3.1 Suites mal dénies 3.2 Exercices se ramenant au cas où f est croissante 1.3 Cas où f est décroissante. 1 Résultats principaux du cours

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1 Application des critères de convergence des suites monotones à l'étude des suites récurrentes du type u n+1 = f(u n ) Plan de ce chapitre 1 Résultats principaux du cours 11 Conditions susantes assurant l'existence de tous les termes de la suite 1 Équation que vérie la limite éventuelle d'une suite récurrente 13 Étude de la monotonie Plan d'étude 3 Exercices 31 Suites mal dénies 3 Exercices se ramenant au cas où f est croissante 13 Cas où f est décroissante 1 Résultats principaux du cours Dans ce chapitre, on va appliquer les théorèmes de convergence monotone, duchapitre 7, à l'étude des suites réelles dénies par la donnée de leur premier terme u 0 R et d'une relation de récurrence du type u n+1 = f(u n ) où f est une fonction réelle donnée 11 Conditions susantes assurant l'existence de tous les termes de la suite 111 Problème d'existence de tous les termes de la suite Soit f une fonction réelle de domaine de dénition D f A quelle(s) condition(s), la relation ( ) u0 D f u n+1 = f(u n ) garantit-elle l'existence de tous les termes de la suite? Si D f = R, la relation (*) permet de dénir tous les termes de suite Si D f est stritement inclus R, la réponse à la question précédente est plutôt dicile Il faut évidemment que u 0 appartienne à D f Mais, ça ne sut pas Il faut également que u 1 = f(u 0 ) appartienne à D f, mais cela ne sut pas encore puisque la suite peut ne pas être dénie à partir du rang 3 comme le montre l'exemple suivant : u 0 = 3 et f(x) = 1 x On a alors u 1 = 1 3 = 1, u = 1 ( 1) = 1, u 3 = 1 1 = 0!!!!!! 1

2 Il est souvent inextricable de prétendre déterminer le plus grand sous-ensemble E de D f pour lequel la relation u0 E u n+1 = f(u n ) C'est pour éviter de calculer le fameux sous-ensemble E de D f qu'on se limite souvent à donner des conditions susantes qui garantissent que tous les termes de la suite sont bien dénis (ce qui revient à déterminer un sous-ensemble F inclus dans E) 11 Conditions susantes d'existence de tous les termes de la suite Commençons par la dénition suivante Dénition 1 Soit I un intervalle de R tel que I D f On dit que I est stable par f si f(i) I ; autrement dit, pour tout x I, f(x) I Théorème assurant l'existence de tous les termes de la suite Théorème 1 Soit I un intervalle inclus dans D f et stable par f Si u 0 I alors pour tout n 0, u n est bien déni et u n I Remarque 1 Soit I un intervalle inclus dans D f et stable par f S'il existe un entier n 0 N tel que u 0,, u n0 1 soient bien dénis, n'appartiennent pas eventuellement à I et u n0 I, alors pour tout n n 0, u n est bien déni et u n I Commentaire : Il est intéressant de rechercher de tels intervalles En eet, ils jouent le rôle d'une trappe pour la suite : dès qu'un terme de la suite tombe dans I, tous les termes qui le suivent y restent Il est préférable de se ramener à un intervalle I fermé, car alors la limite, si elle existe, appartient nécessairement à I 1 Equation que vérie la limite éventuelle d'une suite récurrente Théorème Soit I un intervalle inclus dans D f etbf stable par f On suppose que u 0 I Si f est continue sur I et si la suite (u n ) n 0 converge vers un réel l alors l I et il est solution de l'équation f(l) = l Dénition Les solutions de l'équation f(x) = x s'appellent points xes de f ATTENTION : Le théorème précédent permet de déterminer la limite d'une suite si on sait, par ailleurs, qu'elle est convergente, ou de prouver qu'une suite n'a pas de limite nie D'autre part, l'équation f(x) = x peut avoir plusieurs solutions et il faut savoir déterminer la limite, quand elle existe, de la suite parmi toutes les solutions car une suite ne peut avoir plus d'une limite

