Kooli Mohamed Hechmi

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1 Equations à coefficients complexes 4 eme Sc Expérimentales Dans tous les exercices le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct,,. Exercice 1 Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes les équations suivantes : = 0 ; = = 0 ; = 0 ; = 0 ; ; = 0 ; = 0 Exercice 2 Soit le nombre complexe = ) Calculer puis écrire sous forme trigonométrique. 2) en déduire la forme trigonométrique de et les valeurs exactes de cos Exercice 3 Répondre par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. et sin 1) Le nombre "cos # + sin # $# est un réel. 2) Les solutions dans C de l équation 6 + = 0 sont 1 + et ) Soit et deux nombres complexes non nuls. Si '() '() +2,- alors. = 4) L écriture exponentielle du nombre complexe / est "45 6 $. Exercice 4 1) a) Vérifier que 8 6 = 3. b) Résoudre dans C, l équation = 0. 2) Soit : un réel de +0,,-. On considère l équation 8 ; + / ; 0 2/1 2 3; 0 = 0 a) Vérifier que 2 est une solution de 8 ;. b) Déterminer l autre solution de 8 ;. 3) Soient < et = ; les points d affixes respectives 2 et 1 2 3; ; : +0,,-. a) calculer <= ; en fonction de :. b) Déterminer la valeur de : de +0,,- pour laquelle <= ; est maximale. Exercice 5 1) a) Vérifier que = 8 b) Résoudre dans C l équation : = 0 2) Soient les points <,? d affixes respectives : A = ; B = 1 et C = / / a) Vérifier que D E D F = " G H I J H $ D K D F b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe L

2 c) En déduire que le triangle est équilatéral. 3) Soit le point Ω d affixe Ω = 1 + et le point N symétrique du par rapport à Ω a) Vérifier que Ω est le milieu du segment +<?-. b) Placer les points <,?, et N. c) Montrer que le quadrilatère <@?N est un losange. d) Calculer l aire de ce losange. Exercice 6 1) Soit, dans C, l équation 8 2 3/ = 0. a) Vérifier que 1 est une racine de l équation 8. b) Déduire l autre racine de 8. 2) On considère les points < et? d affixes respectives A = O3 L On désigne par P le milieu de +<?- et on note Q l affixe de P. et B = A a) Donner la forme exponentielle de A et B b) Placer les points < ;? et P dans le repère O, u, v. 3) a) Montrer que le triangle OAB est isocèle et rectangle. b) En déduire que UP = et que "V W, UP $ = + 2X, ; X Z. c) Ecrire Q sous la forme algébrique et en déduire la valeur exacte de cos Exercice 8 et sin 1) a) Vérifier que / 3 30 = b) Résoudre dans C l équation : / = 0 2) Soient les points < et? d affixes respectives : 2 et 3 a) Ecrire sous forme trigonométrique les complexes 2 et 3 b) Placer dans le plan les points < et? 3) a) Soit point du plan tel que <@ = U? déterminer l affixe du b) Montrer que le appartient au cercle de centre U et passant par < c) Montrer que le quadrilatère U<@? est un losange. Exercice 9 1) a) Déterminer le module et un argument du complexe : b) Résoudre dans C l équation : = on donnera les solutions sous la forme exponentielle 2) Soit V = a) Calculer V b) En déduire le module et un argument de V. Exercice 10 1) Résoudre dans C, l équation : = 0

3 2) Soit : -,,,+ et soit dans C l équation 8 : 21 + cos : cos : = 0 a) Résoudre dans C, l équation 8 b) Ecrire ses solutions et sous forme trigonométrique. 3) On désigne par = et = les points d affixes respectives et. En déduire que lorsque : varie dans -,,,+ les deux points = et = appartiennent à un même demi cercle que l on précisera. 4) Dans cette question on suppose que : = a) Calculer et. (On désigne par la solution dont la partie imaginaire est positive) b) Déterminer et construire les ensembles suivants : 8 = \= /. = _ et ` = a\= /. = 2 _b Exercice 11 1) Résoudre dans C l équation = 0. On désigne par <,?, < et? les points d affixes respectifs : 3 ; 5 ; 3 et ) a) Placer les points <,?, < et? b) Montrer que U<< et U?? sont des triangles rectangles et isocèles. 3) Soit = un point de la droite <? d affixe c. a) Montrer qu il existe un réel X tel que c = 5X + 2X 3. b) Montrer que les droites U= et <? sont perpendiculaires si et seulement si le point = est le milieu du segment +<?-. Vérifier que dans ce cas on a : <? = 2U=. Exercice 12 1) Résoudre dans C, l équation 8 : = 0. 2) On considère les points et N d affixes respectives 2 : 1 ; 3 et 3 + a) Placer les points et N. b) Montrer que le triangle <?N est isocèle. c) Montrer que les points? et N sont symétriques par rapport à la droite <@. d) Calculer l aire du triangle <?@ et en déduire l aire du quadrilatère <?@N. Exercice 13 1) a) Vérifier que = b) Résoudre dans C, l équation = 0 2) Déterminer dans C les solutions de l équation f = 0 On donnera les solutions sous forme trigonométrique. 3) Soient les points < et? d affixes respectives 1 + et 3 a) Placer les points < et?. b) le point d affixe 1 + g où g R, Déterminer g pour que <?@ soit un triangle rectangle

