CONVERSION DE PUISSANCE

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1 Spé ψ Devoir n 5 CONVERSION DE PUISSANCE Toutes les parties sont indépendantes. Un formulaire se trouve en fin de problème. Partie I On désire tracer expérimentalement le cycle d hystérésis B = f(h) d un matériau se présentant sous la forme d un tore sur lequel sont bobinés deux enroulements. On note R son rayon moyen et S sa section. Le schéma de principe du montage expérimental est le suivant i 1 N 1 S N 2 N 1 R v 2 v INTEGRATEUR = α S 2 v dt (α > 0) v S voie Y R 0 = 1,0 Ω voie X Dans les conditions expérimentales, N 2 i 2 << N 1 i 1. On ne tiendra pas compte de la résistance des enroulements. H et B sont supposés uniformes dans le tore. I-1) La relation entre i 1 et H est du type H = K 1 i 1. Établir l expression de K 1 en fonction de N 1 et R. I-2-a) Rappeler la relation entre le flux φ CM à travers une section droite du circuit magnétique et la tension v 2 dans la bobine 2. La relation entre v S et B est du type B = K 2 v S. En déduire l expression de K 2 en fonction de α, N 2 et S. On admettra que v S = 0, lorsque B = 0. C b) On utilise le montage ci-contre pour réaliser l intégrateur. Quelles doivent être les bornes d entrée + et de l amplificateur opérationnel pour un fonctionnement en mode linéaire? Établir alors R l expression de α en fonction de R et de C. I-3) Les composants donnent K 1 = 100 S.I. et K 2 = 0,20 S.I. On observe sur l écran de l oscilloscope la courbe ci-dessous. V Y (Volts) V X (Volts) Spé ψ page 1/5 Devoir n 5

2 En déduire l ordre de grandeur du champ magnétique rémanent B R, de sa valeur à saturation B SAT et de l excitation coercitive H C dont on précisera les unités. I-4) La ferrite présente un cycle de surface inférieure à celle du fer ainsi qu un champ rémanent plus faible. Quel est parmi ces deux matériaux celui qui est le mieux adapté à la réalisation : * d un transformateur? * d un aimant permanent? I-5) Sur l oscillogramme, on évalue l aire A du cycle à 6 carreaux. Rappeler sous forme d une intégrale, l expression de la densité volumique d énergie dissipée dans le matériau au cours d un cycle. L évaluer numériquement dans le cas du cycle étudié ci-dessus. B B t e Partie II On considère un conducteur ohmique, cylindrique de très grande hauteur h (i.e. supposé infini) suivant l axe. Il est amagnétique, c est-à-dire assimilable d un point de vue magnétique à du vide de perméabilité µ 0. Ce conducteur est placé dans une région où règne un champ magnétique extérieur, uniforme avec = ( ω ) excitation extérieure H EXT = HMAX cos( ωt) e. EXT MAX cos. Celui-ci provient d une On note ρ son rayon et γ sa conductivité électrique. II-1) L air est assimilé à du vide. Rappeler la relation qui existe entre et H EXT. II-2) Expliquer pourquoi, il apparaît dans ce conducteur ohmique un champ électrique induit E ainsi que des courants induits de densité volumique J V. rbmax ωsin ( ωt) II-3) On montre que le champ électrique s écrit E = e θ. Rappeler 2 l expression de la densité volumique locale des pertes Joule instantanées, puis établir sa valeur locale moyenne sur le temps en fonction de B MAX, r, γ et ω. II-4) À l aide d une intégration sur le conducteur de rayon ρ et de hauteur h, donner l expression de la densité volumique des pertes Joules moyennes sur le temps et sur l espace. II-5) Dessiner l allure des lignes de courants induits à l intérieur du conducteur étudié précédemment. Les pertes à l intérieur de ce conducteur sont elles modifiées : ρ = Cte θ = Cte - si on découpe le conducteur suivant un plan d équation θ = constante? - si on découpe le conducteur suivant un plan d équation = constante? II-6) Pourquoi feuillette-t-on les circuits magnétiques des transformateurs électriques? Pourquoi ajoute-t-on du silicium (peu conducteur) au fer de ces circuits magnétiques? II-7) La densité de courant J crée à l intérieur du conducteur un champ magnétique B ' 2 2 µ 0γBMAXω( ρ r ) avec B '( r) = sin ( ωt) e pour tout r < ρ et B '( r ) = 0 pour tout r > ρ. 4 Spé ψ page 2/5 Devoir n 5

