LES NOMBRES COMPLEXES

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1 S.A.Q LES NOMBRES COMPLEXES Aperçu historique Définition Module d'un nombre complexe Argument d'un nombre complexe Nombre complexe et géométrie Ensemble des points M dont l'affixe z vérifie une propriété Résolution d'une équation du premier degré dans l'ensemble Résolution d'une équation du premier degré en z et Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels Différentes propriétés sur les nombres complexes Différentes formes d'un nombre complexe Nombres complexes et transformations Inversion complexe ( bac ++ ) Les formules de Moivre et d'euler Racines carrées d'un nombre complexe (bac ++) Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes (bac++) Racines n-èmes d'un nombre complexe (bac ++) Nombres complexes de module 1 ( bac ++) Racines n-èmes de l'unité ( bac++) Racines n-ièmes primitives de l'unité (bac++) Fonction (bac++) Image d'un nombre complexe par une fonction numérique Calcul rapide de distances et mesures d'angle Elhadj Malang DIEDHIOU Apprenti scientifique Document diffusé via le blog 1

2 Aperçu historique formule de cadran C'est par l'étude des équations du troisième degré que les algébristes italiens du 16 ème siècle introduisent les nombres complexes qu'ils vont appeler au début nombres "impossibles". Ils vont écrire des symboles tels que ou a est un réels strictement positif. Soit l'équation du troisième degré : x3 + bx2 + cx + d = 0 Cette équation se transforme en X3 + px + q = 0 En faisant le changement de variable : X = x + b/3 Ensuite, on fait un nouveau changement de variable en posant X = u + v, on obtient u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 Le changement de variable X = u + v laisse une liberté pour le choix d'une des variables u ou v, on peut donc imposer que 3uv + p = 0. On obtient deux conditions : Les nombres u3 et v3 sont les solutions de l'équation du second degré : Cette équation admet des solutions dans le cas ou sont discriminant : Ce qui se produit si 27q² + 4 p3 est positif. ce dernier nombre est en quelque sorte un discriminant. ce qui conduit à dans ce cas : il en résulte donc la très esthétique formule de Cardan : Exemple avec l'équation x x x + -3 = 0 2

3 Vous pouvez essayer avec d'autres équations, c'est ce qu'on fait les algébristes Italiens du 16 e siècle ils ont vu que certaines équations admettaient pourtant des solutions comme par exemple l'équation x3 + 6x2-3x - 26 = 0 qui admet 2, comme solution mais le discriminant est négatif. La notation sera finalement remplacée par le nombre i et j en sciences physiques (le problème est que le nombre j en maths est le nombre complexe : j est en maths une des racines cubiques de l'unité c'est à dire j3 =1, les autres racines de l'unité sont 1 et j²) En appliquant les règles algébriques habituelles avec Bombelli, l'un des algébristes remarque que : Il peut alors résoudre l'équation X3-15X - 4 = 0 en appliquant la formule de Cardan et les résultats précédents. En utilisant la formule de Cardan : C'est à dire 4 est une solution de l'équation X3-15X - 4 = 0 (4 est une racine du polynôme X3-15X - 4) Activités d approche 1) Résoudre l équation z² + 1 = 0 d inconnue z dans R 2) On suppose qu il existe un ensemble que l on notera C contenant l ensemble R tel que cette équation admet au moins une solution, soit i cette solution, peut-on donner une valeur réelle pour i?, pour i²? 3) Tout élément de cet ensemble C est un nombre complexe par définition et on admet que la somme, le produit de deux nombres complexes est un nombre complexe. a) Quels sont parmi les nombres suivants ceux qui sont des nombres complexes : 3

