CONVERSION DE PUISSANCE

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1 Spé y Devoir n 6 CONVERSION DE PUISSANCE Dans ce problème nous allons étudier différents dispositifs entrant dans la réalisation d un bus électrique à conduite partiellement automatisée. La réalisation d un tel système est en bonne voie, même si, les solutions retenues ne sont pas entièrement celles proposées dans la suite de ce problème. Les candidats sont vivement encouragés à définir et à utiliser des paramètres non donnés explicitement dans l énoncé mais qui permettent d alléger et de simplifier les calculs. Partie I MACHINE A COURANT CONTINU Dans cette partie, les moteurs à courant continu sont supposés identiques avec un même courant circulant dans chaque inducteur, il en résulte que le paramètre de proportionnalité entre, par exemple, le couple et le courant dans l induit i est le même pour tous les moteurs. On notera Φ ce paramètre. I(t) R L U(t) e MCC J figure Ω Il convient d étudier et de modéliser les machines à courant continu qui serviront à faire avancer le véhicule. Le modèle retenu est celui d une force contre électromotrice e, sans pertes, en série avec une résistance R et une inductance L et, pour la partie mécanique, un moment d inertie global J (voir la figure ). On négligera les frottements. I-) On suppose qu'une tension U(t) est appliquée aux bornes de l'induit par une source de tension, On parle alors de commande en tension. a) Écrire les équations électriques et mécaniques décrivant le comportement du système. Ω( p) b) exprimer la fonction de transfert TΩ, U =. U ( p) LJ c) On donne les valeurs numériques: Φ = R J, S.I. et = 5 SI 2Φ L Préciser les unités de ces constantes. Montrer qu en tenant compte des valeurs numériques, on peut ne faire intervenir qu une seule constante de temps électromécanique τ = RJ Φ. 2 On fera cette approximation dans la suite. Spé y page /7 Devoir n 6

2 d) Montrer que les équations décrivant le comportement du système admettent une solution indépendante du temps (Ω 0,I 0 ). e) On observe expérimentalement qu un régime permanent constant est effectivement atteint avec un courant dans la machine I P.Est-ce compatible avec le modèle précédent? Proposer une correction si nécessaire. On négligera ce courant dans les calculs ultérieurs. f) On applique un échelon de tension aux bornes du moteur, le rotor étant initialement au repos, et on observe l'évolution de la vitesse Ω(t). Sachant que l'amplitude de l'échelon de tension U M est choisie de telle sorte que l'intensité maximale du courant d'induit est égale à I MAX = 0 A, déterminer littéralement, puis numériquement, le temps au bout duquel la vitesse de rotation aura atteint 90% de sa valeur finale. Déterminer l expression de Ω M en fonction de U M et Φ. g) Déterminer l accélération angulaire initiale d Ω ( t = 0 ) en fonction de ΩM et dt τ puis la relation entre I M, U M et R. A quelle instant cette valeur de I(t) est-elle atteinte? I-2) Si l'on suppose maintenant que l intensité I(t) du courant d'induit est imposée par une source de courant,. on parle alors de commande en courant. Ω( p) a) Exprimer la fonction de transfert TΩ, I =. I( p) b) On impose au moteur, à partir des mêmes conditions initiales qu en I--f, une intensité constante égale à I MAX. Quel sera la durée nécessaire pour atteindre la même valeur de vitesse de rotation qu en I--f? Comparer avec la réponse en tension et interpréter. I-3) On envisage un second type d'essai en présence de frottements fluides dont les effets sont équivalents à un couple de moment fω appliqué au rotor (Ω étant la vitesse angulaire de ce dernier). A l'instant initial, le rotor est animé d'une vitesse Ω 0 et on cherche à le freiner. Pour les applications numériques, on prendra Φ = 0,7 V.rad, J =,0 0 3 kg.m 2, R =,5 Ω, f =,0 0 3 N.m.rad.s, Ω 0 = 88 rad.s -. a) On ouvre tout d'abord le circuit d'alimentation du moteur (I = 0). Montrer que le mouvement du mobile est caractérisé par une constante de temps mécanique τ M que l'on exprimera. Quelle remarque peut-on faire sur le temps d'arrêt? b) On met la machine à courant continu en court-circuit (U = 0). Quelle est l expression de I(0 + ). Montrer que le mouvement du rotor est caractérisé par une nouvelle constante de temps électromécanique τ EM. Exprimer τ EM en fonction de τ (définie en I-) et τ M (définie ci-dessus). Que peut-on dire de l évolution de Ω(t) et de I(t)? Caractériser le fonctionnement de la machine à courant continu pendant cette phase. c) On impose une intensité de valeur absolue I MAX dans le moteur dans un sens tel que la vitesse du rotor décroît, cette valeur étant maintenue jusqu'à l'arrêt. On néglige les frottements fluides si le terme fω est en permanence inférieur à C où C est le couple électromagnétique. Dans ces conditions, déterminer l'instant t A, où la vitesse de rotation s'annule. 0 Indiquer, en précisant les valeurs de u(0) et de u(t A ), comment évolue la tension u(t) aux bornes de la machine à courant continu (et de la source de courant). d) Commenter brièvement l'efficacité de ces trois méthodes de ralentissement. Spé y page 2/7 Devoir n 6

