Mécanique non linéaire

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1 M MN9 Mécaique o liéaire Zhi-Qiag FENG UFR Sciece et Techologies Uiversité d Evry Val d Essoe

2 TABLES DES MATIERES INTRODUCTION Chapitre : CONCEPTS ELEMENTAIRES. Pricipales propriétés des matériaux. Coaissace et utilisatio des matériaux. Les grades classes de matériaux.4 Méthodes expérimetale - types d'essais.5 Les grades classes de comportemet.6 Formulatio des lois de comportemet.7 Choix des lois de comportemet.8 Comportemet viscoélastique.9 Viscoélasticité liéaire. Modèles rhéologiques viscoplastiques Chapitre : PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE D. Plasticité uiaxiale.. Modèle rhéologique pati-ressort.. Modèle de Prager Ecrouissage ciématique.. Écriture géérale des équatios de l'élastoplasticité uiaxiale..4 Modèle de Taylor Ecrouissage isotrope. Viscoplasticité uiaxiale. Quelques modèles classiques e viscoplasticité

3 Chapitre : PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE D. Critères de plasticité.. Exemple d'u treillis métallique.. Les outils dispoibles.. Critères e faisat pas iterveir la pressio hydrostatique..4 Critères faisat iterveir la pressio hydrostatique..5 Critères aisotropes. Cadre gééral de la formulatio des lois de comportemet.. Décompositio de la déformatio.. Critères.. Lois d écoulemet..4 Lois d écrouissage. Formulatio des lois de comportemet viscoplastique.. Ecriture géérale.. Exemple : Modèle de Norto gééralisé (loi d Odqvist).. De la viscoplasticité à la plasticité.4 Formulatio des lois de comportemet plastique.4. Formulatio géérale.4. Pricipe du travail maximal.5 Directios d écoulemet associées aux critères courats.5. Critère de vo Mises.5. Critère de Tresca.5. Critère de Drücker-Prager.6 Quelques lois particulières e plasticité.6. Lois de Pradtl-Reuss.6. Lois de Prager.6. Ecoulemet à vitesse de déformatio totale imposée REFERENCES

4 Chapitre 4 : MODELISATION EN PETITES ET GRANDES DEFORMATIONS ELASTOPLASTIQUES 4. Itroductio 4. Modèles de petites déformatios élastoplastiques 4.. Petites déformatios élastoplastiques 4.. Calcul du multiplicateur plastique théorique 4.. Calcul de la matrice tagete théorique 4..4 Itégratio des lois de comportemet Calcul de Δλ Calcul de la matrice tagete cosistate 4..5 Programmatio e C 4. Modèles de grades déformatios élastoplastiques 4.. Descriptio des grades trasformatios 4.. Itégratio des lois de comportemet e grades trasformatios 4.4 Exemples umériques REFERENCES Chapitre 5 : MODELISATION DE LA MISE EN FORME DES MATERIAUX EN GRANDES DEFORMATIONS RIGIDE-VISCOPLASTIQUES 5. Itroductio 5. Hypothèses et loi de comportemet 5. Pricipe variatioel 5.4 Discrétisatio et formulatio des élémets fiis 5.5 Applicatios umériques 5.5. Forgeage d'u lopi axisymétrique 5.5. Forgeage d'u disque axisymétrique 5.6 Approche aalytique relative au forgeage d'u lopi axisymétrique 5.7 Coclusio REFERENCES

5 Chapitre 6 : MODELISATION DES PROBLEMES DE CONTACT AVEC FROTTEMENT 6. Itroductio 6. Lois de cotact et de frottemet 6. Algorithme local 6.4 Algorithme global 6.5 Exemples umériques 6.6 Coclusio REFERENCES Chapitre 7 : MODELISATION DES GRANDES DEFORMATIONS HYPERELASTIQUES 7. Itroductio 7. Cas d étude : Cube e compressio das u cotaier rigide 7. Travaux Pratiques sur ANSYS 7.4 Publicatios 4

6 Chapitre : CONCEPTS ELEMENTAIRES. Pricipales propriétés des matériaux O distigue plusieurs types de propriétés des matériaux selo leur utilisatio. Das le cas du développemet des ordiateurs, ce sot essetiellemet les propriétés physiques qui sot e cause. Das le cas du développemet des moteurs d avios, ce sot les propriétés mécaiques et chimiques qui sot détermiates. Les pricipales propriétés des matériaux se regroupet doc e : Propriétés mécaiques - modules d'élasticité, - limite d'élasticité, écrouissage, ductilité. - viscosité, vitesse de fluage, amortissemet - charge à la rupture, résistace à la fatigue, à l'usure, Propriétés physiques - coductibilité électrique, aimatatio, - coductibilité thermique, chaleur spécifique, - température et chaleur latete de trasformatio, - éergie de surface, de liaiso, - trasparece. Propriétés chimiques - résistace à la corrosio, à l'oxydatio, - stabilité, diagrammes d'équilibre. E gééral, le choix d'u matériau pour ue applicatio doée est la coséquece de propriétés adaptées das u ou plusieurs des domaies idiqués (par exemple l'alumiium est parfois utilisé das les culasses automobiles malgré sa faible température de fusio, e raiso de so faible poids et de sa boe coductibilité thermique). Il est aussi orieté par d'autres cosidératios, ce sot les performaces du matériau, au rag desquelles vot se classer des élémets techologiques et écoomiques, e même temps que des caractéristiques mois facilemet mesurables comme l'aspect (fodametal das le bâtimet pour les élémets de façade, pour les carrosseries automobiles,... ) : dispoibilité, reproductibilité, fiabilité, usiabilité, aptitude à la mise e forme, soudabilité, absece de ocivité, possibilité de recyclage, coût, aspect, boe caractérisatio.. Coaissace et utilisatio des matériaux La boe coaissace des matériaux et leur boe utilisatio fot iterveir trois domaies d'activité.. Le développemet du matériau lui-même (ce secteur état abset das le cas des géomatériaux). Là se jouet l'évolutio du matériau, la découverte de ouvelles microstructures, qui cocouret à l'amélioratio des performaces itrisèques.. La caractérisatio des propriétés d'emploi. Ce poit a pour but d'apporter ue meilleure coaissace d'u matériau existat, (mécaismes physiques qui provoquet ou accompaget la déformatio, effets mécaiques macroscopiques), doc de réduire les icertitudes et d'augmeter la fiabilité des modèles utilisés.. Le travail sur les modèles umériques permet d'améliorer la représetatio des pièces, structures ou domaies calculés (par amélioratio des algorithmes, qui autoriset le traitemet de modèles umériques plus importats, par exemple D au lieu de D). La Mécaique des Matériaux Solides est cosacrée uiquemet à l'étude des propriétés mécaiques des matériaux (poit ). Le poit () est le domaie des métallurgistes et des chimistes. Le poit () est celui de la Mécaique des Structures.. Les grades classes de matériaux Il est importat de souliger que la modélisatio umérique par élémets fiis ot pas ue applicatio réduite à u seule matériaux, mais que les théories étudiés peuvet être utilisées das des domaies idustriels très divers. Les modèles qui serot cosidérés s appliquet aux : métaux, céramiques, polymères, composites, bois, béto, sols (sables et roches), biomatériaux (os, tissus)..4 Méthodes expérimetale - types d'essais Il existe de ombreux essais qui permettet de caractériser les propriétés mécaiques des matériaux. Certais sot ormalisés : AFNOR ISO - Associatio Fraçaise de NORmalisatio - Iteratioal Stadardisatio Orgaisatio 5

