Lycée Clemenceau. PCSI 1 - Physique. PCSI 1 (O.Granier) Lycée. Clemenceau. Le 2 nd principe Notions d entropie. Olivier GRANIER

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1 Lycée Clemenceau CI (O.Granier) Le 2 nd principe Notions d entropie Olivier GRNIER

2 I Nécessité d une nouvelle fonction d état ; l entropie hénomènes réversibles et irréversibles : Quelques exemples de transformations irréversibles : Le vieillissement d un être humain La diffusion d une goutte d encre dans de l eau Des oscillations d un ressort en présence de frottements. n ressort n est plus élastique lorsqu il a été étiré en dehors de sa zone d élasticité. Irréversibilité due à un déséquilibre mécanique (différences de pressions) Irréversibilité due à un déséquilibre thermique (différences de températures) : un corps chaud se refroidit au contact d un corps froid (pourquoi pas l inverse?) Olivier GRNIER

3 Le er principe n interdit pas à une transformation irréversible de «fonctionner» à l envers : il «suffit» d inverser le sens du temps. Mais on n a jamais vu un château de cartes s effondrer puis reprendre spontanément sa forme, comme par magie. Dans une machine thermique (un moteur de voiture, par exemple) : l énergie globalement se conserve mais seule une partie de la chaleur dégagée par la combustion se retrouve en travail mécanique. Il apparaît une dissymétrie entre le travail (énergie «ordonnée») et la chaleur (énergie «dégradée»). Olivier GRNIER

4 2 Énoncés historiques du 2 nd principe : «La chaleur s écoule spontanément d un corps de haute température à un corps de basse température. D elle-même, la chaleur ne s écoule jamais d un corps froid à un corps chaud». Énoncé de Kelvin : «ucun processus n est possible, si son résultat est l extraction de la chaleur d une source et sa transformation complète en travail (impossibilité du moteur monotherme)». Énoncé de Clausius : «ucun processus n est possible, si son résultat unique est le transfert d une quantité d énergie thermique d un corps à basse température vers un corps dont la température est plus élevée». Olivier GRNIER

5 3 rincipe d évolution : On considère un système isolé (W 0 et Q 0), donc d énergie interne constante : par exemple, un barreau métallique chaud que l on place dans une piscine. Que dit le er principe? Énergie interne NON E C D NON F C D E F État initial États finaux possibles (de même énergie interne que celle de ) États finaux impossibles (énergie interne différente de celle de ) Olivier GRNIER

6 n seul état est atteint (l état (), par exemple) : par construction, on définit une fonction d état, appelée «entropie» et notée, qui va permettre de choisir le «bon» état final : Entropie OI «bon» état final Que dit le 2 nd principe? NON NON C D ( > ) «our tout système isolé, les transformations spontanées s accompagnent d une augmentation de l entropie, l énergie interne restant constante». C est un principe d évolution Olivier GRNIER

7 4 Relations entre l entropie, la température et la pression : a Relation entre et : On considère deux corps () et () en interaction purement thermique et de volumes constants (paroi fixe). () () On suppose > : la chaleur passe alors de () vers (). Enceinte adiabatique,,,, aroi diatherme fixe (laisse passer la chaleur) Le système (+) étant isolé, lors d une transformation élémentaire : d + d d d 0 > 0 Olivier GRNIER

8 Le système (+) voit son entropie augmenter (principe d évolution) : d d + d 0 ( l' entropie est additive) En considérant l entropie dépendant des variables et : d d vec d d et d d, il vient : d d d d Olivier GRNIER

9 Olivier GRNIER Lycée Clemenceau d d et d d D où : 0 d d Lorsque le système n évolue plus, l entropie a atteint son maximum et d /d 0, alors, à l équilibre du système :

10 Olivier GRNIER Lycée Clemenceau Cette égalité est équivalente à l égalité des températures des deux corps () et () à l équilibre. On pose : s exprime, dans le I, en J.K. ;

