Racines carrées multiplicatives sur FPGA

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1 Racines carrées multiplicatives sur FPGA SympA 2009, Toulouse Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy projet Arénaire, LIP, ENS-Lyon/CNRS/INRIA/Université de Lyon

2 Introduction Introduction Racine carrée par récurrence Racine carrée multiplicatives Résultats Conclusion Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 2

3 Les FPGA de jadis... Dans la famille FPGA, le grand-père Des processeurs élémentaires une fonction arbitraire à 4 entrées (LUT) un bit de mémoire Du routage programmable. Bien pour faire des additions. Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 3

4 ... et d aujourd hui Dans la famille FPGA, le fils blocs DSP blocs RAM En plus, on a de petites mémoires (qq Kbits) exemple (Virtex4) : configurable de à bits des blocs DSP 1 à 4 petits multiplieurs (18x18 bits) quelques additioneurs ou accumulateurs, jusqu à 48 bits Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 4

5 La question du jour Pour calculer x, la plupart des bibliothèques d opérateurs actuelles n utilisent pas ces multiplieurs ni ces mémoires. Or on en a jusqu à 2000 sur la puce... Comment les utiliser? Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 5

6 Comment on calcule une racine carrée Sondage: Qui a appris à poser une racine carrée à l école? Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 6

7 Comment on calcule une racine carrée Sondage: Qui a appris à poser une racine carrée à l école? Heureusement vous avez appris à poser une division. Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 6

8 Comment on calcule une racine carrée Sondage: Qui a appris à poser une racine carrée à l école? Heureusement vous avez appris à poser une division. Le quotient de X par D, c est le nombre que, quand on le multiplie par D, on obtient X. Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 6

9 Comment on calcule une racine carrée Sondage: Qui a appris à poser une racine carrée à l école? Heureusement vous avez appris à poser une division. Le quotient de X par D, c est le nombre que, quand on le multiplie par D, on obtient X. La racine carrée de X, c est le nombre que, quand on le multiplie par lui-même, on obtient X. Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 6

10 Comment on calcule une racine carrée Sondage: Qui a appris à poser une racine carrée à l école? Heureusement vous avez appris à poser une division. Le quotient de X par D, c est le nombre que, quand on le multiplie par D, on obtient X. La racine carrée de X, c est le nombre que, quand on le multiplie par lui-même, on obtient X. Les algos sont dérivés de ces formulations Quand vous rencontrez un algo de division, il y a souvent un algo de racine carrée pas loin. Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 6

11 Algos pour le calcul de la racine carrée Deux grandes classes d algos classiques: Récurrence de chiffres (division comme à la main) Opération de base: addition Convergence: linéaire Itérations à la Newton/Raphson Opération de base: multiplication Convergence: quadratique Approximation polynomiale par morceaux (frontière floue avec la méthode précédente) Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 7

12 Pendant ce temps, et pour votre culture Que devient la famille des microprocesseurs? Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 8

13 Pendant ce temps, et pour votre culture Que devient la famille des microprocesseurs? Papy Pentium calcule toujours des racines carrées par récurrence de chiffres Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 8

14 Pendant ce temps, et pour votre culture Que devient la famille des microprocesseurs? Papy Pentium calcule toujours des racines carrées par récurrence de chiffres Tous les jeunes loups (AMD, Power/PowerPC, Itanium) calculent la racine carrée par des algos multiplicatifs Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 8

15 Pendant ce temps, et pour votre culture Que devient la famille des microprocesseurs? Papy Pentium calcule toujours des racines carrées par récurrence de chiffres Tous les jeunes loups (AMD, Power/PowerPC, Itanium) calculent la racine carrée par des algos multiplicatifs Comme quoi, on n est pas des originaux. Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 8

16 Racine carrée par récurrence Introduction Racine carrée par récurrence Racine carrée multiplicatives Résultats Conclusion Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 9