7 ASTM - America Society for Testig ad Materials Essai d'écrouissage : U essai de tractio (σ > ) ou de compressio (σ < ) réalisé à vitesse de déformatio costate sur u matériau réel doe des résultats e termes d'efforts et de déplacemet, que l'o cherche esuite à covertir e ue courbe cotraite - déformatio (σ e foctio de ε). Das le cas des métaux et des matériaux composites par exemple, les éprouvettes sot des cylidres muis e gééral de têtes d'amarrage filetées ou des plaques de sectio rectagulaire. Pour les roches (et pour les métaux e grades déformatios). les expérieces sot réalisées sur des cylidres, qui sot comprimés etre les plateaux d'ue presse. Pour le cas de la compressio simple, il faut porter ue grade attetio aux coditios aux limites, e autorisat le meilleur glissemet possible sur les appuis, faute de quoi se développet das l'éprouvette des champs de cotraite et de déformatio complexes (mise e toeau de l'échatillo). Les courbes obteues à l'aide de cet essai ot typiquemet l'allure idiquée e Figure. lorsque le comportemet du matériau observé est idépedat de la vitesse (comportemet de plasticité idépedate du temps). R m R. R e σf/s.% A h Ar ε l/l Figure.: Schéma d'u essai de tractio simple Le comportemet fait apparaître ue partie liéaire (élasticité) suivie d'ue partie o liéaire, au cours de laquelle la pete dimiue das le diagramme déformatio-cotraite, au poit de deveir évetuellemet égative. R e désige la limite d'élasticité ou limite de proportioalité, R. désige la limite d'élasticité covetioelle, qui correspod à ue déformatio iélastique de.%, R m désige la résistace à la tractio, A h désige l'allogemet obteu à la cotraite maximale, A r désige l'allogemet à la rupture. Quoique d'apparece simple, il s'agit e fait d'u essai dot l'iterprétatio peut deveir délicat, puisque la dimiutio de pete observée peut recouvrer des phéomèes physiques très différets, et surtout que le passage à des petes égatives est e gééral lié au fait que le champ de déformatio 'est plus uiforme (phéomèe de strictio). La figure. quat à elle motre l'allure des courbes obteues lorsque le matériau testé est sesible à la vitesse de déformatio. Les courbes expérimetales sot situées etre deux courbes théoriques limites correspodat l'ue à ue vitesse de déformatio ifiie (compredre: grade) et l'autre à ue vitesse ulle (compredre: faible). Cette derière courbe est importate, puisqu'elle représete la répose du matériau durat les trasformatios quasi-statiques et décrit so comportemet à log terme. Il s'agit de l'esemble des poits (σ ε) représetat les états par lesquels passe le matériau pedat que la déformatio augmete à vitesse quasimet ulle (successio d'états d'équilibre limite). σ ε ε ε ε Figure.: Répose d'u matériau viscoplastique e tractio simple Essai de fluage: (déformatio cotiue sous cotraite costate) Lorsqu'ue éprouvette est soumise à ue tractio simple (essai moodimesioel sous ue cotraite et ue déformatio), si, à partir d'u certai état, la cotraite est maiteue costate, la déformatio restera costate (absece de déformatios différées das le temps) s'il 'y a aucue viscosité. E fait, das le cas d'u matériau réel (coçu par l homme ou existat déjà das la ature), des déformatios différées (phéomèe de viscosité) serot alors observées de faço à peu près systématique, à tel poit qu'il faut admettre que tous les matériaux réels présetet ce phéomèe de viscosité, pourvu qu'ue période de temps suffisammet grade soit cosidérée. Aisi. si ue éprouvette cylidrique d'ue roche salie d'ue dizaie de 6

8 cetimètres est soumise à ue pressio axiale d'ue dizaie de MPa, pressio maiteue costate, et que sa hauteur est mesurée au bout d'ue jourée. puis ue jourée plus tard avec ue précisio absolue de mm, alors, à température ambiate, aucue variatio de logueur e sera détectée. Il e faut pas e déduire que les roches salies à température ambiate e présetet pas de viscosité. car, e augmetat la précisio de la mesure ou e attedat plus logtemps (u mois de fluage par exemple), il est possible d'observer des déformatios différées. Essai de relaxatio: (dimiutio des cotraites sous déformatio costate) Ue autre maière de caractériser la viscosité d'u matériau est de le soumettre à u essai de relaxatio, das lequel la déformatio de l'éprouvette est maiteue costate après ue prédéformatio iitiale. Plus le comportemet du matériau présete ue composate visqueuse importate, et plus la cotraite chute rapidemet, pour atteidre évetuellemet ue valeur ulle. Cet essai est essetiellemet réalisé sur les métaux et les polymères. Essai triaxial. Certais matériaux e peuvet pas être testés simplemet e tractio, e raiso de leur très faible résistace, ou de leur forte sesibilité aux décetrages des liges d'amarrage (béto, céramique). Ils sot alors testés e compressio, ou e flexio. La compressio uiaxiale sur des cylidres a déjà été décrite, mais il est parfois écessaire d'avoir recours à u mode de sollicitatio où les bords latéraux sot coteus (essai triaxial) : l'échatillo est soumis latéralemet à ue pressio hydrostatique qui assure so maitie, ce qui permet par exemple de tester des matériaux pulvérulets (argiles, sables). Essai de flexio: Il est réalisé sur des barrettes, avec ou 4 poits d'appuis. Flexio poits Flexio 4 poits Figure. : Schéma d essais de flexio L essai de flexio 4 poits permet de bééficier d'ue zoe cetrale das laquelle le momet est uiforme. L essai de flexio est essetiellemet utilisé avec des matériaux fragiles, dot le comportemet sera élastique. La plastificatio, associée au fait que le comportemet e tractio et e compressio peut être différet, coduit à des redistributios de cotraites complexes das l'éprouvette, si bie que le dépouillemet de l'essai lui-même écessite u calcul des structures. Das u même ordre d'idée, il existe égalemet des essais de flexio rotatives das lesquels ue éprouvette e rotatio, ecastrée à ue extrémité, subit u effort perpediculaire à so axe, si bie que les poits de la surface extérieure voiet leur état de cotraite passer alterativemet de la tractio à la compressios. Ces essais sot utilisés pour détermier la limite de fatigue, sollicitatio e dessous de laquelle le matériau résistera à u chargemet répété. Essai de torsio : Réalisé sur éprouvette pleie, cet essai est essetiellemet utilisé à haute température pour coaître l'aptitude à la mise e forme des métaux. L'avatage de ce type d essai est d'éviter la strictio. Par cotre, il est d'iterprétatio difficile, das la mesure où l'état de cotraite et déformatio 'est pas uiforme. Il est possible de remédier à ce derier icovéiet, e adoptat comme éprouvettes des tubes mices. qui peuvet être istrumetés localemet, à l'aide de jauges ou d'extesomètres. Essai de dureté: Largemet employé comme moye de cotrôle, il mesure la résistace à la péétratio d'ideteurs de diverses formes, par exemple ue bille d'acier de gros diamètre ( mm) das le cas de l'essai Briel, ou ue pyramide diamat à base carrée, l'agle etre les faces opposées état de 6 pour l'essai Vickers. Ue relatio empirique idique que, das les aciers doux, la dureté Vickers (force/dimesio de l'empreite) est de l'ordre de fois la résistace à la tractio. Essai Charpy: Il permet de caractériser sur u barreau etaillé le passage d'u mode de rupture ductile, accompagé de déformatio iélastique, doc à forte éergie, à u mode de rupture fragile, préset à plus basse température, qui e met e jeu que des éergies faibles. Essais complexes : Outre les essais de tractio-torsio sur tube, il existe d autres moyes de géérer des états de cotraites multiaxiales cotrôlés das des éprouvettes. C est le cas d essais de tractio-pressio itere sur tube, ou ecore d essais sur des éprouvettes cruciformes..5 Les grades classes de comportemet L'allure qualitative de la répose des matériaux à quelques essais simples permet de les rager das des classes bie défiies. Ces comportemets "de base", qui peuvet être représetés par des systèmes mécaiques élémetaires, sot l'élasticité, la plasticité et la viscosité. Les élémets les plus courats sot, e Figure..4: 7

