Les mathématiques de l Origami

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1 Les mathématiques de l Origami 1 Origami, septembre 2008

2 Les mathématiques de l Origami Et la comparaison avec les constructions à la règle et au compas 2 Origami, septembre 2008

3 rincipes de la géométrie d Euclide (E1) Il est toujours possible de tracer une droite entre deux points. 3 Origami, septembre 2008

4 rincipes de la géométrie d Euclide (E1) Il est toujours possible de tracer une droite entre deux points. (E2) Il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. 4 Origami, septembre 2008

5 Les axiomes des mathématiques de l Origami (O1) Un unique pli passe par deux points et spécifiés (distincts). 5 Origami, septembre 2008

6 Les axiomes des mathématiques de l Origami (O1) Un unique pli passe par deux points et spécifiés (distincts). (O2) Un unique pli amène un point sur un point ( ). 6 Origami, septembre 2008

7 Les axiomes des mathématiques de l Origami (O1) Un unique pli passe par deux points et spécifiés (distincts). (O2) Un unique pli amène un point sur un point ( ). (O3) Il existe un pli qui superpose deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ). 7 Origami, septembre 2008

8 Les axiomes des mathématiques de l Origami (O1) Un unique pli passe par deux points et spécifiés (distincts). (O2) Un unique pli amène un point sur un point ( ). (O3) Il existe un pli qui superpose deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ). (O4) Un unique pli passe par un point et est orthogonal à une droite (D). 8 Origami, septembre 2008

9 Les axiomes des mathématiques de l Origami (O1) Un unique pli passe par deux points et spécifiés (distincts). (O2) Un unique pli amène un point sur un point ( ). (O3) Il existe un pli qui superpose deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ). (O4) Un unique pli passe par un point et est orthogonal à une droite (D). (O5) Soit une droite (D) et deux points et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli passant par qui amène sur (D). 9 Origami, septembre 2008

10 Les axiomes des mathématiques de l Origami (O1) Un unique pli passe par deux points et spécifiés (distincts). (O2) Un unique pli amène un point sur un point ( ). (O3) Il existe un pli qui superpose deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ). (O4) Un unique pli passe par un point et est orthogonal à une droite (D). (O5) Soit une droite (D) et deux points et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli passant par qui amène sur (D). (O6) Soit deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ) et deux points distincts et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli qui amène simultanément sur (D 1 ) et sur D Origami, septembre 2008

11 (O1) Un unique pli passe par deux points et spécifiés (distincts). Ce pli est simplement la droite passant par et. On retrouve le principe (E1). 11 Origami, septembre 2008

12 (O2) Un unique pli amène un point sur un point ( ). Ce pli est la médiatrice du segment. On peut construire cette droite à la règle et au compas. 12 Origami, septembre 2008

13 (O3) Il existe un pli qui superpose deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ). (D 1 ) et (D 2 ) parallèles (D 1 ) (D 2 ) 13 Origami, septembre 2008

14 (O3) Il existe un pli qui superpose deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ). (D 1 ) et (D 2 ) sécantes (D 1 ) et (D 2 ) parallèles (D 1 ) (D 2 ) (D 1 ) (D 2 ) 14 Origami, septembre 2008

15 (O3) Il existe un pli qui superpose deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ). (D 1 ) et (D 2 ) sécantes (D 1 ) et (D 2 ) parallèles (D 1 ) (D 2 ) (D 1 ) (D 2 ) On peut construire cette (ces) droite(s) à la règle et au compas. 15 Origami, septembre 2008

16 (O4) Un unique pli passe par un point et est orthogonal à une droite (D). Ce pli est la perpendiculaire à (D) passant par. (D) 16 Origami, septembre 2008

17 (O4) Un unique pli passe par un point et est orthogonal à une droite (D). Ce pli est la perpendiculaire à (D) passant par. (D) On peut construire cette droite à la règle et au compas. 17 Origami, septembre 2008

18 (O5) Soit une droite (D) et deux points et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli passant par qui amène sur (D). ' (D) 18 Origami, septembre 2008