3 En assimilant le champ magnétique B à l intérieur du conducteur à la somme des deux contributions et B ' soit B = B EXT + B ', déterminer en fonction de BMAX, ρ, ω, t et γ, le flux φ(t) de B à travers un disque de rayon ρ et d axe. φ( t) II-8) On définit le champ magnétique moyen dans le conducteur par B ( t) = e 2. Déterminer B ( t) en fonction de B MAX, µ 0, γ, ω, ρ et t. πρ II-9) Montrer qu on peut définir une perméabilité complexe µ telle que B = µ H. On précisera le module et l argument de µ en fonction de µ 0, γ, ω et ρ. II-10) On note x( t) = H ( t) et y ( t) B ( t) EXT EXT =. Comparer alors l allure de la courbe y = f(x) en basses fréquences et en hautes fréquences, lorsque les courants de Foucault sont importants. Que peut-on prévoir pour les cycles d hystérésis des matériaux ferromagnétiques conducteurs à hautes fréquences? Partie III III-1) On considère le dispositif ci-contre qui comporte un circuit magnétique torique et un conducteur rectiligne supposé infini, parcouru par un courant i(t), placé sur l axe de révolution du tore. Le tore est à section rectangulaire de hauteur h, les côtés sont distants de a et b de l axe de révolution ; a et b sont donc les rayons intérieur et extérieur du tore. On a b = 2a et h = 1 cm. Le matériau magnétique constituant le tore est supposé homogène, linéaire, de perméabilité magnétique relative µ r = On rappelle que µ 0 = 4π 10 7 H m 1. a) En justifiant soigneusement votre réponse, montrer qu à l intérieur B M = B r, eθ M. du tore le champ magnétique est de la forme ( ) ( ) ( ) b) Exprimer ce champ B ( r, ). c) En déduire l expression du flux φ à travers section hachurée du circuit magnétique, parallèle à O telle que r [a, b]. III-2) Un disjoncteur différentiel se compose de deux circuits électriques couplés par le circuit magnétique précédent. La ligne électrique bifilaire EDF (230 V EFF, 50 H qui assure le transport aller et retour du courant) est placée au centre du circuit magnétique précédent. Une autre bobine, assimilable à un circuit ouvert, comporte N spires enroulées autour du circuit magnétique. a) Un usager touche accidentellement un seul des deux fils de la ligne centrale bifilaire, par exemple le conducteur aller, en même temps que ses pieds sont reliés à la terre. Il y a alors un courant de fuite : tout le courant véhiculé par le conducteur aller ne repart pas par le conducteur retour. Pour qu il n y ait pas d accident grave, l intensité efficace du courant qui traverse l usager doit être inférieure à 30 ma. Expliquer en quoi ce dispositif permet de détecter une électrocution? b) La bobine précédente alimente un électroaimant qui coupe l alimentation EDF sur seuil de tension de valeur efficace : V SEUIL = 5 V. Combien doit-elle comporter de spires pour une protection de 30 ma (valeur efficace du courant maximal admissible dans le corps de l usager)? Spé ψ page 3/5 Devoir n 5 i(t) i ALLER (t) h i RETOUR (t) Ligne bifilaire EDF 2a 2b i(t) eθ e r bobine de N spires de section h(b a) h