11 La variation d entropie du système s écrit ensuite en fonction des températures : d d i >, alors d < 0 : la chaleur s écoule bien du corps chaud vers le corps froid. b Relation entre et : On considère toujours deux corps () et () en interaction thermique mais cette fois les volumes varient (paroi mobile). On a toujours d d et en plus d d (le volume global de l enceinte est constant). 0 Olivier GRNIER

12 Le système (+) voit son entropie augmenter (principe d évolution) : d d + d 0 ( l' entropie est additive) En considérant l entropie dépendant des variables et : d d d d et vec, il vient : d d d + + d d d Olivier GRNIER

13 Olivier GRNIER Lycée Clemenceau D où : l équilibre du système, on aboutit à une nouvelle condition (en plus de celle donnant l égalité des températures) : d d d d d d + d d d +

14 Olivier GRNIER Lycée Clemenceau Cette condition d équilibre doit correspondre à la condition d équilibre des pressions de part et d autre de la paroi mobile. ar soucis d homogénéité, on pose : et

15 Olivier GRNIER Lycée Clemenceau c Identité thermodynamique : partir des deux dérivées partielles : On peut exprimer la différentielle de l entropie : d d d + d d d +

16 On en déduit la différentielle de l énergie interne : d d d Cette relation porte le nom «d identité thermodynamique». partir de cette différentielle, on déduit : et Olivier GRNIER

17 On peut également exprimer la différentielle de l enthalpie : dh d + d + d dh d + d partir de cette différentielle, on déduit : H et H Olivier GRNIER

18 d Cas d une transformation réversible : Lors d une transformation réversible : d δq + δw δq d ar identification avec l identité thermodynamique : d d d Il vient : δq d δq d R N CHEMIN REERILE i δq 0, alors d 0 (adiabatique réversible isentropique) Olivier GRNIER

19 II Exemples de fonctions «entropie» Entropie d un gaz parfait : partir de la différentielle de l entropie : Et en utilisant : d d + d d, nc mold et nr On obtient : d nc, d mol + nr d Olivier GRNIER

20 En intégrant, on obtient l entropie en fonction des variables et : d nc, mold(ln( )) nrd(ln( )) +, ) nc mol ln( ) + nr ln( ) + (, cste nc 2, mol ln + nr ln 2 pplication : retrouver les lois de Laplace Olivier GRNIER

21 partir de la différentielle de l enthalpie : dh d + d On évalue d : d dh d vec (gaz parfait) : dh, nc mold et nr On obtient : d nc, mol d nr d Olivier GRNIER

22 En intégrant, on obtient l entropie en fonction des variables et : d nc, mold(ln( )) nrd(ln( )) (, ) nc, mol ln( ) nr ln( ) + cste nc 2, mol ln nr ln 2 pplication : retrouver les lois de Laplace Olivier GRNIER

23 2 Entropie d un gaz de an der Waals : partir de la différentielle de l entropie : Et en utilisant (pour une mole) : On obtient : d d + d a a C, mol et + 2 ( b) R d C, mol d + a 2 d + R b a 2 d Olivier GRNIER

24 oit : d C, mol d + R b d En intégrant : (, ) C, mol ln( ) + R ln( b) + cste C 2, mol ln + R ln 2 b b Olivier GRNIER

25 3 Entropie d une phase condensée : partir de la différentielle de l entropie : d d + d Et en considérant que le volume de la phase condensée est constant (d 0) : d d vec d mc m d, on obtient : d mc m d ; mc m ln( ) + cste ; mc m ln 2 Olivier GRNIER

26 III Le 2 nd principe, un principe d évolution ariation d entropie d une source de chaleur : ne source de chaleur (ou encore thermostat) est un corps de taille infinie, de volume constant, de température constante 0, échangeant uniquement de la chaleur avec l extérieur. our la source (de volume constant) : d source d source 0 Or (δq représente le transfert thermique reçu par le système) : ystème δq ource de chaleur ( 0 ) d source δq d' où d source δq 0 Olivier GRNIER