19 (O5) Soit une droite (D) et deux points et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli passant par qui amène sur (D). ' (D) =. Donc, est sur le cercle de centre et de rayon. 19 Origami, septembre 2008

20 (O5) Soit une droite (D) et deux points et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli passant par qui amène sur (D). ' (D) =. Donc, est sur le cercle de centre et de rayon. On vient de montrer qu on peut construire cette droite à la règle et au compas si le cercle intersecte (D). 20 Origami, septembre 2008

21 (O6) Soit deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ) et deux points distincts et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli qui amène simultanément sur (D 1 ) et sur D 2. (D 2 ) (D 1 ) 21 Origami, septembre 2008

22 (O6) Soit deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ) et deux points distincts et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli qui amène simultanément sur (D 1 ) et sur D 2. Cet axiome est mystérieux! (D 2 ) (D 1 ) 22 Origami, septembre 2008

23 (O6) Soit deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ) et deux points distincts et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli qui amène simultanément sur (D 1 ) et sur D 2. Cet axiome est mystérieux! (D 2 ) (D 1 ) En général, on ne pourra pas construire cette droite à la règle et au compas. 23 Origami, septembre 2008

24 uels sont les nombres qu on peut construire à la règle et au compas? On suppose donné un segment de longueur 1: on dira que 1 est constructible. 24 Origami, septembre 2008

25 uels sont les nombres qu on peut construire à la règle et au compas? On suppose donné un segment de longueur 1: on dira que 1 est constructible. Si a et b sont constructibles, on peut construire a + b. 25 Origami, septembre 2008

26 uels sont les nombres qu on peut construire à la règle et au compas? On suppose donné un segment de longueur 1: on dira que 1 est constructible. Si a et b sont constructibles, on peut construire a + b. Si a et b sont constructibles, on peut construire ab et a b (en jouant avec des triangles semblables). 26 Origami, septembre 2008

27 uels sont les nombres qu on peut construire à la règle et au compas? On suppose donné un segment de longueur 1: on dira que 1 est constructible. Si a et b sont constructibles, on peut construire a + b. Si a et b sont constructibles, on peut construire ab et a b (en jouant avec des triangles semblables). Si a est constructible, on peut construire a. 27 Origami, septembre 2008

28 uels sont les nombres qu on peut construire à la règle et au compas? On suppose donné un segment de longueur 1: on dira que 1 est constructible. Si a et b sont constructibles, on peut construire a + b. Si a et b sont constructibles, on peut construire ab et a b (en jouant avec des triangles semblables). Si a est constructible, on peut construire a. Et rien d autre! 28 Origami, septembre 2008

29 uels sont les nombres qu on peut construire à la règle et au compas? On suppose donné un segment de longueur 1: on dira que 1 est constructible. Si a et b sont constructibles, on peut construire a + b. Si a et b sont constructibles, on peut construire ab et a b (en jouant avec des triangles semblables). Si a est constructible, on peut construire a. Et rien d autre! Exemple: Le nombre est constructible. 29 Origami, septembre 2008

30 La trisection de l angle eut-on diviser un angle en trois parties égales à l aide de la règle et du compas? 30 Origami, septembre 2008

31 La trisection de l angle eut-on diviser un angle en trois parties égales à l aide de la règle et du compas? En général non! 31 Origami, septembre 2008

32 La trisection de l angle eut-on diviser un angle en trois parties égales à l aide de la règle et du compas? En général non! ourquoi? 32 Origami, septembre 2008

33 La trisection de l angle eut-on diviser un angle en trois parties égales à l aide de la règle et du compas? En général non! ourquoi? arce que cos θ 3 cubique. est solution d une équation 33 Origami, septembre 2008

34 La trisection de l angle eut-on diviser un angle en trois parties égales à l aide de la règle et du compas? En général non! ourquoi? arce que cos θ 3 cubique. est solution d une équation La trisection de l angle est possible en Origami! 34 Origami, septembre 2008