3 13 Étude de la monotonie d'une suite récurrente Dans tout ce qui suit, I désigne un intervalle STABLE par f et (u n ) n 0 la suite récurrente dénie par : u0 I Théorème 3 u n+1 = f(u n ) 1 Si pour tout x I, f(x) x alors la suite (u n ) n 0 est croissante Si pour tout x I, f(x) x alors la suite (u n ) n 0 est décroissante Théorème 4 Si f est croissante sur I, alors la suite (u n ) n 0 est monotone, plus précisément si u 0 u 1 alors (u n ) n 0 est croissante ; si u 0 u 1 alors (u n ) n 0 est décroissante Théorème 5 Si f est décroissante sur I, alors la suite (u n ) n 0 n'est pas monotone Par contre les suites extraites (u n ) n 0 et (u n+1 ) n 0 sont monotones et varient en sens contraire Plan d'étude d'une suite dénie par la donnée de u 0 et la relation u n+1 = f(u n ) 1 Tableau de variation de f et graphe de f Brève étude de f(x) x pour préciser : - les points xes de f, - le signe de f(x) x si f est croissante 3 Le graphe de f permet de visualiser le comportement de la suite (u n ) n N et de choisir les intervalles stables intéressants 4 Étude de la suite (u n ) n N Si f est croissante sur un intervalle stable I contenant u 0 ou u n0 alors la suite est monotone et les théorèmes de convergence des suites monotones permettent de conclure Pour la mise en oeuvre, voir exercices Si f est décroissante sur un intervalle stable I contenant u 0 alors la suite (u n ) n N n'est pas monotone mais les sous-suites (u n ) n N et(u n+1 ) n N sont monotones, de sens de montonie contraires On étudie alors les deux suites récurrentes a0 = u 0 a n+1 = g(a n ) et b0 = u 1 b n+1 = g(b n ) où g = f f Pour cela, on - calcule g, - détermine les points xes de g (en remarquant que si α est un point xe de f, c'est aussi un point xe de g mais la réciproque est, en général, fausse), - étudie le signe de g(x) x La suite (u n ) n N est convergente si et seulement si les suites (a n ) n N et (b n ) n N sont adjacentes Pour la mise en oeuvre, voir exercices 3

4 3 Exercices 31 Suites mal dénies Exercice 1 On considère la fonction f dénie sur ]0; + [ par f(x) = ln x et la relation u n+1 = f(u n ) 1 Déterminer u 0 ]0; + [ pour que u 1 soit bien dénie et u ne soit pas bien dénie Déterminer u 0 ]0; + [ pour que u 1, u, u 3 et u 4 soient bien dénis et u 5 ne soit pas bien déni 3 Soit N N ; déterminer u 0 ]0; + [ pour que u 1, u,, u N soient bien dénis et u N+1 ne soit pas bien déni Corrigé Il est clair que la fonction f est une bijection de ]0; + [ sur R et a pour bijection réciproque la fonction exponentielle qu'on notera h De plus, u n+1 = f(u n ) h(u n+1 ) = u n 1 Déterminons u 0 ]0; + [ pour que u 1 soit bien dénie et u ne soit pas bien dénie Comme f(]0; 1]) =], 0[, il sut de choisir u 0 ]0; 1] ; dans ce cas u 1 = ln(u 0 ) ] ; 0] et donc ln(u 1 ) n'a pas de sens Déterminons u 0 ]0; + [ pour que u 1, u, u 3 et u 4 soient bien dénis et u 5 ne soit pas bien déni Il sut de choisir u 0 pour que u 3 ]0; 1] Dans ce cas, u = h(u 3 ), u 1 = h(u ) = h h(u 4 ) et u 0 = h(u 1 ) = h h h(u 3 ) 3 Soit N N ; déterminons u 0 ]0; + [ pour que u 1, u,, u N soient bien dénis et u N+1 ne soit pas bien déni Il sut de choisir u 0 pour que u N ]0; 1] Dans ce cas, u N 1 = h(u N ), u N = h h(u N ),, et enn u 0 = h h(u N ) N fois Exercice 1 La relation u n+1 = u n 1 dénit-elle une suite si u 0 = 1? u n Déterminer u 0 ]0 + [ pour que u 1 et u soient bien dénies et u 3 ne soit pas bien dénie Corrigé On considère la fonction f dénie sur ]0; + [ par f(x) = x 1 x Il est clair que f est une bijection de ]0; + [ sur R et a pour bijection réciproque la fonction h dénie sur R par h(x) = x + x + 4 De plus, u n+1 = f(u n ) h(u n+1 ) = u n 1 Il est clair que si u 0 = 1, u 1 = 0 et donc u n'est pas déni Déterminons u 0 ]0; + [ pour que u 1 et u soient bien dénies et u 3 ne soit pas bien dénie Il sut de choisir u 0 pour que u = 0 Ainsi u 1 = h(u ) = 1 et u 0 = h(u 1 ) = h(1) =

