM. Dérvons une nouvelle fos () : acm = ma M (4) Théorème du centre de masse ( ème lo de Newton généralsée à un système) La somme des forces extéreures applquées sur un système est égale à la masse m de ce système multplée par l accélératon du CM. Fext = m a CM (8) Exemple : S on lance un haltère en lu mprmant une rotaton, on peut se rendre compte qu un seul pont décrt rgoureusement une parabole : c est le centre de masse. Les autres ponts décrvent des trajectores plus ou mons complquées. Il s agt de l expresson donnant l accélératon du CM et M acm = ma = F (5) F = force résultante sur la ème partcule. or F = F + ext F (6) nt et les forces ntéreures qu s exercent entre elles s annulent à (par la 3 ème lo de Newton ou lo de l acton et de la réacton), ne lassant que la force extéreure résultante F ext F. Nous pouvons donc écrre que la = ext ème lo de Newton pour un système de partcules s écrt : F = m (7) ext a CM Le centre de masse accélère comme le ferat une partcule ponctuelle de masse m = m qu serat soumse à la force extéreure résultante. La ère lo de Newton devent alors : S = 0 F, alors ext a = 0 et CM v CM = constante (9) S la force extéreure résultante sur un système de partcules est nulle, la vtesse du CM reste constante. Energe cnétque d un système L énerge cnétque d un système de partcules peut en général se dvser en termes : l énerge cnétque du CM et l énerge cnétque par rapport au CM, dte relatve. Théorème : L énerge cnétque d un système est égale à la somme de l énerge cnétque de translaton qu aurat le système s toute sa masse état concentrée en son centre de masse et de l énerge cnétque vue du référentel du CM : E cn = * v v G * mv G + m v (0) = vtesse de la ème partcule vue du CM. = vtesse du CM 0-03 PG

6 OS 4 ème 6 Développement : E cn = G I G ω mv + () Précsons que dans ce cas, l énerge de rotaton est calculée par rapport à l axe passant par le CM. Exemple : Détermner l énerge cnétque d un cylndre plen de masse m qu roule à la vtesse v sur un plan. Compte tenu de la défnton du moment d nerte, l énerge cnétque du corps en rotaton ( v G = 0), devent : E cn = ( m * r ) ω = ω I () Pour une même vtesse angulare, l énerge de rotaton d un corps est d autant plus grande que son moment d nerte est grand. Il est ntéressant de comparer cette énerge cnétque de rotaton avec l énerge de translaton d un PM de masse m. E cn Rotaton ω Translaton mv I La formulaton est la même : la vtesse angulare ω est pour les rotatons ce que la vtesse v est pour les translatons. De même, le moment d nerte est pour les rotatons ce que la masse est pour les translatons. S le corps solde possède, en plus du mouvement de rotaton, un mouvement de translaton, nous savons que l E cn totale est égale à la somme de l énerge cnétque de translaton du CM auquel on attrbue la masse du corps et d énerge cnétque de rotaton autour du CM : Equaton fondamentale de la dynamque des systèmes en rotaton Accélératon angulare Dans un mouvement en rotaton unforme, la vtesse d un PM à une dstance R de l axe de rotaton s exprme par : v = ω R (3) v = vtesse lnéare [m/s] ω = vtesse angulare [rad/s] 0-03 PG

7 OS 4 ème 7 En dérvant (3), nous obtenons : sot avec dv dω = R (4) dt dt a t = Rα (5) a t = accélératon tangentelle L accélératon centrpète a c vaut quant à elle : v = (6) R a c Elle est dfférente de zéro même s la vtesse en norme est constante. En résumé, s la drecton et le module de v varent tous les deux, les accélératons at et ac exstent et sont perpendculares. Moment de force Lorsqu on applque la ème lo de Newton à la rotaton d un corps, on smplfe consdérablement l étude du mouvement s l on fat ntervenr une grandeur appelée moment de force. Nous allons vor que le moment de force est l analogue d une force dans le cas de la rotaton : la force produt l accélératon lnéare, le moment de force produt une accélératon angulare. Archmède est certanement l un des scentfques les plus célèbres de la Grèce antque. Il va utlser le «bras de lever» pour soulever des masses mportantes. Pour prouver au ro de Syracuse que l effet d un bras de lever pouvat être consdérable, Archmède lu propose de déplacer, seul, une galère remple. La légende dt qu l a réalsé cet explot d une man et asss! Le moment de force, noté M F, est défn par le produt de la dstance r entre le pont d applcaton de la force et le pont pvot P: M F = r F Son unté est le [m. N] (qu se lt «mètre newton») et elle mesure l effet de rotaton que la force provoque sur la barre. La dstance dont l est queston est appelée «bras de lever» ; elle se mesure depus l axe sur une perpendculare à la drote d acton de la force. Le moment de force est en fat un produt vectorel : Le vecteur moment de force M s écrt : M = r F r F = produt vectorel du vecteur poston r et de la force F Par proprété du produt vectorel, nous pouvons noter : M = r. F. snθ θ = angle entre les vecteurs F et r 0-03 PG

