TRAVAIL D ÉTÉ OBLIGATOIRE EN MATHÉMATIQUES. Classe de Seconde Année scolaire : Passage en 1 re ES

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1 TRAVAIL D ÉTÉ OBLIGATOIRE EN MATHÉMATIQUES Classe de Seconde Année scolaire : Passage en 1 re ES Exercice 1 Les quatre parties sont indépendantes I) Résoudre les inéquations suivantes: ( x 4)( x 7) 0 ; (x 1)( x ) (x 1)( x 7) ; x 1 II) Déterminer le domaine de définition de : 4x 9 5 x a) f x x x b) g x 9 x 1 x 4 x 1 III) On donne la fonction f définie sur R par: f x x 1 4x 5 Ecrire f x sans le symbole de valeur absolue puis résoudre algébriquement l'inéquation f x 4 IV) On donne les fonctions f et g définie par: f x 4x x 15et Etudier la position relative de la courbe représentative de la fonction g g x x x 15 C f représentative de la fonction f et de la courbe C g Exercice On donne D un polynôme défini par: 5 1 D x m x m x m, où m est un réel 1 1) Déterminer m pour que soit une racine de D 5 Pour le reste de l'exercice, on suppose m D x x ax b où a et b sont des entiers naturels à ) Montrer que D x s'écrit sous la forme calculer en utilisant la méthode d'identification 5x 14x x Q x 5x 1 ) On donne a) Pour quelles valeurs de x, Q x est-elle définie? x x b) Montrer que Q x 5x 1 puis résoudre Q x 0 1/6

2 Exercice On considère la fonction f définie sur l intervalle 5;5 par f x x 16x 1) Algébriquement, déterminer les racines de f puis dresser son tableau de signes ) A l'aide de la calculatrice Tracer sur l'écran de la calculatrice la représentation graphique C f de cette fonction pour x compris entre -5 et 5 et pour y compris entre -50 et 50 a) Confirmer les résultats trouvés au 1) b) Dresser le tableau de variations de f c) Compléter le tableau représentant les coordonnées des points de C f suivant : x y d) Construire, soigneusement, la courbe C f représentative de f ( 1cm correspond à une unité sur (x'x) et 10 unités sur (y'y) ) ) Sans faire aucun calcul,,64 a) Comparer f et f, puis f 0,04 et,9 b) Soient a et b deux réels tels que a b 1 Comparer 4) Soit la fonction g définie par f en justifiant f a et f b g x x 16 Tracer sur l'écran de la calculatrice la représentation graphique C g de cette fonction puis résoudre graphiquement f x g x Exercice 4 Les deux parties de cet exercice sont indépendantes Partie A Dans le repère ci-contre est représentée une fonction g définie sur R par : g(x) = ax + bx + c (a, b et c sont des nombres réels et a est non nul) Donner, en justifiant, le signe de a, b et c Partie B f est une fonction trinôme définie sur R, admettant un maximum au point S( 4; ) et passant par le point B( 1; 0) Donner, en justifiant, l expression de f /6

3 Exercice 5 On considère la fonction h définie sur R par : h(x) = x 4x 1) Dresser le tableau de variations de h et déterminer l équation de l axe de symétrie de sa parabole représentative ) Calculer f (-) puis en déduire les antécédents de 18 par h ) Sans effecteur de calcul, comparer h( ) et h( ) 4) Déterminer la forme canonique de f 5) Encadrer f(x) si 4 < x < Exercice 6 Partie A La parabole P 1 tracée ci-contre représente une fonction g définie par: g x a x Déterminer, puis montrer que a Partie B Soit f la fonction définie sur R par: f x x 6x 1et P 1) Déterminer les coordonnés du sommet R de P ) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation sur l'intervalle 1;7 ) a) Montrer que f s'écrit sous la forme: f x x b) Encadrer f x, par le calcul, si 1 x c) Déterminer l'intervalle contenant x si 1 f x 6 10 sa parabole représentative 4) a) Compléter le tableau suivant: x f x b) Tracer, sur la même figure de la page annexe, la parabole P sur 1;7 Partie C 1) Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d'intersection de P1 et P ) Déduire graphiquement les solutions de l'inéquation: f x g x /6