4 -3 ; i² ; i ; 5 + i ; 0 b) Quels sont parmi les nombres suivants ceux qui sont des nombres réels : -3 ; i² ; i ; 5 + i ; 0 4) On suppose que toutes les propriétés algébriques dans R peuvent être reprises dans C ( exemples : pour tous nombres z et z appartenant à C on a : * ( z + z )² = z² + 2zz + z ² * (z z )(z + z ) = z² - z ² * z 0 = 0 z = 0 * z 1 = 1 z = z etc. ) Simplifier les expressions suivantes : A = 4i² ; B = (1 i)(1 + i) ; C = (1 + 2i)² a) Quels sont parmi A, B, C, les nombres qui sont des nombres complexes? b) Quels sont parmi A, B, C, les nombres qui sont des nombres réels? c) Quelle est la forme générale d un nombre complexe? 5) Peut-on toujours exprimer un nombre réel quelconque en fonction de i? exemple exprimer en fonction de i les nombres réels suivants : 3 ; -5 ; 2 ; 2 6) Mettre les nombres suivants sous la forme i² où est un nombre réel -1 ; -9 ; - 4 ; -3 ; 1 ; 9 ; 7) On considère l équation z² - 2z + 2 = 0 à résoudre dans C a) Vérifier que cette équation n a pas de solution dans R b) Vérifier que les nombres : z = 1 i et z = 1 + i sont des solutions de cette équation dans C c) Pour montrer que ce sont bien les deux seules solutions dans C Mettre le polynôme z² - 2z + 2 sous la forme canonique Mettre l expression z² - 2z + 2 sous la forme d une différence de deux carrés ( utiliser 6 ) ) et résoudre l équation dans R. Définition L'ensemble des nombres complexes noté C est l'ensemble des nombres de la forme z = a + bi ou a et b sont des réels quelconques et i un nouveau nombre tel que i²= -1. 4

5 Le nombre a est appelé partie réelle de z et noté parfois Re(z) Le nombre b est appelé partie imaginaire de z et noté parfois Im(z). La forme z = a + bi est appelée forme algébrique de z. Si z = bi ou b est un réel, le nombre complexe z est appelé un imaginaire pur, Si z = a ou a est un réel, le nombre complexe est réel. *On admet que l'on peut définir sur cette ensemble C, une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans R, en tenant compte que i² = -1. Module d'un nombre complexe Définition : Soit z = a + b i ( où a et b sont deux nombres réels ) un nombre complexe sous la form algébrique, on appelle module du nombre complexe z, le nombre réel défini par : Remarques : - le module d'un nombre complexe est un réel positif. - deux nombres complexes distincts peuvent avoir le même module. - le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue, c'est pour cela qu'on conserve la notation avec les deux barres " x ". Exemples de calculs : Argument d'un nombre complexe Définition : Soit z = a + b i ( où a et b sont deux nombres réels non nuls tous deux ) un nombre 5

6 complexe non nul sous la forme algébrique, on appelle argument du nombre complexe z, le nombre réel défini par : où z est le module du nombre complexe z. Remarques : - le nombre complexe 0 n'a pas d'argument. - un nombre complexe non nul admet plusieurs arguments, c'est pour cela que dans u énoncé vous trouverez la question : " déterminer le module et un argument " ( il y a u seul module et plusieurs arguments ) - un argument du nombre complexe z se note arg(z) - l'argument d'un réel non nul est de la forme k où k est un entier relatif. - l'argument d'un imaginaire pur est de la forme k /2 où k est un entier relatif. Exemples de calculs : 6

7 Nombres complexes et géométrie Affixe et image Soit P le plan muni d'un repère orthonormal direct Le point M, de coordonnées (a ; b), est appelé image du nombre complexe z = a + bi, et le vecteur est l'image vectorielle de z. On le note parfois M(z) l'image de z. Le nombre z est appelé affixe du point M(x ; y) et aussi l'affixe du vecteur Addition de deux nombres complexes Soient z et z' deux nombres complexes et s = z + z' leurs sommes. L'image vectorielle de s est la somme vectorielle des image vectorielle de z et z'. Opposé d'un nombre complexe Deux nombres complexes opposés z et -z ont des images symétrique par rapport à l'origine O d repère. 7