5 3 Exercices se ramenant au cas où f est croissante Exercice 3 On considère la fonction f dénie sur ]0; + [ par f(x) = + ln x 1 Montrer que l'équation + ln x = x admet deux solutions α et β, telles que 0 < α < 1 < β On considère la relation u0 ]0; + [ u n+1 = f(u n ) 1 Montrer que si 0 < u 0 < α, on ne peut dénir u n pour tout n N Montrer que si u 0 > α, alors la suite (u n ) n 0 est bien dénie et converge vers β Corrigé 1 On considère la fonction ϕ : R + R dénie par ϕ(x) = f(x) x = + ln x x La fonction ϕ est dérivable sur ]0; + [ et on a pour tout x ]0; + [ De plus ϕ (x) = 1 x x lim ϕ(x) = lim ϕ(x) =, ϕ(1) = 1 x 0 + x + Nous obtenons donc le tableau de variations suivant x ϕ (x) ϕ(x) La fonction ϕ établit donc une bijection strictement croissante de ]0, 1[ vers ], 1[ et une bijection strictement décroissante de ]1, + [ vers ], 1[ Le réel 0 a donc deux antécédents par g : l'un, α, dans ]0, 1[ et l'autre, β, dans ]1, + [ 1 Si u 0 ]0, α[, alors u 1 ], α[ Si u 1 > 0, on peut dénir u et u ], α[, Montrons qu'on ne peut avoir pour tout n N, u n ]0, α[ En eet, si c'était le cas, la suite (u n ) n 0 serait minorée et décroissante (car f(x) < x sur cet intervalle), donc convergente, mais aucune des deux limites α et β ne convient, d'où une absurdité Il existe donc un rang N pour lequel u N < 0 et alors, on ne peut dénir u N+1 L'intervalle ]α, + [ est stable par f, donc, si u 0 > α, alors u n est déni pour tout n et u n > α La fonction f étant croissante, nous savons aussi que la suite (u n ) n 0 est monotone Précisons en considérant deux cas, et en notant que chacun des deux intervalles ]α, β[ et ]β, + [ est stable par f : Si u 0 ]α, β[, alors pour tout n N, u n ]α, β[, comme f(x) > x sur cet intervalle, la suite est croissante et puisqu'elle est majorée, elle converge La seule limite envisageable est β, donc lim u n = β n + 5

6 Si u 0 ]β, + [, alors pour tout n N, u n ]β, + [, comme f(x) < sur cet intervalle, la suite est déoissante et puisqu'elle est minée, elle converge vers β si u 0 = β alors u n = β pour tout n N Évidemment, si u 0 = α alors u n = α pour tout n N Exercice 4 u0 R Étudier la suite récurrente (u n ) n 0 dénie par u n+1 = u n + 9 Corrigé 1 Étude de la fonction f(x) = x + 9 Étude de la fonction ϕ(x) = f(x) x x 0 + f (x) f(x) /9 ϕ(x) = 0 x x + 9 = 0 ( x 1 ) ( x ) 3 3 = 0 6

