Arrêt optimal et application à la valorisation des options américaines

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1 Mémoire de magisère du DMA 12 Ocobre 211 Arrê opimal e applicaion à la valorisaion des opions américaines Gary oger Encadré par Gérard biau

2 FIMFA gary oger 211 Table des maières 1 Inroducion e moivaion 3 2 Marché financier e opions américaines Noion d opions européennes e américaines Enveloppe de Snell e arrê opimal Enveloppe de Snell : définiion e propriéés Quelques résulas en emps discre Temps d arrê opimal Définiion e caracérisaion Exisence de emps d arrê opimaux Applicaion à la valorisaion e à la couverure d opions américaines Cadre discre Cadre coninu : porefeuilles e sraégies de couverure Applicaion aux opions américaines Méhodes numériques References 13 2

3 FIMFA Arrê opimal e opions américaines Inroducion e moivaion De nombreuses méhodes faisan appel en pariculier au calcul sochasique on éé développées depuis quelques dizaines d années pour la valorisaion d acifs financiers. Les premiers ravaux dans ce domaine son dus à Louis Bachelier auour de 19, qui a iniié l éude des marchés dans un cadre mahémaique formel. Dans les années 197, Blac, Scholes e Meron, en développan des modèles probabilises permean de calculer expliciemen des prix d opions financières, on ouver la voie à une nouvelle branche des mahémaiques appliquées concernan l évaluaion e la couverure des opions. De façon générale, on peu définir une opion commme un conra offran le droi (e non l obligaion) d acquérir ou de vendre un acif (par exemple, une acion) à un prix fixé e dans le fuur (à une dae fixée, appelée maurié, ou pendan un cerain inervalle de emps). Pour fixer les idées, noons S le prix (foncion du emps) d une acion S, e considérons le cas classique du call européen : cee opion donne le droi à son déeneur d acheer l acion S, au prix K (appelé srie selon la erminologie anglaise) e au emps T (par exemple, dans un mois, dans un an, ec.). Si, au emps T, l acion a une valeur d échange supérieure à K, l acheeur a inérê à exercer son opion (il réalise un profi S T K en achean l acion à prix K e en la revendan aux prix de marché). Dans le cas conraire, il ne l exerce pas. Son gain es donc de h(s T ) = (S T K) +. h es généralemen appelée la foncion de payoff. En fai, on voi que l opion peu êre définie de manière plus synhéique par son payoff e sa dae (ou ses daes) d exercice. Le problème es de déerminer, en foncion de ces paramères, à quel prix doi êre vendue cee opion. D un poin de vue mahémaique, le prix juse (encore appelé prix d arbirage) es celui pour lequel le gain global de l acheeur (c es-à-dire le profi réalisé lors de l exercice moins le prix d acha de l opion) es en moyenne nul. Parallèlemen, le vendeur d opions, qui reçoi au emps iniial la prime d opion, cherche à mere en place avec ce appor une sraégie de couverure, sur le marché, qui lui garanisse au emps T d êre en mesure de payer à l acheeur ce qu il lui doi (c es-à-dire le payoff). On voi ici apparaîre la première moivaion pour le développemen de modèles dans lesquels les acifs son décris par des processus sochasiques, e qui permeen d exprimer les prix d opions sous la forme de calculs d espérance. Dans ce documen, on s inéressera au problème de l évaluaion des opions dies américaines. Conrairemen à l exemple du call européen présené ci-dessus, qui ne peu êre exercé qu à l insan T (au sens où le payoff ne dépend que de la valeur de l acif en T ), une opion américaine peu êre exercée sur ou un inervalle de emps, généralemen enre l acha e une maurié T (on noera l inervalle [, T ]). L acheeur doi donc décider (en foncion de l informaion présene sur le marché) à quel insan il a le plus inérê à exercer son opion. Par conséquen, la valorisaion des opions américaines passe par l éude des emps d arrê opimaux. Après avoir inrodui un cadre probabilise formel pour l éude des marchés financiers e des opions américaines, on présenera des résulas généraux de la héorie de l arrê opimal, puis on verra commen les appliquer au problème de l évaluaion de ces opions. 