EC - TD1 - Stabilité des systèmes linéaires. Electrocinétique

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1 Electrocinétique TD n o 1 : Stabilité des systèmes linéaires Ex 1 Filtre ADSL Un particulier un peu bricoleur, mais tout aussi maladroit, vient de casser son filtre ADSL. Il souhaite du coup en fabriquer un lui-même. Les signaux transmis par une ligne téléphonique utilisent une très large gamme de fréquences divisée en deux parties : les signaux téléphoniques (transmettant la voix) utilisent les fréquences de 0 à 4 khz ; les signaux informatiques (Internet) utilisent les fréquences de 25 khz à 2 MHz. Il entreprend la réalisation du circuit suivant : R R v e L L v s 1.1. Quel type de filtre faut-il utiliser pour récupérer seulement les signaux téléphoniques? Les signaux informatiques? Quelle fréquence de coupure f c peut-on choisir? 1.2. Déterminer la nature du filtre grâce à son comportement asymptotique. En déduire pour quels signaux il peut être utilisé Montrer que la fonction de transfert de ce filtre peut se mettre sous la forme : H(x) = avec x = ω ω 0 et ω 0 à déterminer en fonction de R et L. x jx x Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce filtre, puis esquisser l allure de la courbe réelle de gain en la justifiant. Ex 2 Filtres de Wien On considère le filtre de Wien dont le schéma est représenté sur la figure ci-dessous : 2.1. Etablir la fonction de transfert du filtre utilisé en sortie ouverte (i 2 = 0) et la présenter sous la forme : H = K 1 + jq(x 1 x ) (1) avec x = ω ω 0. Expliciter ω 0, Q et K en fonction de R et C. Quelle est la nature du filtre? 2016/2017 1/5

2 2.2. Tracer le diagramme de Bode du filtre de Wien. Déterminer sa bande passante. Ex 3 Filtrage On envoie à l entrée de différents systèmes un signal e(t) dont le spectre est donné sur la figure suivante : E n Les spectres des signaux de sortie des différents systèmes sont représentés sur les figures suivantes : S 1n S 2n S 3n S 4n 3.1. Déterminer si les systèmes utilisés sont linéaires ou non Déterminer les natures des systèmes identifiés comme linéaires ainsi que leurs bandes passantes. Ex 4 Influence du générateur et de l oscilloscope sur l étude de circuit RL et RC (d après Petites Mines 2008) 4.1. On a branche un GBF délivrant une tension continue E sur une association RL parallèlre de telle façon que le régime permanent soit établi. Le GBF est assimilé à un modèle de Thévenin [e(t), R g ] en basse fréquence et [E, R g ] en continu. A l instant t = 0, on «éteint» le générateur de telle façon que e(t 0) = 0 (il n est pas court-circuité). On note : u(t) la tension aux bornes de l association RL parallèle ; i(t) l intensité du courant sortant du GBF (convention générateur) ; i L (t) l intensité du courant traversant l inductance L. 4.1.a. Déterminer, en fonction des données, les valeurs littérales de la tension u(0 ) et des intensités i(0 ) et i L (0 ). 4.1.b. Etablir l équation différentielle de u(t) pour t 0 et faire apparaître la constante de temps τ du circuit. 4.1.c. Montrer qu une équivalence Thévenin-Norton aurait donné immédiatement cette constante de temps. 4.1.d. Déterminer complètement i(t 0) et en donner l allure sur l intervalle [ 10τ, +10τ]. 4.1.e. Connaissant E et R g, comment utiliser le relevé expérimental précédent pour déterminer R et L? 2016/2017 2/5