4 c) En pratique, les matériaux magnétiques ne sont généralement pas linéaires, mais présentent un cycle d hystérésis B(H). Pourquoi les constructeurs de disjoncteurs différentiels recherchent-ils des matériaux magnétiques doux tel que en H = 0, soit maximum? db dh III-3) Dans certains pays, on impose que certaines installations électriques (salles de bains, piscines...) soient alimentées via un transformateur de rapport m = 1. Y a-t-il un risque d électrocution si on touche accidentellement un seul des deux conducteurs du secondaire du transformateur. En quoi un transformateur constitue-t-il un élément de protection des personnes? Quelles sont ses limites? i 1 (t) i 2 (t) Partie IV La résistance totale des bobinages ramenée au primaire du transformateur représenté ci-contre est R = 8Ω. On néglige tout autre écart à l idéalité du transformateur. IV-1) Le transformateur est alimenté sous une tension sinusoïdale de valeur efficace U 1 = 220V. La tension efficace au secondaire à vide est de 26V. i 1 i 2 u 1 u 2 m a) Représenter le schéma équivalent du transformateur vu entre les tensions u 1 et u 2 en utilisant la résistance R et le modèle du transformateur parfait. Déterminer la valeur numérique de m b) Lorsque le primaire du transformateur est alimenté et son secondaire relié à une charge résistive R C, la tension efficace au secondaire vaut alors U 2 = 24V. Établir une relation entre u 1 (t), i 1 (t) et u 2 (t). En déduire les intensités efficaces I 1 et I 2 dans le primaire et dans le secondaire. c) Calculer la puissance moyenne fournie dans ce cas par la source au primaire du transformateur. Calculer le rendement correspondant à ce fonctionnement. IV-2) Ce transformateur est utilisé en élévateur de tension: son secondaire est alimenté sous une tension de 24V. On garde cependant les dénominations «primaire» et «secondaire» de la question précédente pour désigner les bobinages du transformateur. C est donc le secondaire qui est maintenant alimenté et le primaire qui est éventuellement chargé. a) Quelle est la valeur efficace de la tension à vide au primaire? b) On relie le primaire au dipôle résistif R C. Quelle est la valeur efficace de la tension au primaire? c) Calculer le rendement correspondant à ce fonctionnement et comparer avec la valeur trouvée la question IV-1 d) Ce résultat est-il généralisable à deux transformateurs de même résistance totale des bobinages, l un élévateur et l autre abaisseur de tension? Partie V Soit un moteur à excitation indépendante qui fonctionne à courant d excitation constant et sous tension d induit nominale U N = 220 V. Sa réaction d induit est parfaitement compensée, sa résistance d induit est R = 2,0 Ω. V-1) Le moteur fonctionne en charge. On a relevé une intensité du courant d induit I = 10 A et une vitesse de rotation Ω = 1000 tr.min 1. a) Calculer la f.e.m. d induction e apparaissant dans le moteur. b) Calculer le moment du couple électromagnétique C exercée sur l arbre du moteur. Spé ψ page 4/5 Devoir n 5

5 c) Les pertes collectives de ce moteur sont P P = 70 W et la puissance électrique fournie à l inducteur P E = 90 W. Calculer la puissance utile, le moment du couple mécanique utile sur l arbre et le rendement du moteur. V-2) Le moteur fonctionne à vide sous la même tension d alimentation. a) En négligeant l intensité du courant dans l induit, déterminer la f.e.m. E 0 = e et la vitesse de rotation Ω 0 du moteur. b) Montrer que si l on note la variation de la vitesse de rotation Ω = Ω 0 Ω(Ι), on peut écrire Ω / Ω 0 = k I et calculer sa valeur pour I = 10 A. Formulaire On donne en coordonnées cylindriques U 1 U U grad ( U ) = er + eθ + e r r θ 1 ( rar ) 1 ( aθ ) ( a ) div( a) = + + r r r θ 1 ( a ) ( a ) θ ( ar ) ( a ) 1 ( raθ ) 1 ( ar ) rot ( a) = er + eθ + e r θ r r r r θ U 1 U 1 U U 1 U 1 U U U r = = r r r r θ r r r r θ Spé ψ page 5/5 Devoir n 5