9 (a) (b) (c) (d) Figure.4: Les "briques de base" pour la représetatio des comportemets. Le ressort qui symbolise l'élasticité liéaire parfaite, pour laquelle la déformatio est etièremet réversible lors d'ue décharge, et où il existe ue relatio biuivoque etre les paramètres de charge et de déformatio (fig..4a).. L'amortisseur, qui schématise la viscosité, liéaire (fig..4b) ou o (fig..4c). La viscosité est dite pure s'il existe ue relatio biuivoque etre la charge et la vitesse de chargemet. Si cette relatio est liéaire, le modèle correspod à la loi de Newto.. Le pati, qui modélise l'apparitio de déformatios permaetes lorsque la charge est suffisate (fig..4d). Si le seuil d'apparitio de la déformatio permaete 'évolue pas avec le chargemet, le comportemet est dit plastique parfait. Si, de plus, la déformatio avat écoulemet est égligée, le modèle est rigide-parfaitemet plastique. Ces élémets peuvet être combiés etre eux pour former des modèles rhéologiques. Ceux-ci représetet des systèmes mécaiques qui servet de support das la défiitio des modèles. Il e faut e aucu cas leur accorder u trop grad crédit pour ce qui cocere la représetatio des phéomèes physiques qui sot à la base des déformatios. La répose de ces systèmes peut être jugée das plas différets, qui permettet d'illustrer le comportemet lors d'essais de type: - écrouissage, ou augmetatio mootoe de la charge ou de la déformatio, (pla ε σ); - fluage, ou maitie de la charge (pla t-ε) ; - relaxatio, ou maitie de la déformatio (pla t-σ). Les réposes de modèles classiques sot reportées das ces plas pour les cas : (a) du solide élastique, σ E ε, (b) du solide viscoélastique (modèle de Voigt), qui comporte u ressort et u amortisseur e parallèle, σ ηε H ε, (c) du solide élastique-parfaitemet plastique, (modèle de Sait-Veat), costitué par u ressort liéaire et u pati e série; lorsque le module E ted vers l'ifii, le modèle deviet rigide-parfaitemet plastique, (d) du solide élastique-plastique écrouissable, (modèle de Sait-Veat gééralisé), qui doe ue courbe de tractio liéaire par morceaux, (e) du solide élastique-parfaitemet viscoplastique, (modèle de Norto), formé par u amortisseur o liéaire, ou modèle de Bigham-Norto, qui comporte u ressort liéaire e série avec u amortisseur et u pati situés e parallèle; lorsque le seuil du pati ted vers zéro, et que l'amortisseur est choisi liéaire, ce derier modèle dégéère e u modèle de fluide visqueux, modèle de Maxwell, comportat u ressort et u amortisseur e série, ε σ /E σ/η, (f) du solide élastique-viscoplastique écrouissable, qui représete le schéma le plus complexe..6 Formulatio des lois de comportemet Les modèles rhéologiques qui sot décrits das le paragraphe précédet illustret les différets comportemets qui vot être cosidérés das la suite du cours. L'utilisatio d équatios de ce type fait iterveir u certai ombre d hypothèses implicites. Excepté le cas de l élasticité, l esemble des modèles cosidérés précédemmet s exprimet sous forme différetielle, si bie que la répose actuelle déped de la sollicitatio actuelle et de so histoire (propriété d hérédité). Il y a deux maières de predre e compte cette histoire, la première cosiste à la décrire par ue dépedace foctioelle etre les variables, la secode fait l hypothèse qu il est possible de représeter l effet de l histoire das des variables iteres, qui cocetret les iformatios importates qui défiisset l état du matériau. Sauf quelques cas exceptioels comme celui 8

10 de la viscoélasticité liéaire, la secode méthode de travail produit des modèles dot la modélisatio umérique est plus simple. Les autres hypothèses importates qui sot classiquemet utilisées pour l écriture de modèles de comportemet sot :. Le pricipe de l état local, qui cosidère que le comportemet e u poit e déped que des variables défiies e ce poit, et o pas du voisiage ;. Le pricipe de simplicité matérielle, qui suppose que seul iterviet das les équatios de comportemet le premier gradiet de la trasformatio ;. Le pricipe d objectivité, qui traduit l idépedace de la loi de comportemet vis-à-vis de l observateur, et qui implique que le temps e peut pas iterveir explicitemet das les relatios de comportemet. Das le cas des matériaux homogèes et isotropes, l'esemble de ces hypothèses se résume par ue expressio etre les cotraites et les déformatios du type : σ ( t ) Γτ < t ( ε ( τ )) où Γ est la foctioelle de répose du matériau..7 Choix des lois de comportemet Comportemets viscoélastique : pour les polymères thermoplastiques au voisiage de la température de fusio, pour les verres au voisiage de la température de trasitio, pour les bétos frais. Comportemets rigides-parfaitemet plastiques : pour l'étude des sols, pour l aalyse limite, pour la mise e forme des métaux. Comportemets plastiques : pour les métaux à des températures iférieures au quart de la température de fusio, pour les sols et roches. Comportemets viscoplastiques pour les métaux à moyee et haute température, pour le bois, les sols (dot le sel), pour les céramiques à très haute température. Il faut oter que chacu de ces types de modèles est approché, et que le choix de l'ue ou l'autre modélisatio du comportemet va dépedre de l'applicatio visée. Aisi u acier à température ambiate peut être cosidéré comme élastique liéaire pour le calcul des flèches d'ue structure mécaique, viscoélastique pour u problème d'amortissemet de vibratios, rigide-parfaitemet plastique pour u calcul de charge limite, élasto-viscoplastique pour l'étude de cotraites résiduelles,... u polymère peut être cosidéré comme u solide pour u problème de choc, et comme u fluide pour l'étude de sa stabilité sur de logues durées. L'igéieur chargé du dimesioemet de cavités de stockage de déchets ucléaires das u massif sali e peut pas égliger le comportemet différé de cette roche, car la péreité de l'ouvrage est exigée pour des dizaies d'aées voire des siècles. Alors qu'ue galerie d'ue exploitatio miière dot o 'a besoi que pour quelques jours peut être modélisée das le cadre de l'élastoplasticité (e égligeat la viscosité). Das le cas de matériaux métalliques opérat au dessus du tiers de leur température de fusio, la prise e compte de la viscoplasticité est égalemet écessaire, lorsque l'igéieur s'itéresse à de "logues" durées (par exemple pour certifier la teue de composats de cetrale ucléaire sur ue quarataie d'aées), parfois même pour des foctioemets relativemet courts, aisi par exemple das les aubes de turbies aéroautiques..8 Comportemet viscoélastique Les relatios de l élasticité liéaire, supposet e petites déformatios ue relatio liéaire etre le teseur des cotraites et le teseur des déformatios, qui s exprime e uiaxial: σ E ε Cette hypothèse est e défaut pour des solides tels que les polymères, les verres au dessus de la température de trasitio vitreuse, ou, das ue moidre mesure, les bétos, sur ue large échelle de temps: ue caractéristique ouvelle du comportemet est alors la présece de déformatios différées: il y a évolutio de la déformatio, quel que soit le iveau de charge appliqué, et quelle que soit l'histoire atérieure du chargemet. Ce type de comportemet peut être modélisé de la viscosité, qui suppose l existece d ue relatio etre cotraite et vitesse de déformatio. Le cas où la relatio est liéaire correspod à la loi de Newto (η représetat la viscosité du matériau): 9

