CH2 Géométrie : Angles orientés

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1 CH2 Géométrie : Angles orientés 3 ème Maths Octobre 2009 A LAATAOUI 1 ) ORIENTATION DU PLAN Orienter n cercle, c'est choisir n sens de parcors sr ce cercle appelé sens direct ( o positif ) L'atre sens est appelé sens indirect (négatif o rétrograde) Orienter le plan, c'est orienter tos les cercles d plan dans le même sens L'sage est de choisir por sens direct le sens contraire des aigilles d'ne montre ( appelé assi sens trigonométriqe ) Un cercle trigonométriqe est n cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1 Dans la site d chapitre, on sppose qe le plan est orienté dans le sens trigonométriqe 2 ) ARCS ORIENTES A ) DEFINITION Soit (A, B) n cople de points d n cercle orienté ζ Il ya dex arcs de cercle d origine A et d extrémité B n et n sel de ces dex arcs est orienté conformément à l orientation d cercle, on l appelle arc orienté d origine A et d extrémité B, q on note AB Remarqe : Tot arc orienté AB détermine n niqe arc géométriqe appelé arc géométriqe associé à AB B ) MESURES ALGEBRIQUES D UN ARC ORIENTE ζ est n cercle orienté de rayon 1 (A, B) n cople de points distincts de ζ L est la longer de l arc géométriqe associé à AB L = r θ Où r = 1 et θ = AOB Soit M n point mobile qi se déplace sr ζ de A ers B Si le sens est direct alors ne mesre algébriqe de l arc AB est L + 2nπ Où n N Si le sens est indirect alors ne mesre algébriqe de l arc AB est L + 2mπ Où m Z On appelle mesre algébriqe de l arc orienté AB et on note mes AB tot réel de la forme L+ 2kπ ; k Z On conient qe mes AB = 2kπ, si et selement si A = B 1 Angles orientés 3 ème Maths wwwespacemathscom

2 Conséqences : ζ est n cercle orienté de rayon 1 (A, B) n cople de points distincts de ζ x et y sont dex mesres de AB, si et selement si, x - y = 2kπ L arc orienté AB possède ne niqe mesre dans [ 0,2π [, qi est la longer de l arc géométriqe associé Por tot point A de ζ et por tot réel x, il existe n point niqe B de ζ tel qe mes AB = x Notation : x - y = 2kπ, k Z est notée x y [ 2 π ] Actiité 2 page 29 : congrs modlo2π 3 ) ANGLES ORIENTES DE DEUX VECTEURS NON NULS A ) ENSEMBLE DES MESURES Le plan étant orienté dans le sens direct et étant dex ecters non nls On considère A et B les points définis par OA = et OB = Les demi-droites [ OA ) et [ OB ) copent le cercle trigonométriqe C respectiement en A et en B Les ecters OA= 1 et OB = 1 sont nitaires, respectiement colinéaires à et et de même sens q ex On définit les mesres en radian de l angle orienté de ecters nitaires ( OA, OB ) à partir de celles de l arc orienté AB Les mesres en radians de l angle orienté de ecters (, ) sont celles de l angle orienté de ecters nitaires ( OA, OB ) c'est à dire, celles de l angle orienté de ecters nitaires ( 1, 1 ) Il en réslte qe si x est ne mesre de (, ), alors les atres mesres sont de la forme x + 2 k π, k B A + B A O C Notation : La notation selle est (, ), mais s il n'y a acn risqe de confsion, on notera selement (, ) cet angle orienté Par abs de langage, on confond n angle et ses mesres 2 Angles orientés 3 ème Maths wwwespacemathscom

3 On écrit, par exemple, (, ) = π 2 signifiant q ne mesre de (, ) est π ; les atres mesres sont 2 alors de la forme π k π, k On écrit assi (, ) = π k π, k o encore (, ) π 2 [ 2 π ] B ) MESURE PRINCIPALE Une sele des mesres de l angle orienté de ecters (, ) appartient à l'interalle ] -π ; π ] ; On l'appelle mesre principale de l angle orienté de ecters (, ) Remarqe : La aler absole de la mesre principale de l angle orienté de ecters (, ) est la mesre de l angle géométriqe formé par ces dex ecters Ex : La mesre principale de ( BA, BC ) est π 3 + C La mesre principale de ( CA, CB ) est π 6 et ACB = π 6 ABC = π 3 La mesre principale de ( AB, AC ) est π 2 et BAC = π 2 B A C ) ANGLE NUL, ANGLE PLAT, ANGLES DROITS Soit et dex ecters non nls d plan orienté Dire qe et sont colinéaires reient à dire qe : Angle nl : la mesre principale de (, ) est égale à 0 ( et sont de même sens ) o Angle plat : la mesre principale de (, ) est égale à π ( et sont de sens contraire ) Dire qe et sont orthogonax reient à dire qe : Angle droit direct : la mesre principale de (, ) est égale à π 2 o Angle droit indirect : la mesre principale de (, ) est égale à π 2 3 Angles orientés 3 ème Maths wwwespacemathscom

