MASTER MENTION MATHEMATIQUES. Objectifs et programme

Transcription

1 MASTER MENTION MATHEMATIQUES Objectifs et programme Responsable de la formation : Jörg Wildeshaus Secrétariat Bureau D 203 Tél. : master-math@galilee.univ-paris13.fr Institut Galilée 99 av. J.-B. Clément Villetaneuse

2 Description générale du Master Mathématiques L'objectif du Master mention Mathématiques est de fournir aux étudiants une formation solide dans des domaines des mathématiques faisant l'objet de recherches actives. Les étudiants pourront alors s'engager dans la préparation de l'agrégation de mathématiques, intégrer une école d'ingénieur, s'orienter vers une activité professionnelle en l'industrie (à partir du M1), ou préparer une thèse de mathématiques pures ou appliquées (après le M2). Equipe pédagogique - Environnement recherche L'équipe pédagogique comprend des chercheurs qui jouissent d'une reconnaissance internationale. Les enseignants sont choisis parmi les membres du département de mathématiques ou du laboratoire d'analyse, Géométrie et Applications. Il est également fait appel à des experts extérieurs à Paris 13 dans la mesure où le sujet de leur activité s'insère dans la dynamique du Master. Le programme du M2 varie en fonction de l'actualité de la recherche et s'articule autour des grands thèmes suivants : Arithmétique et géométrie algébrique, Physique mathématique et équations aux dérivées partielles, Systèmes dynamiques et théorie ergodique, Topologie algébrique. Le programme est coordonné avec celui de la spécialité "Mathématiques fondamentales - option algèbre et géométrie" du Master Mathématiques de l'université Paris 6. Environnement recherche La bibliothèque du département de mathématiques est disponible pour accueillir les étudiants en Master. Les étudiants ont également accès au réseau informatique de l'institut Galilée. Conditions d admission Le recrutement en Master peut se faire au niveau de la 1ère ou de la 2ème année. Niveau M1 : l'entrée est ouverte à tout titulaire d'une licence mention ou spécialité Mathématique. Possibilité d'admission sur dossier pour d'autres cursus. Niveau M2 : l'admission se fait sur proposition du responsable, motivée par l'examen d'un dossier devant obligatoirement comporter le Master1 ou un diplôme équivalent, tel que les Maîtrises ne délivrant pas le Master1. La sélection s'opère sur les notes du Master1 obtenues par les candidats (en pratique des mentions sont exigées), et sur l'avis du jury du Master sur les capacités du candidat à suivre les enseignements de seconde année. Le jury décide alors de l'éventuelle admission du candidat. En cas d'acceptation, celui-ci a un entretien avec le responsable, durant lequel il expose ses motivations et ses choix pour l'avenir. Le choix des enseignements suivis se fait au cours de cet entretien. Retrait et dépôt des dossiers Les demandes de dossiers de candidature au Master Mathématiques sont disponibles, à partir du mois d avril, sur le site web de l Institut Galilée : www-galilee.univ-paris13.fr UNIVERSITE PARIS 13, INSTITUT GALILEE Secrétariat du Master Mathématiques, BUREAU D , Avenue J-B. Clément Villetaneuse Téléphone master-math@galilee.univ-paris13.fr Le dossier complet doit être envoyé avant le 30 juin à l'adresse ci-dessus. ou peut être déposé de 9h à 12h du lundi au vendredi au Bureau D 203, à la même adresse. 2

3 Description des semestres : Année M1 - Semestre 1 UE fondamentales Algèbre M Topologie UE à 4 crédits peut Géométrie différentielle 19, être remplacée par 1 Modèles aléatoires 1 19,5 19, UE au choix dans Analyse Hilbertienne et de Fourier 19, d autres masters Analyse fonctionnelle 19,5 19, Culture générale 1 UE culturelle (Anglais / Tech. d expression et de comm.) Année M1 - Semestre 2 UE fondamentales Mémoire 25, ,5 6 Algèbre M2 19,5 19, UE de parcours au EDP et distributions 19,5 19, choix parmi la liste cicontre Décisions statistiques 19,5 19, Processus stochastiques 19,5 19, Optimisation 19,5 19, UE culturelle Systèmes dynamiques 19,5 19, Culture générale 2 (Anglais / Tech. d expression et de comm.) Année M2 - Semestre 3 2 UE de parcours au choix parmi la liste ci-contre 1 UE de parcours au choix parmi la liste ci-contre UE culturelle Mathématiques fondamentales 1 * Mathématiques fondamentales 2 * Mathématiques fondamentales 3 * UE au choix dans d autres masters 9 Mathématiques approfondies 1 * Mathématiques approfondies 2 * Mathématiques approfondies 3 * UE au choix dans d autres masters 8 Culture générale 3 (Anglais / histoire des sciences) * Les cours porteront sur les thèmes suivants : - Arithmétique et géométrie algébrique - Modélisation et calcul scientifique - Physique mathématique et équations aux dérivées partielles - Probabilités, statistiques et traitement de l'image - Systèmes dynamiques, théorie ergodique - Topologie algébrique 3