35 La trisection de l angle en Origami On sait déjà qu on devra utiliser l axiome (O6) (D 2 ) (D 1 ) 35 Origami, septembre 2008

36 La trisection de l angle en Origami (D 2 ) (D 1 ) 36 Origami, septembre 2008

37 La trisection de l angle en Origami (D 2 ) (D 2 ) (D 3 ) (D 1 ) (D 1 ) 37 Origami, septembre 2008

38 La trisection de l angle en Origami (D 2 ) (D 2 ) (D 3 ) (D 2 ) (D 3 ) A B (D 1 ) (D 1 ) C (D 1 ) D 38 Origami, septembre 2008

39 La trisection de l angle en Origami (D 2 ) (D 2 ) (D 3 ) (D 2 ) (D 3 ) A B (D 1 ) (D 1 ) C (D 1 ) D La nouvelle droite obtenue (D 3 ) est le prolongement de l image de (D 1 ) après le pli. Comme (D 1 ) est perpendiculaire au bord de la feuille, elle sera perpendiculaire à AB. À montrer: cette droite passe par l origine. 39 Origami, septembre 2008

40 La trisection de l angle en Origami (D 2 ) (D 2 ) (D 3 ) (D 2 ) (D 3 ) A B (D 1 ) (D 1 ) C (D 1 ) D La nouvelle droite obtenue (D 3 ) est le prolongement de l image de (D 1 ) après le pli. Comme (D 1 ) est perpendiculaire au bord de la feuille, elle sera perpendiculaire à AB. À montrer: cette droite passe par l origine. C est obtenu en pliant (D 3 ) sur le bord inférieur du papier. Comme on sait que BC = CD (c est le quart du côté de la feuille), le pli passe par C. Donc, BC = ĈD. 40 Origami, septembre 2008

41 La trisection de l angle en Origami 41 Origami, septembre 2008

42 La trisection de l angle en Origami (D 2 ) (D 3 ) B R S C (D 1 ) 42 Origami, septembre 2008

43 La trisection de l angle en Origami (D 2 ) (D 3 ) (D 2 ) (D 3 ) B A B R S C (D 1 ) R S C (D 1 ) D 43 Origami, septembre 2008

44 La trisection de l angle en Origami (D 2 ) (D 3 ) (D 2 ) (D 3 ) B A B R S C (D 1 ) R S C (D 1 ) D La droite (D 3 ) passe par l origine. En effet, R = BC et RS = SB. Donc, les triangles rectangles RS et SBC sont congrus. On en conclut RS = BSC. D où,, S et B sont alignés. 44 Origami, septembre 2008

45 La trisection de l angle en Origami (D 2 ) (D 3 ) (D 2 ) (D 3 ) B A B R S C (D 1 ) R S C (D 1 ) D La droite (D 3 ) passe par l origine. En effet, R = BC et RS = SB. Donc, les triangles rectangles RS et SBC sont congrus. On en conclut RS = BSC. D où,, S et B sont alignés. On a AB = BC. Donc, les deux triangles rectangles AB et BC sont congrus. D où ÂB = BC. On avait déjà BC = ĈD. 45 Origami, septembre 2008

46 Construire une parabole en Origami La parabole est l enveloppe de tous les plis envoyant un point F fixe sur un point variable d une droite ( ) (souvent prise au bord de la feuille). 46 Origami, septembre 2008

47 ourquoi? F (D ) La droite de pli (D ) envoie F sur. est à l intersection de (D ) et de la perpendiculaire à ( ) en. ( ) S 47 Origami, septembre 2008

48 ourquoi? F (D ) La droite de pli (D ) envoie F sur. est à l intersection de (D ) et de la perpendiculaire à ( ) en. ( ) S est à égale distance de F et ( ), donc sur la parabole de foyer F et de directrice. 48 Origami, septembre 2008

49 ourquoi? F (D ) La droite de pli (D ) envoie F sur. est à l intersection de (D ) et de la perpendiculaire à ( ) en. ( ) S est à égale distance de F et ( ), donc sur la parabole de foyer F et de directrice. Affirmation: (D ) est tangente à cette parabole. 49 Origami, septembre 2008

