Dioptres plan et sphériques

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1 Dioptres plan et sphériques 1- Dioptre Interface séparant deux milieux transparents d indices de réfraction différents. Traversée d un dioptre par un rayon lumineux : sa direction change selon la loi des sinus n sin i = n sin i. réflexion vitreuse (dioptre plan) effet de «brisure» visuelle sur le dioptre air/eau Indice de réfraction : Air : 1 Verre : 1.5 Eau : 1.33 Effet de grossissement Rayon de courbure 0.20 m Donnée pour un œil humain : Cornée : épaisseur 0.55 mm, rayon face avant 7.80 mm, face arrière 6.50 mm, indice Chambre intérieure : épaisseur 3.05 mm, indice Cristallin : épaisseur 4 mm, rayon face avant mm, face arrière 6 mm, indice 1.42 Corps vitré : indice Ch2 Dioptres plan et sphériques 1 Bruno Velay

2 Réflexion partielle sur un dioptre sphérique 2- Traversée d un dioptre plan A objet ponctuel réel : les rayons lumineux viennent physiquement de A. Le faisceau objet (avant le dioptre, en vert) est divergent. Le faisceau image (après le dioptre) est divergent. A est l image de A dont semblent provenir les rayons du faisceau image : A est virtuelle. Le dioptre plan n est pas rigoureusement stigmatique (A n est pas un point mais une tache). Le dioptre est afocal : un faisceau incident de lumière parallèle donne un faisceau émergent parallèle. Ch2 Dioptres plan et sphériques 2 Bruno Velay

3 3- Rôle de la réfraction lors de la traversée d un dioptre sphérique Dioptre convexe de rayon de courbure R = SC > 0 (S sommet, C centre, axe optique orienté vers la droite) Ici R = SC = la réfraction est responsable des changement de direction des rayons donc de la convergence ou de la divergence du faisceau. Ch2 Dioptres plan et sphériques 3 Bruno Velay

4 diamètre du faisceau limité convergence «au foyer image» du dioptre : stigmatisme approché (l image d un point est un point) faisceau large «foyer image» mal défini (aberration géométrique de «coma») : pas de stigmatisme («l image d un point n est pas un point») Ch2 Dioptres plan et sphériques 4 Bruno Velay

5 - les rayons incidents viennent de l objet réel A. - les rayons émergent semblent issus de l image virtuelle A A image de A A objet de A A et A sont «conjugués» - A objet «réel» si A avant le dioptre objet «virtuel» si A après le dioptre - A image «réelle» si A après le dioptre image «virtuelle» si A avant le dioptre - A et A sont «approximativement» conjugués au sens des conditions de Gauss (cf. 5 et Chap3) - A sera un point d autant mieux défini que le faisceau sera moins large. A = C un rayon issu du centre C n est pas dévié L infini «objet» et le foyer image F sont approximativement conjugués. Ch2 Dioptres plan et sphériques 5 Bruno Velay

6 4- Dioptres sphérique convexe (en bosse) et concave (en creux) Rappel : S sommet, C centre, axe optique orienté vers la droite dioptre convexe de rayon de courbure R = SC > 0 «en bosse» (C après S) dioptre concave de rayon de courbure R = SC < 0 «en creux» (C avant S) Exemples : quatre dispositions possibles des points S, C, Fet F : (a) dioptre convexe convergent si n > n, (b) dioptre concave convergent si n < n, (c) dioptre concave divergent si n > n, (d) dioptre convexe divergent si n < n donc pas d a priori! Ch2 Dioptres plan et sphériques 6 Bruno Velay

