Solution du sujet. Décembre 2010

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1 Université Aix-Marseille 3 Cours MA Nous avons Solution du sujet Décembre 010 f(x) = x 3x + 4 et g(x) = ln x 1. Les polynômes sont bien définis pour tout nombre réel. La fonction f est donc bien définie pour tout nombre réel x et son ensemble de définition est E f = R Le logarithme est une fonction bien définie quand son argument est strictement positif. Or, la valeur absolue de x est strictement positive si et seulement si x 0. Donc g est bien définie pour tout nombre réel x 0. Son ensemble de définition est E g = R\{0}. Nous savons que ln = log e. Et, par définition, le log a (x) est l exposant qu il faut donner à a pour obtenir x. Donc : g(e) = ln e = lne = 1 g( e) = ln e = lne = 1 g(e ) = ln e = lne = 3. Le graphe de f est une parabole de sommet ( 3, 7 4 ) et courbure vers le haut (fig. 1). Fig. 1 Graphe de f. Le graphe de la fonction lnx est bien connu. Pour tracer le graphe de g quand x est negatif il suffit de remarquer que si a > 0 on a ln a = ln(a), c est-à-dire la valeur de g en x = a est la même que en x = a. Le graphe de g est donc symetrique par rapport à l axe vertical (fig. ). 4. Pour f on a f(x) = + x f(x) = + 1

2 Fig. Graphe de g. Pour g : 5. A titre d exemple, on peut vérifier que On choisit M > 0. On va résoudre l inégalité g(x) = + x g(x) = x 0 g(x) = + g(x) = + g(x) > M Comme on veut la résoudre pour trouver un voisinage de +, il suffit de considérer g restrainte à x > 0. ln x > M x > e M Donc l inégalité est satisfaite dans le voisinage (e M, + ) de +. En conclusion : M > 0, il existe le voisinage V = (e M, + ) de + tel que g(x) > M x V. 6. f n est pas paire car son graphe n est pas symétrique par rapport à l axe vertical : f( x) f(x) sauf si x = 0. f n est pas impaire car son graphe n est pas symétrique par rapport à l origine : f( x) f(x). Et n est pas périodique car la fonction est strictement croissante à partir de x = 3 : f( 3 + T) > f(3 ) pour tout nombre positif T, donc il ne peut pas exister une période T. Venons à la fonction g. La symétrie par rapport à l axe vertical est évidente, donc g est paire : g( x) = g(x) x E g g n est pas symétrique par rapport à l origine, donc elle n est pas impaire (d ailleurs, une fonction paire non nulle n est pas impaire!). Finalement, g n est pas périodique car elle est strictement croissante pour x > 0 : pour tout x > 0 et tout T > 0, on a g(x + T) > g(x).

3 7. Une fonction f est continue si f(x) = f(x 0 ). pour tout x 0 de son domaine de définition. Dans notre cas, f est continue car f(x) = x 3x + 4 = x x x 0 3x = f(x 0 ). 0 pour tout x 0 R. Aussi g est continue : pour tout x 0 0 on a que g(x) = ln x = ln x 0 = g(x 0 ). 8. Une fonction f est injective si pour tout y R, l image réciproque de y {x E f f(x) = y} est formée par un seul élément ou est l ensemble vide (E f désigne l ensemble de définition de f). Cette définition est équivalente au fait que toute droite horizontale coupe le graphe de f au plus une fois. Comme on le voit bien de son graphe, toute droite horizontale coupe le graphe de g en deux points (fig 3)! Fig. 3 Deux droites horizontales et le graphe de g. Donc g n est pas injective et la fonction réciproque de g n existe pas. Cherchons maintenant un intervalle sur lequel g est injective. g est strictement croissante pour x > 0. Donc sur l intervalle (0, + ) la fonction g est injective (toute droite horizontale coupe le graphe de g restraint à l intervalle (0, + ) une seule fois, fig. 4). De plus sur cette intervalle on a g(x) = lnx et la fonction ln est considérée sur son domaine de définition naturel. La réciproque de g restreinte à l intervalle (0, + ) est donc la fonction exponentielle g 1 (x) = e x Son ensemble de définition est l image de la fonction logarithme, c est-à-dire R. Il est facile de tracer son graphe pour deux raisons : d abord, elle est une fonction bien connue, et puis son graphe est symétrique par rapport à la bissectrice du premier quadrant à celui de g restreinte à (0, + ) (fig. 5). 3

4 Fig. 4 Deux droites horizontales et le graphe de g restreinte à (0, + ). Fig. 5 Graphe de g restreinte à (0, + ) et sa réciproque e x. Fig. 6 Deux droites horizontales et le graphe de f. 4

5 Fig. 7 Graphe de f restreinte à [ 3, + ). 9. f n est pas injective car il existe des droites horizontales qui coupent son graphe deux fois (fig 6). Nous avons vu par contre que f est strictement croissante pour x > 3 donc nous savons que f est injective sur l intervalle [ 3, + ) (fig 7). On peut donc chercher la réciproque de f restreinte à cet intervalle. D abord on remarque que l image de la fonction f restreinte à l intervalle [ 3, + ) est l intervalle [f(3 ), + ) = [ 7 4, + ). Cela vient du fait que f est croissante sur [3, + ), f est continue, et f(x) = + Maintenant, si on fixe [y ( 7 4, + ), les deux solutions de l équation sont x 1 = 3 + 4y 7 x 3x + 4 = y. et x = 3 4y 7 (remarquer que le discriminant 9 4(4 y) = 4y 7 est positif pour y > 7 4 ), donc { 3 + 4y 7 f 1 (y) =, 3 } 4y 7 et l élement de cet ensemble qui appartient à [ 3, + ) est 3+ 4y 7. La réciproque de f restreinte à [ 3, + ) est donc f 1 (x) = 3 + 4x 7 définie sur l ensemble [ 7 4, + ). Pour tracer son graphe il suffit de considérer le graphe de f restreinte à [ 3, + ) et d utiliser la symétrie par rapport à la bissectrice du premier quadrant (fig. 8). 10. La fonction g pour x > 0 est le logarithme lnx. Ses premières cinq dérivées, pour x > 0, sont : g (x) = 1 x g (x) = 1 x g (x) = x 3 g (iv) (x) = 6 x 4 g (v) (x) = 4 x 5 5

