Modélisation des actions mécaniques Statique des solides indéformables Puissance et rendement

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1 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement Les actions mécaniques. Définition On appelle action mécanique toute cause susceptible de : 4modifie le mouvement d un solide, 4mainteni un cops au epos, 4défome un cops.. Classification Il est possible de faie deux patitions des actions mécaniques : patition : les actions intéieues et les actions extéieues à un système dont on aua défini les fontièes, patition : les actions à distance ou de volume et les actions de contact..3 Modélisation On notea E un ensemble matéiel (solide ou système de solides) et E l extéieu (au sens topologique) de E. La modélisation des actions extéieues execées su E est éalisée ici avec l outil mathématique toseu et l on notea (E E) ces denièes. L unité SI de la ésultante est le newton (N). L unité SI du moment est le newtonmète (Nm) On poua ainsi applique toutes les popiétés des toseus à ces actions et notamment :.4 Popiétés Soit un ensemble matéiel E. 4additivité Modélisation des actions mécaniques Statique des solides indéfomables Puissance et endement «La mécanique est le paadis des mathématiques pace que c est en elle que celles ci se éalisent» Léonad de Vinci Si F et G sont deux ensembles matéiels disjoints ayant des actions mécaniques avec E, les actions mécaniques de l ensemble F + G su E sont caactéisées pa un Une application patique de la loi du levie comment tanspote un poulet volé. Lycée Vauban, Best classe de PSI

2 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement toseu qui est la somme des toseus caactéisant les actions individuelles de F et G su E. patition ( F + G E) = ( F E) + ( G E) Soit une patition de E en E et E. Les actions mécaniques de tout ensemble F su E sont epésentables pa la somme des actions mécaniques de F su E et des actions mécaniques de F su E. ( F E) = ( F E ) + ( F ) E On en déduit que le toseu (E E) est indépendant de la patition faite su E. conséquence Il est possible de scinde un ensemble matéiel E en plusieus paties et de scinde également l ensemble E en plusieus paties. On détemine alos les actions mécaniques des unes su les autes, sans ode pédéfini et on peut en effectue les sommes..5 Modèles local et global des actions mécaniques Les actions mécaniques s execent en des points du solide. Le modèle local se epésente à l aide d un vecteu appliqué au point M où s exece l action. Pou les actions de volume, on considèea le point M cente d une sphèe de dimension infinitésimale su lequel s exece la foce. On notea f ( M) le vecteu epésentatif de la densité -3 volumique d effot dont l unité SI est le Nm. On df ( M ) aua f ( M) =. Pa exemple, dans le cas de dv l action execée pa la pesanteu, la densité volumique d effot au point M du solide f M =ρg dans laquelle indéfomable sea ( ) g epésente l accéléation de la pesanteu. Pou les actions de contact sufacique, on considèea le point M cente d un disque de dimension infinitésimale su lequel s exece la foce de contact. On notea f ( M) le vecteu epésentatif de la densité sufacique d effot dont - df ( M ) l unité SI est le Nm. On aua f ( M) =. ds f M epésente l action Su l exemple ci-conte, ( ) Lycée Vauban, Best classe de PSI

3 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement execée pa le plan supéieu su le plan inféieu au point M du contact plan. Si les seules actions considéées sont l action de la pesanteu su le plan supéieu et l action de contact sufacique, alos f ( M) = ρeg où e est l épaisseu de la plaque supéieue. Pou les actions de contact linéique, on considèea le point M cente d un segment de dimension infinitésimale su lequel s exece la foce de contact. On notea f ( M) le vecteu epésentatif de la densité linéique d effot dont l unité SI est le df ( M ) Nm. On aua f ( M) =. Su l exemple ciconte, f ( M) epésente l action execée pa le dl cylinde su le plan au point M du contact linéique. Si les seules actions considéées sont l action de la f M g où est pesanteu su le cylinde et l action de contact linéique, alos ( ) =ρπ le ayon du cylinde. Pou les actions de contact ponctuelle, on considèea le point M su lequel s exece la foce de contact. On notea f ( M) le vecteu epésentatif de l effot dont l unité SI est le N. Su l exemple ci-conte, f ( M) epésente l action execée pa la sphèe su le plan au point M du contact ponctuel. Si les seules actions considéées sont l action de la pesanteu su la sphèe et l action de contact ponctuel, alos f M = mg où m est la masse de la sphèe. ( ) On peut calcule le moment de l action mécanique locale en tout point de l espace. Si l on considèe maintenant le domaine global su lequel s exece l action mécanique le volume pou l action de la pesanteu, pa exemple, la epésentation idoine de l action mécanique totale est le toseu modélisant la «somme» de toutes les actions locales du domaine considéé. Si l on note dω ce domaine qui est un élément dv pou une action volumique, ds pou une action sufacique et dl pou une action linéique, le toseu d action mécanique globale s écit en un point de l espace f ( M) dω M E ( f ( M) ) = M f ( M ) dω M E E epésentant le domaine total su lequel s exece l action. Pa exemple le champ de pesanteu f ( M) = ρg pemet de défini le toseu à stuctue de l action de la tee su un cops solide homogène E. Lycée Vauban, Best classe de PSI 3