7 1 La fonction f possède donc deux points xes : 3 et 3 3 Puisque f(r) = [ 9, + [, il sut d'étudier la suite (u n ) n 0 lorsque u 0 0 On peut visualiser à partir du graphe de f le comportement de la suite (u n ) n 0 en fonction de la donnée initiale u 0 4 Étude de la suite (u n ) n 0 Premier cas : u 0 0 Si u 0 = 1 3 alors pour tout n N, u n = 1 3 Si u 0 = 3 alors pour tout n N, u n = 3 Si u 0 [ 0, 3[ 1 L'intervalle [ 0, 1 3] est stable par f donc pour tout n N, 0 un 1 3, autrement dit la suite (u n ) n 0 est bornée D'autre part, pour x [ 0, 1 3[, f(x) > x, donc la suite (un ) n 0 est strictement croissante Étant croissante et majorée, la suite (u n ) n 0 est donc convergente et sa limite est 1 3, l'unique point xe de f sur [ 0, 1 3] Si u 0 ] 1 3, 3[ L'intervalle [ 1 3, ] 3 est stable par f donc pour tout n N, 1 3 u n 3, autrement dit la suite (u n ) n 0 est bornée D'autre part, pour x ] 1 3, 3[, f(x) < x, donc la suite (un ) n 0 est strictement décroissante Étant décroissante et minorée, la suite (u n ) n 0 est donc convergente, et sa limite est 1 3, l'unique point xe de f sur [ 1 3, u 0] Si u 0 ] 3, + [ L'intervalle [ 3, + [ est stable par f donc pour tout n N, u n 3, autrement dit la suite (u n ) n 0 est minorée D'autre part, pour x ] 3, + [, f(x) > x, donc la suite (u n ) n 0 est strictement croissante Si la suite (u n ) n 0 était majorée, elle convergerait vers l'un des points xes de f sur 7

8 [u 0, + [ Or, f n'a pas de point xe dans cet intervalle donc (u n ) n 0 n'est pas majorée et par conséquent elle tend vers + Deuxième cas : u 0 ], 0[ La fonction f étant paire, on en déduit que : si u 0 = 1 3, alors pour tout n N, u n = 1 3 ; si u 0 = 3 alors pour tout n N, u n = 3 ; si u 0 ] 1 3, 0[ alors pour tout n N, u n ] 0, 3[ 1, et donc converge vers 1 3 ; si u 0 ] 3, 3[ 1 alors pour tout n N, u n ] 1 3, [ 3, et donc converge vers 1 3 ; si u 0 ], 3[ alors pour tout n N, u n ] 3, + [, et donc tend vers + Exercice 5 u0 [0, + [ Étudier la suite récurrente (u n ) n 0 dénie par u n+1 = u n 1 + u n Corrigé 1 Étude de la fonction x f(x) = x x sur [0, + [ +1 La fonction f est dérivable sur [0, + [ et on a pour tout x [0, + [, f (x) = d'où le tableau de variation de f sur [0, + [ 1 x (x + 1), x f (x) + 0 1/ f(x) 0 0 Ainsi, f([0, + [) = [ 0, 1 ] et donc pour tout n N, u n [ 0, 1 ] Étude du signe de f(x) x Il est clair que pour tout x [0, + [, f(x) x et que f(x) = x si et seulement si x = 0 3 On peut visualiser à partir du graphe de f le comportement de la suite (u n ) n 0 en fonction de la donnée initiale u 0 Si u 0 = 0 alors pour tout n N, u n = 0 8

9 Si u 0 ]0, 1] L'intervalle [0, 1] est stable par f donc pour tout n N, 0 u n 1 En d'autres termes, la suite (u n ) n 0 est bornée D'autre part, pour tout x ]0, 1], f(x) < x, donc la suite (u n ) n 0 est strictement décroissante Étant décroissante et minorée, la suite (u n ) n 0 est donc convergente, et sa limite est 0, l'unique point xe de f sur [0, 1] Si u 0 ]1, + [ Nous avons f(]1, + [) = ] 0, 1 [, on en déduit que pour tout u0 ]1, + [, u n ] 0, 1 [ pour tout n N et donc on se trouve dans le cas précédent Ainsi, la suite (u n ) n 1 est strictement décroissante, minorée et converge vers 0 Exercice 6 Étudier la suite (u n ) n 0 dénie par Corrigé u0 [0, + [ u n+1 = ln(1 + u n ) 1 Étude de la fonction x f(x) = ln(1 + x) La fonction f est dérivable sur ] 1, + [ et on a pour tout x ] 1, + [, f (x) = 1 + x, 9

