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1 Chpire 7 Inégrles générlisées 7. Inroduion Pour ou inervlle fermé orné I =[, ] ve e réels, e pour oue fonion f oninue ou oninue pr moreux sur I, il es possile de définir l inégrle de Riemnn f()d omme limie de somme de Riemnn. Il s gi d éendre ee définiion à des fonions définies sur l ouver ], [ orné ou non. Pr exemple peu-on donner un sens à + Ln(x)dx? 7.2 Cs où I = f()d ve R {+ } e f oninue sur [, [ 7.2. Definiion Définiion 7.2. Soi R e R {+ }, l fonion f es oninue sur [, [. Onpose pour ou x [, [ : F (x) = x f()d l primiive de f qui s nnule en. Silim x F (x) exise e es finie, on di que l inégrle générlisée onverge e on noe Sinon on di que l inégrle générlisée diverge lim x F (x). Remrques. De même on défini f()d lorsque f es définie oninue sur ], ]. 2. Si R e si f es oninue sur [, ], lors l inégrle de Riemnn oinide ve l inégrle générlisée r l primiive F es oninue en. 3. L nure de l inégrle générlisée dépend du omporemen de f u voisinge de. L preuve es immédie il suffi d ppliquer l relion de Chsles : soi [, [, on pose G(x) = x f()d, on F (x) = f()d + G(x). Don si f()d onverge e vu l, on en dédui que f()d onverge e vu l F (). L réiproque es immédie. Pr onséquen l vleur de l inégrle es modifiée mis ps 37

2 38 CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES s nure. 4. Il n y ps de ondiion néessire de onvergene. Définiion Le rese d une inégrle gérlisée onvergene es une fonion noée R définie pr R(x) = pour ou x [, [. f()d x f()d Exemples : les inégrles de Riemnn + d onverge si e seulemen si α> e dns e s + α d onverge si e seulemen si α< e dns e s α l preuve s effeue pr lul dire de l primiive. Eudier le s ( ) d. α Exeries d = α α. d = α α. Eudier les inégrles suivnes. Ln()d = : l fonion Ln(x) es oninue sur ], ], on onni une primiive de Ln Ln()d diverge e d onverge e vu. 4. e d diverge sin()d diverge Exension Définiion On onsidère une fonion f oninue sue ], [ ve < +, l inégrle générlisée f()d es onvergene si il exise ], [ el que les deux inégrles générlisées f()d e f()d onvergen e dns e s on f()d + f()d. remrque : ee définiion es indépendne du poin. Quelques exemples. + d 2. + Ln()d 3. Ln() d es fussemen générlisée e d onverge e vu 2.

3 7.2. CAS OÙ I = B F (T )DT AVEC B R {+ } ET F CONTINUE SUR [A, B[ 39 A Inégrles plusieurs fois générlisées Définiion On onsidère une fonion f oninue sur ], [ e sur ], [ve < < +, l inégrle générlisée f()d es onvergene si les deux inégrles générlisées f()d e f()d onvergen e dns e s on f()d + f()d Propriéés des inégrles onvergenes Théorème Soi < + e deux fonions f e g oninues sur ], [. On suppose que f()d onverge, lors on les propriéés suivnes :. Chsles :pourou ], [ : 2. Linérié : pour ous réels λ e µ : λf()+µg()d = λ f()d + dès que deux inégrles sur les rois onvergen. f()d + µ f()d. 3. Posiivié si f sur ], [, lors f()d. 4. Srie Posiivié si f>sur ], [, lors f()d >. 5. Croissne si f g sur ], [, lors f()d g()d. g()d Pour l srie posiivié, on f()d x f()d > pr roissne de F (x) puisquef es posiive Méhodes de lul Pr primiive ou inégrion pr pries Soi f oninue sur [, [, on pose F (x) = x f()d. Pour luler F on pplique les méhodes lssiques de lul d une inégrle de Riemnn. pr hngemen de vrile Cee méhode peu s uiliser direemen sur l inégrle générlisée sns modifier s nure ni s vleur si il y onvergene.

