a (x 1) 2 + b b + c =1 a + b 2c =0 2a 2b + c =1 (x 1) 2 + 4/9 α x a

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Arsène Gamache
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1 Algèbre - Fiche-méthodes : Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples - Fiche-méthodes 2 : Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels - Fiche-méthodes 3 : Familles libres ou liées - Bases - Fiche-méthodes 4 : Applications linéaires - Rang - Fiche-méthodes 5 : Noyau et image d'une application linéaire - Théorème du rang - Fiche-méthodes 6 : Application linéaire bijective - Fiche-méthodes 7 : Calcul de l'inverse (éventuel) d'une matrice carrée - Fiche-méthodes 8 : Calcul de A n - Fiche-méthodes 9 : Appliquer le calcul de A n - Fiche-méthodes 0 : Valeurs propres et vecteurs propres de A - Fiche-méthodes : Diagonalisation

2 Fiche-méthodes : Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples Le but de la méthode est de décomposer une fraction rationnelle f = P Q (où P et Q sont des polynômes premiers entre eux) en une somme de fractions rationnelles plus simples. On peut présenter deux méthodes classiques pour y arriver. On réduit tous les termes au même dénominateur. On réduit au même dénominateur tous les termes de la partie fractionnaire de f, et on identie avec la fraction initiale. L'énoncé nous proposera la décomposition attendue (ou en tous les cas sa forme). x 2 + Exemple : Soit la fraction rationnelle f(x) = (x ) 2 ; il nous (x +2) a faut trouver a, b, c IR tels que f(x) = (x ) 2 + b x + c x +2 pour x et x 2. Solution : On part de la forme proposée et on réduit tout au même dénominateur : a (x ) 2 + b x + c x +2 = (b + c)x2 +(a + b 2c)x +(2a 2b + c) (x ) 2 (x +2) et on l'identie à la forme initiale de f, ce qui nous donne le système b + c = a + b 2c =0 2a 2b + c = On trouve alors : a = 2 3,b= 4 9,c= 5, d'où la décomposition de f : 9 x 2 + (x ) 2 (x +2) = 2/3 (x ) 2 + 4/9 x + 5/9 x +2. Remarque : cette méthode donne souvent lieu à des calculs assez lourds ; il est conseillé, chaque fois que cela est possible, de l'éviter. On calcule les coecients de la décomposition en les isolant. α Pour isoler le coecient α se trouvant dans la fraction d'une décomposition en éléments simples, on pensera à multiplier toute la relation x a par x a puis à prendre x = a. On répète l'opération pour chacun des coecients à déterminer..

3 Fiches-méthodes : algèbre 9 x Exemple : Soit à décomposer en éléments simples f(x) = (x 2)(x +3) pour x 2et x 3 ; il nous faut trouver a, b IR tels que f(x) = a x 2 + b x +3. Solution : On a les valeurs : a =(x 2)f(x) = x=2 et b =(x +3)f(x) = x = 3 x= 3 x 2 x= 3 5. D'où la décomposition : x = 2 x +3 x=2 5, x (x 2)(x +3) = 2/5 x 2 + 3/5 x +3. Exemple 2 : La tâche peut s'avérer plus délicate s'il on a dans la décomposition un terme avec un carré. x +2 Prenons l'exemple f(x) = (x ) 2 (x +) = a (x ) 2 + b x + c x + pour x et x. Solution : On a les valeurs : c =(x +)f(x) = x +2 x= x= (x ) 2 = 4, et a =(x ) 2 f(x) = x +2 = 3 x= x + x= 2. Le problème se présente au moment où nous voulons calculer b car on ne peut multiplier la relation par x puis prendre x =(à cause du terme en (x ) 2 ). On contourne ce problème en multipliant toute la relation par x puis en faisant tendre x vers +, il vient : 0=0+b + 4 d'où b = 4. Ainsi, on a la décomposition : x +2 (x ) 2 (x +) = 3/2 (x ) 2 + /4 x + /4 x +.

4 Fiche-méthodes 2 : Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels Comment montrer qu'une partie F d'un ev E est un sev de E? On revient à la dénition. Soit E un espace vectoriel réel et F E ; F est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel E si : - 0 E F - α IR, (x, y) F 2,αx+ y F. Exemple : Soit l'ensemble F = {M M 3 (IR), AM= MA} où A M 3 (IR) est donnée ; montrer que F est un espace vectoriel. Solution : Tout d'abord on note que F M 3 (IR) (c'est notre espace vectoriel E). Vérions les axiomes : - Ici 0 M3 (IR) représente la matrice nulle, on a évidemment A 0=0 A =0donc 0 M3 (IR) F. - Pour α IR et M,N F, voyons si αm + N F. A(αM + N) =αam + AN = αma + NA =(αm + N)A, ainsi M,N F αm + N F. En conclusion, F est bien un sous-espace vectoriel de M 3 (IR) (et donc F est lui-même un espace vectoriel). On écrit, quand cela est possible, l'ensemble F à l'aide d'un Vect. Soit S =(v,...,v n ) une famille de n vecteurs de E. On rappelle que F = Vect(v,...,v n )={α v + + α n v n ; α i IR} est l'ensemble des combinaisons linéaires de v,...,v n. On sait que F est un sous-espace vectoriel de E, appelé le sous-espace vectoriel engendré par S (S est donc une famille génératrice de F ). Exemple : Soit l'ensemble F = {(x, y, z) IR 3,x+ y =0, 2x y + z =0}. { x + y =0 Noter que : 2x y + z =0 espace vectoriel. { x = y z =3y ; montrer que F est un