17 Faut-il vraiment montrer les maths? On va calculer S j = j s i β i i=1 et on aura S = S n on pose R j = β j (X S 2 j ) La récurrence : 1: R 0 = X 1 2: for j {1..n} do 3: s j+1 = Sel(βR j, S j ) ( on intuite s j+1 ) 4: R j+1 = βr j 2s j+1 S j s 2 j+1 β j 1 5: end for Deux remarques Le terme en bleu commence petit, et grossit L arrondi correct sera déduit du dernier R j Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 10

18 Bon, une démo, alors Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 11

19 Racine carrée multiplicatives Introduction Racine carrée par récurrence Racine carrée multiplicatives Résultats Conclusion Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 12

20 Approche polynomiale On n a étudié vraiment (jusqu à l implémentation) que la simple précision Grandes idées: Rechercher des multiplications par des nombres qui tiennent dans les blocs DSP (18x18 bits) Utiliser les blocs mémoires Ratio mult/mem proche de 1 Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 13

21 Approche polynomiale On n a étudié vraiment (jusqu à l implémentation) que la simple précision Grandes idées: Rechercher des multiplications par des nombres qui tiennent dans les blocs DSP (18x18 bits) Utiliser les blocs mémoires Ratio mult/mem proche de 1 Approximation polynomiale par morceaux L entrée fait 24 bits On utilise les 7 bits de poids fort i pour adresser 2 7 polynômes p i (y) = c i,0 + y (c i,1 + y c i,2 ) y est constitué des 17 bits de poids faible Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 13

22 exc s Symposium en quoi, déjà? e 7 exp e 0 f 1 f 7 f 8 f 23 8 A A D Table des coefficients 53 C 1 C Y 9 X 26 >>8-17 gestion des calcul de C 0 exceptions l exposant X exc s 0 Arrondi fidele Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 14

23 Approche polynomiale par morceaux Plein de détails dans le papier On part de nombres flottants, mais on se ramène à de la virgule fixe Deux fonctions à approcher selon la parité de l exposant cas pair: 1 + x pour x [0, 1) cas impair: 2 + x pour x [0, 2[ chaque intervalle coupé en 2 7 morceaux un polynôme de degré d = 2 pour chaque morceau Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 15

24 Approche polynomiale par morceaux Plein de détails dans le papier On part de nombres flottants, mais on se ramène à de la virgule fixe Deux fonctions à approcher selon la parité de l exposant cas pair: 1 + x pour x [0, 1) cas impair: 2 + x pour x [0, 2[ chaque intervalle coupé en 2 7 morceaux un polynôme de degré d = 2 pour chaque morceau Polynômes obtenus par Sollya, le couteau suisse à polynômes Merci à C. Lauter, S. Chevillard, M. Joldes et leurs chefs. Taille en bit des coefficients: 26, 17 et 9, soit 52 bits par polynôme Erreurs bornées en Gappa, l outil de preuve formelle pour les nuls Merci à G. Melquiond et son chef. Arrondi fidèle (précis au dernier bit) mais pas correct Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 15

25 Approche polynomiale: l arrondi correct La technique de Jeannerod et Revy Pour avoir l arrondi correct de la racine carrée sur p bits, il suffit d en avoir une approximation fidèle sur p + 1 bits. Il faudra l arrondir sur p bits. Vers le haut ou vers le bas? Pour décider, on la met au carré et on compare à X. Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 16

26 Sortez vos lunettes exc s exp e7 e0 f 1 f 7 f 8 f 23 8 A A D Table des coefficients 53 C1 C Y 9 X 26 >>8-17 X gestion des calcul de C0 exceptions l exposant exc s 0 Arrondi fidele fracx 1 01 X alignment de la fraction 0 1 exc s 0 Arrondi correct Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 17

27 Les autres approches multiplicatives (Newton/Raphson) Récurrence pour calculer 1/ X : Y n+1 = Y n (3 X Y 2 n )/2. 3 multiplications dépendantes On l initialise par une lecture de table Après il faudra encore multiplier par X Surcoût de l arrondi correct ici aussi Quelques rares implémentations que nous allons humilier tout de suite À suivre? Des prédictions de coût relativement fines dans l article Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 18

