a qui se lit «a au carré», on peut a qui se lit «a au cube».

Transcription

1 Simplification d une expression littérale Convention d écriture : pour simplifier l écriture d une expression littérale, on peut supprimer le symbole devant une lettre ou devant une parenthèse. Rappels : pour tout nombre a, on peut écrire écrire également a a a a a 3 a qui se lit «a au cube». 2 a qui se lit «a au carré», on peut Opposé d une somme algébrique : l opposé d une somme algébrique est égal à la somme des opposés de chacun de ses termes. Développer une expression littérale Définition : développer une expression littérale signifie «enlever les enveloppes» c est-àdire écrire cette expression sans parenthèses. Distributivité simple : pour tous nombres k, a et b on a k a b k a k b Distributivité simple : pour tous nombres k, a et b on a k a b k a k b. Double distributivité : pour tous nombres a, b, c et d on a la relation suivante appelée formule de double distributivité a bc d ac a d bc b d. Cours Page 1

2 Les identités remarquables Les identités remarquables sont à apprendre par cœur et à savoir appliquer correctement) : Première identité remarquable : a b a 2ab b, Deuxième identité remarquable : a b a 2ab b, 2 2 Troisième identité remarquable : a ba b a b. On peut utiliser la double distributivité pour retrouver les trois identités remarquables : a b a b a b a ab ba b a 2ab b, a b a b a b a ab ba b a 2ab b, a ba b a ab ba b a b. Factoriser une expression littérale Définition : lorsqu on développe une expression littérale, on enlève les parenthèses et on transforme un produit en une somme. Lorsqu on factorise une expression littérale, on effectue l opération contraire, c est-à-dire qu on transforme une somme en un produit en restituant les parenthèses. Technique du facteur commun : pour factoriser une expression littérale, on recherche la présence d un facteur commun parmi les termes de la somme puis on applique l une des relations suivantes k a k b k a b ou k a k b k a b. Cours Page 2

3 Utilisation d une identité remarquable : pour factoriser une expression littérale on peut, dans certains cas, reconnaître une identité remarquable et l utiliser pour factoriser. Réduire une somme algébrique Définition : réduire une somme algébrique revient à écrire cette somme sans parenthèses et avec le moins de termes possible. Calculer la valeur numérique d une expression Définition : pour calculer la valeur numérique d une expression littérale, on substitue à la (ou aux) lettre(s) leur valeur numérique puis on effectue les calculs (en faisant réapparaître, si nécessaire les signes nécessaires). Cours Page 3

4 Vocabulaire Définition : une équation est une expression dans laquelle il y a toujours un signe égal et une ou plusieurs inconnues désignées chacune par une ou plusieurs lettres. Définition : résoudre une équation d inconnue x, c est déterminer toutes les valeurs de x (si elles existent) pour lesquelles l égalité est vraie. Chacune de ces valeurs est appelée solution de l équation. Résolution d équations Propriété : une égalité reste vraie si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres. Cette propriété se transcrit mathématiquement de la manière suivante : Pour tout nombre a, b et c : «Si a b, Alors a c b c». Pour tout nombre a, b et c : «Si a b, Alors a c b c». Propriété : une égalité reste vraie si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre non nul. Cette propriété se transcrit mathématiquement de la manière suivante : Pour tout nombre a, b et c : «Si a b, Alors ac b c». Pour tout nombre a, b et c : «Si a b, Alors a b» lorsque c 0. c c Remarque : les propriétés énoncées ci-dessus sont à la base du processus de résolution d une équation. En ajoutant une même quantité, en soustrayant une même quantité aux deux membres de l égalité ou bien en multipliant, en divisant les deux membres de l égalité par un même nombre non nul, on essaye par étapes successives d isoler l inconnue (la lettre) afin de déterminer sa valeur. Lorsque l inconnue est isolée alors l équation est résolue. Remarque : on peut vérifier son travail en remplaçant l inconnue par la valeur trouvée! Cours Page 4

5 Equation produit Propriété : Si un produit est nul alors au moins l un de ses facteurs est nul. Remarque : cette propriété permet de résoudre certaines équations du second degré appelées «équations produits» en se ramenant à la résolution de deux équations du premier degré. Résolution de problème Définition : mettre en équation un problème, c est traduire son énoncé par une égalité mathématique faisant intervenir une ou plusieurs lettres. C est-à-dire, traduire son énoncé par une équation. Résoudre le problème revient alors à résoudre l équation. Cours Page 5

6 Comparaison de nombres Notion d ordre Propriété : on ne change pas le sens d une inégalité si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres. Propriété : on ne change pas le sens d une inégalité si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre positif non nul. Propriété : par contre, on change le sens d une inégalité si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre négatif non nul. Inéquations Résolution d inéquations Définition : une inéquation est une inégalité comportant une ou plusieurs inconnues. Définition : dire qu un nombre est solution d une inéquation signifie que ce nombre vérifie l inégalité. Définition : résoudre une inéquation c est trouver tous les nombres qui vérifient l inégalité. Cours Page 6