5 Fiches-méthodes : algèbre Solution :Onav =(x, y, z) F il existe un réel y tel que : v =(x, y, z) F v =( y, y, 3y) =y(,, 3), d'où : F = Vect((,, 3)). On peut donc conclure que F est un sous-espace vectoriel de IR 3 (et donc c'est un espace vectoriel). Remarque : on peut même conclure que ((,, 3)) est une base de F et dim F =. On peut essayer de montrer que F est le noyau ou l'image d'une application linéaire. Exemple : Soit l'ensemble F = {(x, y, z) IR 3, 3x 4y + z = 0} ; montrer que F est un espace vectoriel. Solution : On considère l'application linéaire f : IR 3 IR dénie par : f(x, y, z) =3x 4y + z. Alors, F = {(x, y, z) IR 3, 3x 4y + z =0} = Ker f ; d'où : F est un espace vectoriel. Comment montrer que F n'est pas un sev de E? On peut soit montrer que 0 E / F,ousi0 E F montrer que F n'est pas stable soit pour la multiplication externe soit pour l'addition. Exemple : Pour l'ensemble F = {(x, y) IR 2, x + y =}, on peut remarquer que 0 2 IR =(0, 0) n'appartient pas à F car 0+0=0. Donc, F n'est pas un sous-espace vectoriel de IR 2. Exemple 2 : Soit l'ensemble F = {(x, y) IR 2,xy=0}. 0 IR 2 =(0, 0) F ; on ne peut rien dire pour le moment. Considérons : v =(, 0) F et v 2 =(0, ) F. On a v + v 2 =(, ) / F. La stabilité pour la loi + n'étant pas assurée, F n'est pas un sous-espace vectoriel de IR 2. Comment montrer que deux sev de dimension nie sont égaux? Pour montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G sont égaux, il sut de montrer par exemple : F G et dim F = dim G. Exemple : Dans IR 3, on considère les vecteurs : v =(2, 3, ), v 2 =(,, 2), w =(3, 7, 0) et w 2 =(5, 0, 7). Montrer que : Vect(v,v 2 )=Vect(w,w 2 ).

6 2 Fiches-méthodes Solution : On note F = Vect(v,v 2 ) et G = Vect(w,w 2 ). Clairement, par non colinéarité de v et v 2 et aussi de w et w 2,ona dim F = dim G =2. Il nous reste à montrer une inclusion ; par exemple, pour montrer que F G, il nous sut de vérier que v et v 2 sont dans G. On trouve facilement que v = 3 7 w + 7 w 2 (on a raisonné à l'aide des coordonnées nulles dans w et w 2 ). De même, on a v 2 = 7 w w 2. Dès lors, F G et donc, avec dim F = dim G, onaf = G. Comment montrer qu'un sev F de E est stable par f L(E)? On utilise la dénition. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E et F un sous-espace vectoriel de E. F est dit stable par f si f(f ) F. Autrement dit, F est stable par f x F, f(x) F. Remarque : si F est stable par f L(E), la restriction de f à F, notée f F induit un endomorphisme de F déni par : x F, f F (x) =f(x). Exemple : En notant E λ le sous-espace propre de f associé à la valeur propre λ, montrer que E λ est stable par f. Solution : En eet, pour x E λ on f(x) =λx. Il nous faut vérier que f(x) E λ c'est-à-dire f(f(x)) = λf(x) ce qui est immédiat en composant la relation f(x) =λx par f. Ainsi, tout E λ est stable par f. On utilise une famille génératrice de F. Soit f L(E) et (v,...,v p ) une famille génératrice de F. Pour montrer que F = Vect(v,...,v p ) est stable par f, on vérie que : i ; p, f(v i ) F. Exemple : On considère l'endomorphisme f de IR 3 dont la matrice dans la base canonique est : A = Soit v =(,, ), v 2 =(2,, 0) et F = Vect(v,v 2 ). Montrer que F est stable par f. Solution : Pour cela, il nous sut de vérier que f(v ) et f(v 2 ) sont dans F ; on procède matriciellement :

7 Fiches-méthodes : algèbre 3 A = et donc f(v )=v F. A 2 0 = 3 2 et donc f(v2 )=v + v 2 F. En conclusion, F est stable par f.

8 Fiche-méthodes 3 : Familles libres ou liées - Bases Comment montrer que la famille S =(v,...,v k ) est libre? Soit S = (v,...,v k ) une famille de k vecteurs d'un espace vectoriel E de dimension nie n. Dans le cas général, on revient à la dénition. Celle-ci nous précise que si une combinaison linéaire de ces vecteurs est nulle alors nécessairement tous les coecients sont nuls, soit : k λ i v i =0= i ; k, λ i =0. i= Deux cas particuliers : Si la famille ne contient qu'un seul vecteur v, on utilise la propriété : (v) est libre v 0 E. Si la famille contient deux vecteurs u et v, on utilise la propriété : (u, v) libre u et v ne sont pas proportionnels. Remarque : noter que pour qu'une famille de plus de trois vecteurs soit libre, il ne sut pas que les vecteurs soient 2 à 2 non colinéaires. ( ) Exemple : Soit S = v =(5, 2, ),v 2 =(,, 2),v 3 =(, 0, 6). Vérier que S est libre. Solution :Ona:λ v +λ 2 v 2 +λ 3 v 3 =0 3 IR λ 2 = 2λ λ 3 =3λ λ 4λ +8λ =0 Ainsi, la famille S est libre. λ = λ 2 = λ 3 =0. On peut aussi déterminer le rang de S. En calculant le rang de S, on utilise l'équivalence : S est libre rg(s) =k. 5λ + λ 2 λ 3 =0 2λ + λ 2 =0 λ +2λ 2 +6λ 3 =0

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