8 OS 4 ème 8 Sot un corps rgde tournant autour d un axe fxe. Sot m, la masse de la ème partcule. Le moment de force M pour une masse ponctuelle m de ce corps, forcée de se déplacer sur un cercle de rayon r, sous l nfluence d une force F, s écrt : M = r F (7) r F = produt vectorel du vecteur poston et de la force F Par proprété du produt vectorel, nous pouvons noter : M = F. r. snθ (8) θ = angle entre les vecteurs F et r Seule la composante F t de la force, tangentelle à la trajectore crculare, va accélérer la partcule. Par la ème lo de Newton et (5), nous pouvons écrre : F t = m a t = m. r. α (9) Et le moment de force M sur la partcule par rapport à l axe vaut : M = r. F t = m. r. α (30) En addtonnant les moments de force de toutes les partcules : M = I α (3) F = ma L équaton (3) a la même forme que. Ans, le moment de force est à la rotaton ce que la force est à la translaton : l crée une accélératon angulare et elle engendre une accélératon lnéare sur les partcules du corps. Exemple : Une poule en forme de dsque a une masse M = 4 kg et un rayon r = 0,5 m. Elle tourne lbrement sur un axe horzontal. Un bloc de masse m = kg est suspendu par une fcelle qu passe sur la poule sans glsser. Quelle est la vtesse angulare de la poule 3s après que l on at lâché le bloc? Détermner le module de la vtesse du bloc lorsqu l est tombé de,6 m. On suppose que le système est ntalement au repos. M = M = moment de force extéreur résultant sur le corps I = moment d nerte par rapport à l axe donné 0-03 PG

9 OS 4 ème 9 Roulement sans glssement Un exemple courant de rotaton est celu d une balle ou d une roue qu roule sur une surface. Sot une roue de rayon R en tran de rouler sans glsser. Lorsqu elle effectue un tour, elle couvre une dstance égale à sa crconférence pendant un temps égal à une pérode T. Le module de la vtesse de son centre est donc v c = (πr/t) = ωr, et a c = Rω = Rα (condton de roulement sans glssement) (3) ω est à la vtesse angulare de la roue. Or, la vtesse tangentelle v t d un pont de la crconférence par rapport au centre vaut également ωr par proprété. Le roulement est la combnason d une translaton du centre et d une rotaton autour du centre. La vtesse d un pont quelconque de la crconférence est égale à la somme vectorelle : v = v c + v t (33) Théorème de Huygens-Stener Sot un corps de masse m possédant un moment d nerte noté I CM relatvement à un axe passant par son CM. Le moment d nerte I, par rapport à un autre axe parallèle au premer et stué à une dstance d de cet axe, est donné par : axe centre masse I = I CM + mh (34) I CM m * h Développement : axe rotaton mh CM h = * m m + * axe rotaton ICM CM axe centre masse Queston : Quelle est la vtesse au pont le plus haut de la roue? Quelle est la vtesse au pont le plus bas de la roue? 0-03 PG

10 OS 4 ème 0 Exemple Calculer le moment d nerte I d un cadre rectangulare de masse m, de largeur b et de longueur L par rapport à l axe passant par la bordure de largeur b. Sére d exercces Moment d nerte.- Détermne le moment d nerte d une tge mnce homogène de masse M et de longueur L par rapport à un axe perpendculare à elle et passant par l une des extrémtés..- Détermne le moment d nerte d une sphère plene homogène de masse M et de rayon R par rapport à un axe passant par son centre. Equlbre statque Quelles sont les condtons d un équlbre statque? Il faut que : F = 0 et M = 0 (35) En effet, la ère condton ne sufft pas, car lorsque forces de même module et de drectons opposées agssent sur un objet, celu-c va tourner à mons que les lgnes d acton des forces ne soent confondues. F Pusque le corps est en équlbre statque, son accélératon angulare est nulle autour de n mporte quel pont. Pour cette rason, on peut calculer le moment de force par rapport à n mporte quel pont. Ans, suvant le nombre d nconnues, l faudra utlser le nombre d équatons adéquat. Fnalement, pour détermner les sgnes des dfférents moments de force, l est commode d employer une conventon qu consste à désgner comme postf le sens horare ou le sens anthorare. F 3.- Dans une molécule d eau, la dstance entre les atomes d hydrogène et d oxygène est m et les masses sont m o = 6 m H et m H =, kg. L angle entre les lasons est de 05. Trouve le moment d nerte de la molécule par rapport à : a.- un axe orenté selon l une des lasons H-O b.- un axe passant par l atome d oxygène et parallèle à la drote jognant les atomes d H. 4.- Aux extrémtés d une tge homogène de 6 kg, dont la longueur est de m, on colle sphères homogènes plenes de 0 cm de rayon ayant chacune une masse de 9 kg. On désre calculer le moment d nerte de l haltère ans formé par rapport à un axe perpendculare à la tge passant par son centre. Centre de masse 5.- Les masses et postons de 3 partcules dans le plan xy sont les suvantes : kg en (-m, 3m) ; 3 kg en (-3m, 4m) et 5 kg en (3m, -m). Quelle est la poston du CM? 6.- Où est stué le CM du système Terre-Lune par rapport au centre de la Terre? 7.- Un homme de masse m = 60 kg se tent à l arrère d une barque mmoble de masse m = 40 kg et de longueur 3 m. La barque, dont l avant 0-03 PG