4 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement Si est le cente d inetie du solide, le moment de ce toseu est nul. P ( ee E ) = ρgdv E { f ( M) } = M( ee, E) = M f ( M) dv E.6 Système d actions mécaniques Un système d actions mécaniques est l ensemble des actions mécaniques s exeçant su un ensemble matéiel. out système d actions mécaniques peut se éduie à un toseu unique, qui est la somme des toseus associés à chacune des actions mécaniques. Remaque : il faut pende gade à expime tous les toseus au même point avant d en effectue la somme..7 Cente d inetie d un solide. héoèmes de Guldin Soit un point de l espace. Le cente d inetie d un système matéiel E, de masse m, est le point G défini pa uuu uuu G = Pdm m E Les popiétés du cente d inetie sont : Le point G véifie GP uuu dm = 0 ; Le point G est unique ; E Si l on considèe une patition de (, ) E mg en n éléments j ( j, j) E m G, alos on a c est-à-die ou encoe uuu n Pdm = m E j = Ej j = uuu Pdm uuu n uuuu mg = mj Gj uuu G = uuuu n mj Gj m j = { } Le point G est le baycente de ( j, j) G m ; On dit qu il y a symétie matéielle, s il y a simultanément symétie géométique et symétie de épatition de la masse volumique. Si E admet un élément de symétie matéielle plan, axe, cente alos sont cente d inetie appatient à cet élément. Lycée Vauban, Best classe de PSI 4

5 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement Remaquons que les modeleus volumiques pemettent la détemination de la position des centes d inetie pa intégation numéique. Pemie théoème de Guldin z L aie d une suface engendée pa une coube plane tounant autou d un axe de son plan, ne la tavesant pas, est égale au poduit de la longueu de la coube pa le péimète du cecle décit pa son cente d inetie. G S = π L G G O Second théoème de Guldin t z Le volume d un solide engendé pa une suface plane tounant autou d un axe de son plan, ne la tavesant pas, est égal au poduit de l aie de la suface pa le péimète du cecle décit pa son cente d inetie. V = π S G G G O t Remaques : ces théoèmes sont tès utiles en patique pou détemine des longueus de coubes, des aies de sufaces, des volumes de solides ou les centes d inetie de coubes et de sufaces. Les théoèmes de Guldin ne pemettent pas de détemine les centes d inetie des solides volumiques..8 Modélisation des actions de contact ente les solides.8. Modélisation de la suface de contact ente solides On modélise patiquement le contact ente deux sufaces pa l aie commune où elles semblent en contact ; o, on sait que le contact éel se fait seulement au sommet des aspéités éelles qui ne epésentent qu une faible patie du modèle choisi. Cependant, on choisia pami les modèles poposés ci-apès pou appéhende tout contact ente solides éels : le modèle des «gandes sufaces de contact» de type plan su plan, modélisé pa une potion de plan, de type emboîtement cylindique à faible jeu, modélisé pa une potion de suface cylindique, de type emboîtement sphéique à faible jeu, modélisé pa une potion de suface sphéique. le modèle des «petites sufaces de contact» : Lycée Vauban, Best classe de PSI 5

