1.1 Nombres complexes

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1 Université de Provence Mathématiques Générales I Parcours PEIP Cours : Nombres complexes 1 Définitions 11 Nombres complexes Définition 1 On appelle nombre complexe tout élément z de la forme z a + ib, avec a et b deux nombres réels et i un élément particulier vérifiant i 1 Remarque On admet la construction théorique de cet élément i Définition 3 Pour tout nombre complexe z a + ib, a est appelé partie réelle de z, notée Rez, et b sa partie imaginaire, notée Imz On appelle a + ib l écriture cartésienne de z Si b 0, on dit que z est réel Si a 0, on dit que z est imaginaire pure Notation 4 On note C l ensemble des nombres complexes et on le munit de : l addition induite par l addition dans R de chaque composante a 1 + ib 1 + a + ib : a 1 + a + ib 1 + b ; la multiplication induite par la multiplication dans R et par la distributivité a 1 + ib 1 a + ib : a 1 a + ia 1 b + ib 1 a + i b 1 b a 1 a b 1 b + ia 1 b + b 1 a Proposition 5 Les opération d addition et de multiplication dans C sont : z1 + z associatives : + z 3 z 1 + z + z 3 ; z 1 z z 3 z 1 z z 3 commutatives : z1 + z z + z 1 ; z 1 z z z 1 distributives : z1 z + z 3 z 1 z + z 1 z 3 z 1 + z z 3 z 1 z 3 + z 1 z 3 Un nombre complexe étant un couple de nombre réels, on peut l interpréter comme un point A du plan R, ou encore comme le vecteur v determiné par l origine du plan et le point A z a + ib b v A a

2 1 DÉFINITIONS L addition correspond alors à la somme des vecteurs Le vecteur AB entre deux points A et B étant la différence des vecteurs OB et OA, O désignant l origine, il est donc décrit par zb z A où z A et z B sont respectivement les nombres complexes décrivant les points A et B A AB OA B OB La multiplication par un nombre complexe correspond à une transformation du plan Remarque 6 Puisque l axe des abscisses correspond aux nombre réels, on l appelle souvent axe réel 1 Conjugué Définition 7 Pour tout z a + ib C, on appelle conjugué de z, noté z, le nombre complexe a ib Proposition 8 Pour tout z 1, z C, on a : z 1 z 1 ; z 1 + z z 1 + z ; z 1 z z 1 z ; 1 z 1 1 z 1 si z 1 0 ; z1 z 1 z 1 réel z 1 z 1 z 1 imaginaire pure ; z1 + z 1 Rez 1 ; z 1 z 1 Imz 1 z 1 z 1 R + Démonstration du dernier point Pour tout z a + ib C, on a : zz a + iba ib a + b + iab ba a + b R + Le point associé à z est le symétrique de celui associé à z par rapport à l axe réel 13 Module Définition 9 Pour tout nombre complexe z C, on appelle module de z, noté z, le nombre réel positif zz Cette notion prolonge celle de valeur absolue pour les nombre réels Proposition 10 Pour tout z 1, z C, on a : Rez 1 z 1, Imz 1 z 1 ; z 1 z z 1 z ; z 1 z 1 ; z 1 z z 1 + z z 1 + z avec égalité si et seulement si z 1 z R + inégalité triangulaire