3 Partie II HACHEUR On considère une source de tension continue idéale U 0 > 0 reliée par un dispositif de conversion de puissance composée de deux interrupteurs K et K à une source de courant continu I 0 > 0 (voir la figure 2). II-) L interrupteur K est fermé pendant la durée αt, puis ouvert pendant ( α)t. K U K U(t) I 0 0 figure 2 a) Déterminer le cycle de fonctionnement de l interrupteur K. b) Calculer la valeur moyenne de la tension U(t) délivré par le dispositif. c) Calculer la puissance moyenne transmise à la source de courant. d) Quelle est la nature des interrupteurs K et K, les plus simples, convenant pour réaliser ce dispositif? II-2) La source de courant est maintenant remplacée par une inductance L en série avec une résistance R et une source de tension continue E < U 0. a) Calculer en fonction du temps, en régime périodique permanent, le courant dans l inductance dans le cas où E = 0V. On utilisera, en déterminant leur expression, les valeurs maximum I MAX et minimum I MIN de l intensité de ce courant. b) Comment doit-on modifier le convertisseur pour que la puissance puisse être reçue par la source U 0? Partie III ASSOCIATION MACHINE-HACHEUR Sur la source de tension et les deux interrupteurs précédents est maintenant branchée une machine à courant continue comme celle étudier dans la partie I. On supposera ici l inductance L nulle et on assimilera la tension délivrée par le dispositif U(t) à sa valeur moyenne sur une période de fonctionnement T. Comme on étudie des fonctionnement où α varie au cours du temps, la tension moyenne sera une fonction du temps notée <U>(t). III-) Ce moteur servant à mettre en mouvement un véhicule, l inertie globale J est en grande partie due à la masse de ce véhicule. Justifier cette affirmation. III-2) Si, au démarrage du moteur, on laisse l interrupteur K continuellement fermé, donner la valeur maximum I MAX du courant circulant dans le moteur en fonction de R et de U 0. III-3) On souhaite limiter le courant à la valeur I MAX 2. a) Déterminer <U>(t) et α(t) si, après le démarrage, on maintient I = I MAX 2. Spé y page 3/7 Devoir n 6

