La Géométrie des Transformations dans l'apprentissage des mathématiques

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1 La Géométie es Tansfomations ans l'appentissage es mathématiques Evolution e l'application es tansfomations u plan e la Classe Matenelle à la sixième année Pimaie Avant popos La géométie où les tansfomations sont es outils pou écouvi et/ou justifie les popiétés es objets géométiques s'appelle la Géométie es Tansfomations. Cette géométie qui elie les tansfomations à l'étue es objets géométiques est soulignée ans les Socles e Compétences. Le cous a été élaboé avec la collaboation e nombeux enseignants e teain u Pimaie et es eux pemièes années u Seconaie. La stuctue théoique poposée s appuie, tant ans le plan que ans l espace, su les éfinitions natuelles es isométies ( "Pemutations qui consevent les istances" ) et es similitues ("Pemutations qui multiplient les istances pa un éel stictement positif"). Cette vision s écate onc e la stuctue théoique ancienne qui faisait appel aux composées e syméties othogonales pou éfini les isométies et les composées isométies avec es homothéties pou éfini les similitues. La istinction en géométie plane ente les éplacements et les etounements, les similitues éplacées et les similitues etounées se fait en utilisant l'oientation u plan via les types e essins e mains ou es cecles oientés. En classe matenelle Compaaison et ti e photos éfomées et e photos non éfomées. Reconnaissance e figues semblables ou popotionnelles (éuites, aganies, isométiques). Pa supeposition 'un essin isométique à un moèle e éféence su tanspaent, sélection e figues isométiques. Pa l inteméiaie e tanspaents, écouvete e figues isométiques supeposables : pa éplacement pa etounement pa éplacement et aussi pa etounement 1

2 Réalisation e fises collectives et iniviuelles. Compléte es paysages éplacés avec les éléments coesponants.? Avant Apès Compléte, avec les éléments coesponants, es paysages qui se sont aganis. 2

3 Compléte, avec les éléments coesponants, es paysages qui se sont éuits. nitiation aux automophismes pa la supeposition 'un caé à lui-même. En pemièe année a) em classe matenelle mais avec 'autes figues. Compaaison et ti e photos éfomées et e photos non éfomées. Reconnaissance e figues semblables ou popotionnelles (éuites, aganies, isométiques). Pa supeposition 'un "moèle" su tanspaent, sélection es figues isométiques au moèle e éféence. Pa l inteméiaie e tanspaents, écouvete es figues isométiques supeposables : pa éplacement pa etounement pa éplacement et aussi pa etounement tanspaent 3

4 b) Notion e fise Constuction e eux fises u type tanslation Nombes enties et fises Constuction e eux fises posséant es axes e symétie veticaux c) Déplacements e paysage tous les éléments qui le composent se éplacent en même temps Aganissement et/ou éuction e paysage (à econnaîte; à compléte) 4

5 En euxième année a) em pemièe année à popos es figues supeposables. b) En plus: Figues géométiques supeposables: uniquement pa éplacement; uniquement pa etounement; pa éplacement et aussi pa etounement. Utilisation es automophismes pou justifie es popiétés. Côtés isométiques Angles isométiques 5

6 Réalisations e fises avec es figues géométiques: fises u type: tanslations. fises u type: tanslations et amettant es axes e symétie veticaux. En toisième année a) em euxième année. b) En plus: Execices iniviuels avec tanspaents: compaaisons es tansfomations u plan (avantapès) e figues géométiques ( et/ou ) Exemple: Repouction su quaillage e polygones isométiques éplacés ; epouction su quaillage e figues géométiques semblables aganies éplacées ou éuites éplacées. Utilisation es automophismes pou justifie es popiétés es familles e figues géométiques (voi l'évolution es familles e quailatèes). Automophismes:Tous les caés sont supeposables à euxmêmes pa éplacement et aussi pa etounement. Fises fise u type «tanslations et syméties glissées»: écouvete collective puis constuction iniviuelle. 6

7 fise u type «tanslations et syméties centales»: écouvete collective puis constuction iniviuelle. En quatième année a) em toisième année. b) En plus: Figues supeposables (isométiques) pa éplacement et /ou pa etounement - notion 'oientations u plan (essins e main gauche, essin e main oite, sens hologique et sens antihologique). Utilisation es automophismes pou justifie es popiétés es familles e figues géométiques (voi l'évolution es familles e quailatèes). Automophismes: Tous les caés sont supeposables à eux-mêmes pa 4 éplacements et aussi pa 4 etounements. Les otations u plan Rosaces et otations (appoche visuelle). 7

8 Pemièes caactéistiques liées aux otations (éplacements amplitues e la otation - sens e la otation cente e la otation «point fixe»). Positionnement appoximatif e figues (su tanspaents) pa es otations onnées. Les syméties othogonales u plan Syméties othogonales (appoche visuelle). Pemièes caactéistiques liées aux syméties othogonales (etounement invesion e l oientation - oite e points fixes «pepeniculaies mêmes istances»). «Figues vetes = images es figues ouges pa la symétie othogonale plane axe bleu». A popos es syméties othogonales planes et u pliage, voi les emaques en fin e pogamme e quatième année pimaie. Le pliage 'une feuille e papie n'illuste n'est pas la notion e symétie othogonale plane. 8