4 4 CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Théorème Soi < + e une fonion f oninue sur ], [. Onsuppose qu il exise une fonion φ de lsse C e sriemen monoone sur ], [, lors les limies lim φ() e lim φ() exisen e vlen respeivemen l e l 2. f(u)du son de même nure. De plus si l une onverge l ure onverge e elles son égles. On di que l on pose u = φ() omme hngemen de vrile. Alors les inégrles f(φ())φ ()d e l 2 l remrque : l srie monoonie de φ n es ps néessire ve les inégrles de Riemnn. exemple : Eudier I = + 2 (+ 2 ) d ve le hngemen de vrile x = Arn(). 2 soluion : on pose φ() =Arn() ee fonion es de lsse C e sriemen monoone sur [, + [, e φ() = e lim + φ() =π/2 d ou I = π/2 (n(x)) 2 ( + (n(x)) 2 ) dx = π/2 sin 2 (x)dx = 2 π/2 os(2x)dx = π Cs où fes une fonion posiive sur [, [ 7.3. Théorème des fonions monoones Théorème 7.3. on Toue fonion F roissne e mjorée sur [, [ dme une limie finie en. Toue fonion F roissne e non mjorée sur [, [ dme une limie infinie en. preuve sif es mjorée sur [, [, soi A = {f(x),x [, [}, A es un ensemle non vide e mjorée, il dme une orne supérieure dns IR noée M. On monre que lim f(x) =M. x Sif n es ps mjorée, pour ou A réel, il exise x o el que f(x o ) >A. Comme f es roissne pour ou x x o, f(x) >A Condiion néessire e suffisne de onvergene Théorème Soi < + e une fonion f oninue e posiive sur [, [. On pose F (x) = x f()d, puisque f es posiive, F es une fonion roissne sur [, [ don. f()d onverge si e seulemen si F es mjorée sur [, [. 2. f()d diverge si e seulemen si lim F (x) =+. x preuve L fonion F es roissne r s dérivée f es posiive. L deuxième se dédui ve le héorème des fonions monoones.

5 7.3. CAS OÙ F EST UNE FONCTION POSITIVE SUR [A, B[ Théorème de omprison Théorème Soi < + e deux fonion f e g oninues e posiives sur [, [. Si il exise [, [ el que pour ou x [, [, f(x) g(x) lors. g()d onverge implique que f()d onverge. 2. f()d diverge implique que g()d diverge. remrque : l posiivié es une hypohèse fondmenle dns e résul. Pr exemple x x sur [, + [ e pourn + xdx diverge lors que + 2 x dx onverge. 2 Corollire Soi < + e deux fonion f e g oninues e posiives sur [, [. Sif es négligele devn g en soi f = o(g), lors. g()d onverge implique que f()d onverge. 2. f()d diverge implique que g()d diverge. Règle x α f(x). Corollire Règle des équivlens Soi < + e deux fonions f e g oninues e posiives sur [, [. Sif es équivlen à g en soi f g, lors g()d e f()d son de même nure. Une onséquene de ee règle es que si f dme une limie finie non nulle en +, lors + f()d diverge. Pr onre une inégrle peu êre onvergene sns que l fonion ende vers, pr exemple l fonion don le grphe son des ringles enrs en ou enier k de se /k 3 e de hueur k. Ou enore + os(x 2 )dx onverge Comprison Série Inégrle Théorème Soi une fonion f oninue, déroisne e posiive sur [, + [, ve >. Alors l série de erme générl f(n) e + f()d son de même nure. preuve Soi k, pour ou x [k, k + [ l déroissne de f perme d érire soi en inégrn D où N k=e()+ f(k + ) f(x) f(k) f(k + ) f(k + ) k+ k N+ E()+ f()d f(k) f()d N k=e()+ f(k) où E() désigne l prie enière de. On dédui le résul de ee doule inéglié. Appliion : on oien l onvergene des séries de Riemnn.

6 42 CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 7.4 L fonion gmm Définiion 7.4. On onsidère Γ(x) = + x e d. Théorème Le domine de définiion de l fonion Γ es ], + [. preuve en +, on uilise héorème de omprison ve x 2 f(x) e en on ulise un équivlen. f esse 94 Théorème Pour ou enier n, Γ(n + ) = n!. preuve réurrene remrque formule à lire dns les deux sens. 7.5 Asolue onvergene Définiion 7.5. Soi < + e une fonion f oninue sur [, [. Si f() d onverge, on di que l inégrle f()d es solumen onvergene. Si l inégrle f()d onverge e f() d diverge, on di que l inégrle f()d es semi onvergene. Théorème Soi < + e une fonion f oninue sur [, [. Si l inégrle f()d es solumen onvergene, lors l inégrle f()d onverge e dns e s f()d f() d. preuve L sue onsise à érire que f =(f + f ) f. En effe si l inégrle f()d es solumen onvergene, omme f + f 2 f, les inégrles f() d e f + f() d onvergen, don pr linérié l inégrle f()d onverge e f + f() d f() d.

7 7.5. ABSOLUE CONVERGENCE 43 On oien l inéglié en revenn à l définiion x f()d x f() d f() d.

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