7 5- Relation de conjugaison d un dioptre sphérique (positions objet/image) Conditions de Gauss : rayons proches de l axe optique et peu inclinés sur l axe α sin α tan α et H S Triangles : AIC : π = u + (π i ) + θ i = u + θ A IC: π= u + (π i ) + θ i = u + θ Loi de Descartes pour la réfraction en I : n sin i = n sin i n i = n i n ( u + θ ) = n ( u + θ ) en exprimant que les angles sont petits. En exprimant que les angles sont petits, on a aussi H S θ = tan θ = HI = SI HC SC > 0 u = tan u = HI AH = SI SA > 0 u = tan u = HI = SI A' H SA' > 0 La relation de Descartes devient finalement la relation de conjugaison du dioptre sphérique n ( u + θ ) = n ( u + θ ) n ( SI + SI ) = n' ( SI + SI ) SA SC SA' SC n n n' n = V SA' SA SC = ' V vergence mesurée en dioptrie 1δ = 1 m -1 V > 0 dioptre convergent et V < 0 dioptre divergent Ch2 Dioptres plan et sphériques 7 Bruno Velay

8 6- Foyers principaux objet F et image F du dioptre sphérique Objet A à l infini optique image au foyer principal image F 1 0 SA d où longueur focale image n ' n n' n 0 = ' = V SA' SF ' SC = f ' = SF ' = n n ' ' n SC Image A à l infini optique objet au foyer principal objet F 1 0 ' SA d où longueur focale objet n n n' n 0 = = V SA SF SC = f SF Attention : f f pour le dioptre sphérique. = = SC n n n' Les points sur le dioptre et le centre C sont leurs propres images 7- Aplanétisme approché pour le dioptre sphérique Soit une rotation de centre C d angle α pour laquelle le dioptre sphérique est invariant : A et A conjugués D et D conjugués Ces deux couples sont approximativement stigmatiques. Si α très petit alors B D et B D AB et A B sont donc dans deux plans de front, perpendiculaire à l axe optique. En conditions de Gauss : stigmatisme approché aplanétisme approché (aplanétisme «l image d un plan est un plan») Ch2 Dioptres plan et sphériques 8 Bruno Velay

9 8- Grandissement transversal et angulaire d un dioptre sphérique dans l approximation de Gauss D après figure 5- S H u = tan u = HI = SI et u' = HI = AH AS A' H SI A' S n i = n i avec i = AB SA et i ' = A' B' SA' Grandissement angulaire u' G = = AS = SA u A' S SA' Grandissement transversal A B n' γ = ' ' = SA' AB n SA γ G = n' n Invariant (pour tout système centré) n AB u = n' A' B' u' Ch2 Dioptres plan et sphériques 9 Bruno Velay

10 9- Construction géométrique de la position de l image par un dioptre sphérique Un incident parallèle à l axe a pour émergent un rayon coupant l axe au foyer image F Un incident passant par le foyer objet F a pour émergent un rayon parallèle à l axe. Tout rayon passant par le centre C n est pas dévié Pour les puristes : C = C seul couple de points «rigoureusement» stigmatiques (même hors conditions de Gauss) Données : Données sur l œil : valeurs numériques extraites de l opticien-lunetier C. Kovarski & all Tec & Doc 2009 p et Applet Java OpticalRayTracer sur Ch2 Dioptres plan et sphériques 10 Bruno Velay

11 Sources des figures et des images : Œil de Yak Bijou Basin s yarns (Colorado) Toutes les simulations des tracés de rayons avec OpticalRayTracer disponible sur Optique géométrique B. Balland PPUR 2007 Recherche sur p 177 Optique géométrique C. Grossetête et P. Olive Ellipses 2006 Sommaire DIOPTRES PLAN ET SPHERIQUES Dioptre Traversée d un dioptre plan Rôle de la réfraction lors de la traversée d un dioptre sphérique Dioptres sphérique convexe (en bosse) et concave (en creux) Relation de conjugaison d un dioptre sphérique (positions objet/image) Foyers principaux objet F et image F du dioptre sphérique Aplanétisme approché pour le dioptre sphérique Grandissement transversal et angulaire d un dioptre sphérique Construction géométrique de la position de l image par un dioptre sphérique Données : Sources des figures et des images : Sommaire Ch2 Dioptres plan et sphériques 11 Bruno Velay