Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie"

Transcription

1 Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie A) Définition et propriétés de base 1) Historique Les nombre complexes ont été inventés au départ en 1545 par le mathématicien italien Jérôme Cardan (Girolamo Cardano), puis étudiés plus rigoureusement par Raphaël Bombelli en Au départ, le but était de trouver une expression mathématique, qui ne pouvait pas être un nombre réel, pour les solutions de l'équation x² + 1 = 0. Cette invention a permis d'exprimer aussi les solutions des équations du second degré avec un discriminant négatif. En effet, l'invention d'un nombre imaginaire i tel que i² = -1 permet d'exprimer par exdemple la racine carrée de -9 comme étant 3i, celle de -13 par i 13 etc... On trouve ainsi le moyen d'exprimer tout polynôme comme le produit de polynômes de degré 1, ce qui fait de l'ensemble des complexes un ensemble "algébriquement clos". 2) Définition a) On note C l'ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe s'écrit z =a bi, où a et b sont des réels et i est le nombre imaginaire tel que i² = -1. Cette écriture est dite "forme algébrique" du nombre complexe. a est la partie réelle, et b la partie imaginaire de z. b) Cas particuliers Si b = 0, z est un nombre réel. On peut ainsi considérer l'ensemble des réels comme une partie de l'ensemble des complexes : R C. Si a = 0, z est dit "imaginaire pur". 4, -15, 1/3 sont des réels 1 i ; 3 2i sont des complexes i ; -i ; 5i ; -3i sont des imaginaires purs. c) Conjugué d'un complexe On appelle complexe conjugué, ou conjugué de z=a bi, et on note z, que l'on prononce "z barre" le nombre z=a bi. 3) Égalité de deux complexes Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. Soient z = a + b i et z' = a' + b' i : on aura : z = z' <=> a = a' et b = b' a + b i = a + b' i <=> a = a et b = b Page 1/9

2 B) Opérations sur les complexes 1) Addition et soustraction Les règles sont les mêmes qu'en calcul littéral habituel, comme si on remplaçait i par x : Exemples Calculer : a) (2 3 i) + (3 2 i) b) (1 + 2 i) (13 12 i) c) (13 12 i) + ( i) d) (1 + 2 i) - ( i) (a + bi) + (a + b i) = (a + a ) + (b + b )i (a + bi) - (a + b i) = (a - a ) + (b - b )i Cas particuliers: Quand on additionne ou soustrait deux complexes conjugués z = a + b i et z = a b i : z+ẕ = 2a z = 2 3 i : calculer z + z et z z. z ẕ = 2 b i 2) Multiplication Les règles sont aussi les règles habituelles, mais quand on trouve i², on le remplace par -1, puisque par définition, i² = -1. Donc, (a + bi) (a + b i) = a a' + a b' i' + b i a' + b i b' i = a a' + b a' i + a b' i + a' b i + b b' i² = a a' + (a b' + a' b) i b b' = (a a' b b') + (a b' + a' b) i Exemples Calculer : a) (2 3 i) * (3 2 i) b) (1 + 2 i) * (13 12 i) c) (13 12 i) * ( i) d) (1 + 2 i) * ( i) (a + b i) (a + b i) = (a a - b b ) + (a b + a b)i Cas particuliers: Quand on multiplie deux complexes conjugués z = a + b i et z = a b i : z z = (a + b i) (a - b) i = a² (b i)² = a² b² i² = a² + b² : c'est un réel positif. Calculer z z : a) z = 3 2 i b) z = 2 i c) z = 12 + i z z = a² + b² Page 2/9