2 Marché financier e opions américaines On se donne un espace de probabilié (Ω, A, P), muni d une filraion (F ) coninue à droie. Le marché es consiué de deux ypes d acifs, qui son représenés comme des processus aléaoires : l acif di sans risque : S = exp r sds (où r s es un aux d inérê coninu, di aux sans risque, qui peu êre déerminise ou aléaoire). Il s agi simplemen de l évoluion de la valeur d un invesissemen iniial uniaire (S = 1) rémunéré au aux r s. les acifs risqués ( ) S 1,..., S d, processus aléaoires adapées à F, e qui peuven correspondre enre aures à des prix d acions, des aux de change enre différenes monnaies, ec. On noera S = (S 1,..., S d ). L inervenion sur le marché se fai selon une sraégie d invesissemen (dans les deux ypes d acifs) elle que le gain réalisé si l on arrêe la sraégie au emps, noé h, es F -mesurable. De 3

4 FIMFA gary oger 211 plus, on peu s arrêer selon une sraégie aléaoire (par exemple, on invesi dans l acif S 1 e l on s arrêe dès qu il aein une valeur donnée). On défini donc simplemen une sraégie d arrê comme un emps d arrê τ, c es-à-dire el que {τ } F. 2.1 Noion d opions européennes e américaines On se place à horizon fini T R +. On disingue deux ypes de sraégies d invesissemen : une gesion quoidienne d un porefeuille (acha/vene d acifs risqués e invesissemen dans l acif sans risque), don la valeur à l insan, h, es F -mesurable. l acha d opions, évoquées dans l inroducion, produis synhéiques qui garanissen le versemen d un payoff h (foncion de la valeur d acifs risqués) à une dae [, T ]. On disingue les opions européennes don le payoff es oujours versé à l insan final : h T = Φ(S T ), F T -mesurable, des opions américaines, qui peuven êre exercées, au choix de l acheeur, à n impore quel insan [, T ]. Le payoff h = Φ(S ) es F -mesurable. Par exemple, pour l opion call européen évoquée dans l inroducion, on a Φ(S T ) = (S T K) +. On s inéresse ici aux opions américaines, don on voi, conrairemen aux européennes, qu elles impliquen une sraégie d arrê de la par de l invesisseur. Deux quesions se posen : quelle es la valeur (foncion du payoff) d une elle opion e y a--il un insan τ opimal pour l invesisseur (au sens où il maximise son espérance de gain) pour exercer son opion? Considérons l approche inuiive suivane qui nous guidera pour la suie. Si l acheeur s arrêe selon [ une sraégie (ie un emps d arrê) τ, il reçoi h τ. Vu de la dae, ce versemen a une valeur h E τ F ], où l on rappelle que S es l acif sans risque. En effe ou flux fuur doi êre acualisé S τ via le faceur 1 S car c es la quanié qu il suffi d avoir aujourd hui pour s assurer (en invesissan τ au aux sans risque) de posséder 1 en τ (en d aure ermes, la valeur d un versemen de valeur 1 à un emps fuur τ n es que de 1 S au emps ). τ Dès lors, il apparaî que le prix de l opion au emps devrai êre : { [ ] } hτ V = sup E F ; τ.a. à valeurs dans [, T ] e plus généralemen : S τ { [ hτ V = sup E Sτ ] F } ; τ.a. à valeurs dans [, T ] En effe, s il es moindre, cela signifie qu il exise une sraégie avec laquelle le déeneur de l opion gagne plus (en moyenne) que le prix d acha, donc il n y a pas d inérê pour le vendeur. E viceversa si le prix es supérieur. Il s agi donc inuiivemen du prix juse. Nore bu es d éudier plus précisémen la valeur exprimée dans l équaion 2.1 (on peu s inéresser au processus V du prix, e pas seulemen à sa valeur au emps.). Malheureusemen, V n es, a priori, pas une variable aléaoire. Dans la suie, on verra commen conourner ce problème via l enveloppe de Snell, commen caracériser un ou des évenuel(s) emps d arrê opimaux (c esà-dire qui permeen de réaliser effecivemen un profi égal en moyenne au prix de l opion), e commen dans ce cadre définir des méhodes praiques de calcul du prix. 3 Enveloppe de Snell e arrê opimal 3.1 Enveloppe de Snell : définiion e propriéés On considère une famille de variables aléaoires (X i ) i I, à valeurs dans R, définies sur (Ω, A, P). Proposiion 3.1. Il exise une variable aléaoire à valeurs dans R, unique à indisingabilié près, elle que : i I, (X i Y ps) (2.1) 4