11 OS 4 ème est à m du qua, peut se déplacer lbrement sur l eau. Qu arrve-t-l s l homme marche vers l avant de la barque? (trater la barque comme un objet homogène). Energe cnétque 8.- Calcule l énerge cnétque nstantanée d une baguette mnce de longueur L et de masse m en rotaton autour d une extrémté fxe. L 9.- Un cylndre de rayon r et de masse m tourne autour de son axe à 00 tours/mn. Calcule la force de frenage (tangentelle) nécessare pour l arrêter en 800 tours (m = 0 kg, r = 0,5 m). Vtesse et accélératon angulare 0.- Une tge homogène de longueur L et de masse M pvote lbrement autour de l une de ses extrémtés a.- Quelle est l accélératon angulare de la tge lorsqu elle fat un angle θ avec la vertcale? b.- Quel est le module de l accélératon tangentelle de l extrémté lbre lorsque la tge est horzontale? Indcaton : Le moment d nerte d une tge par rapport à une de ses extrémtés est I = /3 M L.- La roue du pédaler d une bcyclette possède 0 dents. Elle est relée par une chaîne à un engrenage arrère de dents, lu-même soldare de la roue arrère de 40 cm de rayon. a) Sachant que la roue du pédaler a un rayon de 4 cm, calculez le rayon de l engrenage arrère. b) Sachant que les pédales sont à 5 cm de l axe de rotaton du pédaler, détermnez la vtesse lnéare qu elles dovent avor pour que la bcyclette roule sans glsser à 0 m/s..- Un cylndre homogène de rayon R = 0 cm et d une masse de kg roule sans glsser vers le bas d un plan nclné à 50 par rapport à l horzontale. a) On désre détermner l accélératon angulare du cylndre ans que le coeffcent de frottement statque mnmal qu dot exster entre le cylndre et le plan. b) On désre calculer l énerge cnétque acquse par le cylndre lorsqu l roule à partr du repos sur une dstance de,6 m mesurée le long du plan nclné. c) L énerge mécanque est-elle conservée? axe 50 Schéma des forces : f z 3.- Calculez le module de l accélératon lnéare du centre de masse des corps suvants lorsqu ls roulent sans glsser sur un plan nclné d un angle θ par rapport à l horzontale. Toutes les corps ont une masse m et un rayon R. a) un cylndre plen b) un cylndre creux c) une sphère plene d) une sphère creuse (coqulle sphérque) axe 50 mg n z rad ym a x m 0-03 PG

12 OS 4 ème Equlbre statque 4.- Une échelle de longueur L et de pods P est posée sur un plancher rugueux et contre un mur sans frottement. Le coeffcent de frottement statque du plancher est µ = 0.6 a.- Détermne l angle maxmal θ entre le mur et l échelle pour que l échelle ne glsse pas b.- Détermne le module de la force exercée par le mur pour cette valeur de θ. s 7.- Une personne tent une rame à 0,4 m de son pont de fxaton sur la barque. S la rame touche l eau à une dstance moyenne de,40 m de l attache, que vaut l avantage mécanque? 5.- Une nox est serrée entre les mâchores d un cassenox. Les dstances de la nox à l axe et de l axe aux pognées sont égales à 3 cm et 5 cm. La nox se brse s l ntensté des forces qu la comprment dépasse 400 N. Avec quelle ntensté faut-l presser l une contre l autre les pognées du casse-nox pour casser la nox? 6.- La fgure représente un avant-bras, sous la forme d un modèle consttué d une barre artculée autour d un pvot (artculaton du coude) et soutenue par un câble (bceps). Le pods de l avant-bras (w sur la fgure) est de N et on peut consdérer que ce pods est concentré au pont ndqué. Trouver la tenson T exercée par le bceps et la force E exercée par l artculaton du coude PG