9 mage un point pa une symétie othogonale onnée. Positionnements appoximatifs e figues (su tanspaents) pa es syméties othogonales onnées. Utilisation es automophismes pou justifie es popiétés es familles e figues géométiques (voi l'évolution es familles e quailatèes). Automophismes: Tous les caés sont supeposables à eux-mêmes pa 4 otations (1/4, 2/4, ¾, 4/4 e tou) et aussi pa 4 syméties othogonales (1, 2, m1, m2). Les osaces Recheche les otations qui supeposent es osaces à elles mêmes. Coloe es osaces en tenant compte es containtes imposées. 9

10 Constuie, aux instuments, es osaces apès es pocéés imposés. Cée es osaces ifféentes pa le choix et la égulaité es coloiages. En cinquième année a) em quatième année. b) En plus: Déplacements et/ou etounements u plan 10

11 Figues supeposables à elles-mêmes pa éplacement(s) et /ou pa etounement(s) u plan O O Notions consevées pa les éplacements et les etounements u plan Les eux oientations u plan (appel) : sens hologique et sens antihologique essin 'une main gauche et essin 'une main oite Les pemièes notions consevées pa un éplacement u plan et pa un etounement u plan (compae ce qui vaie et ce qui ne vaie pas) Compositions (paies ou impaies) e éplacements et/ou e etounements u plan 11

12 1. Dépat Aivée Déplacement Déplacement 2. Dépat éplacement Aivée etounement etounement 3. Dépat éplacement Aivée etounement éplacement Déplacement paticulie u plan: Les otations etounement Rotations ans le sens hologique ou antihologique. Mesue 'angle 'une otation. Repésentations (aux instuments) 'un moèle onné apès une otation imposée. Recheche e l'obite e points istincts. Recheche e l'image 'une oite apès une otation e 90 (image pepeniculaie). 12

13 Recheche e l'image 'une oite apès une otation e 180 (image paallèle). Retounement paticulie u plan: Les syméties othogonales (Notions consevées ou non consevées pa les éplacements et pa les etounements u plan). Pa etounement u plan autou 'une oite e points fixes, compaaison es images: "avant" et "apès". Repésentation, aux instuments, e essins apès une symétie othogonale u plan. Compositions e syméties othogonales. Ajuste la oite e points fixes 'une symétie othogonale e manièe à ce qu'elle "evienne" l'axe e symétie 'une figue géométique. Détemine le milieu un segment. Méianes et iagonales es quailatèes Tace les méianes et les iagonales es quailatèes. Recheche quels sont les axes e symétie es quailatèes. 13

14 Utilisation es automophismes pou justifie es popiétés es familles e figues géométiques (voi l'évolution es familles e quailatèes). Automophismes: Les caés sont supeposables à eux-mêmes pa 4 otations (90, 180, 270, 360 ans le sens hologique ou ans le sens antihologique) et aussi pa 4 syméties othogonales (1, 2, m1, m2). Les fises Réalisation e fises u type: éplacements et syméties glissées. Tavail collectif puis tavaux iniviuels. En sixième année a) em cinquième année. b) En plus: Positions elatives e eux oites: paallélisme et pepeniculaité. Recheche e syméties othogonales possibles ans es figues (ou axes e symétie e ces figues). Recheche e l'obite 'un point ans un caé, pa les automophismes u caé (ses otations et ses syméties othogonales). Milieu 'un segment e oite. 14

15 Segments e oite se coupant en leu milieu. Moèle e épat Moèle à supepose Véification pa une otation e 180 Popiétés es méianes et es iagonales es quailatèes: Des caés Des ectangles quelconques Des losanges quelconques Des paallélogammes quelconques Des tapèzes quelconques Des quailatèes quelconques u type: cefs-volants De tous les quailatèes epis ensuite "famille pa famille" Sont-elles e même longueu? Se coupent-elles en leu milieu? Sont-elles pepeniculaies? Sont-elles es axes e symétie? (Véification à l'aie es tansfomations) 15

16 Utilisation es automophismes pou justifie es popiétés es familles e figues géométiques (voi l'évolution es familles e quailatèes). Automophismes: Tous les caés sont supeposables à eux-mêmes pa 4 otations (90, 180, 270, 360 ans le sens hologique ou ans le sens antihologique) et aussi pa 4 syméties othogonales (1, 2, m1, m2). Tous les caés possèent 4 axes e symétie:les eux iagonales et les eux méianes. Recheche es tansfomations pemettant e supepose chaque type e tiangle à lui-même. Exemples: 16

17 Fises Réinvestissement es acquis: econnaissance es types e fises onnés (à l'aie e essins su tanspaents et pa supeposition); soit: Uniquement es tanslations (éplacements paallèles); Des otations (éplacements qui tounent autou e centes); Des syméties othogonales (etounements selon es axes e points fixes); Des syméties glissées (syméties othogonales + tanslations). Réalisation e fises iniviuelles selon es moèles imposés. 17

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