Examen d admission aux études d ingénieur civil Université catholique de Louvain Analyse Série 1, juillet Prénom et nom : Numéro : Question 1

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1 Analyse Série 1, juillet 2013 Question 1 1. Etudiez la dérivabilité à l origine de la fonction f(x) = x x. 2. Calculez le volume du solide obtenu en faisant tourner autour de l axe des y la surface délimitée par les courbes y = x 3, y = 8 et x = Démontrez que si f est une fonction continue, alors a Utilisez ce résultat pour démontrer que pour tout nombre entier n positif. 0 π 2 0 f(x)dx = a 0 f(a x)dx. sin n x sin n x + cos n x dx = π 4 4. Etudiez le signe sur R + de la fonction f définie par f(x) = xe x e 1.

2 Analyse Série 1, juillet 2013 Question 1 (suite)

3 Analyse Série 1, juillet 2013 Question 2 Soit f la fonction de la variable x définie sur R par f(x) = e 2x 4e x. 1. Etudiez les variations de f et tracez sa courbe représentative. On précisera les éventuelles asymptotes, les domaines de croissance et de décroissance et les extrema éventuels. 2. Résoudre l équation f(x) = Résoudre graphiquement l inéquation f(x) > 3.

4 Analyse Série 1, juillet 2013 Question 2 (suite)

5 Analyse Série 1, juillet 2013 Question 3 Lucky Luke se promène dans la plaine du Nevada, non loin de la nouvelle ligne de chemin de fer, lorsqu il aperçoit au loin les frère Dalton à bord du train dont ils viennent de ligoter le conducteur. Lucky Luke s élance immédiatement en direction de la ligne de chemin de fer pour tenter d arrêter les Dalton. Dans ce problème, on représente Lucky Luke et le train par des points. La ligne de chemin de fer est supposée être une ligne droite, et le sol est supposé parfaitement plan. Afin d améliorer ses chances d intercepter le train, Lucky Luke ne se dirige pas dans la direction perpendiculaire à la ligne de chemin de fer, mais sur une ligne de droite qui coupe la ligne de chemin de fer avec un certain angle α < 90. L objectif de ce problème est de déterminer la direction α optimale pour Lucky Luke en fonction des paramètres suivants : La vitesse de déplacement v D du train, supposée constante La vitesse de déplacement v L de Lucky Luke, supposée constante La distance initiale d L de Lucky Luke par rapport à la ligne de chemin de fer La distance initiale d D entre le train et la projection orthogonale de Lucky Luke sur la ligne de chemin de fer On suppose que le train va plus vite que Lucky Luke : v D > v L. 1. Représentez la situation schématiquement 2. Dérivez l expression donnant le temps d avance que Lucky Luke aura sur le train au moment où il atteindra la ligne de chemin de fer (un temps d avance négatif correspondant à un retard) en fonction des paramètres décrits ci-dessus. 3. Trouvez l angle α qui maximise ce temps d avance.

6 Analyse Série 1, juillet 2013 Question 3 (suite)

7 Analyse Série 2, juillet 2013 Question 1 1. Calculez une primitive de la fonction f définie par f(x) = 2. Calculez la limite suivante e e cos x lim x 0 x 2. ln x x. 3. On définit la région R comme la région comprise entre les courbes y = x et y = x 2 pour x 0. Cette région R subit une rotation autour de l axe Ox. Il en résulte un solide dont on demande de calculer le volume. 4. Soit f une fonction dérivable sur R telle que pour tout x 0, f(x) x et telle que f(0) = 0. Démontrez que f (0) 1.

8 Analyse Série 2, juillet 2013 Question 1 (suite)

9 Analyse Série 2, juillet 2013 Question 2 On considère la fonction φ définie pour x 0 par φ(x) = x ln(1 + x). x Etudiez les variations de φ et en déduire que pour tout x > 0, φ(x) < Soit la fonction f définie par f(t) = e t ln(1 + e t ). Etudiez à l aide de la fonction φ les variations de f et tracez sa courbe représentative. On précisera les éventuelles asymptotes, le domaine de croissance et de décroissance et les extrema éventuels.

