Mathématiques STATISTIQUES. Les employés d'une entreprise ont répondu au questionnaire suivant :

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1 STATISTIQUES I. Exemple Les employés d'une entreprise ont répondu au questionnaire suivant : a) Combien de trajets effectuez-vous par semaine pour venir travailler? b) Quel moyen de transport utilisez-vous pour venir travailler? c) Combien de temps vous faut-il pour venir travailler? II. Définitions 1. Population La population est l'ensemble sur lequel porte l'étude statistique. Dans l exemple la population est l'ensemble des employés de l'entreprise. 2. Individu Un individu est un élément de la population étudiée. Il y a individus dans la population étudiée. 3. Caractère Le caractère est une propriété commune aux individus d'une population. Dans l'exemple b, le caractère est le mode de transport, ce caractère est un caractère qualitatif (par exemple : à pied, en voiture, en bus, en train ). Un caractère est qualitatif quand il n'est pas exprimé sous forme de nombre. Dans l'exemple c, le caractère peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 120 minutes, c'est un caractère quantitatif continu. Dans l'exemple a, par contre, le caractère est le nombre de trajets, donc des nombre entiers isolés, il ne peut pas prendre toutes les valeurs entre 6 et 16 (absence de 7, de 7,5...), c'est un caractère quantitatif discret. 4. Effectifs L'effectif relatif à une valeur d'un caractère est le nombre d'individus ayant cette valeur. L'effectif total est le nombre total d'individus de la population. Statistiques 1 / 7

2 5. Fréquence La fréquence d'une valeur d'un caractère est le quotient de l'effectif relatif à cette valeur par l'effectif total. III. Tableau de données et graphiques 1. Tableau et diagramme en barres Il s'agit de l'étude d'une série statistique à caractère qualitatif : le graphique proposé est appelé diagramme en barres. Mode de transport Dans l exemple, le tableau associé à la question b est : A pied En voiture En bus En train Avec un deux-roues Effectif Diagramme en barres Effectif A pied En voiture En bus En train Avec un deux-roues Mode de transport 2. Tableau et diagramme circulaire On peut représenter les données de ce tableau par un diagramme circulaire c'est-à-dire sous la forme d'un disque. Les angles représentant les valeurs du caractère sont proportionnels aux effectifs des valeurs du caractère. Statistiques 2 / 7

3 Mode de transport Il est utile de construire le tableau suivant : A pied En voiture En bus En train Avec un deux-roues Total Effectif Angle au centre (en ) ,8 43,2 14,4 57,6 360 La dernière colonne indique que pour individus (effectif total), on dispose de 360. C'est une situation de proportionnalité on peut calculer le nombre de degrés représentant chaque individu : 360 : = 14,4. On en déduit la valeur de chaque angle en multipliant chaque effectif par 14,4. On peut vérifier que la somme des angles est bien 360. Diagramme circulaire A pied En voiture En bus En train Avec un deux-roues 1 L utilisation d un rapporteur oblige l utilisation de l arrondi au degré près des valeurs des angles pour la réalisation du graphique. Statistiques 3 / 7

4 3. Tableau et diagramme en bâtons Dans l exemple, les réponses associées à la question a sont proposées sous la forme d'un tableau : Nombre de trajets Effectif Il s'agit d'une série statistique à caractère quantitatif discret. On peut représenter les données de ce tableau par un diagramme en bâtons. Diagramme en bâtons Effectif Nombre de trajets Les valeurs du caractère quantitatif sont indiquées sur l'axe des abscisses et les effectifs sur l'axe des ordonnées. Les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux effectifs des valeurs du caractère. Statistiques 4 / 7

5 4. Tableau et histogramme Dans l exemple, les réponses associées à la question c sont proposées sous la forme d'un tableau : Durée du trajet (min) ] 0, 30] ] 30, 60] ] 60, 90] ] 90, 120] Effectif Fréquence ,44 0,36 0,16 0, % 36% 16% 4% ] 0,30] est un ensemble des valeurs prises par le caractère, c'est-à-dire entre 0 exclu et 30 inclus. ] 0, 30] est un intervalle aussi appelé classe. L'étendue de chaque classe est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère. Ici, l'étendue de chaque classe est la même : 30 minutes. Histogramme Durée du trajet (min) Les aires des rectangles obtenus sont proportionnelles aux fréquences des classes. Les valeurs du caractère quantitatif sont indiquées sur l'axe des abscisses. Statistiques 5 / 7

6 IV. Caractéristiques d une série 1. Etendue L'étendue d'une série à caractère quantitatif est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère. Situation a : l'étendue est 14-6 = 8. Situation b : il n'y a pas d étendue car le caractère de la série est qualitatif. Situation c : l'étendue est = Mode Le mode d'une série statistique est la valeur du caractère ou de la classe de valeurs qui correspond au plus grand effectif ou à la plus grande fréquence. Situation a : le mode est 10, Situation b : le mode est «en voiture». Situation c : le mode est la classe ] 0, 30]. 3. Médiane La médiane d'une série statistique, dont les valeurs du caractère quantitatif sont discrètes et rangées dans l'ordre croissant, est la valeur partageant la population en deux groupes de même effectif. Situation a : cette situation est bien une série à caractère quantitatif discret. La population compte individus, la médiane est donc la valeur du caractère du 13e individu, La médiane de la série est 10. Situation b : il n'y a pas de médiane car le caractère de la série est qualitatif. Situation c : les valeurs de la série sont regroupées en classes. La population compte individus, la médiane est donc la valeur du caractère du 13 ème individu. La médiane de la série se trouve dans la classe ]30, 60]. Statistiques 6 / 7

7 4. Moyenne arithmétique Soit une population composée de n individus et x 1, x 2,, x n les n valeurs x x... x observées alors la moyenne arithmétique a pour valeur n. n Situation a : cette situation est bien une série à caractère quantitatif discret. Le nombre moyen de trajets : = = 9,12 Situation c : le caractère est quantitatif continu. Il faut calculer la valeur «milieu» de chaque classe. ] 0, 30] a pour valeur centrale ] 30, 60] a pour valeur centrale = 45. = 15. ] 60, 90] a pour valeur centrale = 75. ] 90, 120] a pour valeur centrale = 105. On calcule la moyenne en utilisant les valeurs centrales des classes = = 39. La durée moyenne d'un trajet est 39 minutes. Statistiques 7 / 7