3 3) Division Le problème est ici de se "débarrasser" de la partie imaginaire qui figure au dénominateur. Pour cela, on multiplie en haut et en bas par le complexe conjugué du dénominateur : a +b i (a+b i)(a' b' i) ' b' i) = =(a+bi)(a a' +b' i (a'+b ' i)(a' b' i ) a' ²+b' ² Calculer les quotients suivants : 1 3i a) 2+i 2+1 c) 1 i 1 e) 1 i C) Représentation géométrique 1) Définition b) 1+i 1 1 d) 2 7i 7 i f) 1 2 3i Un nombre complexe est totalement défini par deux nombres réels, sa partie réelle et sa partie imaginaire. Or dans un plan à repère orthonormé, un point est totalement défini par son abscisse et son ordonnée, deux nombres réels aussi. On peut donc faire correspondre à chaque complexe un point et vice-versa. On dit alors que le point a pour affixe ce complexe, et que ce point est le point image du complexe. De même, on peut assimiler un vecteur (vecteur image) dans le plan à un complexe, puisque un vecteur aussi est caractérisé par ses deux coordonnées. Dans un repère orthonormé (O, A, B) placer les points : C d'affixe c =2 i, D (d = i), E (e = i 1) Trouver l'affixe de O, A, B et celles de I, milieu de [AB] et J milieu de [CD]. 2) Affixe d'un vecteur Si A a pour affixe z A et B a pour affixe z B, alors AB a pour affixe z A z A. Avec les données de l'exemple précédent, calculer les affixes de : OC, CD, OA et OB. 3)Points particuliers Les points images des nombres réels sont tous sur l'axe des abscisses, à gauche pour les négatifs et à droite pour les positifs. Les points images des nombres imaginaires purs sont tous sur l'axe des ordonnées, en haut pour les parties imaginaires négatives et à droite pour les positives. Les complexes conjugués ont des points images symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Page 3/9

4 4) Correspondances des opérations L'addition des complexes correspond à l'addition des vecteurs. En effet on additionne ensemble les parties réelles et les parties imaginaires, ce qui veut dire pour les vecteurs additionner les abscisses ensemble et les ordonnées ensemble. Donc, si u a pour affixe z u et v a pour affixe z v, u+ v aura pour affixe z u + z v. Avec les données de l'exemple précédent, calculer les affixes de : OC+ CD, DE+ EC et OA+ OB. 5) Longueur d'un vecteur et module d"un complexe On sait que si u a pur coordonnées (x ; y), la longueur de u, u, est égale à x 2 + y 2. On sait aussi que pour tout complexe z = x + y i, z z = x² + y². Si z est l'affixe de u, on aura donc : u = z ẕ. On appelle cette valeur le module de z, que l'on notera z. Avec les données de l'exemple précédent, calculer les longueurs de : CD, DE et AB. 6) Distance entre deux points Comme la distance entre deux points A et B est égale à la longueur du vecteur AB, on peut en conclure si l'affixe de A est z A et celle de B est z B, l'affixe de AB sera zb z A, et que la longueur de AB sera AB= AB = x 2 + y 2 en posant z b z A = x + y i. Avec les données de l'exemple précédent, calculer les distances entre : A et B, D et E et C et D. 7) Affixe d'un milieu Soient deux points A et B où l'affixe de A est z A et celle de B est z B, l'affixe du milieu I du segment [AB] sera z I = z A+z B 2. Avec les données de l'exemple précédent, calculer l'affixe du milieu de A et B, D et E et C et D. 8) Applications a) Soit les complexes a = -2 i, b = 3 + i, c = 6 + 4i et d = i. Montrer par les complexes que ABCD est un parallélogramme (A d'affixe a, B d'affixe b etc...). b) Soit de plus e = 1 : montrer que E(e) est le milieu de [AB]. c) Trouver l'affixe f d'un point F tel que ABF soit un triangle équilatéral (2 solutions). Page 4/9