4 Année M2 - Semestre 4 UE fondamentale Stage 30 Descriptif des unités Année M1 - Semestre 1 Algèbre M1 Polynômes symétriques, séries formelles Corps : extensions de corps, polynôme minimal, corps cyclotomiques, corps finis Correspondance de Galois Modules de type fini sur un anneau principal, applications au théorème de structure des groupes abéliens de type fini et à la réduction de Jordan des matrices Topologie Compléments de topologie : espaces topologiques, connexité, compacité, topologie-quotient, espaces séparés et normaux, espaces paracompacts, Groupes topologiques, surfaces Homotopie entre applications continues Groupe fodamental : exemples, revêtements, revêtement universel. Géométrie différentielle Propriétés affines et métriques des surfaces de R 3, formes fondamentales, calculs d'aire Sous variétés de R n : définitions, espaces tangents, exemples. Groupes classiques, application exponentielle Champs de vecteurs sur une partie ouverte de R n : flots, tracés d'orbites, aspects dynamiques. Exemples des champs de gradient et des champs hamiltoniens Théorème du puits et description de la structure locale au voisinage d'une singularité non dégénérée. Exemples de champs de vecteurs tangents à une sous-variété. Modèles aléatoires 1 Rappels de probabilités, fonction génératrice des moments ; propriété de Markov. Probabilités de transition ; lois invariantes et lois limites. Exemples de chaînes de Markov (marches aléatoires, modèles génétiques, files d'attente, chaînes de branchement, chaîne de naissance ou de mort. États transients, états récurrents. Temps et probabilité d'absorption. Temps moyen de première visite et de récurrence. Analyse Hilbertienne et de Fourier Compléments sur les espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes, séries de Fourier. Théorème de Riesz, dualité. Opérateur adjoint, opérateurs auto-adjoints, unitaires, normaux. Diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts, applications. Transformation de Fourier dans L^1 et dans L^2. Convolution. Analyse fonctionnelle Espaces fonctionnels : exemples classiques, théorème de Baire, de Banach-Steinhaus, du graphe fermé et de l application ouverte. Théorème d Ascoli. Dualité. Théorème de Hahn-Banach. Topologies faibles. Eléments de théorie spectrale des opérateurs. Culture générale S1 Techniques d expression et de communication Le projet professionnel à court et long terme. La connaissance de l entreprise (analyse des sites WEB des entreprises et des offres de stages). Le bilan des compétences et du stage d exécution. La recherche du stage immersion et du stage de fin d études : analyse des annonces, rédaction des lettres de motivation et CV, préparation et simulation d entretien de recrutement. La négociation. La rédaction du rapport de stage Anglais Entraînement systématique à la compréhension orale et à la prise de parole en continu (exposé, analyse personnelle argumentée). Traitement de l'information à partir de messages oraux et écrits de plus en plus complexes et orientés vers le domaine "sciences et technologie" (émissions de radio, de télévision, extraits de films, articles de presse). Recherche documentaire dans la presse scientifique et sur internet. Une approche interculturelle est développée dans une perspective d'ouverture à l'international. 4