11 σ η ε U matériau sera viscoélastique si les comportemets d élasticité et de viscosité sot présets simultaémet. La figure.5 regroupe les réposes classiques d u matériau viscoélastique à quelques sollicitatios fodametales. Lorsque le matériau subit à partir d u istat t u échelo de cotraite (Fig..5a), il présete ue déformatio istataée, suivie d ue déformatio différée, ou retardée, c est l expériece de fluage ou de retard (Fig..5b). Si, au-delà d u istat t, la charge est rameée à zéro, il apparaît, après ue ouvelle déformatio istataée, le phéomèe de recouvrace, qui ted à rameer la déformatio à zéro. La foctio de retard est ue foctio croissate du temps t, qui peut dépedre aussi de la cotraite σ, o ulle pour t > t. Si au cotraire la sollicitatio imposée est ue déformatio, appliquée à partir d u istat t (Fig..5c), il s agit d ue expériece de relaxatio, au cours de laquelle la cotraite dimiue à partir d ue valeur obteue lors de la répose istataée (Fig..5d). Le fait de rameer la déformatio à zéro après u istat correspod à l expériece d effacemet, pedat laquelle la cotraite ted vers zéro. Le comportemet sera dit viscoélastique si, au cours de cette derière expériece, l effacemet est total, c est-à-dire que la cotraite reviet effectivemet à zéro. La foctio de relaxatio est ue foctio décroissate du temps t, qui peut dépedre aussi de la déformatio ε, o ulle pour t > t. ε σ t t t t t t a. Echelo de cotraite b. Fluage puis recouvrace σ ε t t t t t t c. Echelo de déformatio c. Relaxatio puis effacemet Figure.5 : Expérieces fodametales e viscoélasticité.9 Viscoélasticité liéaire E toute gééralité, ue loi de comportemet s'exprime comme ue correspodace foctioelle etre l'histoire des cotraites et celle des déformatios, qui peut être otée: ( σ( )) ε ( t) Γτ< t τ Par défiitio, u comportemet sera viscoélastique liéaire si, cosidérat deux histoires de cotraites σ et σ, et leur réposes ε et ε, la répose obteue pour la combiaiso liéaire (λ σ λ σ ) est (λ ε λ ε ). La liéarité du comportemet se traduit par le pricipe de superpositio de Boltzma : si l o suppose deux histoires de sollicitatio, la répose est la superpositio des réposes.. Modèles rhéologiques viscoplastiques ( σ σ ) Γ ( σ ) Γ ( σ ) ε ( t) Γτ< t τ< t τ < t Modèle de Maxwell : Ce modèle regroupe u amortisseur et u ressort e série (Fig..6a). L équatio du modèle est : σ ε E σ η

12 Modèle de Voigt : Ce modèle regroupe u amortisseur et u ressort e parallèle (Fig..6b). L équatio du modèle est : σ η ε H ε E η H η a. Maxwell b. Voigt Figure.6 : Modèles de Maxwell et Voigt ε σ /Ε σ /Η Maxwell Voigt σ Ηε Εε Voigt t t a. E fluage b. E relaxatio Figure.7 : Réposes des modèles de Maxwell et Voigt La particularité du modèle de Voigt est de e pas préseter d élasticité istataée. Ceci etraîe que sa foctio de relaxatio est pas cotiue est dérivable. L applicatio d u saut de déformatio e t produit ue cotraite ifiie. Ce modèle est doc pas utilisable e relaxatio, sauf si la mise e charge est progressive, et sera pour cette raiso associé à u ressort pour effectuer des calculs de structure (modèle de Kelvi-Voigt). Sous l effet d ue cotraite σ costate e foctio du temps, la déformatio teds vers la valeur asymptotique σ /H, le fluage est doc limité (Fig.7a), le fluage est doc limité (Fig.7a), alors que si, après ue mise e charge lete, la déformatio est fixée à ue valeur ε, la cotraite asymptotique sera Hε (Fig..7b). Il y a doc pas das ce derier cas disparitio complète de cotraite. Au cotraire, das le cas du modèle de Maxwell, la vitesse de fluage est costate (Fig..7a), et la disparitio de cotraite au cours d ue expériece de relaxatio est totale (Fig..7b). Das le cas de modèles et de chargemet aussi simples, la répose est obteue istataémet par itégratio directe des équatios différetielles. Les formules obteues sot respectivemet : Pour le modèle de Maxwell : o Fluage sous ue cotraite σ ε σ /E σ t/η o relaxatio à la déformatio ε σ E ε exp(-t/τ) Pour le modèle de Voigt : o Fluage sous ue cotraite σ ε (σ /H) [-exp(-t/τ')] Les costates τ η/e et τ η/h sot homogèes à u temps. τ désige le temps de relaxatio du modèle de Maxwell. La figure.8 illustre le modèle de Maxwell gééralisé. E i η i σi σ ε ηi E σ σi i i i Figure.8 : Modèle de Maxwell gééralisé