6 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement Modèle : les solides en contact sont indéfomables de type sphèe su plan ou sphèe su sphèe, modélisé pa un contact ponctuel ; de type cylinde su plan ou cylinde su cylinde, modélisé pa un contact linéique ; de type emboîtements cylindique ou sphéique sans jeu, modélisé pa des cylindes ou des sphèes. Modèle : un solides est indéfomable, l aute est défomable de type plan su sphèe, modélisé pa un disque ; de type plan su cylinde, modélisé pa un ectangle, de type sphèe su plan, modélisé pa une potion de sphèe ; de type cylinde su plan, modélisé pa une potion de cylinde ; de type solides limités pa des sufaces quelconques, modélisé pa une suface de fome quelconque. Modèle 3 : les deux solides sont défomables de type modèle de Hetz, non au pogamme..8. Modélisation des actions de contact ente deux solides Il est possible de modélise les actions de contact ente deux solides de deux manièes suivant le point de vue adopté. On distinguea ainsi : le modèle local, qui s intéesse aux actions en tout point de la suface de contact ente les deux solides, le modèle global, qui popose un egad su l action mécanique globale execée los du contact ente les deux solides. On ne s intéesse pas ici à l action en chaque point de l aie de contact, mais à son caactèe global que l on écia mathématiquement à l aide du fomalisme des toseus éduit en un point de l espace. Il taduit la «somme» des actions locales execées en chaque point de l aie de contact ente les solides. Exemple de modélisation : l action de l eau etenue su un baage se modélise : localement pa un vecteu pn en tout point M de la suface du baage de nomale extéieue n où il y a de l eau. globalement pa un toseu éduit en un point dont la ésultante est la somme des actions locales et le moment au point de éduction est la somme des moments des actions locales pn. modèle local des actions de contact : action en M du solide S su le solide S. glisseu passant pa M : df( M) = f ( M)dS Remaque : f ( M) est toujous diigé ves la matièe du solide étudié. Lycée Vauban, Best classe de PSI 6

7 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement modèle global des actions de contact : action du solide S su le solide S. oseu des actions execées pa S su S : ( ) = Q M Q R( ) = f ( M) ds S v ( ) = QM f ( ) S M ds S M f ( M ) ds.8.. Le contact est sans fottement le modèle pend alos la fome ci-apès : d F M = f M ds = p M) n ( M) ( modèle local : ( ) ( ) ds avec n nomale extéieue à S. modèle global : ( ) = M Q Q R( ) = p( M) n( M) ds S ( ) = QM ( p( M) n( M) ) S ds n S.8.. Le modèle pend en compte les phénomènes de fottement de glissement Le modèle pend maintenant la fome suivante : modèle local : df ( M ) = f ( M ) ds = p ( M) n ( M) + p ( M) t ( M ds ( n t )) modèle global : ( ) = Q M Q R( ) = ( pn ( M ) n( M ) + pt ( M ) t ( M )) ds S ( ) = QM pn ( M ) n( M ) + pt ( M ) t ( M ) S ( )) ds Pou connaîte complètement ce toseu avec fottement, il faut envisage une modélisation supplémentaie pemettant de elie les pessions nomales et tangentielles dues au fottement. Le modèle le plus simple utilisé en mécanique se epésente gâce aux lois d montons et Coulomb du fottement. Lois de Coulomb pou le fottement de glissement cas où V( M ) / 0 : il y a glissement, et f ( M) ϕ p n (M) est opposé à V M / : t ( M) ( ) t ( M) VM ( /) = 0 ; t ( M) VM ( /) < 0 t p t (M) M n V( M / ) Lycée Vauban, Best classe de PSI 7

8 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement pt (M ) p t (M) est tel que : = f = tan ϕ, ϕ est l angle de pn (M ) fottement. f est appelé facteu de fottement ente S et S. V M / = 0 : il y a adhéence, et cas où ( ) pt (M ) p t (M) est tel que : = tan α avec 0 α ϕ, ϕ est pn(m ) l angle d adhéence ; on notea f le facteu d adhéence. α = ϕ à la limite de l équilibe, ( M) t appatient au plan tangent en M à et ; sa diection est a pioi inconnue. On aua, pou la plupat des matéiaux : ϕ < ϕ ' f ( M) ϕ α p t (M) P n (M) M n Dans ces conditions, le modèle global avec fottement s écit : ( ) = Q M Q R( ) = pn ( M) ( n( M) + ft ( M) ) ds S ( ) = QM pn ( M) ( n( M) + ft ( M) S ( )) ds Le tableau ci-apès, donne des valeus des facteus d adhéence et de fottement pou cetains couples de matéiaux couants. Ces valeus ne sont constantes que sous des pessions n engendant pas de défomations plastiques au niveau des sufaces en contact. Lois de Coulomb pou les fottements de pivotement et de oulement Si l on considèe maintenant le modèle global des actions mécaniques de contact, il est possible d énonce des lois de fottement similaie au modèle local dans le cas du glissement pou la ésultante du toseu des actions de contact. Il est également possible d énonce des ésultats similaies pou le moment ésultant. De même, on poua énonce des lois de Coulomb pou les fottements de pivotement et de oulement los de la pise en compte des effets du moment du toseu ésultant modélisant les actions mécaniques globales. R( ) = Nn + t Notons ( ) = le toseu en un point I de la suface de M( ) = M I nn + Mt contact. Notons également ω ( / ) =ω pn +ω le vecteu taux de otation du solide pa appot au solide. On appelle que ω n p est le vecteu taux de pivotement et ω le vecteu taux de oulement (dans le plan tangent). Lycée Vauban, Best classe de PSI 8