5 Année M1 - Semestre 2 Algèbre M2 Introduction à l algèbre commutative : conditions de finitude, extensions entières d anneaux, norme, trace et discriminant. Introduction à la théorie des nombres : anneaux de Dedekind, corps de nombres, le groupe des unités est de type fini. EDP et distributions. Introduction à la théorie des distributions. Convolution, régularisation, distributions sur un ouvert. Distributions tempérées, transformation de Fourier et lien avec les espaces de Sobolev. Application à la résolution des équations aux dérivées partielles linéaires : laplacien, équation de la chaleur, équation des ondes. Processus stochastiques Conditionnement (espérance conditionnelle, lois conditionnelles). Vecteurs Gaussiens. Martingales à temps discret. Introduction aux modèles financiers discrets. Etude complète du modèle de Cox-Ross-Rubinstein. Décisions statistiques Problème d'estimation: Estimateur; Risque quadratique; Statistique exhaustive; Modèle Exponentiel. Construction d'estimateurs: Estimateur de substitution; Estimateur bayésien; maximum de vraisemblance; Information de Fisher et Inégalité de Cramer-Rao. Vecteurs Gaussiens : Loi X2; Théorème de Student; Théorème de Cochran. Intervalle et Région de confiance. Tests d'hypothèses : Lemme de Neyman-Pearson; Test du rapport de vraisemblance; Famille à rapport de vraisemblance monotone; Tests UPP; Théorème de Lehmann; Test de comparaison. Tests du X2; test d'ajustement. Optimisation Optimisation avec ou sans contraintes : convexité, lagrangien, dualité, points selles. Algorithmes pour l'optimisation sans contrainte : gradient, gradient conjugué, gradient conjugué non linéaire, régions de confiance... Algorithmes pour l'optimisation avec contraintes : Algorithmes de projection, Uzawa Systèmes dynamiques Systèmes dynamiques à temps discret ou à temps continu. Premiers exemples : problème des n corps, pendule, billard, décalage de Bernoulli, homéomorphismes du cercle. Flots sur les tores. Relèvement des applications continues, translations et endomorphismes linéaires des tores. Propriétés topologiques et ergodiques des systèmes dynamiques. Mesures invariantes, théorèmes ergodiques. Illustrations sur les exemples. Propriétés topologiques des flots, ensembles limites, sections de Poincaré globale et locale. Théorie de Poincaré-Bendinxon. Culture générale S2 Techniques d expression et de communication La communication dans l équipe de projet: le management d une équipe, la motivation et la délégation, la conduite de réunions, la gestion des conflits. Simulation d entretien en français et en anglais avec un consultant spécialisé dans le recrutement Anglais Les supports oraux et écrits sont orientés autour de deux axes : - le champ d'étude large de l'étudiant (documentation scientifique, conférences) - le domaine professionnel (introduction au monde de l'entreprise) La compréhension et l'expression orales sont privilégiées par des mises en situation visant à tester la capacité à interagir (l'anglais au téléphone, résolution de problèmes, participation à un projet). A partir de scénario "réalistes" les étudiants seront fortement incités à la prise de parole et à la production d'écrits (comptes-rendus, courriers divers présentation de travaux). Année M2 - Semestre 3 Mathématiques approfondies 1, 2, 3 Ces enseignements dont le contenu sera élaboré chaque année nécessiteront un travail personnel important. Il s'agira de cours devant permettre à l'étudiant d'acquérir des outils sophistiqués des mathématiques portant sur les thèmes suivants : 5

6 Arithmétique et géométrie algébrique Modélisation et calcul scientifique Physique mathématique et équations aux dérivées partielles Probabilités, statistiques et traitement de l'image Systèmes dynamiques, théorie ergodique Topologie algébrique Culture générale S3 Histoire des sciences Le cours d histoire de sciences de Master 2 aura pour thème principal l histoire du calcul infinitésimal de l antiquité au 18 ème siècle. L activité de base sera la lecture de textes anciens mathématiques. Toutefois, le cours ne sera pas trop spécialisé, afin de pouvoir intéresser un public plus large que les seuls étudiants en mathématiques. Ainsi, il comportera des chapitres sur les tablettes babyloniennes et sur l analyse en Inde au Kerala au 14 ème siècle. Par ailleurs, on donnera des ouvertures sur l histoire de la mécanique, ce qui est inséparable du calcul infinitésimal (avec Galilée et Descartes), mais aussi sur la statistique des fluides (avec Pascal) et sur la théorie de la lumière (avec Newton et Huygens). Mathématiques approfondies 4, 5, 6 Ces enseignements dont le contenu sera élaboré chaque année nécessiteront un travail personnel très important. Il s'agira de cours portant sur des sujets de recherche actuels autour des thèmes suivants : Arithmétique et géométrie algébrique Modélisation et calcul scientifique Physique mathématique et équations aux dérivées partielles Probabilités, statistiques et traitement de l'image Systèmes dynamiques, théorie ergodique Topologie algébrique Anglais Les supports oraux et écrits sont orientés autour de trois axes : - Les compétences de communication liées à l'emploi : savoir-faire et compétences répondant à la recherche de stage (CV, lettre de motivation, simulations d'entretiens d'embauche) - Les compétences de communication liées à la vie universitaire et la recherche : production d'écrits et de présentations orales (résumés de conférences, rédactions d'articles courts, "abstracts", présentations orales de travaux) - Une approche interculturelle sensibilise l'étudiant à une perspective d'échanges et d'insertion professionnelle dans des équipes multilingues. Année M2 - Semestre 4 Ce semestre est entièrement consacré au stage : sa durée est fixée à cinq mois, il fait l objet d une gratification (360 environ par mois), sous réserve de la validation du semestre 3. 6