10 d'où le tableau de variation de f Étude de la fonction ϕ(x) = f(x) x x 1/ 0 + f (x) + + f(x) 0 La fonction ϕ est dérivable sur ] 1, + [ et a pour fonction dérivée d'où le tableau de variation de ϕ ϕ (x) = 1 x 1 + x, x 1/ 0 1/ 1 α + ϕ (x) + 0 ln() 1/ ϕ(x) est une racine évidente de ϕ Le tableau de variation de la fonction ϕ montre qu'elle admet une autre racine appartenant à l'intervalle ]1, [ 3 On peut visualiser à partir du graphe de f le comportement de la suite (u n ) n 0 4 Étude de la suite 10

11 Si u 0 = 0 alors pour tout n N, u n = 0 Si u 0 = α alors pour tout n N, u n = α Si u 0 ]0, α[ L'intervalle [0, α] est stable par f donc si u 0 ]0, α[ alors pour tout n N, 0 < u n < α, en particulier la suite (u n ) n 0 est bornée D'autre part, pour tout x ]0, α[, f(x) > x donc la suite (u n ) n 0 est strictement croissante Étant croissante et majorée, la suite (u n ) n 0 est convergente et sa limite est α, l'unique point xe de f sur [u 0, α] Si u 0 > α L'intervalle [α, + [ est stable par f Donc si u 0 ]α, + [ alors pour tout n N, u n > α, en particulier la suite (u n ) n 0 est minorée par α D'autre part, pour tout x ]α, + [, f(x) < x, donc la suite (u n ) n 0 est strictement décroissante Étant décroissante et minorée, la suite (u n ) n 0 converge et a pour limite l'unique point xe de f sur [α, + [, soit α Remarques : 1 On vient de voir que pour tout u 0 ]0, + [, la suite (u n ) n 0 converge et a pour limite α On dit que α est un point attractif On ne peut, avec cette méthode, déterminer une valeur approchée de α 33 Cas où f est décoissante Exercice 7 u 0 = 0 Étudier la suite récurrente u n+1 = 1 + u, n N n Corrigé 1a Tableau de variation de la fonction f Soit la fonction f dénie par f : [0, + [ [0, + [ x f(x) = 1 + x La fonction f est dérivable sur [0, + [ et nous avons f (x) = 4x (1 + x, x [0, + [ ) 11

12 D'où le tableau de variation de la fonction f x f (x) f(x) 1 0 1b La suite (u n ) n 0 est bien dénie La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0, + [ donc f([0, + [) =] lim x + f(x), f(0)] =]0, ] [0, + [ Ainsi l'intervalle [0, + [ est stable par f On en déduit que la suite (u n ) n 0 est bien dénie et qu'elle est bornée Plus précisément, pour tout entier naturel n, 0 u n 1c Point(s) xe(s) de f sur [0, + [ f(x) = x x 3 + x = 0 x 3 x + x = 0 x(x 1) + (x 1) = 0 (x 1)(x + x + ) = 0 x = 1 La fonction f admet donc 1 comme seul point xe sur l'intervalle [0, + [ (u n ) n 0 converge, sa seule limite possible sera 1 1d Nous avons u 0 = 0, u 1 =, u = 5, u 3 = 50 9, u 4 = Donc si la suite 1