9 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement cas où ω 0 p n : il y a pivotement, et Mn ω pn = 0 Mn est opposé à ωpn : ; Mn ω pn < 0 M n on a N = k, k est le facteu de fottement de pivotement ente S et S. cas où ω n = p 0 : il y a adhéence au pivotement, et M n k, k est le facteu d adhéence au pivotement ente S et S. N k = k à la limite de l équilibe, 3 cas où ω 0 : il y a oulement, et Mt ω = 0 Mt est opposé à ω : ; Mt ω < 0 on a M t N = h, h est le facteu de fottement de oulement ente S et S. 4 cas où ω = 0 : il y a adhéence au oulement, et M t h, h est le facteu d adhéence au oulement ente S et S. N h = h à la limite de l équilibe, Remaques les facteus de fottement de glissement et d adhéence sont sans dimension ; les facteus de fottement de pivotement, de oulement, d adhéence au pivotement et d adhéence au oulement a pou dimension L ; les facteus de fottement de pivotement, de oulement, d adhéence au pivotement et d adhéence au oulement sont souvent faibles et négligeables pa appot au fottement de glissement et à l adhéence ; en patique, on confond souvent les facteus de fottement de glissement et d adhéence d une pat, les facteus de fottement de pivotement et d adhéence au pivotement d aute pat, et enfin les facteus de fottement de oulement et d adhéence au oulement La pession de contact ente les solides Dans les mécanismes, la tansmission des actions mécaniques se fait pa l intemédiaie des sufaces en contact dans les liaisons ente solides. Il existe des modèles pemettant l étude de cette tansmission dans les cas où le contact est étoit ou étendu. Le pemie cas a été taité pa Hetz au début du siècle, mais ne figue Lycée Vauban, Best classe de PSI 9

10 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement pas au pogamme. Le second cas, difficile à modélise, ca les sufaces théoiques en contact ne sont pas les sufaces éelles (uniquement les sommets des aspéités), est taité d une manièe appoximative pa des modèles éducteus dont le plus simple que nous allons étudie est le modèle de épatition unifome de pession. facteu d adhéence facteu de fottement sec gaissé sec gaissé acie/acie 0,5 0, 0, 0,06 acie/fonte 0, 0, 0,6 0,06 acie/u-e 0, 0, 0,6 0,06 fonte/fonte 0, 0,5 0, fonte/u-e 0, 0, 0, polymèe/polymèe,0 0,05 céamique/céamique 0,5 0,05 lubification 0,005 0,00 hydodynamique métaux pafaitement >5 popes dans le vide métaux popes dans 0,8 l ai lubification de 0, 0,05 suface des métaux métaux su polymèes (PE, PFE, PVC) 0,5 0, Le modèle de épatition unifome des pessions Ce modèle suppose que la épatition de la pession de contact est unifome su toute la suface de contact. Cette condition impose : p(m) = p 0 = constante - une géométie pafaite des sufaces en contact ; les défauts sont négligés ; - les solides sont indéfomables ; - les liaisons sont sans jeu ; - le glisseu associé à la liaison est centé pa appot à celle-ci. L utilisation de ce modèle est intéessante d un point de vue calculatoie, mais il demeue fotement éloigné de la éalité dont il ne end pas compte coectement Le modèle de épatition fonction de la défomation (non au pogamme) Ce modèle suppose que l un ou les deux solides se défoment en suface et qu il y a une elation ente la défomation d(m) en un point de la suface de contact et la pession p(m) en ce même point. p(m) =k d(m) a Lycée Vauban, Best classe de PSI 0