28 Résultats Introduction Racine carrée par récurrence Racine carrée multiplicatives Résultats Conclusion Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 19

29 Simple précision (flottants 32 bits) outil précision performance coût (mult,mem) CoreGen 0.5 ulp MHz 464 sl. FPLibrary 0.5 ulp MHz 345 sl. SRT@350MHz 0.5 ulp MHz 412 sl. SRT@200MHz 0.5 ulp MHz 328 sl. VFLOAT > 2 ulp 9 >300 MHz 351 sl., (9, 3) Poly Fidèle 1 ulp MHz 79 sl., (2, 2) Poly Correct 0.5 ulp MHz 241 sl., (5, 2) Altera (1/ x)? ALM, (11,?) Gain en latence et en slices de l approche polynomiale Langhammer dit: performance prédictible dans un FPGA chargé Conso? Coût exorbitant de l arrondi correct Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 20

30 En double précision (flottants 64 bits) outil précision performance coût (mult,mem) CoreGen 0.5 ulp MHz 2061 sl. FPLibrary 0.5 ulp MHz 1352 sl. SRT@300MHz 0.5 ulp MHz 1740 sl. SRT@200MHz 0.5 ulp MHz 1617 sl. VFLOAT > 2 ulp 17 >200 MHz 1572 sl., (24, 116) Poly Fidèle 1 ulp MHz 2700 sl., (24, 20) Altera (1/ x)? ALM, (27,?) Approches multiplicatives de moins en moins convaincantes On n a même pas essayé l arrondi correct. Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 21

31 Conclusion Introduction Racine carrée par récurrence Racine carrée multiplicatives Résultats Conclusion Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 22

32 Contributions Plutôt surpris Il semble difficile de profiter des blocs DSP pour calculer des racines carrées double-précision. En simple, cela marche car on se ramène à un chemin de donnée DSP (18 bits) Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 23

33 Contributions Plutôt surpris Il semble difficile de profiter des blocs DSP pour calculer des racines carrées double-précision. En simple, cela marche car on se ramène à un chemin de donnée DSP (18 bits) On a la meilleure racine carrée SRT du marché On a une très bonne racine carrée simple précision fidèle L arrondi fidèle sert surtout à construire des trucs comme x 2 + y 2 + z 2 yapuka. kinenveu? Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 23

34 Mais pourquoi vous n avez pas une racine carrée multiplicative générique comme les autres opérateurs? Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 24

35 Mais pourquoi vous n avez pas une racine carrée multiplicative générique comme les autres opérateurs? Parce que c était plus difficile... et qu on veut d abord faire un générateur de polynômes génériques (sqrt est une étude de cas pleine d enseignements) mais on va le faire. Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 24

36 Mais pourquoi vous n avez pas une racine carrée multiplicative générique comme les autres opérateurs? Parce que c était plus difficile... et qu on veut d abord faire un générateur de polynômes génériques (sqrt est une étude de cas pleine d enseignements) mais on va le faire.... vous n avez pas d abord étudié la division? Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 24

37 Mais pourquoi vous n avez pas une racine carrée multiplicative générique comme les autres opérateurs? Parce que c était plus difficile... et qu on veut d abord faire un générateur de polynômes génériques (sqrt est une étude de cas pleine d enseignements) mais on va le faire.... vous n avez pas d abord étudié la division? Parce que c était plus difficile... mais on va le faire. (quoiqu on est moins motivés maintenant) Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 24

38 Mais pourquoi vous n avez pas une racine carrée multiplicative générique comme les autres opérateurs? Parce que c était plus difficile... et qu on veut d abord faire un générateur de polynômes génériques (sqrt est une étude de cas pleine d enseignements) mais on va le faire.... vous n avez pas d abord étudié la division? Parce que c était plus difficile... mais on va le faire. (quoiqu on est moins motivés maintenant) Merci de votre attention. Autres questions? Florent de Dinechin, Mioara Joldes, Bogdan Pasca, Guillaume Revy Racines carrées multiplicatives sur FPGA 24