8 Multiplication d'un nombre complexe par un réel Si z et z' sont deux nombres complexes et k un réel non nul tels que z' = k z sont les affixes de deux points M et M', le point M ' est l'image du point M par l'homothétie de centre O est de rapport k. Conjugué d'un nombre complexe Si z = a + bi ( ou a et b sont deux réels ), le conjugué de z est le nombre complexe noté = a - b i. Deux nombres complexes conjugués ont leurs images respectives symétrique par rapport à l'axe des réels ( axe des abscisses ) Module et argument d'un nombre complexe Soit z un nombre complexe non nul. On appelle module et argument du module du nombre complexe z = a + bi, les nombres réels et défini par : 8

9 *attention le nombre complexe 0 n'a pas d'argument. Si M est l'image de z alors le module de z est égale à la distance OM et est une mesure de l'angle de vecteurs Distance AB Soient A et B deux points du plan complexes d'affixes respectifs za et zb la distance AB est le module du nombre complexe zb - za : AB= zb - za Pour démontrer qu'un triangle est équilatéral, isocèle ou rectangle, on peut donc calculer les longueurs côtés du triangle et utiliser les définitions ou propriétés géométriques courantes pou conclure. Exemple : on veut calculer la distance AB sachant que A et B ont pour affixes respectivement 1 + i et 3 +i Affixe d'un vecteur Soient A et B deux points du plan complexes d'affixes respectifs za et zb l'affixe du vecteur est le nombre complexe zb - za 9

10 Affixe du milieu d'un segment Soient A et B deux points du plan complexes d'affixes respectifs za et zb l'affixe du milieu K du segment [AB] est le nombre complexe zk d'affixe : Angle orienté : Soient A et B deux points du plan complexes d'affixes respectifs za et zb l'argument du nombre complexe zb - za est égal à la mesure de l'angle de vecteurs 10

11 Plus généralement si et sont deux vecteurs d'affixes non nuls z et z', alors : Ensemble de points dont l'affixe vérifie une propriété On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal. Avant tout ce qu'il faut comprendre, c'est la correspondance entre les nombres complexes et le plan. toute propriété sur des nombres complexes corresponds une propriété sur les images de ces nombres complexes. A un nombre complexe correspond un point ou un vecteur. A un module de nombre complexe correspond une distance ou une norme de vecteur. A un argument de nombre complexe correspond une mesure d'angle orienté de vecteurs. Exemples d'ensembles de points : Ensemble des points M d'affixe z tels que : z = R où R est un nombre réel strictement positif. Cet ensemble est le cercle de centre O et de rayon R. 11

12 Explication : Ensemble des points M d'affixe z tels que : où z A est l'affixe d'un point A du plan et R est un nombre réel strictement positif. Cet ensemble de point est le cercle de centre A et de rayon R. Explication : Ensemble des points M d'affixe z tels que où z A et z B sont les l'affixes respectifs de deux points A et B distincts du plan. Cet ensemble d points est la médiatrice du segment [AB] 12

13 Explication : Ensemble des points M d'affixe z tel que A r g (z) = Cet ensemble est une demi droite d'origine O ( O non compris dans la demi droite ) et dont l'angle avec l'axe (O ; ) mesure radians. Explication : z est l'affixe du vecteur Arg(z) est une mesure de l'angle ( ; ) l'ensemble des points M tels que A r g (z) = est l'ensemble des points M tels que mes ( ; ) = Ensemble des points M d'affixe z tels que où z A est l'affixe d'un point A et est un réel. 13

14 Cet ensemble est une demi droite d'origine A (A non compris dans cette demi-droite ) et dont l'angle avec la parallèle à l'axe des réels passant par A mesure radians. Explication : L'ensemble des points M d'affixe z tel que z est réel est l'axe des réels. L'ensemble des points M d'affixe z tel que z est un imaginaire pur est l'axe des imaginaires purs Résolution d'une équation complexe du premier degré ou s'y ramenant La difficulté avec ce type d'équation est la présence du nombre i, sinon les propriétés sont les mêmes dans l'ensemble des nombres réels. Exemple, on veut résoudre l'équation dans l'ensemble : on cherche les conditions de résolution, il faut que z soit différent de i, et ensuite on résoud : 14

