Correction Composition de mathématiques n 1

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1 Page1 Correction Composition de mathématiques n 1 Exercice 1 Soit la fonction f définie sur [ 10 ; 7] par f(x) = x² + 2x Trouver la forme factorisée de f(x). a = 1 ; b = 2 ; c = 3 = 2² 4 ( 1) 3 = = 1 > 0 donc l équation ( 1) ( 1) 1 (5,5 points) admet 2 racines D où : f(x) = (x 3)(x + 1) 2. Dresser le tableau de variations de f(x) (des explications sont attendues) f est une fonction polynôme du second degré d équation du type ax² + bx + c, c est l équation d une parabole. De plus : a = 1 < 0 donc la parabole est tournée vers le bas. Calcul des coordonnées du sommet : α = b = 2 2 ( 1) = 1 β = f(α) = = 4 On obtient le tableau de variations suivant : x f(x) f( 10) = ( 10) ( 10) + 3 = 117 f(7) = = 32

2 Page2 3. Déduire le tableau de signes de la fonction. x x² + 2x Exercice 2 Résoudre dans R les équations suivantes : (4,5 points) 1/ 9x 2 42x + 49 = 0 (3x 7) 2 = 0 3x 7 = 0 x = 7 3 S = { 7 3 } 2/ 7x 2 + x + 8 = 0 a = 7 ; b = 1 ; c = 8 = 1² = = 223 < 0 donc l équation n admet pas de solution dans R. S = 3/ 4x² 12x+8 x 1 = 0 On résout l équation sur D = R\{1} Sur D, on a : 4x² 12x+8 x 1 a = 4 ; b = 12 ; c = 8 = ( 12)² = = 121 > 0 donc 2x 2 3x = 0 4x 2 12x + 8 = = 0 admet 2 solutions S = { 2; 7 2 } Exercice 3 (,5 points) Résoudre dans R les inéquations suivantes : 1/ 9x² + x > 1 9x² + x + 1 > 0 (3x + 1) 2 > 0 Or un carré est toujours positif ou nul et ici (3x + 1) 2 = 0 3x + 1 = 0 x = 1 3 S = ] ; 1 3 [ ] 1 3 ; + [

3 Page3 2/ (2 9x)² > (4x + 3)² (2 9x)² (4x + 3)² > 0 (2 9x 4x 3)(2 9x + 4x + 3) > 0 ( 13x 1)( 5x + 5) > 0 On obtient le tableau de signes suivant : x x x ( 13x 1)( 5x + 5) S = ] ; 1 [ ]1; + [ 13 1/ x² + x 1 0 2(3x 2 + 3x 8) 0 3x 2 + 3x 8 0 a = 3 ; b = 3 ; c = 8 = 3² 4 3 ( 8) = = 105 > 0 donc 3x 2 + 3x 8 = 0 admet 2 racines Comme a > 0, on obtient le tableau de signes suivant : x x² + 2x Donc S = [ ; ] Exercice 4 (3,5 points) Déterminer tous les réels a tels que l équation ax² + 12x + 1 = 0 admette deux solutions distinctes. ax² + 12x + 1 est un polynôme du second degré. Pour que l équation ax² + 12x + 1 = 0 admette deux solutions distinctes il faut que Δ > 0. Calculons Δ : = 12² 4 a 1 = 144 4a > a > 0 4a > 144 a < 144 a < 3 Donc pour que l équation ax² + 12x + 1 = 0 admette deux solutions distinctes il faut que a ] ; 3[ 4

4 Page4 Exercice 5 ( points) Une usine fabrique et vend des boîtes de jeux pour enfants. Après fabrication et la vente de x centaines de boîtes de jeux, le bénéfice net réalisé en un mois s exprime en euros par : B(x) = 10x² + 900x 210 pour x compris entre 3 et / Dresser le tableau de signes sur R de la fonction f x 10x² + 900x 210 = 900² 4 ( 10) ( 210) = = > 0 donc a = 10 ; b = 900 ; c = ( 10) ( 10) 3 10x² + 900x 210 = 0 admet 2 racines Comme a < 0, on obtient le tableau de signes suivant : x x² + 900x En déduire le tableau de signes de B(x). x x² + 900x / Déterminer la quantité de boîtes de jeux à fabriquer et à vendre pour que l entreprise réalise des bénéfices (c'est-à-dire pour avoir B(x) 0). Pour que B(x) 0, il faut produire entre 3 et 87 boîtes de jeu. 3/ Déterminer l abscisse du sommet de la parabole représentant f. En déduire la quantité de boîtes de jeux à fabriquer et à vendre pour que l entreprise réalise un bénéfice maximal et donner la valeur de ce bénéfice. On a : a = 10 < 0 donc la parabole est tournée vers le bas donc admet un maximum. L abscisse du sommet de la parabole correspond au calcul de α dans la forme canonique : α = b = ( 10) = 45 Donc l abscisse du sommet de la parabole est 45.