4 Exercice 7 Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant : a) Si a 5 alors a 5 b) Si A et B sont deux événements tels que P A 0, et 0,45 B 0,5 P A P B et P A B 0, 4 alors Exercice 8 On considère la fonction f définie sur l intervalle ;1 par f x 1) Tracer, sur l'écran de la calculatrice, la représentation graphique f le minimum de f et où il est atteint ) Dans un repère orthonormé O, i, j M est un point de coordonnées x,0 avec x La droite AM coupe l'axe des ordonnées en N, On donne le point ; x a) Démontrer que les coordonnées de N sont 0; x b) Exprimer l'aire du triangle OMN en fonction de x, puis déduire la position exacte de M pour laquelle l'aire du triangle OMN est minimale Exercice 9 A x x C de cette fonction puis déterminer 1) On donne le polynôme P ( x) x 9x 4x 15 Résoudre l inéquation P (x) < 0 ) ( x 7)(x 5) Déduire le domaine de définition de la fonction f définie par f ( x) P( x) ) Résoudre l équation f ( x) 0 Exercice 10 On donne une fonction polynôme du second degré f et (P) sa parabole représentative dans un repère orthonormé avec : f ( ) 1 A (1 ; -) est un point de (P) Les antécédents de 4 par f sont -6 et 1) Déterminer l axe de symétrie (d) de (P) ) Déterminer les coordonnées du sommet S de (P) ) Déterminer les coordonnées du point A symétrique de A par rapport à (d) 4) Déterminer f ( x ) 4/6

5 Exercice 11 On donne ci-dessous dans un repère orthonormé ( O, i, j) la courbe (C) représentative d une fonction g définie sur R Partie A 1) Déterminer graphiquement, en justifiant : a) L image de -1 b) Les antécédents de ) Résoudre graphiquement l équation g( x) x +1 ) Résoudre graphiquement l inéquation g ( x) 1 4) Soit f la fonction définie par f ( x) g( x) 1 Déterminer le domaine de définition de la fonction f Partie B Dans cette partie on donne g ( x) x x 1 1) Calculer : a) L image de 1 b) Les antécédents de 1 ) On donne x x ( x )( x 1) Résoudre par le calcul l inéquation g ( x) 1 Exercice 1 Un sac contient des billes indiscernables au toucher Il y a 10 billes roses, 7 billes vertes et n billes jaunes 1)On tire au hasard une bille du sac La probabilité de l évènement A : «tirer une bille qui n est pas verte» est 0,7 Calculer le nombre n de billes jaunes dans le sac ) Dans cette question, n 8 On tire au hasard une deuxième bille du sac sans avoir remis la première bille tirée On note : R 1 l évènement «la 1 re bille tirée est rose», J l évènement «la e bille tirée est jaune» a) Montrer que p(r1 ) 0,4 et p(j) 0, b) Décrire l'événement R1 J par une phrase puis calculer p(r1 J ) 5/6

6 Exercice 1 (Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles) Une enquête a été réalisé auprès des consommateurs de yaourts Parmi les 50 personnes interrogés: 90 personnes achètent des yaourts à la ferme; Trois dixièmes achètent des yaourts une seule fois par semaine; 45 personnes de ceux qui achètent les yaourts une seule fois par semaine, ne le font pas à la ferme On considère les événements suivants: A : «La personne choisie achète des yaourts une seule fois par semaine» B : «La personne choisie n'achète pas des yaourts à la ferme» 1) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous: B A A Total B 90 Total ) On choisit au hasard une personne parmi les 50 acheteurs P A ; P B ; P A B puis P A B a- Calculer b- Décrire par une phrase l'événement A B, puis en déduire sa probabilité ) On choisit au hasard une personne parmi celles qui achètent le yaourt à la ferme, calculer la probabilité qu'elle achète du yaourt une seule fois par semaine 4) On choisit au hasard deux personne parmi les 50 acheteurs Quelle est la probabilité qu'ils n'achètent pas des yaourts à la ferme? Exercice 14 On donne la fonction g définie sur R par ( x) x x repère orthonormé g et P sa représentation graphique dans un 1) Dresser le tableau de variation de la fonction g et déterminer l équation de l axe de symétrie de P ) Déterminer la forme canonique de la fonction g ) Encadrer g (x) dans chacun des cas suivants: a) 1 x ; b) x 4 4) Compléter le tableau représentant les coordonnées des points de P suivant : x y 5) Tracer P sur l intervalle [ - ; 4] 6) a- Développer x 1 x b- Résoudre, par le calcul g ( x) x 1 puis interpréter graphiquement le résultat 6/6