3 1 DÉFINITIONS 3 Démonstration de l inégalité triangulaire Pour tous z 1, z C, les réels z 1 + z et z 1 + z sont positifs, donc z 1 + z z 1 + z est équivalent à z 1 + z z 1 + z Or z 1 + z z 1 + z z 1 + z z 1 + z z 1 + z 1 z + z z 1 z 1 + z 1 z + z z 1 + z z z 1 z 1 + z 1 z + z z z 1 z + z 1 z z 1 z Rez 1 z z 1 z, et la dernière inégalité est vraie en vertu de la proposition 10 De plus, on a égalité si et seulement Rez 1 z z 1 z, c est à dire si et seulement si z 1 z est un réel positif Pour l inégalité de gauche, on applique celle de droite à w 1 z 1 + z et w z On obtient z 1 + z z z 1 + z + z z 1 z z 1 + z En l appliquant également à w 1 z 1 + z et w z 1, on obtient ce qui donne bien l inégalité voulue z 1 z z z 1 z 1 + z, Proposition 11 Tout nombre complexe non nul admet un inverse pour la multiplication Démonstration Si z est un nombre complexe non nul, alors z > 0 et z z z z z 1 z z est un inverse pour z puisque Notation 1 On note C l ensemble des nombres complexes inversibles, c est à dire l ensemble des nombres complexes non nuls Le module de z correspond à la distance entre l origine et le point associé à z ou encore à la longueur du vecteur associé Le module de z z 1 est donc la distance entre les points associés à z 1 et à z L inégalité triangulaire appliquée à w 1 z 1 z 3 et w z z 3 dit que la ligne droite est le plus court chemin entre deux points 14 Nombres complexes de module 1 Les nombres complexes de module 1 sont les nombres complexes situés à une distance 1 de l origine Il s agit donc des points du cercle unité Ceux-ci sont déterminés par leur angle par rapport au demi-axe des réels positifs sinθ z θ cosθ Plus algébriquement :

4 1 DÉFINITIONS 4 Proposition 13 Soit z C tel que z 1, alors il existe un unique θ [0, π[ vérifiant z cosθ+i sinθ Démonstration Soit z a + ib C tel que z a + b 1, alors a est dans [ 1, 1] et il existe un unique θ [0, π] tel que a cos θ Mais alors sin θ 1 cos θ 1 a b Si b 0, on prend θ θ, sinon on prend θ π θ ]π, π[ L unicité provient de ce que, pour θ 1, θ [0, π[, on ait cosθ 1 cosθ θ θ 1 ou θ π θ 1 et sin θ 1 sinπ θ 1 Notation 14 Pour tout θ R, on note e iθ le nombre complexe cosθ + i sinθ Proposition 15 Pour tout θ 1, θ R, on a : e iθ1+θ e iθ1 e iθ ; 1 e iθ 1 eiθ1 e iθ1 Démonstration Cela provient des formules trigonométriques 15 Argument Remarque 16 Pour tout z C, le nombre complexe z z est de module 1 Définition 17 Pour tout z C, on appelle argument de z tout réel θ tel que z z eiθ Proposition 18 Si θ est un argument de z, alors l ensemble des arguments de z est exactement θ+kπ k Z} Définition 19 On appelle l argument de z, noté Argz, l unique argument de z compris dans l intervalle [0, π[ Proposition 0 Tout nombre complexe non nul admet une écriture sous la forme re iθ avec r R + et θ [0, π[ Elle est unique et on l appelle écriture polaire de z Démonstration L existence provient de l égalité z z e iargz Pour prouver l unicité, on suppose r 1 e iθ1 r e iθ avec r 1, r R + et θ 1, θ [0, π[ On a alors r 1 e iθ eiθ θ1 1 r et donc r 1 r Mais alors on a également eiθ 1 e iθ 1, c est à dire eiθ1 e iθ, et donc θ 1 θ Proposition 1 Pour tout z 1, z C, Argz 1 + Argz est un argument de z 1 + z e iθ1 Remarque L écriture cartésienne est bien adaptée à l addition tandis que l écriture polaire est mieux adaptée à la multiplication L argument d un nombre complexe, c est l angle que forme le vecteur associé avec le demi-axe des réels positifs La décomposition polaire, c est la donnée d un point par son angle au demi-axe des réels positifs et sa distance à l origine

