Exercice. Problème AMIENS-LILLE-ROUEN. Les candidats traiteront l exercice et le problème. 1. Résoudre l équation : 2x 2 + x 171= 0

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1 AMIENS-LILLE-ROUEN Les candidats traiteront l exercice et le problème. 1. Résoudre l équation : 2x 2 + x 171= 0 2. Résoudre dansrles équations : (a) 2(Log x) 2 + Log x 171= 0 (b) 2e x e x = 0 N.B. Log désigne le logarithme népérien. 3. Dans un système de base inconnue b un nombre A s écrit Déterminer b sachant que dans le système de numération de base sept A s écrit 335. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par : 1. Trouver a, b, et c, trois réels, tels que x R, x 1, f (x)= x2 x 1 (x 1) 2 f (x)= a+ b x 1 + c (x 1) 2 2. Étudier les variations de la fonction f. 3. Trouver les coordonnées des points d intersection de la courbe C, représentant les variations de f, avec l axe des abscisses et avec l axe des ordonnées. 4. Trouver les coordonnées du point A où la courbe C coupe la droite d équation y = 1. Trouver l équation de la tangente en A à C. 5. Tracer C et avec soin. Unités : 1cm sur Ox, 2cm sur Oy. 6. Calculer l aire, en cm 2, du domaine limité par C, et la droite d équation x = 4. On donnera le résultat à 10 2 près. (Log 3 1,099).

2 TOULOUSE 1. Montrer que P(x)=x 3 4x 2 29x 24 admet 1 pour racine et déterminer les coefficients a, b, c pour que l on ait pour tout x réel P(x)=(x+ 1)(ax 2 + bx+ c) ; en déduire l ensemble des solutions dansrde l équation : x 3 4x 2 29x 24= Déterminer la base de numération x dans laquelle la multiplication de 165 par 5 donne Résoudre dansrles équations : (a) (Log x) 3 4(Log x) 2 29Log x 24= 0. (b) e 2x 4e x 29 24e x = 0. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que f (x)= 3x2 + 5x 5 x 2 + x 2 1. Donner l ensemble de définition D de f ; étudier ses variations et tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé (unité : 1cm). 2. Montrer que le point I ( 12 ), 3 est centre de symétrie de la courbe (C). 3. Montrer que pour tout x appartenant à D f (x)=3+ 2x+ 1 x 2 + x 2 et calculer l aire A de la portion de plan limitée par la courbe (C) et les droites d équation x = 2, x = 4, y = 3,

3 CLERMONT-FERRAND (8 points) 1. Résoudre dans l ensembler, l équation suivante : 2x x+ 13= 0 2. En déduire la résolution dans R des équations suivantes : ( ) 1 (a) Log (2x 1)+Log (x 5)+Log = 2Log (3) 2 (où Log signifie : logarithme népérien) (b) 13e x + 2e x = 11 (e désignant la base du logarithme népérien). (12 points) On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : f (x)= 8x+ 22 (2x 5) 2 1. Déterminer l ensemble D f de définition de f et étudier les variations de f. 2. On note (C ) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé d axes x Ox et y Oy (unité :1cm). (a) Montrer que l axe x Ox est une asymptote à (C ). Déterminer le point d intersection de cette asymptote et de (C ). (b) Tracer (C ). (c) Déterminer une équation de la tangente à (C ) au point de (C ) d abscisse Déterminer les nombres réels a et b tels que, pour tout x dans D f on ait f (x)= a 2x 5 + b (2x 5) 2 4. Soient u et w les fonctions réelles de la variable réelle x définies par : u(x)=log 2x 5 et w(x)= 1 2x 5 Déterminer les ensembles de définition de u et w ainsi que leurs fonctions dérivées. En déduire une primitive de f. 5. Calculer en cm 2 l aire de la portion finie de plan limitée par la courbe (C ), l axe des abscisses, les droites d équation x = 3 et x = 4.

4 DIJON-BESANÇON ACADÉMIES RATTACHÉES À la fin d un trimestre, on a relevé les moyennes obtenues par dix élèves en mathématiques et en comptabilité. X i note de mathématiques Y i note de comptabilité Calculer le coefficient de corrélation linéaire. Il est conseillé de prendre comme nouvelle origine le point M 0 (10,10). La formule utilisée et les calculs doivent figurer sur la copie. 1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par (x a)(ax+ 1) f (x)= Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O; ı, j ). Déterminer les valeurs possibles du réel a, pour que C coupe l axe (O, ı ) des abscisses au point A d abscisse On prend a= 2, dans la suite du problème. Étudier les variations de la fonction f. (On précisera les asymptotes) 3. Écrire une équation de la tangente à C au point A. 4. Calculer les coordonnées du point d intersection B de C avec la droite d équation y = Dans le repère (O; ı, j ) (unité 1cm) tracer la tangente à C au point A, puis la courbe C. 6. Déterminer les réels b et c tels que pour tout x appartenant au domaine de définition de f, on ait : x 2 f (x)=2+ b x + c x 2 7. Calculer la mesure de l aire du domaine plan compris entre la courbe C, l axe des abscisses, les droites d équation x = 2 et x = Résoudre dansrl équation 2e 2u 3e u 2=0. (La valeur approchée de Log 2 à 10 3 près par défaut est 0,693).