3 4.2. La détermination de E et R g s est faite de la manière suivante : on a sélectionné un signal de tension continu et on a branché à ses bornes un voltmètre d impédance d entrée suffisamment élevée pour l approximer infinie lors de cette mesure. En l absence de résistance d utilisation, on a mesuré 6 V et en présence de R u = 50 Ω, on a mesuré 3 V. Donner les valeurs de E et R g On substitue la résistance d utilisation par une association série RC et le GBF délivre désormais un signal sinusoïdal de pulsation ω réglable. 4.3.a. Y a-t-il une impédance interne minimale du GBF? Si oui, que vaut-elle? 4.3.b. A quelle condition pourra-t-on considérer le générateur idéal dans cette expérience? On supposera cette condition remplie dans la suite, avec R = 4,7 kω et C = 22 nf En l absence d oscilloscope branché sur le circuit, déterminer la fonction de transfert complexe en tension (à vide), la sortie étant prise sur le condensateur. De quel filtrage s agit-il? Comment définit-on la fréquence de coupure d un filtre comme celui-ci? La calculer numériquement On utilise alors un oscilloscope numérique pour la visualisation du signal aux bornes du condensateur. On lit sur l entrée coaxiale de l appareil «1 MΩ, 25 pf» et on désignera par R 0 et C 0 les valeurs correspondantes. Cet appareil, branché sur le filtre étudié, induit la représentation suivante du filtre linéaire : 4.5.a. Déterminer simplement le gain en tension à basse fréquence. 4.5.b. Exprimer l admittance complexe Y. 4.5.c. Quelle est la limite du déphasage de s par rapport à i (traversant R) à basse fréquence? 4.5.d. Déterminer la nouvelle fonction de transfert H = s e, que l on présentera sous forme canonique : H = H j ω ω e. Comparer H 0 et la nouvelle fréquence de coupure f 0 aux valeurs de la question 4.4. Conclure quant à l utilisation de l oscilloscope pour étudier le filtre RC. 4.5.f. Construire un mode opératoire pour confirmer les valeurs «1 MΩ, 25 pf» à l aide d un rhéostat 0 1 MΩ. Ex 5 Détermination expérimentale des paramètres d un passe-bande On note v s la tension de sortie du filtre. Le filtre est un circuit linéaire dont la fonction de transfert s écrit : F (jω) = v s v e = F jq Ä ω ω 0 ä ω0 ω On se propose de déterminer les caractéristiques F 0, Q et ω 0 du filtre à partir des oscillogrammes obtenus en régime périodique pour une tension d entrée v e rectangulaire pour deux valeurs de fréquence. On donne la décomposition en série de Fourier de v e (t) dans le cas où pour 0 < t < T/2 : v e (t) = V 0 ; pour T/2 < t < T : v e (t) = 0 v e (t) = V 0 ( π k=0 ) 1 2k + 1 sin((2k + 1)ω 1t) avec ω 1 = 2π T 2016/2017 3/5

4 Première expérience voies 1 et 2 en position DC base de temps : 50 micros div 1 sensibilités : voie 1 (en gras) : 0,5 V div 1 voie 2 : 2 V div 1 la tension v s obtenue est quasi-sinusoïdale ; si on augmente la fréquence de v e par rapport à la valeur correspondant à cet oscillogramme, on constate que l amplitude de v s diminue ; si, par rapport à cette même fréquence, on diminue légèrement la fréquence de v e, on constate que l amplitude de v s diminue également. Figure 1 Oscillogramme de la première expérience Deuxième expérience voies 1 et 2 en position DC base de temps : 5 micros div 1 sensibilités : voie 1 (en gras) : 2 V div 1 voie 2 : 0,2 V div 1 Figure 2 Oscillogramme de la seconde expérience Dans ce qui suit, on ne demande pas de calculs d incertitudes mais les mesures devront être faites avec soin (tous les résultats doivent être obtenus avec une incertitude relative inférieure à 10 % Pourquoi, dans chaque expérience, la tension de sortie v s ne comporte-t-elle pas de composante continue, contrairement à la tension d entrée v e? 5.2. Première expérience : pourquoi peut-on obtenir une tension de sortie v s quasi-sinusoïdale alors que la tension v e est rectangulaire? 5.3. Déduire de l oscillogramme de la première expérience et du commentaire qui l accompagne : 5.3.a. la pulsation ω 0 ; 5.3.b. la valeur de F Dans la deuxième expérience, v s est triangulaire alors que v e est rectangulaire. La filtre a un comportement intégrateur. 5.4.a. Donner l expression approchée de F (jω) dans le domaine de fréquence correspondant à la deuxième expérience. 5.4.b. En utilisant l oscillogramme de la deuxième expérience, déterminer, en justifiant précisément la méthode utilisée, le rapport F0ω0 Q (on se souviendra - cf. question que la composante continue de v e n est pas intégrée). En déduire la valeur de Q. 2016/2017 4/5

5 Ex 6 Stabilité d un circuit électronique On associe un amplificateur de tension de gain G = 2 à un circuit RLC de la façon suivante : 6.1. Etablir l équation différentielle reliant s et e Etudier la stabilité par le régime libre Donner la forme mathématique de s(t) 6.4. Que se passe-t-il si une légère perturbation écarte la sortie de son régime établi? 2016/2017 5/5