13 1e On en déduit donc que la sous-suite (u n ) n 0 est strictement croissante et que la sous-suite (u n+1 ) n 0 est strictement décroissante, ce qui se voit clairement sur le dessin Néanmoins, on va redémontrer ce résultat à la main et étudier la convergence de ces deux sous-suites dans les questions 4 et 5 a On a, pour tout x R, f f(x) = f(f(x)) = 1 + (f(x)) = 1 + ( 1 + x ) = (1 + x ) (1 + x ) + 4 b On a, pour tout x [0, + [, g(x) x = x5 x 4 + x 3 4x + 5x (1 + x ) + 4 = (x 1)3 (x + x + ) (1 + x ) + 4 Signe de g(x) x g(x) x est du même signe que 1 x, d'où le tableau de signe de g(x) x x g(x) x Étude de la convergence de la suite extraite des termes de rang pair 3a On a pour tout n N, a n+1 = u (n+1) = u n+ = g(u n ) d'après la question a, mais u n = a n, d'où a n+1 = g(a n ) 3b La fonction g est continue et strictement croissante donc g([a 0, 1]) = g([0, 1]) = [g(0), g(1)] = [/5, 1] [0, 1] Ainsi l'intervalle [0, 1] est stable par g et la suite (a n ) n 0 est bornée, plus précisément pour tout n N, 0 a n 1 3c D'après l'étude du signe de g(x) x (question c), on a pour tout réel x [0, 1[, g(x) > x Donc la suite (a n ) n 0 est strictement croissante 3d La suite (a n ) n 0 est strictement croissante et majorée donc converge et a pour limite 1, qui est l'unique point xe de la fonction g sur l'intervalle [0, 1] 4 Étude de la convergence de la suite extraite des termes de rang impair 4a On a pour tout n N, b n+1 = u (n+1)+1 = u (n+1)+ = g(u n+1 ) d'après la question a, mais u n+1 = b n, d'où b n+1 = g(b n ) 4b La fonction g est continue et strictement croissante donc g([1, b 0 ]) = g([1, ]) = [g(1), g()] = [1, 50/9] [1, ] Ainsi, l'intervalle [1, ] est stable par g et donc la suite (b n ) n 0 est bornée, plus précisément, pour tout n N, 1 b n 4c D'après la question c, pour tout réel x ]1, ], g(x) < x donc la suite (b n ) n 0 est strictement décroissante 4d La suite (b n ) n 0 est strictement décroissante et minorée donc converge et a pour limite 1, l'unique point xe de la fonction g sur l'intervalle [1, ] (question b) En résumé, nous avons : 13

14 (i) a n 1, 1 b n et par conséquent a n b n en vertu de la transitivité de la relation dans R ; (ii) la suite (a n ) n 0 est strictement croissante ; (iii) la suite (b n ) n 0 est strictement décroissante ; (iv) lim (b n a n ) = n + lim b n lim a n = 1 1 = 0 n + n + On en déduit donc que les suites (a n ) n 0 et (b n ) n 0 sont adjacentes Puisque les sous-suites (u n ) n 0 et (u n+1 ) n 0 convergent et ont la même limite 1, la suite (u n ) n 0 converge et a pour limite 1 Exercice 8 Étudier la suite récurrente u0 = 1 u n+1 = 1 u n, n N Corrigé 1 Étude de la monotonie de la fonction f sur [0, 1] La fonction x f(x) = 1 x est dérivable sur [0, 1] et on a f (x) = x, x [0, 1] La suite (u n ) n 0 est bien dénie En eet, comme f est continue et strictement décroissante sur [0, 1], nous avons f([0, 1]) = [f(1), f(0)] = [0, 1] [0, 1] Ainsi l'intervalle [0, 1] est stable par f et donc la suite (u n ) n 0 est bien dénie et on a pour tout n N, 0 u n 1 3 Point(s) xe(s) de f sur [0, 1] f(x) = x 1 x = x x + x 1 = 0 x = 1 5 ou x = Seul appartient à l'intervalle [0, 1], donc f admet un seul point xe appartenant à l'intervalle [0, 1] On note désormais α = 1+ 5 Remarquons que si la suite (u n ) n 0 converge, sa seule limite possible sera a Premiers termes de la suite Nous avons u 0 = 1, u 1 = 3 4, u = 7 16, u 3 = On constate que u 0 = 1 = 8 16 > 7 16 = u et u 3 = > 3 4 = = u 1 4b Remarque importante : On voit clairement sur le dessin que la sous-suite (u n ) n 0 est strictement décroissante et minorée par 0 alors que la sous-suite (u n+1 ) n 0 est strictement croissante et majorée par 1 C'est ce qu'on va démontrer dans les points 6 et 7 Pour ce faire, on va étudier le signe de la fonction x f f(x) x sur [0, 1] dans la quesion qui suit 5 Étude du signe de f f(x) x 5a Calcul de f f On a, pour tout x [0, 1], f(f(x)) = 1 (f(x)) = 1 (1 x ) = 1 (1 x + x 4 ) = x x 4 14

