sont égales, alors le produit des «extrêmes» a d est égal au produit des «moyens» c d ; et réciproquement ; la preuve est ici 1.

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1 Cours 5 Idépedace 1 Das le cours précédet, ous avos vu que la variable Y était idépedate de la variable X si ses distributios coditioelles e fréquece sot égales ; das ce cas e effet, la mesure de X sur u idividu quelcoque apporte pas d iformatio pour estimer la mesure de Y. De la même maière X est idépedate de Y si ses distributios coditioelles e fréquece sot égales. À priori, o pourrait imagier qu ue variable est idépedate de l autre (par exemple X est idépedat de Y) sas que l iverse soit vrai (Y est pas idépedat de X) ; mais les ombres utilisés das les distributios sot aisi faits que cette hypothèse est irréalisable. Quelques propriétés des fractios et des distributios 2 Produit des extrêmes et des moyes : si deux fractios a b et c d sot égales, alors le produit des «extrêmes» a d est égal au produit des «moyes» c d ; et réciproquemet ; la preuve est ici 1. 3 Égalité de fractios : si des fractios sot égales, elles sot égales à la fractio obteue e sommat umérateurs et déomiateurs : 1 q 1 = 2 q 2 =... = p q p = p q q p ; la preuve est ici 2. 4 Égalité des coditioelles et de la margiale : si les distributios coditioelles de X e fréquece sot égales, alors elles sot égales à la distributio margiale de X e fréquece ; la preuve est ici 3. 5 Égalité des coditioelles de X et de Y : si les distributios coditioelles de X e fréquece sot égales, alors les distributios coditioelles de Y e fréquece le sot égalemet ; et iversemet ; la preuve est ici 4. Idépedace des variables X et Y Cette derière propriété fait de la relatio d idépedace ue relatio symétrique ; elle éoce e effet que si les distributios coditioelles e fréquece de l ue des deux variables sot égales, les distributios coditioelles e fréquece de l autre le sot égalemet ; autremet dit, de deux choses l ue : ou bie les deux variables sot simultaémet idépedates de l autre, ou bie aucue e l est ; o peut doc parler de l idépedace des deux variables, plutôt que de l idépedace de l ue par rapport à l autre : 1. Si a = c a d, o obtiet le résultat e réduisat au même déomiateur : = c b et doc a d = b c. b d b d d b Réciproquemet, si a d = c b o obtiet le résultat e divisat les deux termes de l égalité par b d. 2. O utilise le résultat précédat ; pour que 1 q 1 = p q q p il suffit que 1 (q q p) = q 1 ( p) ; o le vérifie sas difficulté e remarquat les égalités 1 q 2 = q 1 2, 1 q 3 = q 1 3,..., 1 q p = q 1 p 3. Si les distributios coditioelles de X e fréquece sot égales, les coloes du tableau de cotigece e fréquece sot égales : pour chaque lige i o a l égalité des fractios : i1.1 = i2.2 =... = ip.p ; e appliquat la proproété du 3, ces fractios sot égales à i ip p qui vaut i. = fi., la fréquece margiale de mi. 4. Si les coditioelles de X e fréquece sot égales alors ( 4) o a l égalité ij.j = f.j = i. et doc l égalité (*), pour tous les effectifs ; e divisat les effectifs de la ième lige par so total i. o trouve que ij = i..j ij i. =.j = f.j pour chaque coloe, ce qui sigifie que la coditioelle e fréquece Yi est égale à la margiale de Y e fréquece, quelque soit i.