11 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement dans laquelle : - k est un coefficient lié à la igidité des matéiaux en contact ; - a taduit le compotement des matéiaux en contact : a =, pou les métaux, a >, pou les matièes plastiques. Nous ne détailleons pas plus longtemps ce modèle hos pogamme La pession de matage ente solides en contact Le citèe sevant à détemine les conditions d emploi limites des solides en contact est un citèe de pession limite appelée pession de matage, valeu conventionnelle donnée pa les constucteus et les ouvages de calculs de mécanique. La condition limite est donc : Dans un mécanisme, les pessions de matage sont fotement liées aux conditions de montage et de fabication ainsi qu à l isostatisme des chaînes cinématiques paticipants au fonctionnement du mécanisme..9 Puissance Considéons un champ de glisseus p ( M). Supposons que les points M appatiennent à un domaine Ω, qui peut ête un volume, une suface, une doite ou un point. On notea dω l'élément difféentiel descipteu du domaine. Supposons qu il soit possible de détemine dans un epèe R, les vitesses de tout point M appatenant à Ω. On appellea puissance du champ de glisseus p ( M), su le domaineω elativement au epèe R, le éel P(p, Ω /R) défini pa Son unité SI est le watt (W). P ( p, Ω / R) = p( M) V ( M / ) M Ω R dω Dans le cas où tous les points M appatiennent à un solide S, on poua utilise le toseu cinématique caactéisant le mouvement de S pa appot à un epèe R On aua alos V V Ω / = V ( S R) ( S / R) (, S R) / et, en emplaçant dans l intégale, il vient P ( M,S / R) = V (,S / R) + Ω( S / R) M ( p, Ω / R) = p( M ) V (,S / R) dω + p( M ) Ω( S / R) M Ω p < p matage M Ω ( ) M dω Lycée Vauban, Best classe de PSI

12 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement En utilisant les popiétés du poduit mixte et en factoisant les quantités indépendantes de M, on obtient P ( p, Ω / R) = V (,S / R) p( M ) dω + Ω( S / R) M p( ) M Ω Mais on peut associe au champ de glisseus p ( M) ( p S) = M Ω M Ω p( M) dω M p M dω ( ) le toseu M Ω Et l on peut en déduie le ésultat impotant, dans le cas du solide P / ( p, S / R) = ( p S) V ( S R).0 Puissance des inteeffots dans une liaison. Liaison pafaite M dω Considéons une liaison ente deux solides et. On appelle puissance des P tel que inteeffots ou des effots écipoques le éel ( ) ( / ) = ( ) = ( / ) + ( / ) P R P P R P R Remaquons que cette puissance ne dépend pas du epèe R. En effet, si R et R sont deux éféentiels galiléens, on a ( / ) = ( / ) + ( / ) ( / ) = ( / ) + ( / ) P R P R P R P R P R P R en soustayant la seconde équation de la pemièe, il vient ( / ) ( / ) = ( ) ( / ) + ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) P R P R V R V R V R V R en utilisant le PR, on obtient ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P / R P / R = V R / R V R / R = 0 Définition : On dit qu une liaison ente deux solides et est pafaite si la puissance P est nulle pou tout t. des inteeffots ( ). avail Lycée Vauban, Best classe de PSI

13 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement La puissance étant connue à tout instant, on calcule le tavail elatif au champ p ( M) su le domaine Ω en mouvement pa appot au epèe R, ente les instant t 0 et t, pa l intégale Son unité SI est le joule (J). W t. Puissance dissipée, endement ( p, Ω / R) = P( p, Ω / R)dt t0 Le concept de liaison pafaite se taduit pa le fait que la puissance des inteeffots de la liaison est nulle. Dans la éalité, il existe toujous une dégadation de l énegie se taduisant pa des petes, notamment pa fottement. Pa exemple dans une liaison pivot, il existe un couple de fottement paasite s opposant à la otation elative ente les deux solides en liaison. Si l on considèe un mécanisme passif, la puissance à la sotie de celui-ci est dans la éalité difféente de la puissance à son entée : il y a des petes d énegie. On aua : puissance de sotie = puissance d entée + puissance pedue. Le endement de ce mécanisme passif sea alos endement vaut pou un mécanisme pafait. Puissance de sotie η=. Le Puissance d'entée Le Pincipe Fondamental de la Statique (PFS). Énoncé Pou qu un solide S soit en mouvement unifome ou au epos dans un éféentiel galiléen, il faut et il suffit que le toseu associé aux actions mécaniques extéieues à S soit nul. On note ( S S) = 0 Remaque : on poua étende ce pincipe pou un solide de masse supposée nulle en mouvement quelconque (les foces d inetie sont alos nulles).. Solide en équilibe statique sous l action de deux glisseus Soit deux points et B d un solide S en équilibe statique sous l action de deux glisseus passant espectivement pa et pa B. On a ( S S) = R 0 ( S S) Le toseu ésultant de la somme des actions mécaniques expimé en vaut = B R 0 Lycée Vauban, Best classe de PSI 3