6 Fig. 8 Graphe de f restreinte à [ 3, + ) et sa réciproque. et calculées en x = 1 : g (1) = 1 g (1) = 1 g (1) = g (iv) (1) = 6 g (v) (1) = 4 Le développement ité de g en x = 1 est par définition g(1) + g (1)(x 1) + g (1) c est-à-dire (x 1) + g (1) 3! (x 1) 3 + giv (1) 4! (x 1) 4 + gv (1) 5! (x 1) 1 (x 1) (x 1)3 1 4 (x 1)4 + 1 (x 1)5 5 (x 1) Définissons la fonction On a Donc pour x proche de 1, q(x) = x 1 q (x) = 1 x q(x) = q(1) + q (1)(x 1) + ǫ q (x)(x 1) = 1 (x 1) + ǫ q(x)(x 1) où ǫ q (x) tend vers 0 si x tend vers 1. De même, g(x) = (x 1) + ǫ g (x)(x 1) où ǫ q (x) tend vers 0 si x tend vers 1 (il s agit du développement ité d ordre 1 de g en x = 1 avec le reste). Et par conséquence, x 1 g(x) x 1 = (x 1) + ǫ g (x)(x 1) x 1 1 (x 1) + ǫ q(x)(x 1) = x ǫ g (x) 1 + ǫ q(x) =. 1. La fonction g est définie sur R\{0}. Donc, nous pouvons définir g(f(x)) seulement si f(x) 0. Mais l équation x 3x + 4 = 0 6

7 n a pas de solutions (le discriminant est négatif!), donc nous pouvons définir h(x) = g(f(x)) = ln x 3x + 4 pour tout x R. Son domaine de définition est donc R. 13. Etudions le signe de h. h(x) > 0 ln x 3x + 4 > 0 x 3x + 4 > 1 Pour résoudre cette dernière inégalité, étudions le signe de x 3x + 4. Comme l équation x 3x + 4 = 0 n a pas de solutions réelles, le terme x 3x + 4 a toujours le signe du coefficient de x. Autrement dit, x 3x + 4 > 0 pour tout x. Donc x 3x + 4 > 1 x 3x + 4 > 1 x 3x + 3 > 0 Comme l équation x 3x + 3 = 0 n a pas de solutions réelles, on a que x 3x + 3 est toujours positif. Et alors h(x) > 0 pour tout x R. 14. Le fait que x 3x + 4 > 0 pour tout x, nous permet de simplifier l écriture de h : h(x) = ln(x 3x + 4). Alors h(x) = ln(x 3x + 4) = Nous avons h(x) = x x ln(x 3x + 4) = + h(x) ln(x 3x + 4) x = x. En utilisant le théorème de l Hôpital, nous avons ln(x 3x + 4) x = x 3 x 3x+4 x x 3 = x(x 3x + 4) = 0. Voici l énoncé du Théorème de l Hôpital. Soient a(x) et b(x) deux fonctions, et x 0 R ou x 0 = ou x 0 = +. On suppose l un des deux cas suivants : Cas 1 { a(x) = 0 b(x) = 0 Cas { a(x) = b(x) = 7

8 S il existe un voisinage V de x 0 tel que les deux fonctions a et b sont dérivables dans V \{x 0 }, b (x) 0 dans V \{x 0 }, et il existe la ite alors a (x) b (x), a(x) b(x) = a (x) b (x) On remarque que dans notre cas on pouvait utiliser ce théorème parce que nous sommes dans le cas, les fonctions h(x) et x sont dérivables dans un voisinage de +, la dérivée de x, c est-à-dire x, n est n est pas nulle dans un voisinage de +, et la ite du rapport des dérivées existe, étant égale à On appelle dérivée d une fonction f en un point x 0 la ite f(x + h) f(x) h 0 h si elle existe et est finie. Nous avons vu dans le cours que la dérivée d une fonction en un point et égale à la pente de la droite tangente au graphe de la fonction en ce point. La dérivée de h est h (x) = x 3 x 3x + 4 donc la dérivée de h en x = 1 est h (1) = 1. Cela veut dire que la pente de la droite tangente au graphe de h en x = 1 est égale à Nous venons de calculer la dérivée de h. Il s agit d une fraction dont le dénominateur est toujours positif (nous avons déjà remarqué cela!). Le numérateur, par contre, change de signe en x = 3. Pour x < 3 il est negatif, et pour x > 3 il est positif, étant nul pour x = 3. Le signe de h (x) est égale au signe du numérateur de la fraction. On a donc que h est décroissante pour x < 3, et croissante pour x > 3. En x = 3 la fonction atteint un minimum. 18. Les informations sur h que nous venons d obtenir nous permettent de tracer sommairement son graphe (fig. 9). Nous précisons ainsi que le minimum de h, atteint en x = 3, vaut ln(7 4 ). Fig. 9 Graphe de h. 8