15 D'où pour tout x [0, 1], g(x) = x x 4 5b Factorisation de g(x) x sur R Première méthode : on utilise le fait que si α est un point xe de f alors il est point xe de f f Ainsi, il existe trois constantes réelles a, b et c telles que g(x) x = (x + x 1)(ax + bx + c) On peut déterminer ces trois constantes en eectuant la division de g(x) x par x + x 1 ou bien par analogie Deuxième méthode : on factorise "à la main" g(x) x = x 4 + x x = x(x 3 x + 1) = x(x 3 x x + 1) 5c Points xes de g sur R D'après la question ci-dessus, nous avons = x[x(x 1) (x 1)] = x[x(x 1)(x + 1) (x 1)] = x(x 1)[x(x + 1) 1] = x(x 1)(x + x 1) g(x) x = 0 x = 0 ou x = 1 ou x = 1 5 ou x = d Points xes de g sur l'intervalle [0, 1] D'après la question 5c, la fonction g admet trois points xes sur l'intervalle [0, 1], à savoir 0, 1 et α 5e Signe de g(x) x sur l'intervalle [0, 1] 15

16 Le signe de g(x) x est résumé dans le tableau suivant x 0 α 1 x 0 x 1 0 x + x g(x) x Étude de la suite (a n ) n 0 6a Tout d'abord, on a pour tout n N, a n+1 = g(a n ) En eet, pour tout n N, a n+1 = u (n+1) = u n+ = u (n+1)+1 = f(u n+1 ) Par ailleurs, u n+1 = f(u n ), d'où a n+1 = f(f(u n )) = (f f)(u n ) = g(u n ) et de plus, u n = a n, donc a n+1 = g(a n ) a On est ainsi amené à étudier la suite récurrente 0 = 1 a n+1 = g(a n ), n N 6b Montrons que l'intervalle [0, a 0 ] est stable par g En eet, comme g est continue et strictement croissante et g(a 0 ) = a 1 = 7 16 < 8 16 = 1 = a 0, nous avons g([0, a 0 ]) = [g(0), g(a 0 )] = [0, a 1 ] [0, a 0 ] Ainsi l'intervalle [0, a 0 ] est stable par g On en déduit que la suite (a n ) n 0 est bien dénie (ce qu'on savait déjà) et qu'elle est bornée Plus précisément, pour tout n N, 0 < a n a 0 6c D'après l'étude du signe de g(x) x sur [0, 1] (question 5e), on a pour tout réel x ]0, α[, g(x) < x La suite (a n ) n 0 est donc strictement décroissante 6d La suite (a n ) n 0 est strictement décroissante (question 6c) et minorée (question 6b) donc converge et a pour limite 0, l'unique point xe de la fonction f sur l'intervalle [0, 1 ] (question 5d) 7a Tout d'abord on a pour tout n N, b n+1 = g(b n ) En eet, pour tout n N, b n+1 = u (n+1)+1 = u (n+)+1 = f(u n+ ), par ailleurs, u n+ = u (n+1)+1 = f(u n+1 ), d'où De plus, u n+1 = b n et donc b n+1 = g(b n ) b n+1 = f(f(u n+1 )) = (f f)(u n+1 ) = g(u n+1 ) b On est ainsi amené à étudier la suite récurrente 0 = 3 4 b n+1 = g(b n ), n N 7b Montrons que l'intervalle [b 0, 1] est stable par g En eet, comme g est continue et strictement croissante et g(b 0 ) = b 1 = 07 nous avons g([b 0, 1]) = [g(b 0 ), g(1)] = [b 1, 1] [b 0, 1] 56 > = 3 4 = b 0, 16