5 Page5 Donc la quantité de boîtes de jeux à fabriquer et à vendre pour que l entreprise réalise un bénéfice maximal est de 45. Le bénéfice alors réalisé est de : β = f(α) = = 1740 Exercice (,5 points) On donnera les arrondis au millième. Le tableau ci-dessous donne l évolution du revenu disponible brut des ménages en France de 2010 à 2013 : Année Taux en % 2,4 2 0,5-0,7 CM 1,024 1,02 1,005 0,993 Indice ,02 = ,005 = 102,51 102,51 0,993 = 101, Compléter la ligne des coefficients multiplicateurs dans le tableau. 2. En 2009, le revenu disponible brut des ménages en France était de 923 milliards d euros. Quel était le revenu disponible brut des ménages en France en 2010? Le revenu disponible brut des ménages en France a subi une augmentation de 2,4% sur cette période donc il passe en 2010 à : 923 1,024 = 945,152 Le revenu disponible brut des ménages en France en 2010 est donc de 945, On considère l indice base 100 en Calculer sur cette base l indice revenu disponible brut des ménages en France en 2011, 2012 et Si les détails n apparaissent pas, les résultats seront comptés faux. Il suffit de multiplier l indice du mois précédent par le coefficient multiplicateur. 4. Quel est le taux d évolution du revenu disponible brut des ménages en France de 2010 à 2013? Quel est ce revenu en 2013? Le taux d évolution du cours revenu disponible brut des ménages en France de 2010 à 2013 est de : 101, ,792% Le revenu disponible brut des ménages en France en 2013 est donc de : 945,152 (1 + 1, ) 92, Quel devrait-être le pourcentage d évolution du revenu disponible brut en 2014 pour que l indice à la fin de l année reprenne la valeur 100?

6 Page Donner alors le revenu disponible brut des ménages en France en On peut calculer le coefficient multiplicateur permettant de passe de l indice 101,792 à l indice 100 et en déduire le taux associé : CM = 100 0,9824 t = (CM 1) 100 (0,9824 1) 100 1,7 101,792 Si l on revient en 2014 à l indice 100 de 2010, le revenu disponible brut des ménages en France revient donc à celui de 2010 soit 945,152 2 ème méthode : Plus simplement on peut remarquer que si l on revient en 2014 à l indice 100 de 2010, le revenu disponible brut des ménages en France revient donc à celui de 2010 soit 945,152 et donc le taux d évolution est donné par : t = v f v i v i 100 = 945,152 92,089 92, ,7 Exercice 7 Pour chaque question, indiquer la seule bonne réponse ET le(s) calcul(s) à faire : (si les calculs n apparaissent pas, la question sera comptée fausse ) (7,5 points) 1. Pour un prix de 100, une augmentation de 2 correspond à : a. une hausse de 2% b. une hausse de 102% c. un produit par 0,02 Ancien prix : v i = 100 Nouveau prix : v f = 102 D où t = v f v i v i Ou t = (CM 1) 100 = ( 102 1) 100 = 2% = = 2% 2. Jean désire acheter une automobile qui, neuve, vaut Jean dit que l achat de l automobile représente 0% de son budget. Le budget dont dispose Jean est de : a b c d Soit x le budget dont dispose Jean. On a : x 0, = x = , = A 19h, dans un magasin qui fait nocturne, on compte clients et seulement 200 clients à 21h. La fréquentation a baissé, à 1 point près, de : a. 13% b. 75% c. 87% Ancien effectif : v i = 1500 Nouvel effectif : v f = 200 D où t = v f v i v i 87% t = (CM 1) 100 = ( 200 1) 100 0, % = Un prix TTC est de 129,90 avec une TVA de 19,%. Le prix HT, arrondi au centime, est de : a. 155,3 b. 110,30 c. 108,1 P HT 1,19 = P TTC P HT = P TTC 1,19 = 129,90 1,19 108,1

7 Page7 5. Une société de crédit propose un prêt de Le taux mensuel est de 0,9%, ce qui signifie que, chaque mois, la valeur dûe augmente de 0,9%. Le taux annuel correspondant, arrondi à une chiffre après la virgule est : a. 12,1% b. 10,8% c. 11,4% CMglobal = (1 + 0,9 100 )12 = (1 + 0,009) 12 1,1135 d où : t = (CM 1) 100 (1,1135 1) ,4