13 Chapitre PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE D La plasticité est aujourd'hui utilisée pour le calcul de structures de sécurité, qui, quoique gééralemet coçues pour rester globalemet élastiques peuvet préseter: des déformatios plastiques localisées das des etailles, fissures, défauts locaux (qui peuvet être bééfiques e "accommodat" les efforts supplémetaires). ue plastificatio accidetelle sous l'effet de chargemets extrêmes (séismes), de la perte de certais orgaes (aubes de turboréacteurs), d'arrêts d'urgece (ucléaire), ue plastificatio relativemet faible, mais répétée (fatigue oligocyclique), essetiellemet e présece de chargemets thermomécaiques. Par ailleurs la (visco-)plasticité peut être ue composate essetielle d'u procédé idustriel ou du foctioemet d'u système: pour la mise e forme des métaux et polymères, pour augmeter la résistace des structures (timbrage, autofrettage, greaillage), si o s'itéresse à de très logues durées de foctioemet (ouvrages souterrais). Les utilisateurs de méthodes de calculs preat e compte la plasticité se recrutet essetiellemet : das le secteur des trasports, aéroautiques (moteurs d'avios, cellules), automobile (culasses, échappemet) et das ue moidre mesure, costructio avale, chemi de fer, das le secteur de l'éergie, ucléaire (chaudroerie), chimie, fabricatio d'oléoducs, gazoducs, échageurs de chaleur, turbies, e costructio mécaique et géie civil, grues, pots, offshore.. Plasticité uiaxiale Les chargemets uiaxiaux correspodet à u teseur de cotraite comportat ue seule composate o ulle. Certais matériaux, comme les sols e peuvet pas être chargés de cette maière, éamois l'essai de tractio, costitue la base de la caractérisatio du comportemet iélastique. Sous chargemet mootoe, la courbe obteue das le pla déformatiocotraite peut être schématisée de bie des maières, les plus simples état: le comportemet élastique-parfaitemet plastique (Fig..a), qui exprime le fait que le matériau est icapable de supporter ue cotraite plus importate que celle qui correspod à l'écoulemet plastique, σ y (yield stress); le comportemet élastique-plastique liéaire (Fig..b), qui est au cotraire caractéristique de matériaux capables de se durcir (otio d'écrouissage) avec la déformatio plastique; la pete de la courbe déformatio-cotraite pour des cotraites supérieures à a. s'appelle le module élastoplastique, E T dσ/dε. Le module élastoplastique est ul pour u matériau élastique-parfaitemet plastique, costat pour u matériau élastiqueplastique liéaire; il sera dépedat de la déformatio das le cas gééral. σ σ y Ε ε σ σ y Ε Ε Τ ε a. Élastique-parfaitemet plastique b. Élastique-plastique liéaire Figure.: Schématisatio du comportemet plastique mootoe La figure. motre les différets régimes de B foctioemet d'u modèle élastoplastique. Lors de la σ Figure.: Illustratio des première mise e charge, etre O et A, le différets régimes de A comportemet est élastique. La brache AB, supposée foctioemet d'u parcourue de faço mootoe, correspod à u état de modèle de plasticité charge plastique. Si le chargemet s'arrête O O ε istataée mometaémet au poit B, rie e se passe (pas de fluage si la cotraite est maiteue costate, pas de relaxatio si la déformatio est maiteue costate), ce qui caractérise u comportemet o visqueux (plasticité

14 istataée; au cotraire du comportemet viscoélastique, déjà étudié, et du comportemet viscoplastique, qui sera cosidéré plus loi). A partir de B, la reprise du chargemet produit de ouveau de l'écoulemet plastique, par cotre sa dimiutio (e termes de cotraite ou de déformatio) ramèe das le domaie élastique, il s'agit de l'état de décharge élastique, la courbe suivie pour redescedre à cotraite ulle, BO', état parallèle à la courbe élastique iitiale OA. E O' subsiste ue déformatio permaete, appelée déformatio plastique et otée ε p. Au cours de la descete, la valeur de ε p e chage pas, si bie que, si ue décharge est appliquée à partir d'u autre poit que B, il sera possible d'obteir ue valeur différete de ε p pour la même valeur de cotraite: e coséquece, il faudra exprimer les relatios sous forme icrémetale. Cette simple costructio illustre bie l'ue des pricipales difficultés de la plasticité - l'expressio du modèle e u poit de foctioemet doé (aisi e B) déped de la directio de chargemet; les opérateurs associés das le cas gééral serot dits «multi-braches». Elle permet e même temps de mettre e évidece les pricipales hypothèses : à température costate, la déformatio totale se décompose e ue déformatio élastique et ue déformatio plastique (hypothèse de décompositio de la déformatio): ε ε e ε p il existe u domaie d élasticité, défii par ue foctio f, à l'itérieur duquel il 'y a pas d'écoulemet plastique, et sur la frotière duquel le poit représetat l'état de chargemet se déplace au cours de l'écoulemet plastique; le domaie d'élasticité est susceptible d'évoluer au cours du chargemet (phéomèe d'écrouissage), cette évolutio état représetée à l'aide de variables d'écrouissage, otées de faço covetioelle A I... Modèle rhéologique pati-ressort Modèle élastique--parfaitemet plastique L'associatio d'u ressort et d'u pati e série (Fig..a) correspod exactemet au comportemet élastique-parfaitemet plastique déjà décrit e figure.a: le système e peut pas supporter ue cotraite plus grade que σ y. Lors de la réalisatio p d'u cycle, l'éergie dissipée par la déformatio plastique est Wp cycleσdε, soit σyεmax, lorsque la déformatio p plastique est rameée à zéro après avoir atteit ε max, (Fig..c). De même que le modèle de Maxwell e viscoélasticité, ce modèle est susceptible d'atteidre des déformatios ifiies (ruie du système par déformatio excessive). Pour caractériser ce modèle, il faut cosidérer ue foctio de charge f dépedat de la seule variable σ, et défiie par: f(σ) σ - σ y σ y E H σ σ y σ a. Modèle de Sait-Veat b. Modèle de Prager σ σ σ y σ y ε p H ε p σ y σ y c. d. Figure.: Associatios e série ou parallèle de pati et ressort Le domaie d'élasticité correspod aux valeurs égatives de f, et le comportemet du système se résume alors aux équatios suivates: domaie d'élasticité si : f < ( ε ε e σ /E) décharge élastique si f et f < ( ε ε e σ /E) écoulemet plastique si : f et f ( ε σ /E ε p ) E régime élastique, la vitesse de déformatio plastique est bie etedu ulle. La vitesse de déformatio élastique deveat à so tour ulle pedat l'écoulemet plastique. Ceci implique que l'expressio de la vitesse de déformatio plastique e peut pas se faire à l'aide de la cotraite. C'est au cotraire la vitesse de déformatio qui doit être choisie comme pilote... Modèle de Prager Ecrouissage ciématique