5 FIMFA Arrê opimal e opions américaines 211 si Y es elle que ( i I, (X i Y ps)), alors Y Y ps On appelle Y le supremum esseniel de la famille (X i ) i I, e on noe Y = P supess i I Cee noion de supremum esseniel sera cenrale dans la héorie de l arrê opimal, e dans la suie pour définir correcemen les objes nécessaires à l éude de l équaion 2.1. Rappelons d abord quelques définiions. Définiion 3.2. Soi (X ) un processus F -adapé (ypiquemen une surmaringale dans la suie) coninu à droie. On di qu il es régulier si : τ n τ, τ n F.a. q τ < ps e X τ L 1, alors : Y i X τn L 1 apcr e E[X τn ] E[X τ ] Définiion 3.3. (X ) F -adapé e coninu à droie es de la classe (D) si {X τ ; τ F.a. q τ < ps} es uniformémen inégrable. Passons mainenan à l enveloppe de Snell, qui va donner un sens probabilise à l expression 2.1. Dans oue la suie, on considère un processus (Z ) adapé, el que : i) Z es coninue à droie ps. ii), Z ps [ ] iii) E sup Z < Dans le cadre des opions américaines, Z représenera le processus de payoff, ou le processus obsacle (au sens où c es la valeur de ce payoff à l insan qui déermine s il es opimal d exercer l opion). Noons que l on peu ravailler à horizon fini T R + en posan Z = Z T pour T. Définiion 3.4 (Enveloppe de Snell). Pour, posons : U = P supess {E [Z τ F ], τ T, } où T, es l ensemble des emps d arrê à valeurs dans [, [. Ceci défini un processus (U ) qu on appelle l enveloppe de Snell de (Z ) e que l on noe parfois Snell(Z). Il es facile de voir d après l hypohèse iii) ci-dessus que U exise bien dans L 1. En gardan en êe nore objecif de valorisaion des opions américaines, on voi déjà apparaîre l enveloppe de Snell comme le bon obje d éude. Donnons-en quelques caracérisaions : Proposiion 3.5. i) (U ) es une P-surmaringale (posiive). ii) E[U ] = sup {E[Z τ ], τ T, } iii) E[U ] es coninue à droie, e on peu en déduire (propriéés des surmaringales) qu elle adme une version coninue à droie. En pariculier, ceci implique que (U ) es de la classe (D). La proposiion suivane donne la caracérisaion inéressane de l enveloppe de Snell. Proposiion 3.6. L enveloppe de Snell es la plus peie surmaringale coninue à droie majoran l obsacle (Z ), c es-à-dire : i) On a ps : U Z e (U ) es une surmaringale càd. ii) Si, ps, V Z e (V ) es une surmaringale càd, alors ps,, V U. 5

6 FIMFA gary oger 211 Preuve. On a P ps ( s, V s Z s ), d où pour τ T,, V τ Z τ P ps. Comme (V ) es une surmaringale posiive, elle es fermée, donc V E[V τ F ] E[Z τ F ] ps. Ainsi V supess{e[z τ F ]} = U. T, On a de plus la propriéé suivane : Proposiion 3.7. lim U = lim supz. (3.1) Noons que ous les résulas s éenden à horizon fini en remplaçan T, par T,T. 3.2 Quelques résulas en emps discre Dans cee secion, on présene une approche discrèe du cadre de ravail défini ci-dessus, qui permera de donner une méhode concrèe de calcul de l enveloppe de Snell, e donc de la valeur des opions américaines. On suppose désormais que {,..., n,...} avec = < 1 <..., e on pose Z = Z, F = F. On noe T n, l ensemble des emps d arrê à valeur dans {n, n + 1,...