Introduction. L épreuve pratique a pour objectif d évaluer les capacités des élèves à mobiliser les TICE pour résoudre un problème de mathématiques.

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1 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Introduction L épreuve pratique a pour objectif d évaluer les capacités des élèves à mobiliser les TICE pour résoudre un problème de mathématiques. Les exercices proposés sont généralement peu guidés afin de laisser une part d initiative à l élève, de lui permettre de s appuyer sur les observations faites dans la partie expérimentale pour étayer les raisonnements dans la phase de démonstration, et de lui laisser le choix de la démarche : vérification argumentée d une conjecture, tâtonnements, résolution géométrique, résolution algébrique, etc., selon les situations. On n attend pas des élèves la démarche la plus experte et toutes les formes de raisonnements peuvent être valorisées. De par sa conception, l épreuve suscite un échange oral entre l'élève et le professeur à plusieurs reprises. Le professeur peut alors apporter une aide si nécessaire aussi bien pour l utilisation des outils TICE que pour l élaboration d un raisonnement, par exemple en suggérant des pistes de réflexion sous la forme d un questionnement, sans que cela soit pénalisant au niveau de l évaluation.

2 Sujet 1 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Carrés Soit un segment [AB] de longueur 10 cm et un point C appartenant à ce segment. On construit les carrés ACFG et CEBD comme indiqué sur la figure ci-contre. Le but de l exercice est de chercher les positions du point C telles que l aire du carré ACFG soit le double de celle du carré CEBD. 1. À l aide d un logiciel de géométrie dynamique, faire une figure et afficher les aires des carrés ACFG et CEBD. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure. 2. Conjecturer pour quelle valeur de BC, l aire du carré ACFG est le double de celle du carré CEBD. Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture. 3. Démontrer la conjecture émise à la question 2. Construction d une figure dynamique permettant d établir une conjecture. Démonstration de la conjecture établie à la question 2.

3 Sujet 5 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève La chambre Léo et Léa ont longtemps partagé leur chambre, mais ils souhaitent désormais faire poser une cloison afin d'obtenir deux chambres séparées ayant exactement la même aire. La chambre initiale est représentée sur le schéma ci-dessous par le trapèze rectangle CEDA. Le segment [GF] représente la cloison et il est perpendiculaire aux deux bases du trapèze. CE = 6 m CA = 4 m AD = 10 m 1. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construire une figure représentant un plan des chambres séparées par la cloison. Afficher les aires des deux nouvelles chambres. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure. 2. Conjecturer pour quelle valeur de AF les aires des deux chambres sont égales. Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture. 3. Démontrer le résultat conjecturé à la question 2. Construction d une figure permettant d émettre une conjecture. Démonstration de la conjecture établie à la question 2.

4 Sujet 6 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Figure de billard Le rectangle ci-dessous représente le tapis d une table de billard. Les points B et R désignent les emplacements de deux boules. Pour gagner, le joueur doit taper la boule R avec la boule B mais il doit auparavant toucher une bande (*) en un point C. En rebondissant la boule suit une trajectoire telle que ACR! = BCD!. L objectif de l exercice est de déterminer la position du point C sur le segment [AD] pour que le joueur réussisse le coup. 1. À l aide d un logiciel de géométrie dynamique, réaliser une figure et conjecturer la position du point C qui permet au joueur de réussir le coup. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure et de la conjecture. 2. Démontrer la conjecture sur la position du point C. (*) Une bande est un bord de la table de billard. Construction d une figure dynamique permettant d émettre une conjecture. Démonstration de la conjecture établie à la question 1.

5 Sujet 7 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Aire maximale d un triangle On considère un cercle de centre A et deux points B et C de ce cercle. L objectif de cette activité est de déterminer la valeur maximale de l aire du triangle ABC lorsque les points B et C se déplacent sur le cercle. 1. Réaliser une figure et conjecturer la réponse à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure et de la conjecture. 2. Démontrer votre conjecture. Construction d une figure dynamique permettant d émettre une conjecture. Démonstration de la conjecture formulée à la question 1.

6 Sujet 8 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Argent de poche La mamie de Chloé, toujours étonnante, explique à sa petite fille comment elle va lui donner de l'argent de poche. «Pendant 10 mois, je procèderai de la manière suivante : le premier mois, je te donnerai un certain montant ; le deuxième mois un montant différent de celui du mois précédent. Puis chaque mois suivant, je te donnerai un montant égal à la somme des montants des deux mois précédents.» 1. Choisir deux valeurs pour les montants en euros des deux premiers mois qui sont des nombres entiers. A l'aide d'un tableur, calculer la somme totale reçue par Chloé au bout des 10 mois. Appeler l examinateur pour une vérification de la feuille de calcul. 2. Vérifier sur plusieurs exemples que la somme totale est un multiple de la somme reçue au 7 ème mois. Conjecturer une relation entre ces deux nombres dans le cas général. Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture. 3. Démontrer la conjecture émise à la question 2. Indication : On pourra appeler a la somme reçue par Chloé le premier mois et b la somme reçue le deuxième mois puis exprimer la somme reçue chaque mois en fonction de a et de b. Construction d un tableau de valeurs et conjecture d une relation. Démonstration de la conjecture établie à la question 2.

7 Sujet 9 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Les coffres ier On donne un nombre x supérieur à 5. L activité a pour objectif de trouver la valeur de x telle que les deux coffres ci-dessous aient le même volume. 17 cm 20 cm x x - 5 x+1 x+1 Les coffres ont la forme de parallélépipèdes rectangles. 1. A l aide d un tableur, effectuer les calculs des volumes des coffres pour tous les entiers x compris entre 6 et 50. Appeler l examinateur pour une vérification de la feuille de calcul. 2. Déterminer une solution approchée du problème. Appeler l examinateur pour une vérification. 3. À l aide d une équation à résoudre, trouver la valeur exacte de la solution du problème. Construction d un tableau de valeurs. Calcul de la solution exacte.

8 Sujet 10 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Tout un programme! On considère les deux programmes de calcul suivant : Programme A Choisir un nombre entier positif. Calculer son carré. Ajouter au résultat le nombre de départ Programme B Choisir un nombre entier positif. Calculer son carré. Retrancher au résultat le nombre de départ 1. À l aide d un tableur, calculer les résultats obtenus avec le programme A pour tous les nombres entiers compris entre 1 et 50. Calculer de même les résultats obtenus avec le programme B. Appeler l examinateur pour une vérification de la feuille de calcul. 2. Conjecturer une formule générale traduisant les égalités observables dans le tableau de valeurs obtenu à la question Démontrer la formule conjecturée à la question 2. Appeler l examinateur pour une vérification de la démonstration. Construction d un tableau de valeurs. Proposition et démonstration d une formule.