15 L'associatio d'u ressort et d'u pati e parallèle (Fig..b) correspod au comportemet illustré e figure.b, Das ce cas, comme le motre la figure.d. l'écrouissage est liéaire. Il est dit ciématique, car dépedat de la valeur actuelle de la déformatio plastique. La forme de la courbe est due au fait que, lors de l'écoulemet plastique, la cotraite qui s'établit das le ressort vaut x H ε p. Par ailleurs, cet écoulemet e se produit que si la valeur absolue de la cotraite das le pati, soit σ-x, est égale à σ y, Pour ue déformatio doée, cette cotraite x est ue cotraite itere (back stress) qui caractérise le ouvel état eutre du matériau. Il est remarquable de oter que le calcul de l'éergie dissipée au cours d'u cycle produit exactemet le même résultat que pour le premier motage, ce qui idique que, pour ce type de comportemet, ue partie de l'éergie est temporairemet stockée das le matériau (ici, das le ressort), et restituée à la décharge. Ceci doe ue illustratio physique de la otio d'écrouissage. Ce deuxième exemple offre l'occasio d'écrire u modèle plus complet que précédemmet. La foctio de charge déped maiteat de la cotraite appliquée et de la cotraite itere. Elle s'écrit: f(σ, x) σ - x - σ y Il 'y aura présece d'écoulemet plastique que si o vérifie à la fois f et f. Ceci coduit à la coditio suivate: D'où: f f σ x σ x sige( σ x) σ sige( σ x) x p σ σ x et ε H Das ce cas, la cotraite évolue au cours de l'écoulemet plastique, si bie qu'elle peut servir de variable de cotrôle. Mais il est aussi toujours possible d'exprimer la vitesse d'écoulemet plastique e foctio de la vitesse de déformatio totale, e utilisat la décompositio de la déformatio combiée avec l'expressio de la vitesse de déformatio plastique: ε p E ε E H Le cas où H redoe bie etedu le cas du matériau parfaitemet plastique... Écriture géérale des équatios de l'élastoplasticité uiaxiale Das le cas gééral, les coditios de "charge-décharge" s'exprimet doc aisi: domaie d'élasticité si : f(σ, A I ) < ( ε σ /E) décharge élastique si f(σ, A I ) et f (σ, A I ) < ( ε σ /E) écoulemet plastique si : f (σ, A I ) et f (σ, A I ) ( ε σ /E ε p ) Das le cas gééral, le module H déped de la déformatio et/ou des variables d'écrouissage. La valeur du module plastique au poit (σ, A I ) s'obtiet e écrivat que le poit représetatif du chargemet reste sur la limite du domaie d'élasticité au cours de l'écoulemet. L'équatio qui e découle s'appelle la coditio de cohérece: f (σ, A I ) Ce formalisme peut paraître u peu lourd das le cadre d'u chargemet uiaxiale, mais il est utile de le mettre e place, car ce sot les mêmes outils qui serot esuite utilisés das le cas plus complexe des chagemets multiaxiaux. Das les deux exemples qui ot été décrits, le domaie d'élasticité est soit fixe, soit mobile. sa taille état coservée. Le premier cas e écessite bie etedu aucue variable d'écrouissage, le secod fait iterveir ue variable x qui déped de la valeur actuelle de la déformatio plastique. Cette variable deviedra tesorielle das le cas gééral. Le type d'écrouissage correspodat s'appelle écrouissage ciématique (Fig..4b). Das le cas particulier illustré par le modèle rhéologique, l'évolutio de la variable x est liéaire e foctio de la déformatio plastique. c'est le modèle d'écrouissage ciématique liéaire (Prager, 958)...4 Modèle de Taylor Ecrouissage isotrope Ue autre évolutio élémetaire que peut subir le domaie d'élasticité est l'expasio. Cet autre cas (Fig.4a) correspod à u matériau dot le domaie d'élasticité voit sa taille augmeter, mais qui reste cetré sur l'origie (axe OO'), il s'agit d'u écrouissage isotrope (Taylor 9). La variable d'écrouissage qui iterviet das f est la dimesio du domaie d'élasticité, otée R : f(σ, R) σ - R - σ y L'évolutio de cette variable est la même quel que soit le sige de la vitesse de déformatio plastique. Elle s'exprimera doc e foctio de la déformatio plastique cumulée, p, variable dot la dérivée est égale à la valeur absolue de la vitesse de la déformatio plastique : p p ε. Bie etedu. il 'y a pas de différece etre p et ε P tat que le chargemet est mootoe croissat. Das ce cas, vérifier la coditio de cohérece reviet tout simplemet à exprimer que la valeur actuelle de la cotraite est sur la frotière du domaie d'élasticité. Pour l'écrouissage ciématique, cela s écrit σ x σ y et pour l'écrouissage isotrope σ R σ y. Cela sigifie doc que c'est la loi d'évolutio de la variable d'écrouissage qui détermié 4

16 exactemet la forme de la courbe de tractio. Les deux modèles rhéologiques ivoqués doet des courbes liéaires, avec des modules plastiques ul ou costat. Il est souvet plus réaliste de cosidérer ue courbe qui se sature e foctio de la déformatio, soit par exemple ue foctio puissace (loi de Ramberg-Osgood. avec deux coefficiets matériaux K et m) ou ue expoetielle, cette derière formulatio offrat l'avatage d'itroduire ue cotraite ultime σ u, supportable par le matériau (deux coefficiets matériaux, σ u et γ) : σ σ y K(ε P ) m σ σ u (σ y - σ u ) exp(-γε P ) Das bie des cas, les utilisateurs e preet pas la peie de défiir ue forme explicite de la loi de comportemet, et décrivet la courbe de tractio poit par poit. Cela reviet implicitemet à cosidérer u écrouissage isotrope. Ce type d'écrouissage est prédomiat pour les déformatios importates (au delà de %). Cepedat, l'écrouissage ciématique cotiue de jouer u rôle importat lors de décharges, même pour les grades déformatios, et c'est lui qui est prépodérat pour les faibles déformatios et les chagemets cycliques. Il permet e particulier de simuler correctemet l'effet Bauschiger, c'est à dire le fait que la cotraite d'élasticité e compressio décroît par rapport à la cotraite iitiale à la suite d'u préécrouissage e tractio. Il est éamois mois souvet utilisé que l'écrouissage isotrope, car so traitemet umérique est plus délicat.. Viscoplasticité uiaxiale H σ ε η E σ σ y ε p σ y Figure.4 : Modèle de Bigham gééralisé La figure.4 motre que, e rajoutat u simple amortisseur, o passe d u modèle plastique istataée à u modèle viscoplastique (modèle de Bigham gééralisé). E relevat le ressort e série (E ), o obtiet le modèle rigideviscoplastique. Le modèle aura pas d écrouissage si o supprime le ressort e parallèle (H). La déformatio élastique ε e se lit aux bores du ressort E, et la déformatio viscoplastique ε vp aux bores de l assemblage e parallèle. La détermiatio des équatios de ce modèle s effectue e cosidérat les équatios de comportemet idividuelles de chacu des élémets : x H ε vp σ v η ε vp σ p σ y où x, σ v et σ p sot respectivemet les cotraites das le ressort H, das l amortisseur et das le pati, et : σ x σ v σ p Il y a doc comme pour le modèle plastique u domaie d élasticité dot la frotière est atteite lorsque σ p σ y. O distigue alors trois régimes de foctioemet, selo que la vitesse de déformatio viscoplastique est ulle, positive et égative : a) ε vp σ p σ H ε vp σ y b) ε vp > σ p σ H ε vp η ε vp σ y c) ε vp < σ p σ H ε vp η ε vp σ y Le cas (a) correspod à l itérieur du domaie d élasticité ( σ p < σ y ) ou à u état de décharge élastique ( σ p σ y et σ p ), les deux autres cas à de l écoulemet ( σ p σ y et σ p ). E posat <x> max(x,), les trois cas peuvet se résumer par ue seule expressio : ηε vp σ x σ y sige( σ x) ou ecore : vp ε f η sige( σ x) avec f σ x σ y La ature du modèle a maiteat complètemet chagé, puisque le poit représetatif de l état de cotraite courat peut se trouver das la zoe f >, et que la vitesse d écoulemet est maiteat régie par le temps : elle peut être o ulle sas qu il y ait d icrémet de cotraite ou de déformatio. Ceci explique qu e figure.4b la courbe de tractio e soit plus uique (plus la vitesse est grade, plus la cotraite sera élevée, et plus la courbe de tractio sera haute), et que, lors d ue décharge, le poit de foctioemet e péètre pas immédiatemet das le domaie d élasticité. O peut doc avoir u écoulemet positif à cotraite décroissate. Par ailleurs, il est possible de simuler des expérieces de fluage ou de relaxatio. 5