50 ourquoi? ( ) F R (D ) 50 Origami, septembre 2008

51 ourquoi? ( ) F R (D ) Soit R un point de (D ). Alors RF = R. Donc, la distance de R à ( ) est inférieure à RF. 51 Origami, septembre 2008

52 ourquoi? ( ) F R (D ) Soit R un point de (D ). Alors RF = R. Donc, la distance de R à ( ) est inférieure à RF. La tangente à la parabole en est la seule droite dont tous les points, sauf sont plus proches de ( ) que de F. 52 Origami, septembre 2008

53 Bonus Faire un pli qui envoie un point F sur une droite ( ), c est construire une tangente à la parabole de foyer F et de directrice ( ). ( ) F R (D ) 53 Origami, septembre 2008

54 Construire une ellipse en Origami L ellipse est l enveloppe de tous les plis envoyant un point F fixe à l intérieur d un cercle sur un point variable d un cercle. F est un foyer de l ellipse, le deuxième foyer étant le centre du cercle. 54 Origami, septembre 2008

55 Construire une hyperbole en Origami L hyperbole est l enveloppe de tous les plis envoyant un point F fixe à l extérieur d un cercle sur un point variable d un cercle. F est un foyer de l ellipse, le deuxième foyer étant le centre du cercle. 55 Origami, septembre 2008

56 Retour sur l axiome (O6) (O6) Soit deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ) et deux points distincts et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli qui amène simultanément sur (D 1 ) et sur D Origami, septembre 2008

57 Retour sur l axiome (O6) (O6) Soit deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ) et deux points distincts et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli qui amène simultanément sur (D 1 ) et sur D 2. Rappel: un pli qui envoie un point F sur une droite ( ), c est une tangente à la parabole de foyer F et de directrice ( ). 57 Origami, septembre 2008

58 Retour sur l axiome (O6) (O6) Soit deux droites distinctes (D 1 ) et (D 2 ) et deux points distincts et. Lorsque le problème est possible, il existe un pli qui amène simultanément sur (D 1 ) et sur D 2. Rappel: un pli qui envoie un point F sur une droite ( ), c est une tangente à la parabole de foyer F et de directrice ( ). Un pli qui amène simultanément sur (D 1 ) et sur D 2 est une tangente commune à deux paraboles: la parabole de foyer et de directrice (D 1 ) et la parabole de foyer et de directrice (D 2 ). 58 Origami, septembre 2008

59 L axiome (O6) permet de construire des solutions de polynômes cubiques renons les paraboles y = 1 2 x2 et ( y a 2) 2 = 2bx. 59 Origami, septembre 2008

60 L axiome (O6) permet de construire des solutions de polynômes cubiques renons les paraboles y = 1 2 x2 et ( y a 2) 2 = 2bx. La pente m d une tangente commune aux deux paraboles est solution de l équation m 3 + am + b = Origami, septembre 2008

61 L axiome (O6) permet de construire des solutions de polynômes cubiques renons les paraboles y = 1 2 x2 et ( y a 2) 2 = 2bx. La pente m d une tangente commune aux deux paraboles est solution de l équation m 3 + am + b = 0. Suivant les valeurs de a et de b les deux paraboles peuvent avoir jusqu à trois tangentes communes. 61 Origami, septembre 2008

62 Deux paraboles ayant trois tangentes communes dont les pentes satisfont m 3 2m + 1 = 0 62 Origami, septembre 2008

63 uels sont les nombres qu on peut construire à l Origami? Tous les nombres constructibles à la règle et au compas sont constructibles à l Origami. 63 Origami, septembre 2008

64 uels sont les nombres qu on peut construire à l Origami? Tous les nombres constructibles à la règle et au compas sont constructibles à l Origami. Si a et b sont constructibles à l Origami et si m est une racine réelle de m 3 + am + b = 0, alors m peut être construit à l Origami. 64 Origami, septembre 2008

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

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