5 NANTES (7 points) 1. (a) Avec les lettres du mot «gestion», chacune étant employée une seule fois, combien peut-on former de mots de 7 lettres? (Ces mots ayant un sens ou non). (b) Parmi les mots formés dans (a) combien en existe-t-il finissant par une voyelle? 2. On considère les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 du système de numération de base 8. (a) Combien existe-t-il de nombres de 7 chiffres distincts dans le système de numération de base 8 écrits avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? (b) Parmi les nombres obtenus dans 2. (a), combien en existe-t-il finissant par 2 ou 4 ou 6? Peut-on retrouver ces résultats à partir de ceux de la première question? (13 points) On désigne par f et g les fonctions numériques de la variable réelle x définies par : f : x 1 x + 2 2x 1 et g : x 10 10x 9 1. Déterminer les ensembles de définition de f et de g. 2. (a) Résoudre dans R l équation f (x) = g (x). (b) Résoudre dansrl inéquation f (x) g (x). (c) Résoudre dansrle système f (x) 0 et g (x) Étudier les variations de f et de g. 4. On appelle respectivement (C f ) et (C g ) les courbes représentatives de f et de g dans un plan rapporté à un repère orthonormé d axes x Ox et y Oy (unité : 1cm). Tracer (C f ) et (C g ). Interpréter graphiquement les résultats de la question Donner une primitive de f et une primitive de g. 6. Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1. On désigne par A(a) l aire en cm 2 de la partie finie du plan limitée par (C f ), les droites d équation y = 0, x = 1 et x = a. On désigne par B(a) l aire en cm 2 de la partie finie du plan limitée par ((C g ), les droites d équation y = 0, x = 1 et x= a. Calculer A(a) et B(a). 7. Déterminer le nombre réel a pour lequel on a A(a) = B(a). Calculer A(a) et B(a) pour la valeur de a ainsi déterminée.

6 CRETEIL-PARIS-VERSAILLES Les candidats traiteront l exercice et le problème Soit la fonction : f : R R x f (x)=2x+ 2 a) Déterminer la primitive F de la fonction f, qui prend la valeur 36 pour la valeur x = 1. b) Résoudre dans R l équation : F(x) = 0. c) Dans le système de numération de base trois, un nombre s écrit Déterminer la base du système de numération dans lequel ce nombre s écrit 123. Soit la fonction : f : R R x x2 + 8x 24 x Déterminer l ensemble de définition de f. 2. (a) Étudier les limites de f aux bornes de l ensemble de définition. (b) Dresser le tableau de variation de f. 3. Soit (C ) la courbe représentative de f, dans un repère orthonormé (O; ı, j ) avec ı = j =1cm. (a) Préciser les asymptotes de (C). (b) Déterminer, à 0,1 près, l abscisse de points A et A, intersection de (C ) et de l axe xx. (c) Préciser l abscisse du point B, intersection de (C ) avec la droite (D) d équation y = 1. (d) Établir l équation de la droite (T), tangente à (C ) au point C d abscisse D. (e) Tracer soigneusement la courbe (C ) et sa tangente (T). 4. (a) Vérifier que pour tout réel différent de 2 et de 2 f (x)=1 1 x x+ 2 (b) En déduire une primitive F de f sur l intervalle ]2, + [. (c) Calculer l aire du domaine situé entre la courbe (C ), la droite (D) d équation y = 1, et les droites ( ) d équation x= 1 et ( ) d équation x = 4. Cette aire sera exprimée en cm 2. On en donne une valeur approchée à 10 2 près. (Log 2 0,693 et Log 3 1,099).

7 POLYNÉSIE FRANÇAISE On appelle mot une succession de lettres distinctes, ayant ou non un sens. À l aide des lettres du mot «JACINTHE» combien peut-on former 1. de mots de six lettres? 2. de mots de six lettres dont la deuxième et la dernière sont des voyelles et les quatre autres des consonnes? 3. de mots de six lettres comportant deux voyelles et quatre consonnes? Soit la fonction f telle que : f (x)=e 2x + e x 2 et soit (C ) sa courbe représentative dans un repère (O; ı, j ) [unités 2cm sur (O; ı ) et 1cm sur (O; j )]. 1. Étudier la fonction f. 2. (a) Déterminer les coordonnées du point d intersection de la courbe (C ) avec l axe (O; j ). (b) Déterminer une équation de la tangente à (C ) au point d abscisse Après avoir déterminé les ordonnées des points de (C ) d abscisses Log 2, Log 2, Log 3, Log 3, Log 4, 1 et 1 tracer avec soin la courbe (C ). 4. Calculer en cm 2 la mesure de l aire du domaine limité par la courbe (C ), l axe (O; ı ), l axe (O; j ) et la droite d équation x= Log 2. En donner une valeur approchée. On donne Log 2 0,69 ; Log 3 1,10 ; e 2,718.

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