II - 10 Calculs des déplacements

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1 II - 10 Phlppe.Boullard@ulb.ac.be verson 5 décembre 011 Motvaton Déformée due à la flexon équaton dfférentelle et C ntégraton drecte ntégrales de Mohr Effet de l effort tranchant Calcul des déplacements Introducton aux systèmes hyperstatques [Frey, T. II, Chap. 10 & 1] II

2 Motvaton États mtes de Servce (ES) Calcul des déplacements lmter la déformablté (les déplacements) des structures souvent, crtère plus exgeant que celu de résstance Structures hyperstatques détermnaton des nconnues hyperstatques II flexon smple plane Déformée due à la flexon axe ntalement rectlgne, actons perpendculares petts déplacements (lnéarsaton géométrque) effets de M et de T dssocés on cherche l équaton de la déformée de l axe lgne élastque II

3 gne élastque On a : Or, 1 R y 1 R M y z y" ( 1+ y' ) y" M 3 y" (***) lnéarsaton géométrque II Démonstraton alternatve Petts déplacements, pettes rotatons ds Rdθ 1 dθ R ds θ pett cosθ 1 1 R dθ ds d y car θ dy [Frey, 000, ol. ] II

4 llongement des poutres fléches + u + du u + ds cosθ u + du 0 [Frey, 000, ol. ] en petts déplacements, la portée d une poutre fléche ne vare pas II Équatons dfférentelles des poutres fléches y" M dm y" ' T car T dt y" " q car q ( ) ( ) Cas partculer : constant ( ) y 4 q équaton dfférentelle du 4 ème ordre II

5 condtons sur y flèche mposée (appus) condtons sur y rotaton mposée (encastrement) Condtons aux lmtes condtons sur y moment fléchssant mposé (extrémté lbre) condtons sur y effort tranchant mposé (extrémté lbre) II Condtons aux lmtes M 0 y 0 T 0 y 0 y 0 M 0 y 0 y 0 θ 0 y 0 y g y g y d y d II

6 Intégraton drecte [Frey, 000, ol. ] II Intégraton drecte [Frey, 000, ol. ] II

7 Intégraton drecte avantage on trouve y(x) en tout pont nconvénent en général, on cherche y et θ en quelques ponts trouver une méthode de calcul plus adaptée II cas de la flexon pure Remarques (1) M cste y cste y est une parabole 1/R-M/ y est un cercle l approxmaton vent de 1 y" ( 1+ y' ) valable unquement s les déplacements sont petts R y 3 y" II

8 Remarques () grands déplacements le prncpe de superposton n est plus valable les sollctatons dépendent de la confguraton déformée II Théorèmes des travaux vrtuels T.. : forces réelles - déplacements vrtuels f u' d ( n) + T u' ds S T.. : forces vrtuelles - déplacements réels τ a' d u' f ' f ' u d, T ' ( n) ( n) + T ' uds, τ ' S en équlbre τ ' a d II

9 Intégrales de Mohr chosr les forces et les contrantes vrtuelles en équlbre en plaçant une force untare dans le sens du déplacement cherché ( ) ' + n f ud T ' u ds S δ déplacement cherché 1 δ II τ ' a d M ' y I MM ' MM ' Contrbuton de M My d ( y ) d II

10 Contrbuton de N τ ' a d N ' NN ' E N d E NN ' E ( ) d II Contrbuton de T τ ' a d T ' S Ib TS GIb TT ' G I TT ' χ G d S b χ facteur de correcton d II

11 δ MM ' + NN ' E Intégrale de Mohr TT ' + χ G moment fléchssant dû aux actons réelles En général, δ moment fléchssant dû à une force untare placée au pont où l on cherche le déplacement dans la drecton et le sens de celu-c MM ' II Calculs pratques Tableau de 1 M M

12 Exemple 1a: déplacement q M M flèche en δ 1 4 q 4 q 8 Exemple 1b : rotaton q M 1 M rotaton en θ 1 q q 6 II

13 Exemple [Frey, 000, ol. ] y q 3 8 max q II élévaton unforme de température T T après - T avant gradent thermque (constant) T /h h/ T T / Effets thermques ε x α T T ε x α y h h/ T / II

14 contrbuton du gradent thermque τ ' a d contrbuton de l élévaton unforme τ ' a d Effets thermques M ' y T α yd I h T α M ' h N' α Td α TN ' II Intégrale de Mohr δ MM ' + + NN' + E T α M ' + h TT ' χ G α T N' II

15 Effet de l effort tranchant T γ χ G T GB are rédute [Frey, 000, ol. ] B χ II Effet de T : équaton dfférentelle a contrbuton addtonnelle due à T est donnée par T χ y χ y G G dt a lgne élastque est soluton de M q y χ G II

16 poutre sostatque sur appus, charge q unforme 4 y y y + y secton rectangulare en acer M M q T Effet de T : exemple ; y T χ q 8G 4 q h 1 +,5 χ 6 ; I h υ 0,3;, E G h : 1 10 yt y,5% h yt y II Effet de T : ares rédutes [Frey, 000, ol. ] II

17 Gauchssement entravé résultats valables s la poutre est lbre de gauchr OK s T vare contnûment [Frey, 000, ol. ] II Intro aux systèmes hyperstatques llustraton sur un système 1x hyperstatque (a) (b) (b) superposton charge réparte + réacton flèche due à q δ 3 q 4 X 3 [Frey, 000, ol. ] q X 3 flèche due à X δ 8 II