4 Exercice 14 1) Résoudre dans C l équation = 0 2) Soit : un réel de l intervalle i0, j, on considère dans C l équation : 8 ; 22 3; cos : + 2 3; = 0 a) Vérifier que 1 est solution de l équation 8 ; b) En déduire l autre solution de 8 ;. 3) On désigne par < et? les points d affixes respectives 1 et 2 3;. a) Déterminer l ensemble des points? quand : varie dans l intervalle i0, j. b) Déterminer l affixe du tel que U<@? est un losange. c) Déterminer les réels : pour que la mesure de l aire du losange U<@? soit égale à Exercice 15 1) On donne les points <,? d affixes respectives 3 + ; 3 + et 2 Montrer que le quadrilatère U<@? est un losange. 2) a) Résoudre dans C l équation = 0 b) Donner la forme exponentielle de chacune des solutions de (E). 3) Soit k = L a) Vérifier que k2 = 0 b) Déterminer les nombres complexes l et k tels que k = 2 + l + k. c) Résoudre alors l équation k = 0. Exercice 16 1) Résoudre dans C l équation = 0. 2) Soit dans C l équation 8 L = 0. a) Vérifier que 1 est une solution de 8. b) Trouver les nombres complexes ', m et n tel que : L = + 1 ' + m + n c) Résoudre alors dans C l équation 8. 3) Soient les points <,? d affixes respectives : 1 ; 1 et 2 + b) Montrer que le triangle <?@ est rectangle et isocèle. c) Déterminer l affixe du point N pour que <?@N soit un carré. Exercice 17 1) a) Résoudre dans C l équation : = 0 b) Ecrire les solutions trouvées sous la forme exponentielle. c) En déduire les solutions de l équation : f = 0. 2) Soit l équation 8 : L + 2/ / = 0. a) Montrer que l équation 8 admet une unique solution imaginaire que l on déterminera.

5 b) On pose o = L + 2/ / Déterminer les complexes ', m et n tel que : C ; o = + 2 ' + m + n c) Résoudre alors l équation 8. 3) Dans le plan complexe, on considère les points <,? d affixes respectives : A = 2 ; B = 3 + et C = 3 b) Montrer que le quadrilatère U<?@ est un losange. Exercice 18 Soit o = L ; C 1) a) Montrer que o = 0 admet une solution imaginaire que l on déterminera. b) Déterminer les complexes ', m et n tel que C ; o = ' + m + n. c) Résoudre alors l équation : o = 0 2) On considère les <,? d affixes respectives A = ; B = et C = 2 b) Montrer que les points <,? sont alignés 3) a) Montrer que U?@ est un triangle isocèle. b) Déterminer l affixe q du point N pour que U?N@ soit un losange. Exercice 19 1) Soit l équation complexe 8 : L + / 30 + / = 0 a) Montrer que l équation 8 admet une solution imaginaire que l on déterminera. b) Déterminer les nombres complexes ', m et n tel que tel que C on a : L + / 30 + / = + ' + m + n c) Résoudre dans C l équation 8. 2) Soit : -0,,+. a) Résoudre dans C l équation 8 ; ; 22 3; + 2 sin : 2 3; = 0 b) Vérifier que les solutions de 8 ; s écrivent sous la forme : "2 cos ; $ 23r s et "2 sin ; $ 23"r s O5 s $ c) Déterminer alors les solutions de l équation 8 ; ; f 22 3; + 2 sin : 2 3; = 0