14 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement ( ) = ( ) + ( ) = uuu S S S S S S En appliquant le PFS à S, on obtient qui donne R + R ( S S) = uuu = 0 B R R + R = 0 uuu B R = 0 R R + R B R B S R et donc R et R ont même diection, même nome et sont opposés. De plus, il sont uuu colinéaies à B..3 Solide en équilibe sous l action de tois glisseus Soit tois points, B et C d un solide S en équilibe statique sous l action de deux glisseus passant espectivement pa pa B et pa C. On a ( S S) = R 0 ( S S) = B R 0 3 ( S S) Le toseu ésultant de la somme des actions mécaniques expimé en vaut 3 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = uuu S S S S S S S S En appliquant le PFS à S, on obtient qui donne R+ R + R3 ( S S) = uuu uuu = 0 B R + C R3 R + R + R3 = 0 uuu uuu B R + C R = 0 3 = C R 0 R + R + R uuu B R + C R 3 uuu uuu Posons : K = B R. Ce vecteu est pependiculaie à B et R. La seconde uuu équation donne : K = C R3, c est à die K pependiculaie à R3 et uuu C. uuu uuu Les vecteus R, R3, B et C sont tous pependiculaies à K et donc coplanaies. Il en est de même de R d apès l équation de la ésultante. On peut donc énonce : R,R, R3 sont dans le plan BC Si, dans le plan BC, on appelle I le point d intesection des suppots de glisseus R, et R, leu moment pa appot à I est nul. Pou especte le PFS, il en est nécessaiement de même pou R 3, dont le suppot passe pa I. D où : 3 Lycée Vauban, Best classe de PSI 4

15 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement R, R, R concouants. 3 Remaque : le point I peut ête ejeté à l infini, et R,R, R3 colinéaies. sont coplanaies et.4 Poblème plan On dit qu un poblème est un poblème plan, losque la géométie peut ête assimilé à une géométie plane et que les actions mécaniques sont situées dans le même plan que la géométie du poblème. 3 Le Pincipe des ctions Récipoques (PR) 3. Énoncé Soit deux solides et en contact. Le toseu des actions mécaniques execées pa le solide su le solide est opposé au toseu des actions mécaniques execées pa le solide su le solide. On note : ( ) = ( ) 3. Conséquences. Supposons que les solides et soient en équilibe. On a ainsi ( ) = 0 et ( ) = 0 Les actions extéieues à sont constituées des actions extéieues à l ensemble + et de l action de su. On a alos De même pou le solide ( + ) + ( ) = 0 ( + ) + ( ) = 0 En effectuant la somme de ces deux équations, il vient ( + ) + ( ) + ( + ) + ( ) = 0 O, d apès la popiété de patition D où, ( + ) + ( + ) = ( + + ) ( + + ) + ( ) + ( ) = 0 Lycée Vauban, Best classe de PSI 5

16 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement Enfin, d apès le PR ( + + ) = 0 On en déduit que l ensemble des solides + est en équilibe. 4 Équilibe d un ensemble de solides 4. Hypothèse et théoème Soit un ensemble E constitué de n solides notés,, 3,..., n, chacun en équilibe statique. Pou qu un ensemble E de n solides soit en équilibe statique dans un epèe galiléen, il faut et il suffit que tout sous ensemble F de p solides soit en équilibe statique (c est à die que le toseu des actions mécaniques extéieues à F soit nul). 4. Démonstation On notea : ( F i ) p j le toseu des actions extéieues à F s exeçant su le solide i. j = ( i ) su i. On aua évidemment : ( i i ) = 0 le toseu des actions extéieues des autes solides de F. ppliquons le PFS au solide i : ( F i ) + ( j i ) = 0 Effectuons la somme de toutes ces elations pou les p solides de F. Il vient : p i = p j = p p ( F i ) + ( j i ) = 0 i = j = La double sommation du second teme peut ête associée en temes : i j + j i dont la somme est nulle d apès le PR ente les solides i et j. ( ) ( ) p On en tie : ( F i ) = ( F F ) = 0 i = 5 Le toseu des actions de la pesanteu 5. Masse et poids. CQFD On appelle masse d un cops Ω, le scalaie associé à tout ensemble de point matéiel de Ω tel que si ρ(m) est la masse volumique du solide au point M, on ait : m ( Ω) = ρ( ) M Ω M dω Lycée Vauban, Best classe de PSI 6