15 Résolution d'une équation avec z et le conjugué de z Pour résoudre ce type d'équation, il suffit de poser z = a + bi donc = a - bi ( où a et b sont deux réels ) et d'utiliser la propriété : un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulle, ou bien la propriété : deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. Exemple 15

16 Résolution d'un équation du second degré à coefficients réels dans l'ensemble des nombres complexes Méthode pour résoudre l'équation a z² +b z + c = 0 dans l'ensemble des nombres complexes (ou a, b, c sont trois réels tels que a non nul ), les résultats sont les mêmes que dans sauf dans l cas ou le discriminant est strictement négatif. Si b² - 4ac < 0 l'équation a z² +b z + c = 0 admet deux solutions complexes conjuguées : L'expression " " peut gêner, en pratique vous n'avez pas besoins de le mettre voyez plutôt la méthode ci-dessous : on veut résoudre dans l'équation z² + 2z + 5 = 0 le discriminant de cette équation b2² - 20 = -16 strictement négatif, plutôt que de vous emmêlez les pinceaux, pensez 16 i ² = (4 i )² au lieu de - 16 et appliquez la même méthode que dans : 16

17 que l'on peut simplifier dans ce cas z 1 = -1-2i, z 2 = i Propriétés des nombres complexes Propriétés sur les modules : z et z' sont deux nombres complexes. Remarque : si le nombre z est réel alors son module est égal à sa valeur absolue. Si z 1 et z 2 sont les deux affixes de 2 points A et B alors la distance AB est égale au module de z 2 - z 1 AB = z 2 - z 1 et le vecteur a pour affixe z 2 - z 1 : (z 2 - z 1 ) Propriétés sur les arguments : 17

18 Propriétés sur les conjugués : rentes formes d'un nombre complexe me algébrique : ppelle forme algébrique d'un nombre complexe la forme z = a + bi ou a et b deux réels (on rappelle que i est tel que i² = -1) mples : 2 + 2i, 3i, -5i sont sous forme algébrique. ombres suivants ont été mis sous la forme algébrique 18

19 Forme trigonométrique : (cos + i sin ) ou et sont deux réels mples de forme trigonométrique : Forme exponentielle : ou et sont deux réels mples de forme exponentielle : ment passe -t-on d'une forme à l'autre? forme algébrique à la forme trigonométrique ou à la forme exponentielle : alcule le module et un argument de z = a + bi sinus et le sinus sont en général des valeurs remarquables correspondantes aux angles de res connues. mplace les valeurs dans la première expression ( forme trigonométrique ) ou la seconde expression e exponentielle ) de z 19

20 forme trigonométrique à la forme algébrique : (cos + i sin ) il suffit de remplacer cos et sin par leurs valeurs en général ce sont aleurs remarquables et de développer ensuite. ( voir exemple ci-dessous ) forme trigonométrique à la forme exponentielle et inversement : fit d'utiliser : mple : Nombres complexes et transformation 20

21 Translation Soit b un nombre complexe fixé, f l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z + b. est la translation de vecteur d'affixe b. Pour comprendre : on a z' - z qui l'affixe du vecteur et b qui est l'affixe d'un vecteur donc = ce qui correspond bien à la définition de M pour image M' par la translation de vecteur Rotation de centre O Soit a un nombre réel fixé, f l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z tel que z' = z e ia est la rotation de centre O l'origine du repère et d'angle a. Pour comprendre : on a z'/z = e ia, donc z' / z = 1 donc OM' = OM de plus : Arg(z'/z) = a donc ( ; ' ) = a, ce qui correspond bien à la définition de la rotation de centre O. Exercice interactif Rotation de centre ( ) Soit a un nombre réel fixé, l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z tel que z' - = (z - )e ia. est la rotation de centre ( ) et d'angle a. 21