5 Chapitre 4 Les nombres complexes : 2ème Partie D) Forme trigonométrique 1) Définition On a vu que tout nombre complexe correspond de façon unique à un point dans un plan rapporté à un repère orthonormal O, u, v. Si z = a + ib, a sera l abscisse du point et b son ordonnée. De même, tout vecteur représente un nombre complexe et un seul, suivant le même système. Un point M étant défini entièrement par sa distance à l origine ρ = OM et par la mesure de l angle entre u et le vecteur OM, θ = u, OM, un nombre complexe est aussi défini par ces deux données, qu on appelle alors le module (noté z ) et l argument (noté Arg(z)). On écrit alors z = [ρ ; θ]. Ceci s'appelle la forme trigonométrique. Remarques : - Le nombre O n a pas d argument. - L'argument d'un complexe est seulement défini à 2kπ près! On choisit généralement pour l'argument la mesure principale de l'angle θ. - Le point d'affixe z est le symétrique du point d'affixe z par rapport à l'axe des abscisses. Le module de z est donc le même, et son argument est l'opposé de celui de z. 2) Passage d une forme à l autre z = a + bi ρ = a² +b² Calcul de θ : On cherche cos -1 (a/ ρ), c'est la bonne réponse si b>0, sinon, on change son signe. z = [ρ ; θ] a = ρ cos(θ) et b = ρ sin(θ), soit z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)) 3) Différence de deux complexes et distance de deux points Si z 1 représente M 1 (et donc OM 1 ), et z 2 représente M 2 (et donc OM 2 ), la différence z 2 z 1 représentera OM 1 OM 2 = OM 1 + M 2 O = M 1 M 2. En particulier, la distance M 1 M 2 vaudra z 2 z 1. C) Calculs sous forme trigonométrique 1) Addition et soustraction Malheureusement, il n'y a pas de formule simple : il faut passer par la forme algébrique... 2) Produit Le produit de z = [ρ ; θ] par z' = [ρ' ; θ'] est : z z' = [ρ ρ' ; θ + θ']. Autrement dit, les modules se multiplient et les arguments s ajoutent. (Démontrer) Page 5/9

6 3) Puissances d un complexe soit, si z = [ρ ; θ], z n = [ρ n ; n θ] Exemple : z = [3 ; π/4] 4) Inverse d un complexe soit : z n = z n et Arg(z n ) = n Arg(z) z 5 = [3 5 ; 5π/4] = [243 ; -3π/4] 1 z = 1 z [ρ ; θ] n = [ρ n ; n θ] et Arg ( 1 )= Arg (z) z 1 [ ρ ; θ ] = [ 1 ρ ; θ ] Remarque : On peut retrouver ce résultat en faisant n = -1 dans le 2) ci-dessus. z = [3 ; π/4] z = [2 ; -π/3] 5) Quotient de deux complexes soit encore : z = [3 ; π/4] z' = [2 ; -π/3] Devoir : Exercice 46 page 257 z z ' = z z' D) Equations du second degré 1/z = [1/3 ; -π/4] 1/z = [1/2 ; π/3] et Arg z = Arg z Arg z ' z ' [ ρ ; θ ] [ ρ ' ; θ ' ] = [ ρ ρ' ; θ θ '] z z' [ = 3 2 ; π 4 ( π 3 ] [ ) = 3 2 ; 7 π 12 ] 1) Résolution des équations du second degré à discriminant négatif Prenons une équation du second degré quelconque. Si on applique la méthode connue pour b²- 4 ac > 0, on trouve x 1 = b b2 4 ac et x 2 = b b2 4 ac. Quand le discriminant b² - 4ac est négatif, ces solutions n existent pas dans R, mais existent dans C, car la racine carrée d'un nombre négatif y est possible : par exemple (2i)² = 4i² = 4(-1) = -4! Page 6/9

7 Ainsi, si b² 4ac < 0, on remplacera b² 4ac par i 4ac b². On trouve donc deux solutions dans C lorsque b² 4ac < 0, à savoir b i x 1 = 4 ac b² b+i et x 2 = 4 a c b². Grâce à cela, on peut dire que : Toute équation du second degré du type ax² + bx + c = 0 à coefficients réels admet deux solutions, réelles ou complexes, distinctes ou confondues. Si l une des solutions n est pas réelle, les deux solutions seront des complexes conjugués. Plus généralement, toute équation de degré n admet n solutions, réelles ou complexes, distinctes ou confondues (Théorème fondamental de l algèbre). Résoudre les équations : x² + 1 = 0 8x² + 4x + 3 = 0 x² -6x + 10 = 0 Exercices : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 page 252 puis 8, 10, 16, 35, 36 page 253 Page 7/9