} e l on suppose que E[sup Z n ] < (ce qui implique en pariculier que (Z ) es de la classe (D)). On défini n l enveloppe de Snell à emps discre : U n = supess{e[z τ F n ], τ T n, } On a la même caracérisaion qu en emps coninu, à savoir : i) (U n ) es la plus peie surmaringale majoran (Z n ). ii) E[U n ] = sup{e[z τ ], τ T n, } L inérê de cee descripion discrèe réside dans le principe de programmaion dynamique suivan. Proposiion 3.8 (Programmaion dynamique). U = max(z, E[U +1 F ]) (3.2) Elémens de preuve. Par définiion de U, on a U Z ps (considérer le emps d arrê consan égal à ), e U E[U +1 F ] (prendre le emps d arrê égal à + 1). Ainsi U max(z, E[U +1 F ]). D aure par, en écrivan τ T, comme τ = 1 τ= + τ ( + 1)1 τ +1, on obien : E[Z τ F ] = Z 1 τ= + E[E[Z τ (+1) F +1 ] F ]1 τ +1 }{{} U +1 Z 1 τ= + E[U +1 F ]1 τ +1 max(z, E[U +1 F ]) En praique, on uilise le principe de programmaion dynamique à horizon fini n. On connaî la valeur de l enveloppe de Snell au emps final : U n = supe[z τ F n ] = Z n, e l équaion 3.2 perme T n,n d évaluer U n 1, U n 2,... par une récurrence rérograde. Dans le cadre des opions américaines, Z es la valeur d exercice (c es-à-dire le payoff que l on reçoi si l on exerce à l insan ), e U es a priori (on le verra dans la suie) la valeur de l opion elle-même. Le principe de programmaion dynamique prend alors un sens clair : si la valeur d exercice à l insan es plus grande que la valeur emps (c es-à-dire ce que l on peu espérer gagner en n exerçan pas ou de suie, ie E[U +1 F ]), il es préférable d exercer, sinon il es préférable de conserver l opion. La valeur de cee dernière es donc le maximum de ces deux grandeurs. Avan de donner plus de précisions sur ces poins, voyons ce que l on peu dire de manière général sur les emps d arrê opimaux. 6

7 FIMFA Arrê opimal e opions américaines Temps d arrê opimal Définiion e caracérisaion Définiion 3.9. i) On di que τ es un emps d arrê opimal, vu de =, pour le problème d arrê ((Z ), (F ) ) si E[Z τ ] = E[U ] = sup E[Z τ ]. τ T, ii) Vu de, on a la même caracérisaion : E[Z τ ] = E[U ] = sup E[Z τ ]. τ T, Du poin de vue des opions américaines, un emps d arrê opimal sera donc un emps d arrê qui perme effecivemen de réaliser la valeur iniiale de l opion au momen de l exercice. On a la caracérisaion suivane. Proposiion 3.1. τ es opimal vu de si e seulemen si : i) U τ = (U τ ) es une maringale. ii) U τ = Z τ Avan de s inéresser à l exisence de emps opimaux, on donne un poin de vue déerminise qui éclaire la proposiion ci-dessus e le lien enre (U ) e (Z ). Supposons donc que ous les processus son déerminises (ce qui revien à posuler F = {, Ω} ). Z = (z s ) s e U = (u ) son donc des foncions e on a u = supz s. s Figure 3.1 Processus obsacle (Z), enveloppe de Snell (U), e emps d arrê opimaux Sur la figure 3.1, on représene les deux processus Z e U. Ici, il y a deux emps d arrê opimaux, e l on voi que, jusqu au plus grand emps d arrê opimal, U es maringale (c es-à-dire consane ici). Noons qu enre les deux emps d arrê opimaux, il n y en a aucun aure. Par ailleurs, il peu ne pas exiser de emps d arrê opimal (par exemple si Z es sricemen croissane sur R + ). A horizon fini, si Z Z T T, alors le plus grand emps d arrê opimal es oujours T. On verra (e c es naurel) que l équivalen aléaoire de cee condiion es Z E[Z T F ] Exisence de emps d arrê opimaux Au vu de ce qui précède, τ = inf{ q U = Z } es un candida naurel pour un emps d arrê opimal. On s inéresse d abord aux emps d arrê ɛ-opimaux. On pose, pour ɛ >, D ɛ = inf{s 7