22 De façon plus générale, si a est un nombre complexe de module 1 et différent de 1 et b est un nombre complexe quelconque, l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affi z' = az + b est une rotation de centre le point ( ) tel que = a + b. Homothétie de centre O et de rapport k Soit k un réel non nul, et l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' t que z' = kz est l'homothétie de centre O et de rapport k. Pour comprendre : on a z' = kz or z' est l'affixe du vecteur et z' l'affixe du vecteur ' don on a : ' = k, ce qui correspond bien à la définition d'homothétie de centre O. Homothétie de centre ( ) et de rapport k Soit k un réel non nul, et un nombre complexe, l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que z'- = k(z - ) est l'homothétie de centre ( ) et de rapport k. Pour comprendre : on a z'- = k(z - ) or z'- est l'affixe du vecteur et z - l'affixe du vecteur ' donc on a : ' = k, ce qui correspond bien à la définition d'homothétie de centre. De façon plus générale, si a est un nombre réel différent de 1 et b est un nombre complexe quelconque, l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = az + b est un homothétie de centre le point ( ) tel que = a + b. Similitude directe de centre ( ) de rapport k et d'angle a Soit k un réel positif, un nombre complexe et a un réel, l'application f qui à tout point M d'affix z associe le point M' d'affixe z' tel que z'- = ke ia (z - ) est la similitude directe de centre ( ), de rapport k et d'angle de mesure a. ( il suffit d'utiliser la composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre ) De façon plus générale, si a est un nombre complexe non nul l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = az + b est une similitude directe de centre le point ( ) tel que = a + b de rapport a et d'angle a = Arg(a). Exemples Symétrie orthogonale d'axe, l'axe des réels : L'application qui à tout point M du plan d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = est la symétrie orthogonale d'axe l'axe des réels. 22

23 Inversion complexe Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O ; ; ). Définition : C'est l'application du plan qui à tout point M différent de O fait correspondre le points M que : OM OM' = 1 les demi-droites [OM) et [OM') sont symétrique par rapport à l'axe des réels ( axes des abscis Traduction algébrique avec les nombres complexes : C'est l'application du plan qui à tout point M d'affixe z non nul on fait correspondre le point M' d'affi tel que z' = 1/z. Démonstration : si z et z' sont les affixes respectives de M et M' OM OM' = 1 si et seulement si z' z = 1 et Arg(z') = - Arg(z) [modulo 2 ] ce qui est équivalent à z z' = 1 et Arg(z z' ) = 0 [modulo 2 ] ou encore z z' = 1e i0 = 1 Propriétés : L'image d'une droite D ne passant pas par O par une inversion complexe est un cercle C privé point O 23

24 Démonstration : premier cas la droite D est parallèle à l'axe des ordonnées donc d'équation x = a le couple (a ; y) étant différent de (0 ; 0) sinon z' ne serait pas définis, il faut priver le cercle d point O. second cas la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et ne passe pas par l'origine donc d'équation y = ax + b avec b 0 24

25 pour des raisons analogues on exclut l'origine du repère de ce cercle. Cas ou la droite passe par l'origine du repère 25

26 Formules de Moivre et d'euler Formule de Moivre Pour tout entier relatif n et tout réel on a: (cos + i sin ) n = cos n + i sin n Formules d'euler Pour tout réel on a : Exemple : Utilisation pour linéariser un polynôme trigonométrique en utilisant la formule du binôme de New on donne (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a²b² + 4ab 3 + b 4 26

27 Racine carrée d'un nombre complexe Définition : soit Z un nombre complexe donné, on appelle racine carrée complexe de Z tout nombre complexe z, s'il existe tel que = Z Cette notion n'est surtout pas à confondre avec la racine carrée dans qui est unique contrairement à celle qui vient d'être défini Les écritures suivantes sont fortement déconseillées pour éviter justement l'amalgame entre les deux racines carrées : racine carrée d'un réel positif et racines carrées d'un nombre complexe. Voila une méthode permettant de déterminant les racines éventuelles d'un nombres complexes : le plus simple pour déterminer les racines carrées d'un nombres complexe Z de forme algébrique a + bi est de poser z = x + iy (ou et y sont des réels ) puis de résoudre le sytème d'équation à deux inconnues qui en résulte en effet : il est trés simple alors d'en déduire x² en ajoutant la première et la troisième équation puis en déduire les valeurs de x puis y. Exemple : on veut déterminer les racines carrées de 3 + 4i on en déduit deux racines carrées pour 3 + 4i : -2 - i et 2 + i 27