2 2 Statistique pour la psychologie II : E36XP3 6 déf Les variables X et Y sot dites idépedates si les distributios coditioelles e fréquece de X et de Y sot égales. O peut sas difficulté motrer que cette défiitio est équivalete à la suivate qui porte sur les distributios e effectifs (les liges et les coloes du tableau de cotigece) : les distributios coditioelles de X et de Y e effectif sot proportioelles 5. 7 Idépedace, populatio, échatillo. Les défiitios précédetes valet aussi bie pour les distributios das la populatio que das l échatillo : das le premier cas o peut parler d idépedace das la populatio, das le secod d idépedace das l échatillo. Lorsque la problématique cocere l idépedace das la populatio et que les distributios coditioelles das la populatio e sot pas évaluables, ous sommes cotraits de faire l étude de l idépedace das u échatillo, e supposat celui-ci «représetatif» pour pouvoir étedre les coclusios à la populatio toute etière. La questio de la compositio d u échatillo «représetatif» est trop délicate pour que ous l abordios ici : ue brache de la disciplie de la statistique y est cosacrée, l échatilloage ; précisos seulemet que supposer l échatillo «représetatif» reviet à cosidérer les distributios margiales du tableau de cotigece comme «idetiques» aux distributios de X et Y das la populatio. Distributio théorique d idépedace 8 déf Effectif théorique d idépedace d ue modalité. Si les variables sot idépedates, les distributios coditioelles e fréqueces sot égales, et o a alors ( 4) l égalité ij = i..j pour toutes les modalités cojoites ij ; cette valeur e déped que des marges, supposées être les distributios de X et Y das la populatio ; autremet dit, le ombre i..j, calculé à partir des seules distributios de X et Y, est l effectif qu o doit observer das u échatillo de taille pour la modalité cojoite ij quad les variables sot idépedates : o l appelle effectif théorique d idépedace de la modalité ij (ou effectif d idépedace, ou effectif théorique) ; et o la ote ñ ij («tilde de i et j»). 9 déf Soit D ue distributio cojoite observée sur u échatillo ; la distributio cojoite dot les effectifs sot les effectifs d idépedace ñ ij s appelle la distributio théorique d idépedace de D ou ecore la la distributio théorique de D ; o la ote D. Cette distributio se costruit à partir des seules marges de D, à l aide de la formule ñ ij = i..j. C est la distributio qu o doit observer pour u échatillo de taille quad X et Y sot idépedates, e supposat que les distributios de X et Y das la populatio sot doées par les marges. Exemple : à partir des marges de la distributio cojoite «iveau scolaire et absetéisme» : X / Y Rare Moye Fréquet Total X A B Total Y o costruit la distributio d idépedace suivate (par exemple, ñ 11 = 15 15/27 = 8.33) X / Y Rare Moye Fréquet Total X A 8,33 3,33 3,33 15 B 6,66 2,66 2,66 12 Total Y Cosidéros deux coditioelles de X quelcoques, X j et X j ; si elles sot égales e fréquece o a pour toutes les modalités i ij.j = ij, et doc.j ij = a ij avec a =.j : X.j j et X j e effectif sot proportioelles, das u rapport égal au rapport des tailles.

3 Statistique pour la psychologie II : E36XP3 3 Cela sigifie que si o suppose les distributios e proportio du iveau scolaire et de l absetéisme das la populatio égales à A B Total Rare Moye Fréquet Total X et 15/27 12/ /27 6/27 6/27 1 o devrait observer 8,33 idividus de iveau A avec ue absece Rare das u échatillo de taille 27, si les deux variables sot idépedates ; ce ombre décimal doé par la théorie est pas réaliste puisque les effectifs d ue observatio sot écessairemet des etiers, d où sa déomiatio d effectif théorique ; o voit par là les premières limites de la théorie puisqu il semble très illusoire de pouvoir recotrer des situatios statistiques pour lesquelles la distributio théorique d idépedace serait uiquemet composé d etiers, autremet dit, de pouvoir faire des observatios qui prouvet l idépedace de deux variables. Autre exemple : distributio théorique d idépedace de l observatio «traitemets atitermites» (etre parethèses les effectifs réellemet observés) : X / Y T1 T2 T3 Total X Cotamié 30.7 (26) 30.7 (48) 30.6 (18) 92 Sai (174) (152) (182) 508 Total Y Remarques. Même si les effectifs théoriques ñ ij sot des ombres décimaux, les distributios observées D et théoriques D ot les même marges 6. Les otios d effectif et distributio théorique d idépedace permettet de formuler ue ouvelle défiitio de l idépedace : X et Y sot dites idépedates si les effectifs observés ij sot idetiques aux effectifs d idépedace ñ ij = i..j, ou bie si la distributio observée D est idetique à la distributio d idépedace D. Cette troisième défiitio équivalete sigifie que das l hypothèse de l idépedace de X et Y, les effectifs observés peuvet se calculer à partir des distributios margiales seules, autremet dit des distributios de X et Y das la populatio ; ce qui reviet à dire qu ue observatio séparée des variables X et de Y doet la même iformatio qu ue observatio cojoite. Mesure locale de liaiso 11 déf Le taux de liaiso d ue modalité cojoite ij mesure u écart etre l effectif observé et l effectif qu o devrait observer sous l hypothèse d idépedace ; c est la différece ormalisée etre l effectif observé et l effectif théorique de la modalité, otée t ij : t ij = ij ñ ij. ñij La ormalisatio est écessaire pour predre e compte la relativité des différeces : ue différece de 10 etre 1000 et 1010 a pas la même sigificatio (1% d augmetatio) que la même différece de 10 etre 20 et 30 (50% d augmetatio) ; o ormalise par ñ ij (et o par ñ ij par exemple) pour ue raiso qu o pourra expliquer par la suite. O observe trois types de liaiso locale : l idépedace locale t ij 0 : tout se passe pour la modalité ij comme si X et Y étaiet idépedates. l attractio locale t ij > 0 : o observe plus fréquemmet la modalité das l échatillo que si X et Y étaiet idépedates. la répulsio locale t ij < 0 : o observe mois fréquemmet la modalité das l échatillo que si X et Y étaiet idépedates. 6. Par exemple, l effectif margiale de m i das D est ñ i. = p j=1 ñij = p i. = i. qui est l effectif margial de la modalité mi das D. j=1 i..j = i. p j=1.j =