8 FIMFA gary oger 211 ; U s < Z s + ɛ}. La proposiion 3.7 implique alors que pour, ɛ >, D ɛ <. E c es un emps d arrê comme emps d enrée d un processus càd F -adapé dans l ouver ], ɛ[. On a la proposiion suivane : Proposiion Pour ɛ > e, D ɛ es un F emps d arrê e : E[U ] = E[U D ɛ ] e E[U D ɛ ] E[Z D ɛ ] + ɛ Elémens de preuve. (U ) es une surmaringale posiive de la classe (D), donc par le héorème de Doob-Mayer on peu écrire U = M A où : i) M es une maringale de la classe (D). ii) A es un processus prévisible, croissan, e A =. On peu alors monrer que (A ) e A D ɛ son indisinguables (c es la parie difficile de la preuve qu on ne déaille pas ici, l inérê es d inroduire le processus (A ) qui sera uile dans la suie). On a donc facilemen : E[U ] = E[M ] E[A ] = E[M D ɛ ] E[A D ɛ ] = E[U D ɛ ] De plus D ɛ < e U e Z son coninues à droie donc U D ɛ Z D ɛ + ɛ, e ainsi : E[U D ɛ ] E[Z D ɛ ] + ɛ Cee approximaion via les emps d arrê ɛ-opimaux perme de prouver l exisence d un emps d arrê opimal dans le cas d un obsacle (Z ) régulier. Théorème On suppose que (Z ) es régulier, c es-à-dire qu il es coninu e vérifie E[sup R + Z s ] <. On a : i) (U ) = Snell({Z }) es lui aussi régulier. ii) Si l on pose τ = inf{s q U s = Z s }, alors il exise un emps d arrê opimal si e seulemen si P(τ < ) = 1, e alors τ es le plus pei emps d arrê opimal. On voi de plus qu en se plaçan à horizon fini T >, on a P(τ < ) = P(τ T ) = 1, donc sous les hypohèses de régularié l exisence d un emps d arrê opimal es garanie. Si l on se place de plus dans un cadre discre, l hypohèse de régularié devien superflue, e il y a ainsi oujours un emps d arrê opimal au problème. On peu enfin s inéresser au plus grand (s il exise) emps d arrê opimal. On a la proposiion suivane : Proposiion On suppose oujours que (Z ) es un obsacle régulier. Alors : i) Si τ es un emps d arrê opimal, alors τ τ max = inf{s; A s > }. ii) Si P(τ max < ) = 1, alors τ max es opimal. On peu en déduire, à horizon fini, un résula déjà évoqué plus hau (dans le cas déerminise), à savoir que, si ps,, E[Z T F Z ], alors τ max = T. Avan de passer à la héorie de la valorisaion des opions américaines e l applicaion de la héorie ci-dessus, résumons ce que nous avons monré. Guidés par l équaion 2.1 qui décri a priori (on le déaille dans la secion suivane) le prix d une opion américaine, on a défini l enveloppe de Snell qui perme de donner un sens probabilise à cee équaion. Nous avons fai le lien enre le processus obsacle e son enveloppe de Snell, en pariculir via le principe de programmaion dynamique, e nous avons vu commen on pouvai définir des emps d arrê opimaux au problème en considéran ces deux processus. 8

9 FIMFA Arrê opimal e opions américaines Applicaion à la valorisaion e à la couverure d opions américaines On commence par décrire le cadre de ravail qui perme de définir correcemen le prix d opions financières, ce qui fera le lien avec la secion 2 e nous permera de comprendre la formule 2.1. Puis on verra commen uiliser les résulas de la secion 3 dans ce cadre. 4.1 Cadre discre On commence par un calcul simple à emps discre e horizon fini qui fourni une inuiion pour les formules de valorisaion d opions. On considère comme dans la secion 2 des acifs S = (S 1,..., S d ), définis enre e n, (S ) n, e une opion qui verse un payoff h(s n ) au emps n (il s agi donc d une opion européenne). On suppose en oure que le aux d inérê es nul, ainsi il n y a pas de faceur d acualisaion pour la valorisaion. Pour le vendeur de l opion, la quesion es de savoir s il peu mere en place une sraégie d invesissemen dans les acifs S qui lui permee de payer h(s n ) à l acheeur à maurié. On défini F = σ(s ; =,..., ) On défini ici une sraégie d invesissemen comme un processus (φ ) n el que φ es F - mesurable, e pour = 1,..., n, φ es F 1 -mesurable, e qui représene les quaniés de chaque d acif déenus dans le porefeuille, c es-à-dire que la valeur du porefeuille à l insan es φ i S i = φ S. Le porefeuille de couverure doi êre auofinançan au sens où l invesissemen iniial es simplemen rebalancé à chaque pas de emps enre les différens acifs, sans nouvel appor, ce qui se radui par la condiion φ 1 S 1 = φ S 1. Le porefeuille perme alors de couvrir le payoff si h(s n ) = φ n S n. On a : i= φ n S n = φ n S n φ S + φ S }{{} =V : invesissemen