4 Rem : Por tot ecter non nl, (, ) = 0 et (, ) = π 4 ) PROPRIETES DES MESURES DES ANGLES ORIENTES DE VECTEURS A ) RELATION DE CHASLES Soit, et w trois ecters non nls d plan orienté On a : (, ) + (, w ) = (, w ) En additionnant n importe qelle mesre de (, ) à n importe qelle mesre de (, w ), on obtient ne mesre de (, w ) Réciproqement, n importe qelle mesre de (, w ) est la somme d ne mesre de (, ) et d ne mesre de (, w ) Ex : Soit, et w trois ecters non nls d plan orienté tels qe + (, w ) = 5 π 6 et ( w, ) = π 3 w D après la relation de Chasles (, w ) + ( w, ) = (, ) On en dédit donc qe (, ) = 5 π 6 π 3 = = π 2 Les ecters et sont donc orthogonax B ) CONSEQUENCES DE LA RELATION DE CHASLES Soit et dex ecters non nls d plan orienté (, ) = (, ) = (, ) = (, ) = 4 Angles orientés 3 ème Maths wwwespacemathscom

5 Soit k et k dex réels non nls : si k et k sont de même signe, alors : ( k, k ) = si k et k sont de signes contraires, alors : ( k, k ) = Pree : 1 ) D après la relation de Chasles (, ) + (, ) = Or (, ) = 0 ; donc (, ) = 2 ) D après la relation de Chasles (, ) + (, ) = Or (, ) = π ; donc (, ) = 3 ) D après la relation de Chasles (, ) = (, ) + (, ) + ( -, ) 4 ) = = 2 π + (, ) Les mesres sont définis modlo 2 π, donc (, ) = Si k et k sont de même signe, le résltat décole de la définition Si k et k sont de signes contraires : D après la relation de Chasles, on pet écrire : ( k, k ) = ( k, k ) + ( k, k ) ( k, k ) = (, ) d après le résltat précédent k et k sont colinéaires et de sens contraire, donc ( k, k ) = π On en dédit le résltat Actiités 6, 7, 8, 9 page 36 : 5 Angles orientés 3 ème Maths wwwespacemathscom

6 5 ) CERCLE ET ANGLES A ) ANGLES INSCRITS ET ANGLES AU CENTRE Définition : Un angle est inscrit dans n cercle lorsqe son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recopent ce cercle ; l n de ses côtés pet être tangent a cercle AOB est n angle a centre associé à chacn des angles inscrits AMB et ANB AOB est l angle a centre associé à l angle inscrit TAB Théorème n 1 : ζ est n cercle de centre O dans le plan orienté dans le sens direct OA, OB 2 MA, MB 2π Por tos points A, M et B de ζ, on a : ( ) ( ) Si (AT) et tangente à ζ en A, alors : ( ) ( ) Théorème n 2 : ζ est n cercle dans le plan orienté dans le sens direct A, B, M et N qatre points distincts de ζ [ ] OA, OB 2 AT, AB 2π [ ] 6 Angles orientés 3 ème Maths wwwespacemathscom

7 Si M et N appartiennent à l arc orienté AB, alors MA, MB NA, NB 2π ( ) ( ) [ ] MA, MB NA, NB +π 2π Si M AB et N, alors : ( ) ( ) [ ] Actiité 3 page 38 : MA, MB θ [ 2π ] B ) ENSEMBLE DES POINTS M TELS QUE : ( ), θ kπ; k Z Actiité : A et B dex points distincts d plan orienté dans le sens direct π, [ 2 π ] [At) est la demi droite telle qe ( At AB) 1) Constrire le cercle ζ passant par A et B et tangent à [At) 3 2) Soit M n point de l arc orienté, déterminer ( MA, MB ) Théorème : [ ] L ensemble des points M d plan orienté tels qe ( ) MA, MB θ 2 π, et θ k π, k Z Est l arc d n cercle ζ passant par A et B et tangent à la demi droite [At) telle qe Cet arc est sité dans le demi plan de frontière (AB) ne contenant pas [At) ( ) At, AB θ [ 2 π ] Actiités 2 et 3 page 39 : 7 Angles orientés 3 ème Maths wwwespacemathscom

8 6 ) REPERE ORTHONORME Définition : Ex : Repère orthonormé Repère orthonormé Un repère orthonormé (O ; i, j) est : direct indirect direct, si l'ne des mesres de ( i, j ) est + π 2 indirect, si l'ne des mesres de ( i, j ) est π 2 Remarqe : On définit de la même façon ne base orthonormée directe Etant donné n ecter nitaire, il existe n niqe ecter nitaire tel qe (, ) soit ne base orthonormée directe Déterminant de dex ecters : Le plan est orienté dans le sens direct Soient et dex ecters non nls, et soit ' le ecter érifiant : On appelle déterminant de (, ) et on note dét (, ) le réel ' On conient qe si l n des ecters est nl, ler déterminant est nl Remarqes : = et ( ) dét (, ) = - dét (, ) dét (, ) = 0 et sont colinéaires Si (, ) est ne base orthonormée directe alors dét (, ) = 1 Si (, ) est ne base orthonormée indirecte alors dét (, ) = - 1 ' π, ' [ 2π ] 2 + Actiité 6 page 41 : 8 Angles orientés 3 ème Maths wwwespacemathscom