17 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement Placé dans un champ de pesanteu caactéisé pa un vecteu g, le poids d un point matéiel M de masse m, est une action à distance caactéisée pa un glisseu passant pa M tel que : p M = m 5. Cas d un ensemble matéiel ( ) g En tout point M, de masse dm, d un ensemble matéiel E s exece une action de pesanteu élémentaie caactéisée pa un glisseu passant pa M : dp ( M) = g. dm C est un champ de glisseus auquel on peut associe, en tout point, le toseu : R = ( ) dp M M E ( p / E) = M( ) = ( ) M dp M M E Dans la zone concené, g est constant, pa conséquent : M E dp = ( M ) g dm = gm( E) M E En appelant G le cente d inetie de E, on a : M E M E dp = ( M ) Mdm g M E Mdm = m E ( ) G Cette denièe quantité est nulle pou = G. Le toseu associé aux actions de pesanteu s écit donc : m( E) g ( p / E) = Cas du solide G Dans le cas du solide, la puissance associée aux actions de pesanteu s obtient en calculant le comoment de ce toseu avec le toseu cinématique du mouvement du solide S pa appot au epèe R. En effectuant le calcul au point G, cette puissance s écit : P p,s / R = m S g V G,S / R ( ) ( ) ( ) Pa suite le tavail développé pa les actions de pesanteu est défini, ente les instants t 0 et t, pa : W t ( p,s / R) = P( p,s / R) dt = m( S) g V ( G,S / R)dt t0 t t0 Lycée Vauban, Best classe de PSI 7

18 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement En factoisant les quantités constantes et en notant V g (G,S/R) la pojection de V G,S / R su l axe la diection du vecteu g, on obtient : ( ) W ( p,s / R) = m( S) g V ( G,S / R)dt En notant h la cote du point H, pojection du cente d inetie G su l axe potant g, on obtient : W ( p,s / R) = m(s )g( h h 0 ). 6 Les cops défomables utiles en mécanique des solides indéfomables 6. Le essot linéaie t t0 g O y x x On considèe deux solides et liés pa une liaison glissièe d axe Ox. Ente les faces, on pose : O = xx Le essot est un dispositif de masse négligeable devant les actions mécaniques mises en jeu. Il est caactéisé pa : une position où il ne poduit pas d action mécanique x 0, une aideu k, qui s expime en Nm. Le toseu associé aux actions mécaniques est ( ) ( ) = k x x x 0 0 ppliquons le PFS au essot, on a : ( ) + ( ) = 0 ( ) = O O k 0, ce qui donne x x 0 ( x ) Il est alos commode de considée les actions mécaniques de + su, en insistant su la définition de x, qui fixe la position de pa appot à 6. Le essot spiale ( + ) = O k 0 x x 0 ( x ) Lycée Vauban, Best classe de PSI 8

19 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement O y x α x On considèe deux solides et liés pa une liaison pivot d axe ( O,z ). On pose α = x ( ),x Le essot est un dispositif de masse négligeable devant les actions mécaniques mises en jeu. Il est caactéisé pa : un angle pou lequel le dispositif ne poduit pas d action mécanique α 0. une aideu k, qui s expime en Nm. Le toseu associé aux actions mécaniques est : ( ) 0 = k ( α α ) En appliquant le PFS au essot, on a : ( ) + ( ) = 0 ce qui donne : ( ) 0 = k 0 ( α α ) Il est alos commode de considée les actions mécaniques de + su, en insistant su la définition de α, qui fixe la position de pa appot à : ( + ) 0 = k 0 z z ( α α ) 0 z 6.3 Les fils et les couoies f B Un fil elie les solides et, espectivement aux points et B. Le plus souvent, on considèe que les fils ou les couoies ont une masse négligeable devant les autes actions mécaniques agissantes. On suppose de plus que le fil est : inextensible, infiniment flexible. Les actions mécaniques doivent tende le fil. Comme pou les solides soumis à deux glisseus, il est souvent commode de pose : ( f ) = kb 0 k < 0. Lycée Vauban, Best classe de PSI 9