iniial n = (φ S φ 1 S 1 ) + V = =1 n φ (S S 1 ) + V =1 Pour que le porefeuille couvre effecivemen l opion, on doi donc avoir h(s n ) = V + n φ S. On suppose qu il exise une probabilié P qui rende ous les acifs (S 1,..., S d ) maringales. Alors on a, d après ce qui précède : V = E P [h(s n ) F ] Cee espérance, calculée sous une mesure qui rend les acifs maringales, es le prix à payer au emps pour couvrir le payoff au emps n, e en ce sens, c es le prix de l opion de payoff h. Ceci donne une première jusificaion aux formules de la secion 2. L idée générale à reenir es que le prix de l opion es le prix de sa couverure via une sraégie d invesissemen dans les acifs du marché. On parle aussi de réplicaion du payoff. 4.2 Cadre coninu : porefeuilles e sraégies de couverure On se place dans un espace de probabilié (Ω, A, P) muni d une filraion (F ) = σ(b s ; s ), à horizon fini T, où (B s ) es un mouvemen brownien sandard d-dimensionnel. On se donne oujours un acif non risqué S = exp( mesurable e uniformémen borné sur [, T ] Ω. r s ds) (parfois appelé numéraire), où r s =1 es progressivemen 9

10 FIMFA gary oger 211 On se donne d acifs risqués (S 1,..., S d ) > (don on suppose pour simplifier qu ils ne versen pas de dividendes), e qui vérifien une équaion sochasique de ype Blac-Scholes : ds i S i = µ i d + d j=1 σ ij db j, i = 1,..., d (4.1) où µ (parfois appelé drif) e σ (volailié) son progressivemen mesurables e uniformémen bornées. On suppose en oure que pour ou [, T ], σ GL d (R), e que σ 1 es bornée de [, T ] dans GL d (R). Ceci implique en pariculier, puisque A A 1 es une applicaion coninue, que σ 1 es progressivemen mesurable. Il es plus inéressan de ravailler avec la valuer acualisée des acifs car on va voir que ce son ces processus qui peuven êre rendus maringales. On défini donc S i = Si S = exp( r s ds)s i. Proposiion 4.1. Il exise une probabilié P, équivalene à P, elle que ( S ) [,T ] es une P - maringale. Définiion 4.2. i) De façon analogue au cas discre, on défini une sraégie comme un processus H = (H,..., H d ) [,T ] progressivemen mesurable. ii) La valeur du porefeuille associé es V = H S = iii) On défini la valeur acualisée comme Ṽ = H S. d HS i. i Définiion 4.3. La condiion d auofinancemen s écri de façon la plus générale possible : V = V + H s ds s + d i=1 i= H i sds i s C (4.2) où C es un processus coninu e adapé (processus de consommaion). C es ce que le déeneur reire du porefeuille. Il es facile de voir que cee définiion es équivalene à la condiiion suivane sur le porefeuille acualisé : Ṽ = V + d i=1 où C es coninu e adapé (a poseriori C exp( H i sd S i s C (4.3) r s ds)). On a la propriéé suivane concernan les porefeuilles auo-financés e qui nous servira à jusifier la formule de valorisaion d une opion américaine. Proposiion 4.4. Sous P, la valeur acualisée d un porefeuille auo-financé es une surmaringale locale. Si, de plus, (H ) [,T ] es elle que, ps, [, T ], V (condiion d admissibilié), alors (Ṽ) [,T ] es une surmaringale coninue e posiive. 4.3 Applicaion aux opions américaines On se place oujours sur le même espace de probabiliié muni de sa filraion brownienne e on considère un processus di de payoff américain, (Z ) [,T ], adapé e posiif, qui vérifie les mêmes condiions que le processus obsacle dans la secion 3 : i) P-ps, Z es coninue. ii) E[ sup Z ] <. [,T ] 1