4 b) Montrer que cette phase n est possible que si t est inférieur à une valeur t 0 que l on déterminera en fonction τ (défini dans la partie I). Déterminer Ω(t) pour t > t 0 si la vitesse de rotation est la plus élevée possible. En déduire l expression de I(t) dans cette phase. c) Donner l allure sommaire des courbes Ω(t), I(t) et <U> en précisant le type d alimentation. d) Expliquer qualitativement ce qui aurait été changé si on avait pris en compte l inductance du moteur ; la variation temporelle de U(t). Partie IV PONT DIFFERENTIEL ELECTRIQUE Nous allons d abord étudier un mode de traction électrique utilisé dans certains chariots de manutention dont la roue arrière est directrice et les deux roues avant motrices. On associe, en série, dans le même circuit électrique, deux moteurs à courant continu entraînant les deux roues avant. Les moteurs sont supposés identiques et les roues directrice et motrices ont même diamètre D. Leur entraînement par l arbre du moteur est direct. Le chariot se déplace sur un plan horizontal et l on néglige tout les frottements.. IV-) Déterminer la vitesse v 0 du chariot en ligne droite en régime permanent en fonction de Φ, D et la tension d alimentation de l ensemble U 0. IV-2) Le chariot a maintenant une trajectoire circulaire décrite à vitesse constante RAYON R+L CENTRE DE LA TRAde (voir la figure 3), calculer les vitesses rotation Ω D (droit) et Ω G (gauche) des moteurs et les comparer à celle calculée précédemment. G D RAYON R JECTOIRE CIRCULAIRE figure 3 Partie V PONT DIFFERENTIEL ELECTRONIQUE Le bus est réalisé à l aide de plusieurs remorques articulées et les impératifs de la circulation urbaine exigent que ces remorques suivent une trajectoire inscrite sur une chaussée réservée assez étroite. Plutôt que de réaliser un véhicule classique avec un essieu moteur, chaque roue est entraînée par un moteur électrique, disposant de sa propre alimentation et de sa propre commande, de manière à forcer une trajectoire bien précise pour les remorques, celleci ressemblant plus à celle empruntée par un train sur ses rails. On donne des courbes représentant la vitesse de rotation des machines et leur courant d induit en fonction du temps. V--a) Comment peut-on mesurer la vitesse de rotation des moteurs? b) On veut mesurer un courant continu. Peut-on utiliser un transformateur? Justifier votre réponse. c) A partir de la mesure du courant, de la donnée du paramètre α et de la vitesse de rotation, comment déterminer la puissance mécanique fournie par le moteur et la puissance électrique consommée? Quels paramètres faut-il connaître? Comparer ces puissances Spé y page 4/7 Devoir n 6

5 V-2) Pour le démarrage, on alimente les moteurs un petit peu avant de relâcher les freins, ce qui se fait quand les portes sont complètement fermées, pourquoi? V-3) Commenter les vitesses de rotation et intensité des courants en fonction du temps, obtenus à partir de simulations, pour les courbes N à 4 donnée en annexe.on s attachera à décrire le comportement du bus, le fonctionnement des systèmes moteurshacheurs en faisant des bilans de puissance, sommaires et qualitatifs, pour chaque étape et en précisant les modes d alimentation ou de régulation. Note : les tracés sont effectués en coordonnées réduites (les grandeurs sont divisées par une de leurs valeurs caractéristiques pour obtenir un résultat sans dimension).on utilisera, pour répondre à la question, les courbes en annexe sur lesquelles on reportera lisiblement des légendes. Les courbe N, courbe N 2, courbe N 3, courbe N 4 sont à rendre avec la copie Partie VI MOTEUR THERMIQUE Pour de raison de coût et de mobilité, le bus doit être autonome. L alimentation générale du bus ne peut être exclusivement d origine électrique, l autonomie des batteries est insuffisante, et le temps de recharge prohibitif. On adopte un système hybride, un moteur thermique produira l énergie électrique nécessaire à un fonctionnement normal du bus et des batteries pourront compléter les besoins en fournissant un complément lors des accélérations et en absorbant l énergie restituée lors des freinages (le moteur électrique est commandé par un hacheur réversible). Le moteur thermique fonctionnant en continu son rendement est optimal et la pollution engendrée est inférieur à un fonctionnement irrégulier, on peut même imaginer de couper le moteur thermique dans les zones sensibles. De manière à ne pas sur dimensionner les batteries, on peut aussi, pour les montées à forte pente, prévoir une alimentation extérieur par caténaires en courant alternatif. VI-) Faire un schéma de tous les systèmes de transfert et de conversion de puissance nécessaires au bon fonctionnement du bus, on précisera le sens et le type de puissance transférée : puissance thermique P TH, puissance mécanique P MEC, puissance électrique P ELEC, (continue = ou alternative ~). VI-2) Pour le moteur thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur, peut-on raisonnablement envisager un rendement de 95%? Spé y page 5/7 Devoir n 6

6 ANNEXE.2 courbe N 0.8 vitesses et courants réduits intensité des courants vitesse de rotation courbe N 2 vitesses et courants réduits vitesse de rotation intensité du courant Spé y page 6/7 Devoir n 6

7 .2 courbe N 3 3 et courants réduits et courants réduits vitesses intensité du courant gauche vitesse de rotation gauche 2 intensité du courant droite 3 vitesse de rotation droite 4.5 courbe N vitesse de rotation droite vitesse de rotation gauche 2 intensité du courant droite 3 intensité du courant gauche 4 Spé y page 7/7 Devoir n 6