10 Analyse Série 2, juillet 2013 Question 2 (suite)

11 Analyse Série 2, juillet 2013 Question 3 Une société cherche à établir le prix de son nouveau smartphone UCL-2013 pour le marché Belge. Après une étude de marché, elle a pu obtenir un modèle (que l on suppose parfaitement précis) du nombre N v de smartphone UCL-2013 vendus par jour en fonction du prix de vente p choisi. Ce modèle est donné par A 2 N v = f(p) = (K + p) 2 où A = 4000 et K = 150. L ensemble des coûts de la société par jour (liés au marché Belge) peuvent être modélisés par une fonction dépendant du nombre N p d éléments produits comme g(n p ) = C + B N p. On suppose que la société produit exactement le nombre de smartphones vendus par jour : N p = N v. 1. Identifiez les paramètres B et C de la fonction du total des coûts g(n p ) à l aide de la table ci-dessous donnée pour certaines valeurs de N p : N p g(n p ) Ecrivez l expression du profit journalier de la société P r (p) en fonction seulement du prix choisi p. Le profit est calculé comme la différence entre les recettes des ventes et le total des coûts. 3. Calculez la valeur du prix p maximisant le profit de la société. Note 1 : Pour simplifier la résolution, on fait l hypothèse que les nombres d éléments vendus et produits (N v et N p ) peuvent être des nombres réels quelconques, pas nécessairement entiers. Note 2 : Le modèle a été choisi pour les besoins de l exercice et n est pas particulièrement réaliste. Note 3 : On ne tient pas compte d éventuelles taxes ou coûts supplémentaires que ceux donnés dans l énoncé.

12 Analyse Série 2, juillet 2013 Question 3 (suite)

13 Analyse Septembre 2013 Question 1 1. Calculer les limites suivantes : ( ) 1 lim x sin x 0 x et sin x lim x x 2. Calculer une primitive de la fonction f définie par : f(x) = 2 + 3x + x2 x(x 2 + 1) 3. Démontrer que l équation x 2 = 2 x admet une solution dans l intervalle [ 1, 0]. 4. Calculer l aire de la surface comprise entre la droite y = x 1 et la parabole y 2 = 2x + 6.

14 Analyse Septembre 2013 Question 1 (suite)

15 Analyse Septembre 2013 Question 2 Soit la fonction f définie par f(x) = x(ln x) 2 1. Calculer la dérivée f de f. 2. Déterminer les solutions de l équation f (x) = Etudier le signe de f. 4. Déterminer lim u + ln u u puis lim u + (ln u) 2 u. 5. En déduire lim x 0 + x(ln x) 2 et conclure sur la continuité de f en Etudier la dérivabilité de f en 0 à droite et donner les conclusions graphiques. 7. Donner le tableau des variations de f. 8. Dessiner le graphe de la fonction f.

16 Analyse Septembre 2013 Question 2 (suite)

17 Analyse Septembre 2013 Question 3 Un cycliste effectue une épreuve en solitaire sur un parcours tout-à-fait plat mais soumis à un vent tournoyant. La vitesse du vent dans la direction du cycliste peut être modélisée par une fonction du temps donnée par f(t) = 40 cos(at) [km/h] où a est un paramètre constant. On suppose que le cycliste démarre son parcours au temps t = 0. Pour simplifier l effet du vent sur le cycliste, on modélise la vitesse de celui-ci par une constante v 0 (correspondant à sa vitesse en l absence de vent) plus un quart de la vitesse du vent dans sa direction. On s intéresse au temps que mettra le cycliste pour terminer son parcours d une longueur de K = 40 km. On supopse que v 0 > 20 km/h. 1. Calculer l expression de la vitesse v(t) du cycliste en fonction du temps, puis de la distance d(t) parcourue par le cycliste en fonction du temps. 2. Ecrire l équation que satisfait la durée totale t T mise par le cycliste pour terminer son parcours. Démontrer que cette équation admet une et une seule solution. La solution exacte de cette équation n est pas facile à trouver, on cherche donc une approximation raisonnable du temps de parcours t T du cycliste 3. Pour a = 120π et v 0 = 40 km/h, donner un intervalle de largeur maximum 2 minutes à l intérieur duquel se trouve la solution t T. (Démontrer que la solution se trouve bien à l intérieur de cet intervalle).

18 Analyse Septembre 2013 Question 3 (suite)