27 2 ariation d entropie d un système lors d une transformation élémentaire au contact d une source de chaleur : L nivers (ystème + ource) est isolé, par conséquent : d nivers 0 d nivers d ystème dystème + dource δq 0 δq d ystème ystème L égalité est obtenue lorsque l échange de chaleur est réversible δq ource de chaleur ( 0 ) L nivers (isolé) Olivier GRNIER

28 3 ariation d entropie lors d une transformation adiabatique irréversible : Le système subit une transformation adiabatique irréversible, durant laquelle il peut recevoir du travail (le système est thermiquement isolé). diabatique irréversible EI : ( ; ) EF : ( ; ) On va montrer que la variation d entropie du système est > 0. our le montrer, on réalise le cycle de transformations suivant : Olivier GRNIER

29 D diabatique réversible Isotherme à diabatique irréversible C On définit un cycle monotherme (une seule source de chaleur). i W représente le travail total reçu par le système lors du cycle : diabatique réversible W > 0 (Énoncé de Kelvin : impossibilité du moteur monotherme) ar conséquent, d après le er principe appliqué lors du cycle : Q - W (Q < 0) où Q est la chaleur reçue par le système lors de l isotherme à. Olivier GRNIER

30 D diabatique réversible Isotherme à diabatique réversible diabatique irréversible C Lors du cycle, la variation d entropie est nulle : + C + CD C D CD Q + D 0 0 ( adia rév) (isotherme) ar conséquent : CD Q > 0 ( car Q < 0) Olivier GRNIER

31 4 Énoncé final du 2 nd principe : L entropie est une fonction d état, additive et extensive. Expression élémentaire du 2 nd principe : Le système reçoit travail et chaleur. a variation d entropie d vérifie : d δq ext Ce que l on écrit sous la forme : d δ δq ext échange + δ création δq δ δq ystème δw échange δ + δ et création ext création 0 ource de chaleur ( ext ) Olivier GRNIER

32 d δ δq ext échange + δ création δq δ échange δ + δ et création ext création 0 δ échange : l entropie d échange dépend des échanges de chaleur avec l extérieur ; son signe est quelconque. δ création : l entropie de création (positive ou nulle, uniquement dans le cas d une transformation réversible) est liée aux transformations internes au système et caractérise le degré d irréversibilité de la transformation (hétérogénéité de températures, de concentrations, déséquilibre de pression, ). Olivier GRNIER

33 Expression du 2 nd principe pour une transformation finie : Le système reçoit travail et chaleur. a variation d entropie vérifie : EF EI δq ext ystème Q ource de chaleur ( ext ) Ce que l on écrit sous la forme : W EF δq + création échange + EI ext EF δq échange et création 0 EI ext création Olivier GRNIER

34 En pratique, comment réaliser un bilan entropique? se calcule en imaginant une transformation réversible amenant du même EI au même EF ou directement si l on connaît la fonction entropie (G, par exemple) échange EF EI δq ext se calcule sur le chemin réellement suivi. création se calcule ensuite avec création échange 0 i la transformation est réversible : EF δq échange et création EI ext 0 Olivier GRNIER

35 5 Exemples de bilans entropiques : er exemple : on place un métal chaud à la température (masse m,capacité calorifique massique c m ) dans l eau d une piscine à la température 0 <. Faire un bilan entropique. métal mc m ln 0 création mc m échange ln EF EI δq ext 0 mc 0 mcm ( 0 ) m ( 0 ) 0 création mc m 0 ln 0 > 0 Olivier GRNIER

36 2 ème exemple : Exercice n 3 ème exemple : Exercice n 3 Olivier GRNIER

37 I - Interprétation statistique de l entropie olycopié pdf L entropie du bureau d un étudiant se rapproche-t-elle plutôt de celle du bureau de gauche ou de celle du bureau de droite? Olivier GRNIER