4 4 Statistique pour la psychologie II : E36XP3 12 Comme les distributios margiales de D et D sot idetiques, les taux de liaiso sot forcés de «s équilibrer» sur chaque lige et sur chaque coloe : ue attractio, excès relatif d observatios, doit s accompager d ue répulsio, défaut relatif d observatios, sur la même lige et la même coloe ; même chose pour les répulsios ; aussi, l observatio de certaies attractios ou répulsios peut s expliquer o comme ue caractéristique de la liaiso, mais comme u artefact, comme la coséquece mécaique d ue autre répulsio ou attractio sur la même lige ou sur la même coloe. 13 Exemples : 1 Niveau scolaire et absetéisme : le calcul de t 11 doe = 0.46 X / Y Rare Moye Fréquet A -0,46 0,36 0,36 B 0,51-0,4-0,4 Le tableau met e évidece les attractios (A ; Moye Fréquet) (B ; Rare), et les répulsios (A ; Rare) (B ; Moye Fréquet) ; les liges et les coloes sot «équilibrées». 2 Traitemets ati-termites : X / Y T1 T2 T3 Cotamié -0,84 3,16-2,29 Sai 0,36-1,33 0,97 La forte attractio pour la modalité (Sai ; T3) pourrait exprimer l efficacité du traitemet T3 ; les autres valeurs seraiet alors des «effets de bord» redus écessaires par l équilibrage des liges et des coloes (sur la troisième coloe par exemple, il faut ue forte répulsio pour compeser la forte attractio). Mesure globale de liaiso : la distace du χ 2 14 Das la pratique, la distributio observée D est jamais idetique à la distributio d idépedace D, même quad o sait que X et Y sot idépedates : la raiso e est due aux fluctuatios d échatilloage, l objet du prochai cours ; si bie que pour étudier l idépedace de X et Y, ous allos devoir juger o de l égalité de D et D, mais de la proximité etre D et D. 15 déf Distace du χ 2. C est ue mesure de l écart etre ue distributio cojoite observée D et sa distributio théorique d idépedace D ; sa valeur est la somme des carrés des taux de liaisos : χ 2 (D) = 1 i k,1 j p (t ij) 2 = 1 i k,1 j p Le terme t 2 ij = ( ij ñ ij ) 2 ñ ij ( ij ñ ij ) 2 ñ ij est u ombre décimal positif ou ul ; o l appelle cotributios au χ 2 de la modalité cojoite ij ; χ 2 (D) est doc composée de k p cotributios. Si D = D le ombre χ 2 (D) est évidemmet ul (chaque cotributio est ulle). Si le ombre χ 2 (D) est ul alors D = D : état ue somme de ombres positifs ou uls, il e peut s auler que si tous les termes sot uls, autremet dit si les effectifs observés ij sot égaux aux effectifs théoriques ñ ij. Ces deux derières remarques suggèret ue ouvelle défiitio équivalete de l idépedace : X et Y sot idépedates si χ 2 (D) = Exemple : 1 Niveau scolaire et absetéisme. La cotributio de la modalité (A,Rare) est égale à (7 8,33) 2 /8,33 = 0,21 ( ) ; le χ 2 de cette distributio cojoite est égal à 1,05. X / Y Rare Moye Fréquet Total A 0,21 0,13 0,13 B 0,26 0,16 0,16 1,05

5 Statistique pour la psychologie II : E36XP3 5 2 Traitemets ati-termites. La cotributio de la modalité (Cotamié,T1) est égale à (26 30,7) 2 /30,7 = 0,71 ( ) ; le χ 2 de cette distributio cojoite est 18,59. X / Y T1 T2 T3 Total Cotamié 0,71 9,8 5,23 Sai 0,13 1,77 0,95 Total 18,59 Questios de cours 1. Éocer 3 défiitios de l idépedace de deux variables cojoites. 2. Quelle est la coséquece sur les distributios margiales, de supposer que l échatillo est représetatif? 3. Qu appelle-t-o effectif d idépedace? 4. Que désige ñ ij? 5. Commet se calcule ñ ij? 6. A-t-o besoi de la distributio cojoite pour calculer ñ ij? 7. Défiitio de la distributio théorique d idépedace? 8. Commet costruit-o la distributio théorique d idépedace de D? 9. Que sigifie le taux de liaiso t ij? 10. Quelle est la valeur de t 34? 11. Commet recoaît-o ue idépedace locale? Que sigifie-t-elle? 12. Commet recoaît-o ue attractio locale? Que sigifie-t-elle? 13. Commet recoaît-o ue répulsio locale? Que sigifie-t-elle? 14. U taux de liaiso positif marque-t-il écessairemet ue attractio locale des deux variables? 15. Que représete le χ 2 d ue distributio D? 16. Doer ue coditio pour que χ 2 (D) soit ul? 17. Doer ue coditio pour que χ 2 (D) soit égatif? 18. Qu appelle-t-o cotributio d ue modalité au χ 2? 19. Combie y-a-t-il de cotributios das le calcul du χ 2? Questio sur le cours 1. Motrer que l effectif margial de m i de D est idetique à celui de D. 2. Motrer que χ 2 (D) = 0 si les distributios coditioelles de X sot égales e fréquece. 3. Motrer que X et Y sot idépedates si χ 2 (D) = 0.