11 FIMFA Arrê opimal e opions américaines 211 Par exemple, pour le call américain sur l acif S 1, de srie K, on a Z = (S 1 K) +, qui représene la valeur d exercice de l opion à l insan. On peu aussi considérer des opions faisan inervenir plusieurs acifs, par exemple Z = (S 1 S 2 K) +. Il es clair que le processus de payoff acualisé Z = Z S vérifie les mêmes condiions, si l on suppose que le aux d inérê (r s ) es uniformémen borné sur Ω [, T ]. C es aussi un obsacle au sens de la héorie de l arrê opimal e il es de plus régulier. On souhaie éablir le prix de l opion américaine relaive à ce payoff. Comme énoncé plusieurs fois dans les secions précédenes, l enveloppe de Snell du payoff acualisé es un candida naurel pour ce prix, au sens où. On défini : ( U S ) [,T ] Ceci peu encore s écrire, pour [, T ] : U = supess τ T,T := P Snell ( Z S ) (4.4) τ E P [exp( r u du)z τ F ] (4.5) Il nous rese à jusifier que 4.5 es effecivemen le prix de l opion, du poin de vue de la valeur du porefeuille de couverure. Par analogie avec le cas discre présené plus hau, on a la définiion suivane : Définiion 4.5. Un porefeuille auo-financé e admissible (H ) [,T ] es un porefeuille de couverure pour le payoff (Z ) si on a ps : [, T ], V Z, ou encore [, T ], Ṽ Z. Cee définiion es inuiive e énonce le fai que le vendeur de l opion me en place une sraégie qui lui perme de couvrir (au minimum) le payoff de l opion à ou insan (puisque pour l opion américaine l acheeur peu exercer à ou insan). Pour enfin jusifier que 4.5 es le prix de l opion, il fau monrer que U es effecivemen un porefeuille de couverure, e de plus que c es le meilleur. C es l obje des deux proposiions suivanes. Proposiion 4.6. Si (H ) es un porefeuille de couverure de (Z ), alors on a ps : [, T ], V H Preuve. On sai que (Ṽ) es une P -surmaringale posiive (e coninue) qui majore ( Z ). Or par la proposiion 3.6, (Ũ) es la plus peie surmaringale ayan ces propriéés, d où le résula. U Théorème 4.7. (U ) es la valeur d une sraégie auofinancée. On peu mainenan appliquer les résulas de la secion 3 concernan l exisence d arrê opimaux. Proposiion 4.8. i) τ = inf{; U = Z } es le plus pei emps d arrê opimal pour exercer l opion. ii) τ = inf{; C } (où C es la sraégie de consommaion associée au porefeuille auofinançan U ) es le plus grand emps d arrê opimal pour exercer l opion. Si le déeneur de l opion se compore raionnellemen, il exercera à un emps θ opimal avec θ τ, donc C θ = e V θ es maringale, c es-à-dire qu il n y a pas de gain en moyenne pour le vendeur. On donne une deuxième applicaion, en reprenan un résula évoqué à la fin de la secion 3. Proposiion 4.9. Si E P [ Z T F ] Z ps, pour ou [, T ], alors τ = T es le plus grand emps d arrê opimal (vu de ou [, T ]). En pariculier, il es facile de voir via l inégalié de Jensen que cee condiion es vérifiée pour le call, c es-à-dire pour Z = (S 1 K) +. E ceci implique qu il es oujours opimal d exercer l opion à maurié T (bien qu il puisse aussi l êre avan). En pariculier le call américain a la même valeur que le call européen (pour lequel il n es permis d exercer qu à maurié). Ce résula peu sembler conre-inuiif au sens où l opion américaine offre plus de choix à son déeneur e par conséquen semble avoir une valeur supérieure. 11

12 FIMFA gary oger Méhodes numériques Pour finir, on cie quelques méhodes permean de calculer expliciemen le prix d opions américaines selon la formule 4.5. On s inéresse au principe de programmaion dynamique déjà évoqué. On suppose pour simplifier que le aux d inérê es consan égal à r. On considère oujours un processus de payoff Z = f(, S ). On défini la foncion de valeur F de la façon suivane : Définiion 4.1. Pour [, T ], x >, F (, x) = sup E[e r(τ ) f(τ, Sτ,x )] où S,x es l unique τ T,T soluion de 4.1 issue de x à l insan. On peu en fai monrer, comme on se rouve dans un cadre marovien (voir équaion 4.1), que : e r F (, S ) = (Snell({e ru F (u, S u )} u [,T ] )) Ainsi il es légiime de s inéresser immédiaemen à cee foncion de valeur lorsque l on considère le prix de l opion américaine. Pour espérer pouvoir la calculer effecivemen, l idée es de discréiser en emps e donc de resreindre les insans d exercice. On fixe donc un enier n e on s inéresse à oues les grandeurs uniquemen aux insans n = T