5 PUISSANCES ET RACINES DE NOMBRES COMPLEXES 5 Puissances et racines de nombres complexes 1 Racines carrées Proposition 3 Soit z C, il existe deux racines carrées calculables de z, opposées l une de l autre ; c est à dire, il existe w C tel que w w z Dans ce qui suit, la méthode permettant de trouver les racines est beaucoup plus importantes que les formules C est elle qui permettra, en pratique, de calculer effectivement les racines d un nombre complexe donné Démonstration Dans le cadre de la recherche d une racine carrée, l écriture cartésienne peut être bien adaptée On écrit donc z a + ib et on cherche w x + iy, avec x, y R tel que w z Cela équivaut à x + iy x y + ixy a + ib, ou encore à x y a et xy b Or, on a également x + y w w z a + b En additionnant et en soustrayant avec la première des deux relations ci-dessus, on obtient et donc x a + b + a a + b + a et y a + b a a + b a x ± et y ± Enfin, la relation xy b, b étant donné, nous informe sur le signe du produit xy, c est à dire nous dit si x et y ont le même signe ou non Si b est positif, les deux racines éventuels de z sont donc a a + b + a + b + i a ou a + b + a i a + b a et si b est négatif, les deux racines éventuelles sont a + b + a i a + b a ou a + b + a + i a + b a Réciproquement, un calcul direct montre que les deux sont bien racines de z Remarque 4 Il ne faut jamais écrire z quand z n est pas un réel positif En effet, quand x est un réel strictement positif, l équation y x admet toujours deux racines, l une positive, l autre négative On a donc un moyen simple de les différencier : leur signe, et par convention on choisit de noter x celle qui est positive car on a alors la relation x 1 x x 1 x Quand z est un complexe quelconque, l équation w z admet toujours deux solutions opposées, mais il n est plus aussi simple de choisir laquelle des deux sera représentée par une notation z Pire que cela, on peut démontrer qu il est impossible de définir une fonction sur C qui soit continue tout en vérifiant toujours z 1 z z 1 z Dans ces conditions, le plus simple est de se passer d une telle notation Proposition 5 Pour tous nombres complexes a, b et c avec a non nul, l équation az + bz + c 0 admet deux solutions, éventuellement confondues, qui sont b±δ a où δ est une racine carrée, éventuellement nulle, du nombre complexe b 4ac Démonstration Puisque a 0, on a az + bz + c 0 z + b a z + c a 0

6 PUISSANCES ET RACINES DE NOMBRES COMPLEXES 6 Mais en développant tout ce qui peut être développé, on observe que z + b a z + c a z + b a z + b a z + b + δ a b 4ac 4a δ a z + b δ a Or si un produit s annule, c est que l un des deux termes s annule, on en déduit donc que les deux seules solutions possibles sont bien b±δ a Réciproquement, un calcul direct montre qu elles sont bien solutions Racines n ièmes Proposition 6 Soit a re iθ C, alors, pour tout n N l équation z n a admet exactement n solutions distinctes, à savoir n re i θ+kπ n pour k 0, n 1 Démonstration Puisque a est non nul, 0 n est pas solution On peut donc écrire toute solution éventuelle z sous sa forme polaire ρe iφ L équation devient alors ρ n e inφ re iθ, ce qui revient à rho n r et e inφ e iθ, ou encore rho n r et nφ θ + kπ avec k Z L ensemble des racines n ième de a est donc } n re i θ+kπ n k Z Or la suite e i θ+kπ n k Z est périodique de période n car, pour tout k Z, on a e i θ+k+nπ n e i θ+kπ n +π e i θ+kπ n On en déduit le résultat Exemple 7 Les n racines n ièmes de l unité sont les nombres complexes 1, e i π n, e i 4π n,, e i n 1π n Remarque 8 Si n est un entier plus grand que deux, l équation z n 1 z n n implique pas que z 1 z, mais que ou bien z 1 et z sont tous deux nuls, ou bien leur quotient est l une des n racines n ièmes de l unité 3 Somme des termes d une suite géométrique Proposition 9 Soit a un nombre complexe différent de 1, alors, pour tout n N, a k an+1 1 a 1