20 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement 7 Condition d ac-boutement, disposition de deux contacts autobloquants On dit qu il y a ac-boutement su un solide losque le phénomène d adhéence povoque une impossibilité de mouvement quelque soit l intensité des actions mécaniques extéieues. Il y a équilibe quelques soient les intensités des effots. Exemple : Le dispositif ci-apès est constitué d'une plaque () su laquelle sont fixées deux piges () et (3). Un cochet aticulé su l'axe (4) suppote une chagep. Cet axe peut se déplace le long de la ainue pecée dans (). Le solide (++3) est en contact aux points et B avec une tige (0). Supposons que le solide (++3) soit en équilibe sous l'action des solides (0) et (4). On supposea que les poids popes des solides sont négligeables devant les autes effots. On connaît les facteus de fottement en et B : f = f = f = 0,8 B Bilan actions extéieues execées su le solide (P)=(++3) P ction de l'axe (4) en C : ( 4 P) = 0 ction de la tige (0) en avec fottement : ( ) 0 C 0 P = 0 0 ction de la tige (0) en B avec fottement : ( 0B P) B = 0 Le poblème compote quate inconnues, modules et diections de 0P et B 0P et de tois équations (le système est plan) ; le système est hypestatique de degé. outefois nous allons pouvoi malgé tout analyse son compotement. B P P des Lycée Vauban, Best classe de PSI 0

21 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement Connaissant les facteus de fottement en et B, nous connaissons les angles de fottement en et B. Les actions 0P et B 0P sont toujous contenues dans les cônes de fottement. De plus, nous savons que les actions en et B s'opposeons à un éventuel mouvement. On peut donc en déduie que l'action en se situea dans la zone gisée su le schéma ci conte. Supposons maintenant que l'action en se situe su le cône de fottement, c'est à die qu'au point nous nous plaçons à la limite ente l'équilibe et le mouvement. On peut alos détemine la diection de l'action en B ; en effet le solide (P) est soumis à tois foces, elles sont donc concouantes en un point I. On echeche le point de concous de et de, 0P C 4P on en déduit le point I et donc la diection. B 0P On constate que la diection de B est contenue dans le cône de fottement en B : le solide (P) est donc en équilibe. De plus cet équilibe est indépendant de la valeu de la foce P, c'est le phénomène de l ac-boutement. Remaques : En éalité l'action en se situe plus bas, autement l'action en B ne s'opposeait pas au mouvement éventuel ves le bas. On ne sait pas touve exactement les positions de 0P et B 0P. Si l'on déplace la chage ves la gauche, On obtienda l'équilibe stict pou la chage passant pa le point C' et un mouvement de glissement pou toutes chages situées à gauche de C' (équilibe impossible, il faudait que l'action en B sote du cône de fottement ce qui est iéalisable.) Lycée Vauban, Best classe de PSI

22 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement L h Monte que, à la limite du glissement, l axe cental du glisseu ( 4 P) la distance h L =, si h est la distance axiale ente et B. f 8 Méthode généale d étude des systèmes de solides se touve à pati d un dessin d ensemble ou d un mécanisme éel, voici la suite des opéations menant ationnellement à la solution d un poblème de statique. Réalise le schéma d achitectue du système Ce schéma d achitectue (plan ou spatial) sea obtenu apès la echeche successive : des sous ensembles en liaison encastement que l on appellea solides et que l on numéotea. du gaphe de stuctue du mécanisme. Etabli les epèes liés à chacun des solides et paaméte les positions On attibuea à chacun des solides un epèe pope qui lui sea lié. Il fauda le choisi en penant en compte les paticulaités du solide. On éalisea un paamétage de longueus et/ou d angles et l on tacea les figues planes taduisant ce paamétage. 3 Caactéise les liaisons et pécise les effots extéieus au mécanisme On déteminea pou chaque liaison le toseu des actions tansmissibles pa celle-ci. On pécisea les toseus epésentant les actions mécaniques extéieus. 4 Défini chacun des sous-ensembles auxquels vous allez applique le PFS Lycée Vauban, Best classe de PSI

23 Modélisation des actions mécaniques, statique des solides indéfomables, puissance et endement fin d applique le PFS, il fauda défini pécisément le solide ou l ensemble de solides considéés. Remaque : Cheche les ensembles de solides soumis à deux ou tois glisseus que l on sait ésoude de manièe simple. 5 Résoude le système d équations scalaies Pou ésoude un poblème pa la statique, il faut que le nombe d équations soit identique au nombe d inconnues du poblème. On peut véifie l isostatisme du poblème. Il est souvent plus facile de ésoude les équations de poche en poche plutôt que de ésoude de tès gands systèmes. Il faut pou cela isole les sous ensembles convenables et écie les équations de moment en des points où les ésultantes sont inconnues. Isaac NEWON Le saviez vous? La justification de la ègle du paallélogamme est due au mathématicien suisse Daniel Benoulli (700 78). C est René Descates ( ) qui a mis en lumièe le pincipe d inetie. Ce denie est né en Inde et Loie dans une commune qui s appelait La Haye et qui s appelle aujoud hui Descates. Lycée Vauban, Best classe de PSI 3