n, =,..., n. On noe T,n l ensemble des emps d arrê prenan uniquemen ces valeurs discrèes e l on ravaille avec la filraion (F n ) n (lorsque l on parle par exemple d enveloppe de Snell dans la suie, c es vis-à-vis de cee filraion). On noe, pour =,..., n, e x (R + ) d F n ( n, x) = sup (e r(τ n ) f(τ, S n τ,x )) la foncion de valeur approchée. τ T,n On peu alors monrer qu on a encore à emps discre : (e rn F ( n, S n )) n = Snell({e rn f( n, S n )} n ) E on a, dans ce conexe,le principe de la programmaion dynamique, sous la forme suivane : Proposiion La foncion de valeur approchée vérifie : i) F n (T, S T ) = f(t, S T ) ii) F n ( n, S n ) = max(f(n, S n ), e rt n E[F n ( n +1, S n +1 ) S n ]) On a de plus la propriéé de convergence suivane, qui garani qu il es légiime de ravailler avec ces processus approchés : Proposiion Si f es lipschizienne en x R d, uniformémen en [, T ], alors on a la majoraion dans L p : max F (T n, S n n ) F n ( n, S n ) p c n Dans la praique, pour calculer le prix à l insan d une opions américaine via cee récurrence rérograde, on voi qu il es nécéssaire d esimer des espérances condiionnelles liées au payoff e à la valeur des acifs à plusieurs daes dans le fuur. On donne ainsi pour finir, dans les grandes lignes seulemen, une méhode possible (inroduie dans [1]) pour réaliser ce calcul. L idée es de remplacer l espérance condiionnelle E[F n ( n +1, S n ) S +1 n ] par une régression linéaire, en uilisan comme foncions de régression une sous-parie finie d une base hilberienne de L 2 (Ω, σ(s n ), P). Ceci es naurel puisque l espérance condiionnelle minimise la disance L 2, ou comme la régression linéaire. On peu par exemple choisir des polynômes de S n comme base de régression. Numériquemen, il es souven inéressan d inclure le payoff lui-même f dans les foncions de régression. Le calcul se fai alors en deux emps. Premièremen, on réalise une simulaion de Mone Carlo des rajecoires de S. Si le modèle sochasique es plus compliqué que celui de Blac Scholes (voir équaion 4.1), cela nécéssie de remplacer l équaion par son schéma d Euler par exemple. Cela fourni des réalisaions de la valeur de S à chaque pas de emps. Ces réalisaions seron nécéssaires à la régression linéaire. On passe alors à la deuxième éape qui consise à appliquer la formule de récurrence rérograde. On calcule la valeur de l opion américaine à ous les insans e pour oues les rajecoires simulées de la façon suivane. La valeur à maurié es oujours égale au payoff : 12

13 FIMFA Arrê opimal e opions américaines 211 F n (T, S (i) T ) = f(t, S(i) ), i = 1,..., M T où M es le nombre de rajecoires simulées, qui son indicées par i. On peu alors calculer la valeur de l opion à l insan précéden, pour chaque rajecoire. Pour cela, on esime les coefficiens de chaque foncion de base de la régression, ce qui perme de calculer E[F n (T, S T ) S n n 1 = S (i) n 1] n pour oue rajecoire i. La valeur de l opion pour la rajecoire i à ce insan es alors donnée par le maximum enre cee valeur (acualisée avec le faceur e rt n ) e le payoff f( n n 1, S n n 1 ). A l insan iniial, oues les rajecoires se regroupen puisque la valeur iniiale des acifs S es connue, e cee procédure fourni le prix de l opion à l insan. De plus, on a sans plus de ravail une esimaion simple du plus pei emps d arrê opimal. Il s agi, sur chaque rajecoire, du premier insan où l espérance condiionnelle es inférieure à la valeur du payoff. Références [1] F. Longsaff and E. Schwarz, Valuing american opions by simulaion : A simple leas-squares approach, The Review of Financial Sudies, vol. 14, no. 1, pp , 21. [2] D. Lamberon and B. Lapeyre, Inroducion o Sochasic Calculus Applied o Finance. Chapman & Hall, 2. [3] I. Karazas and E. Shreve, Mehods of Mahemaical Finance. Springer, [4] G. Pagès, Opions américaines. Noes de cours. 13