17 Ainsi l'intervalle [b 0, 1] est stable par g On en déduit que la suite (b n ) n 0 est bien dénie (ce qu'on savait déjà) et qu'elle est bornée Plus précisément pour tout n N, 0 < b 0 b n 1 6c D'après l'étude du signe de g(x) x sur [0, 1] (question 5e), on a pour tout réel x ]α, 1[, g(x) > x La suite (b n ) n 0 est donc strictement croissante 6d La suite (b n ) n 0 est strictement croissante (question 7c) et majorée (question 7b) donc converge et a pour limite 1 l'unique point xe de la fonction g sur l'intervalle [b 0, 1] = [ 3 4, 1] (question 5b) Comme les sous-suites (u n ) n 0 et (u n+1 ) n 0 convergent et ont des limites diérentes, la suite (u n ) n 0 diverge Exercice 9 Étudier la suite réelle (u n ) n N dénie par u 0 > 0 et n N, u n+1 = e un u n Corrigé Il s'agit d'une suite récurrente associée à la fonction f dénie sur ]0, + [ par f(x) = e x x 1 Une brève étude de la fonction f La fonction f est dérivable sur ]0, + [ et on a pour tout x ]0, + [, f (x) = e x (x + 1) x La fonction f est donc strictement décroissante sur ]0, + [ Tableau de variation de f : x 0 + f (x) + f(x) 0 D'après 1, f(]0, + [) =]0, + [ donc la suite est bien dénie 3 Point(s) xe(s) de f Posons pour tout x ]0, + [, ϕ(x) = f(x) x La fonction ϕ est strictement décroissante sur ]0, + [, comme somme de deux fonctions strictement décroissantes Tableau de variation de ϕ : x ϕ(x) 17

18 La fonction ϕ est une bijection de ]0, + [ sur ], + [ donc il existe α ]0, + [ unique tel que ϕ(α) = 0 De plus ϕ(1) = 1 1 0, 63 < 0, ( ) e 1 ϕ = 1 e = 4 e 0, 71 > 0 e On en déduit donc que α ]1/, 1[ 4 Représentation graphique de f et conjectures sur la suite (u n ) On constate sur le graphe de f que si u 0 ]0, + [\α}, u n s'écarte de α 18

19 5 Étude du signe de f f(x) x On a pour tout x ]0, + [, f f(x) = e f(x) f(x) = xe f(x) xf(x) = xe f(x) e x = xe x f(x), donc f f(x) x = x(e x f(x) 1) Ainsi le signe de f f(x) x est celui de x f(x) et α est l'unique point xe de f f 6 Étude de la convergence de la suite (u n ) n 0 avec u 0 ]0, α[ Étude de la suite (u n ) n 0 Posons a n = u n, nous devons donc étudier la suite dénie par a0 = u 0 ]0, α[, a n+1 = g(a n ), n N Puisque g(]0, α[) =]0, α[, la suite (a n ) n 0 est bien dénie et bornée De plus pour tout x ]0, α[, g(x) < x donc la suite (a n ) n 0 est strictement décroissante Décroissante et minorée, la suite (a n ) n 0 est convergente, appelons l sa limite l est positif car chaque a n est strictement positif Si l était strictement positif, l serait nécessairement point xe de g, cependant, g n'admet pas de point xe dans ]0, u 0 [ donc l = 0 Étude de la suite (u n+1 ) n 0 Posons b n = u n+1, nous devons étudier la suite dénie par b0 = u 1 ]α, + [, b n+1 = g(b n ), n N Comme g(]α, + [) =]α, + [, la suite (b n ) n 0 est bien dénie et minorée De plus pour tout x ]α, + [, g(x) > x donc la suite (b n ) n 0 est strictement croissante Si la suite (b n ) n 0 convergeait, sa limite l appartiendrait à l'intervalle ]u 1, + [ et ce serait un point xe de g Étant donné que g n'admet pas de point xe sur ]u 1, + [, lim b n = + n + En conclusion, la suite (u n ) n 0 n'a pas de limite 7 On montre de la même façon que si u 0 ]α, + [, la sous-suite (u n ) n 0 tend vers + et la sous-suite (u n+1 ) n 0 tend vers 0 Remarque importante : Il est facile de vérier que f (α) = 1 α donc f (α) = 1 + α > 3 et par conséquent f ne peut être contractante sur tout intervalle contenant α Pour déterminer une valeur approchée de α, on applique l'algorithme de Newton 19