28 Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes L' équation az² + bz + c = 0 où a, b et c sont trois nombres complexes tels que a est un complexe non nul admet deux solutions : est une racine de qui peut être déterminée connaissant la forme exponentielle de ou en utilisan la méthode pour déterminer les racines carrées du nombre complexe. Nombres complexes de module 1 L'ensemble des nombres complexes de module 1 muni de la multiplication des nombres complexes groupe commutatif ( en effet (, ) est un sous groupe commutatif du groupe ( *, ) ) Propriétés : Pour tout nombre complexe z on a : z z = 1 L'ensemble des points M(x ; y) du plan complexe dont les affixes z appartiennent à est le cercle de centre O et de rayon 1 et réciproquement. Pour tout nombre complexe non nul le nombre complexe : z/ z appartient à. Racines n-ième de l'unité Voir définition de racine n-ième d'un nombre complexe. ( définition générale de racine n-ième ) Soit n un entier naturel au moins égal à 2, on considère l'ensemble des n racines n-ième de l'unité ( racines n-ième du nombre complexe 1) alors cet ensemble noté n est un groupe multiplicatif inclu dans l'ensemble des nombres complexe de module 1 : ( ; ). Le nombre 1 est le nombre de module 1 et dont un argument est 2 donc les racines de 28

29 l'unités sont les nombres tels que : ou k {0; 1;...; n -1} Par conséquent sont les termes consécutifs de la suite géométrique de raison et de premier terme dont la somme est nulle : que les nombres complexes sont les affixes respectifs des Sachant vecteurs on a :, il en résulte O isobarycentre des points M0, M1,...,Mn-1. Racines n-ièmes primitives de l'unité Les racines n-ièmes primitives de l'unité sont des racines n-ièmes particulières de l'unité : où k est premier avec n. Ces racines particulière engendre n l'ensemble des n racines n-ièmes de l'unité, leur nombre est égal à (n) ou est la fonction indicatrice d'euler. Pour comprendre voici des exemples : pour n = 1, (1)= 1, il y a donc une racine primitive de 1 qui est le nombre complexe 1 pour n = 2, il y a deux racines carrées de l'unité qui sont : mais (2)= 1 donc il y a une racine carrée primitive de l'unité qui est ici u 1 = -1, on remarque que u 2 = (u 1 )² ( c'est à dire que u 1 engendre l'autre racine ) pour n = 3, il y a trois racines cubiques de l'unité : les deux dernières u 1 et u 2 sont des racines cubiques primitives de l'unité, on remarque u 0 = (u 1 ) 3 = (u 2 ) 3 29

30 Remarque : Dans le cas ou n est premier, les racines n-ièmes primitives de l'unité sont les racines n-ièmes de l'unités, puisque k < n est toujours premier avec n. Fonction de R dans C Application L'application pour a = i correspond à la notation exponentielle d'un nombre complexe de module 1 et dont t est un argument, cette fonction est une application de dans. De façon plus générale on peut définir des applications f de dans : où les fonctions appelées applications composantes de fsont des fonctions numériques à valeurs dans. Etudier ce type de fonction revient à étudier les fonctions. On admet que la fonction f est continue sur si et seulement si ces applications composantes sont continues sur. On admet que la fonction f est dérivable sur si et seulement si ces applications composantes sont dérivables sur et dans ce cas : Application la définition de cette fonction se fait naturellement : Propriétés de cette fonction En reprenant les notations précédentes on peut déterminer la dérivée de cette fonction, puisque chacune de ces fonctions composantes est dérivables sur. 30

31 Si Re(a) = 0 ( partie réelle de a nulle ) la fonction est 2 -périodique. La fonction est continue sur. Application dans la recherche de certaines primitives On veut déterminer une primitive de la fonction g définie sur Définissons la fonction f de dans : g(x) est la partie réelle de f(x) soit G une primitive de g sur par alors G(x) = Re(F(x)) 31