17 E fluage (Fig..5), e supposat qu o applique u échelo de cotraite (de à σ > σ y ) à partir d u état de référece où toutes les déformatio sot ulles, le modèle prévoit que la déformatio viscoplastique est expoetielle e foctio du temps t, avec u temps caractéristique t f η/h : vp σ σ y t ε exp H t f La figure.5b motre, das le pla cotraite-déformatio viscoplastique, les évolutios respectives de la cotraite itere x et du seuil x σ y. Lorsque ce derier rejoit la cotraite appliquée σ, la vitesse de déformatio viscoplastique s aule. E relaxatio, la répose à u échelo de déformatio (de à ε tel que E ε > σ y ) fait cette fois iterveir u temps caractéristique de relaxatio η t r : E ε t E E H t σ σ y exp H E exp E H t f E H t r ε vp σ σ y H σ σ σ y x t ε vp a. Déformatio viscoplastique e foctio du temps b. Evolutio das le pla cotraitedéformatio viscoplastique Figure.5: Fluage avec le modèle de Bigham La figure.6a motre le trajet parcouru par le poit représetatif de l'état de cotraite au cours de la relaxatio (pete -E puisque vp ε σ / E ). La figure.6b représete quat à elle le trajet caractéristique au cours d'ue expériece d'effacemet. E foctio du iveau de chargemet iitial, o peut recotrer après décharge ue vitesse d'écoulemet égative (poit A) ou ulle (poit B), mais e aucu cas o e pourra rameer la déformatio viscoplastique à zéro, sauf das le cas particulier où la cotraite σ y est ulle. Il 'y a alors plus de seuil iitial, et o coçoit bie qu'il 'est plus écessaire das ce cas de défiir ue décompositio de la déformatio: o retrouve d'ailleurs le modèle de Kelvi-Voigt, doc ue approche viscoélastique. σ σ -E H σ σ A B H σ y σ y ε vp a. Relaxatio b. Effacemet (CD) Figure.6: Foctioemet du modèle de Bigham à déformatio imposée. Quelques modèles classiques e viscoplasticité Das l'exemple précédet, la vitesse de déformatio viscoplastique est proportioelle à ue certaie cotraite efficace, différece etre la cotraite appliquée et le seuil, qui représete la distace etre le poit de foctioemet actuel et la frotière du domaie d'élasticité, qui 'est rie d'autre que la valeur de la foctio f au poit de foctioemet courat. La relatio liéaire peut être remplacée par ue forme plus géérale, e itroduisat ue foctio de viscosité φ qui fourit alors e tractio simple : ε vp φ(f) Pour u modèle qui comporterait à la fois de l'écrouissage isotrope et ciématique, cette relatio s'iverse sous la forme suivate, toujours e tractio simple: D σ σ y x R φ ( ε vp ) σ y x R σ v C ε vp 6

18 La courbe de tractio est détermiée par l'évolutio du seuil, exactemet comme das le cas d'u modèle de plasticité (au travers de x et R), mais égalemet par la foctio de viscosité, qui pilote la valeur de la cotraite visqueuse σ v. Pour des raisos physiques évidetes, o cosidère que φ(), et o suppose égalemet que φ est ue foctio mootoe croissate. Das le cas où σ v s'aule, le modèle reproduit u comportemet plastique idépedat du temps. Par ailleurs, plus la vitesse de sollicitatio augmete, et plus la cotraite atteite pour ue déformatio doée sera élevée. Das le cadre d'u modèle viscoplastique, il a doc deux possibilités pour itroduire de l'écrouissage. O coserve les possibilités d'actio sur des variables de type x et R. et o peut égalemet jouer sur la forme de la cotraite visqueuse. O appelle classiquemet modèles à écrouissage additif ceux qui jouet sur les variables de type plasticité et modèles à écrouissage multiplicatif ceux qui jouet sur la cotraite visqueuse, ue approche où les deux mécaismes sot présets état bie etedu égalemet evisageable. Par ailleurs, cotrairemet au cas de la plasticité, o peut ici cosidérer u modèle das lequel le domaie d'élasticité se réduit à l'origie (σ ), et qui e possède pas d'écrouissage. Aisi le modèle le plus courat est-il le modèle de Norto (avec deux coefficiets matériau K et ) : σ ε vp sige(σ) K O peut le gééraliser pour e faire u modèle à seuil sas écrouissage, ou réitroduire x et R aux côtés de σ y, ce qui coduit à u modèle à écrouissage additif (Chaboche). vp ε σ σ y K vp σ x R σ y sige( σ) ou ε sige( σ x) K Il. v a égalemet ue grade liberté pour choisir d'autres formes que la foctio puissace, aisi u sius hyperbolique das le modèle de Sellars et Teggart (loi sas écrouissage, coefficiets A et K) : σ ε vp A sh sige(σ) K Pour obteir des lois à écrouissage multiplicatif, il faut admettre que la foctio φ e déped pas uiquemet de f, aisi la loi de Lemaitre (coefficiets matériau K, m et ) : σ ε vp K p m ( ε ) sige(σ) 7

