Droites et Plans de l Espace

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1 Droites et Plans de l Espace 1 Rappels Depuis le début de l année, les figures de géométries étudiées sont planes : elles peuvent être représentée sans ambigüité et en vraie grandeur sur une feuille de papier, posée correctement sur un bureau. On dit que l on travaille dans le plan : on parle de points du plan, de droites du plan etc. Nous allons travailler dans ce chapitre sur des objets de l espace : il ne sera plus possible de donner sur le cahier une représentation des figures étudiées en vraies grandeurs. Nous en ferons des représentation en perspective selon quelques règles simples que nous découvrirons au fur et à mesure. Les objets élémentaires de la géométrie dans l espace sont les points, les droites et les plans. Ces notions nous sont familières et nous n allons pas les redéfinir. Pour leur étude, nous allons admettre un certain nombre de propriétés de base. Un point désigne un endroit précis. On le représente par un point (.) ou une croix ( ), et on lui donne un nom. Mais il faut bien comprendre qu il ne s agit que d une représentation de l objet théorique, point, qui n a pas d étendue. Une droite est un ensemble infini de points alignés, sans trous, qu on représente par un segment, et auquel on donne un nom souvent écrit entre parenthèses. Il faut bien comprendre qu il ne s agit que d une représentation de l objet théorique, droite, qui n a pas de largeur, et qui est illimité dans les deux sens. Un plan est un ensemble infini de points. La feuille de papier, le sol de la classe, sont de bonnes représentations d un plan. Lorsque l on veut représenter plusieurs plans de l espace, on représente chacun d entre eux par un parallélogramme, censé représenter un rectangle en perspective. Il ne s agit là que d une représentation de l objet théorique plan qui n a pas d épaisseur et est illimité dans tous les sens. Plan (P) Propriété : Les résultats de géométrie du plan sont applicables dans chaque plan de l espace. 2 Quelques axiomes d incidence Les axiomes 1 d incidence de la géométrie dans l espace sont des axiomes qui fournissent des relations entre les points, les droites et les plans de cette géométrie. (Axiome 1) Par deux points distincts A et B de l espace, il passe une et une seule droite. Cette droite est notée (AB). (Axiome 2) Par trois points non alignés, A, B et C, passe un et un seul plan. Ce plan peut être noté (ABC). (Axiome 3) Si A et B sont deux points d un plan P, alors la droite (AB) est incluse ou contenue dans ce plan ; on note (AB) P. Il en résulte qu un plan peut être défini par l une des conditions suivantes : trois points non alignés ; deux droites sécantes ; une droite et un point extérieur à celle-ci. 1. Le terme axiome désigne une proposition indémontrable, qui est évidente en soi. 2 de Géométrie dans l espace Page 1/6

2 2.1 Détermination d un plan de l espace 2.2 Coplanéité Définition : On dit que : 1. 4 points de l espace sont coplanaires lorsqu ils appartiennent à un même plan ; 2. 2 droites de l espace sont coplanaires lorsqu elles sont incluses dans un même plan. De plus, 4 points non coplanaires de l espace détermine un solide à 4 faces appelé tétraèdre. Remarques : 1. 2 points, 3 points sont toujours coplanaires droites non coplanaires ont une intersection vide droite et 1 point sont toujours coplanaires. 4. Si toutes les arêtes d un tétraèdre ont la même longueur, ce tétraèdre est dit régulier et ces faces sont des triangles Exercice 1. Créer le patron d un tétraèdre régulier dont l arête mesure 5 cm et monter ce tétraèdre. Exercice 2. Représenter un tétraèdre ABCD ; placer sur cette figure le milieu I de [AB] et le point J tel que AJ = 1 AC. 3 Expliquer pourquoi on peut écrire : (IJ) (ABC). 2 de Géométrie dans l espace Page 2/6

3 3 Positions relatives de droites et plans 3.1 Les différentes situations possibles Exercice 3. Soit un tétraèdre ABCD. 1. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes? 2. Soit I un point de [AC] distinct de A et C ; J un point de [BD] distinct de B et D. (a) Montrer que I et J sont distincts. (b) Les droites (IJ) et (AB) sont-elles coplanaires? 2 de Géométrie dans l espace Page 3/6

4 3.2 Parallélisme dans l espace Définition : Deux droites D et D de l espace sont parallèles lorsqu elles sont coplanaires et non sécantes. On a deux cas possibles : 1. D D = et on dit que D et D sont D = D et on dit que D et D sont On note alors : D//D. Attention! Le fait que deux droites aient une intersection vide ne suffit pas pour prouver que ces droites sont parallèles : ces droites peuvent être non coplanaires. Exercice 4. Soit un tétraèdre EF GH. On appelle R le milieu [EF], S le milieu de [GH], T le milieu de [EG], U le milieu de [FH], V le milieu de [EH] et W le milieu de [FG]. 1. Faire une figure. 2. Prouver que les segments [RS], [TU] et [V W] ont le même milieu. 2 de Géométrie dans l espace Page 4/6

5 Définition : Une droite D est parallèle à un plan P lorsque l on est dans l un des cas suivants : 1. D P =. 2. D P. On note alors dans cet ordre : D//P. Exercice 5. Soit D 1 et D 2 deux droites non coplanaires de l espace et A un point donné. Prouver qu il existe un unique plan P tel que : 1. A P 2. D 1 //P 3. D 2 //P Application Soit ABCD un tétraèdre et M ]AC[. On appelle P le plan passant par M et tel que (AB) et (CD) lui soient parallèles. Construire l intersection de ce plan avec les droites (BC), (BD) et (AD). En désignant par N, P et Q les points obtenus, déterminer la nature du quadrilatère MNPQ. 2 de Géométrie dans l espace Page 5/6

6 Définition : Deux plans P et P sont parallèles lorsque l on est dans l un des cas suivants : 1. P P =. 2. P = P. On note alors : P//P. Exercice 6. On considère un cube ABCDEFGH. Placer les points P, Q et R tels que EP = 1 EH, 4 EQ = 1 EF et CR = 1 CG et tracer la section de ce cube par le plan (PQR) de Géométrie dans l espace Page 6/6