7 3 TRANSFORMATIONS DU PLAN 7 Démonstration On a a 1 a k a 1a k a k+1 a k n n a k+1 a k a n+1 + a n+1 1 a k 1 + k1 k1 a k Remarque 30 Cette proposition se démontre également très bien par récurrence sur n Corollaire 31 Pour tout α R et n N, on a si α πz : coskα n + 1 et sinkα 0 ; si α / πz : coskα cos nα sin n+1α sin α et sinkα sin nα sin n+1α sin α Démonstration Si α πz, le résultat est clair Sinon, pour tout n N, on pose On a alors C n A n coskα, B n coskα + i sinkα sinkα et C n A n + ib n e ikα e iα k ein+1α 1 e iα 1 n+1α ei e i α e i n+1α n+1α i e e i α e i α n+1α i sin e i nα i sin α sin n+1α e i nα sin α Il ne reste plus, pour conclure, qu à observer que A n ReC n et B n ImC n 3 Transformations du plan Chaque point du plan correspond à un nombre complexe Toute transformation du planpeut donc être vue comme une application de C dans C Le but de cette partie est de traduire sous forme complexe toutes les transformation usuelles du plan

8 3 TRANSFORMATIONS DU PLAN 8 31 Transformations fixant l origine Proposition 3 L homothétie h k centrée en l origine et de rapport k R correspond à l application z kz La rotation r θ d angle θ R autour de l origine correspond à z e iθ z La symétrie s 0 par rapport à l axe réel correspond à z z Démonstration Par définition, l application h k envoie le vecteur OA sur le vecteur k OA Au nombre complexe z, elle associe donc le nombre complexe kz L application r θ envoie, quant à elle, le point A sur le seul point B tel que OA et OB soient de même longueur et forment un angle θ Cela signifie que z A z B et que Arg zb z A Argz B Argz A θ On a donc z B za e iθ et donc z B e iθ z A L assertion sur la symétrie axiale a déjà été vue Corollaire 33 La symétrie centrale s O autour de l origine s écrit z z La symétrie axiale s θ par rapport à la droite passant par l origine et formant un angle θ R avec l axe réel s écrit z e iθ z Démonstration Que ce soit en interprétant s O comme une rotation d angle π ou une homothétie de rapport 1, on obtient le résultat Avec les notations ci-dessus, la symétrie s θ peut se décomposer 1 en s θ r θ s 0 r θ D après ce qui précède, cela donne z e iθ z e iθ z e iθ z e iθ e iθ z e iθ z Corollaire 34 Toute application de la forme z az avec a C correspond à la composition d une homothétie et d une rotation, toutes deux centrée en l origine Démonstration On écrit a re iθ sous forme polaire La multiplication par a peut alors être décomposée en d abord une multiplication par r, ie une homothétie de rapport r, puis une multiplication par e iθ, ie une rotation d angle θ 3 Transformation ne fixant pas nécessairement l origine Proposition 35 Si w représente le vecteur v, alors la translation t v de vecteur v s écrit z z + w Démonstration Si la translation t v envoie A sur B ; c est que AB v et donc que zb z A w Corollaire 36 Soit A le point d affixe z A L homothétie h A,k de centre A et de rapport k R s écrit z kz + 1 kz A La rotation r A,θ de centre A et d angle θ R s écrit z e iθ z + 1 e iθ z A Démonstration Dans les deux cas, on peut procéder de deux manières 1ère méthode : dans l esprit de la preuve du corollaire 33, on peut écrire la transformation comme la composée de i la translation t AO qui ramène A en l origine ; 1 cela correspond à tourner le plan de sorte à rendre horizontale la droite par rapport à laquelle on veut faire la symétrie, faire la symétrie et enfin remettre le plan à sa place en faisant la rotation inverse

9 3 TRANSFORMATIONS DU PLAN 9 ii une tranformation qui cette fois fixe l origine ; iii la translation t OA qui renvoie l origine en A Dans le cas de l homothétie, cela donne par exemple : z z z A kz z A kz z A + z A kz + 1 kz A nde méthode : on peut reprendre la démonstration de la proposition 3 en remplaçant l origine par A Dans le cas de la rotation, cela donne par exemple : L application r A,θ envoie le point M sur le seul point M tel que AM et AM soient de même longueur et forment un angle θ Cela signifie que z M z A z M z B et que Arg zm z A z M z A θ On a donc z M z A z M z A e iθ et donc z M e iθ z M z A + z A Corollaire 37 Toute application de la forme z az +b avec a C et b C correspond à la composition d une homothétie, d une rotation et d une translation

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