8 Complexes : Fiche de révision 1 partie Forme algébrique : z = a + b i où i est le nombre complexe tel que i² = -1. Formules en format algébrique : a + b i = c + d i <=> a = c et b = d (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i (a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i² a+b i c+d i = (a c b d) + (a d + b c) i i)(c d i) i )(c d i ) =(a+b =(a+b (c+d i)(c d i) c 2 +d 2 z ẕ = a² +b² z+ẕ = 2a z ẕ=2 b i Le point M d'affixe z = a + b i a pour coordonnées a et b : M(z) = M(a ; b). La longeur OM vaut Module de z= z = a 2 +b 2 et l'affixe du vecteur OM est z. Remarquons que a² + b² est toujours la somme de deux nombres réels positifs ou nuls, car ce sont les carrés de deux réels (pas de i là-dedans!). Soient M 1 (z 1 ) et M 2 (z 2 ) : L'affixe du vecteur M 1 M 2 sera z 2 z 1. Sa longueur sera : M 1 M 2 = M 1 M 2 = z 2 z 1 (module de z 2 - z 1 ) =( L'affixe du milieu I du segment [M 1 M 2 ] est : z z 1+z 2 ) I 2 Page 8/9

9 Complexes : Fiche de révision 2 partie Forme trigonométrique : z = [ρ ; θ] avec : θ = Arg(z) (argument de z) et ρ = z (module de z) Passage d une forme à l autre : Algébrique Trigonométrique z = a + b i z = [ρ ; θ] : Calcul du module : z = ρ = a² b² Calcul de l argument : Arg(z) = θ = cos -1 (a/ ρ) si b > 0 Arg(z) = θ = - cos -1 (a/ ρ) si b < 0 Trigonométrique algébrique z = [ρ ; θ] z = a + b i : a = ρ cos(θ) et b = ρ sin(θ), soit z = ρ cos(θ) + i ρ sin(θ) Formules en format trigonométrique : [ρ ; θ] x [ρ ; θ ] = [ρ x ρ' ; θ + θ'] [ρ ; θ] n = [ρ n ; n θ] 1 / [ρ ; θ ] = [1 / ρ' ; θ'] [ρ ; θ] / [ρ ; θ ] = [ρ / ρ' ; θ θ'] Formules d Euler : sin(θ) = e i θ e i θ 2 i cos(θ) = e i θ + e i θ 2 Formule de Moivre : (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + i sin(nθ) Solutions complexes des équation du second degré avec Δ = b² 4 a c < 0 : z 1 = b i 4 a c b² 2a et z 2 = b+i 4 a c b² Page 9/9

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation 1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa

Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Du Premier au Second Degré

Du Premier au Second Degré Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Mais comment on fait pour...

Mais comment on fait pour... Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Mathématiques Algèbre et géométrie

Mathématiques Algèbre et géométrie Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond. PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Introduction. Mathématiques Quantiques Discrètes

Introduction. Mathématiques Quantiques Discrètes Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Cours de mathématiques Première année. Exo7

Cours de mathématiques Première année. Exo7 Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

L ALGORITHMIQUE. Algorithme

L ALGORITHMIQUE. Algorithme L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Notice d Utilisation du logiciel Finite Element Method Magnetics version 3.4 auteur: David Meeker

Notice d Utilisation du logiciel Finite Element Method Magnetics version 3.4 auteur: David Meeker Notice d Utilisation du logiciel Finite Element Method Magnetics version 3.4 auteur: David Meeker DeCarvalho Adelino adelino.decarvalho@iutc.u-cergy.fr septembre 2005 Table des matières 1 Introduction

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES

OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES ACADÉMIE DE RENNES SESSION 2006 CLASSE DE PREMIERE DURÉE : 4 heures Ce sujet s adresse à tous les élèves de première quelle que soit leur série. Il comporte cinq

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En

Plus en détail

Livret de liaison Seconde - Première S

Livret de liaison Seconde - Première S Livret de liaison Seconde - Première S I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Groupe Aurillac - Lycée Juin 2014 Ont collaboré à cet ouvrage : Emmanuelle BOYER, Lycée Émile Duclaux, Aurillac. Patrick DE GIOVANNI,

Plus en détail

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

D'UN THÉORÈME NOUVEAU

D'UN THÉORÈME NOUVEAU DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS 1. (Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771.) 1. Je viens de trouver, dans un excellent

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Logique binaire. Aujourd'hui, l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques.

Logique binaire. Aujourd'hui, l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques. Logique binaire I. L'algèbre de Boole L'algèbre de Boole est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques.

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

Cours d Analyse I et II

Cours d Analyse I et II ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Chapitre 2 : Vecteurs

Chapitre 2 : Vecteurs 1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches

Plus en détail

6. Les différents types de démonstrations

6. Les différents types de démonstrations LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,

Plus en détail