19 Chapitre : PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE D. Critères de plasticité La descriptio des modèles à utiliser sous chargemet uiaxial a mis e évidece u domaie d'élasticité, das l'espace des cotraites et des variables d'écrouissage, pour lequel il 'y a pas d'écoulemet plastique ou viscoplastique. La trace de ce domaie sur l'axe de la cotraite se limite à u segmet de droite, qui peut subir ue traslatio ou ue extesio (il peut même parfois se limiter à u poit). Par ailleurs certais modèles sot capables de représeter ue cotraite maximale supportable par le matériau. Afi de pouvoir aborder l'étude des chargemets multiaxiaux, il est écessaire de se doer les moyes de défiir de telles limites e tridimesioel. Comme das le chapitre précédet, o se propose d'illustrer la théorie qui va être développée à l'aide d'u modèle rhéologique, costitué d'u assemblage de barres format u treillis métallique. O passera esuite e revue les outils dispoibles pour écrire ces modèles das le cas de milieux cotius, efi o motrera les pricipales classes de critères. De même que pour les lois d'écoulemet qui o été citées précédemmet, le choix de tel ou tel critère va dépedre du matériau étudié... Exemple d'u treillis métallique Le système de barres articulées illustré e figure.la permet de se représeter à partir d'u exemple simple la sigificatio du domaie d'élasticité et de la charge de ruie pour u milieu cotiu. Il est costitué de trois barres composées du même matériau, élastique (E) parfaitemet plastique (σ y ), de même sectio S, et différat simplemet par leur logueur. il s agit d'u système à deux paramètres de chargemet, P l et P, mais les résultats sot exprimés (Fig..b) e gradeurs adimesioelles : F P l /(Sσ y ) ; F P /(Sσ y ) Si seule la charge P l est o ulle, l'écriture des équatios d'équilibre et de l'élasticité permet de motrer que la plastificatio apparaîtra e premier lieu das la barre (), pour ue force globale telle que F F e, 5/4. A partir de cette limite, seules les barres () et () cotiuet de se charger, jusqu'à atteidre elles-mêmes leur état limite pour F F. Das le cas où seule la charge P est o ulle, la barre () e joue aucu rôle, et les barres () et () se plastifiet e même temps. Il 'y a pas de "recours" après l'apparitio de la plasticité, doc le premier écoulemet plastique coïcide avec la ruie de la structure selo ce mode de chargemet, pour ue force telle que: F Fe F E cas de charges combiées, le domaie d'élasticité das le pla F F se costruit par superpositio (il est illustré e trait fi sur la figure.b), tadis qu'il faut trouver les mécaismes de ruie qui serot actifs pour prévoir la forme du domaie de charge limite (tracé e traits gras sur la figure.b). Les deux segmets de droite verticaux correspodet à u mécaisme das lequel la barre () e joue aucu rôle, et qui etraîe les deux autres barres à l'horizotale; ceux qui sot icliés sot prévus e supposat qu'ue barre latérale (par exemple ()) reste iactive, et que les deux autres se plastifiet. F () L () 6 6 () P P F.. Les outils dispoibles a. Géométrie du système b. Domaie d'élasticité et charge de ruie das le pla F -F Figure.: Répose e élasticité et rupture d'u système réticulé Le cas du chargemet uiaxial étudié jusqu'à préset fait apparaître u domaie d'élasticité au travers de deux valeurs de cotraite, l'ue e tractio, l'autre e compressio, pour lesquelles se produit l'écoulemet plastique. Aisi das le cas du modèle de Prager, le domaie d'élasticité iitial est le segmet [-σ y, σ y ], et sa positio pour ue déformatio plastique est [- σ y x, σ y x], avec x Hε p. Il est décrit par la foctio de charge f (défiie de R das R). Pour défiir ce même domaie e présece de chargemets multiaxiaux, la foctio f deviet ue foctio du teseur de cotraite et du teseur x (de R das R) telle que si f(σ, x) <, l'état de cotraites est élastique, si f(σ, x), le poit de foctioemet est sur la frotière, la coditio f(σ, x) > défiissat l'extérieur du domaie. Das le cas gééral, l'esemble de départ cotiedra les cotraites et toutes les variables d'écrouissage, scalaires ou tesorielles, il faut doc défiir f(σ, A I ). O va das u premier temps limiter la 8

20 présetatio à la défiitio du domaie d'élasticité iitial, pour lequel o supposera que les variables A I sot ulles, si bie qu'o se cotetera d'écrire les restrictios des foctios f das l'espace des cotraites. L'expériece motre que, pour la plupart des matériaux, le domaie d'élasticité iitial est covexe (c'est e particulier vrai pour les métaux qui se déformet par glissemet cristallographique). La foctio de charge doit doc elle-même être covexe e σ, ce qui implique, pour tout réel λ compris etre et, et pour u couple (σ, σ ) quelcoque de la frotière : f (λσ (-λ) σ ) λf (σ ) (-λ) f (σ ) Comme das le cas de l'étude du teseur d'élasticité, il faut ici ecore respecter les symétries matérielles. Ceci implique e particulier das le cas d'u matériau isotrope que f soit ue foctio symétrique des seules cotraites pricipales, ou bie ecore, ce qui est équivalet, des ivariats du teseur des cotraites dot la défiitio proviet du polyôme caractéristique: I l trace(σ) σ ii I (/) trace(σ) (/) σ ij σ ji I (/) trace(σ) (/) σ ij σ jk σ ki Das les matériaux métalliques o observe gééralemet l icompressibilité plastique (ε p ii ) et idépedace du comportemet vis-à-vis de la pressio hydrostatique. Ceci amèe à cosidérer comme variable critique à faire figurer das la défiitio du critère o plus le teseur de cotraites lui-même, mais so déviateur s défii e elevat à σ la pressio hydrostatique (σ h ) : s σ (I /) I ; s ij σ ij σ h δ ij. Les ivariats de s sot : O peut écrire plus explicitemet : J l trace(s) J (/) trace(s) (/) s ij s ji J (/) trace(s) (/) s ij s jk s ki J 6 6 [( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ ) ] [( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ ) 6( σ σ σ )] xx yy yy zz Il est commode, e vue de réaliser les comparaisos avec les résultats expérimetaux, de disposer d'expressios des critères das lesquelles les valeurs de f sot homogèes à des cotraites, c'est ce qui amèe par exemple à utiliser à la place de J l'ivariat J (cotraite équivalete au ses de Vo-Mises : J σ eq J ), qui peut égalemet s'exprimer e foctio des cotraites pricipales, ou de la cotraite σ das le cas d'u état de tractio simple. La valeur J est à rapprocher de celle de la cotraite de cisaillemet octaédral. Les plas octaédraux sot ceux dot le vecteur ormal est de type (,,), (-,,) et permutatio circulaire das l'espace des cotraites pricipales. Il est aisé de motrer que le vecteur cotraite évalué sur le pla (,,) à partir des valeurs de σ, σ, σ a pour composates ormale et tagetielle: σoct ( / )I ; τoct ( La valeur de J défiit doc le cisaillemet das les plas octaédraux. Les remarques précédetes idiquet que le pla de ormale (,,) va être u pla privilégié pour la représetatio des critères. E effet, tous les poits représetat des états de cotraite qui e diffèret que par u teseur sphérique (doc qui sot équivalets vis-à-vis d'u critère qui e fait pas iterveir la pressio hydrostatique) s'y projettet sur le même poit. La figure. motre ce pla, das lequel les projectios des axes pricipaux des agles de π/, et qui a comme équatio σ σ σ -I /. zz xx / )J xy yz zx σ CI CS TS Tresca Mises σ σ Figure.: Défiitio du pla déviateur TS désige les poits qui peuvet se rameer à la tractio simple, CS ceux qui peuvet se rameer à la compressio simple (par exemple u chargemet biaxial, car u état où les seules cotraites o ulles sot σ σ σ est équivalet à σ - σ, CI u état de cisaillemet... Critères e faisat pas iterveir la pressio hydrostatique Critère de Vo Mises : Das le critère de vo Mises, o cosidère que le seuil de plasticité est lié à l éergie élastique de cisaillemet. Cela reviet à égliger l ifluece du troisième ivariat. Das la mesure où la trace du teseur des cotraites 9