THÈSE. En vue de l obtention du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE. Présentée et soutenue par Mélanie SORIANO Le 30 septembre 2009

Transcription

1 THÈSE En vue de l obtention du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE Délivré par : l Université Toulouse III - Paul Sabatier Discipline ou spécialité : Astérosismologie Présentée et soutenue par Mélanie SORIANO Le 30 septembre 2009 Titre : Astérosismologie d étoiles de séquence principale ou évoluées en relation avec l expérience spatiale CoRoT et les instruments au sol HARPS et SOPHIE Jury Pr. Jianning FU Beijing Normal University, Chine Président Dr. Georges ALECIAN LUTH, Observatoire de Paris Examinateur Pr. Donald W. KURTZ Preston University Examinateur Dr. Yveline LEBRETON GEPI, Observatoire de Paris Rapporteur Dr. Eric MICHEL LESIA, Observatoire de Paris Examinateur Dr. Anne THOUL Université de Liège Rapporteur Pr. Sylvie VAUCLAIR Laboratoire d Astrophysique de Toulouse-Tarbes Directrice de thèse Ecole doctorale : SDU2E Unité de recherche : Laboratoire d Astrophysique de Toulouse-Tarbes Directeur(s) de Thèse : Sylvie Vauclair

2 ¾

3 Ê Ñ Ö Ñ ÒØ Î ÒØ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ð Ø Ð Ó Ø ÒØ ØØ Ò Ù Ø Ö ÓÙØ Ö Ñ Ö Ñ ÒØ º Ì ÒØ ØØ Ò Ù Ö ÓÒ ÓÙ Ø Ò Ö Ö Ñ Ö Ö ØÓÙØ Ð Ô Ö ÓÒÒ ÕÙ ÓÒØ ÓÒØÖ ¹ ٠г ÓÙØ Ñ ÒØ ØÖÓ ÒÒ Ø ººº ÐÐ Ø Ð Ñ ÒØ Ö ÓÙØ Ö Ð Ò³ Ø Ô ÓÖ Ñ ÒØ Ú ÒØ ÚÓ Ö ÑÔÓ Ð µ Ò³ÓÙ Ð Ö Ô Ö ÓÒÒ º Â Ú ØÓÙØ Ñ Ñ Ý Ö ³Ý Ô ÖÚ Ò Öººº Å ÔÖ Ñ Ö Ö Ñ Ö Ñ ÒØ ³ Ö ÒØ ËÝÐÚ Î ÙÐ Ö Ò ÕÙ Ò Ö ØØ Ø Ò³ ÙÖ Ø ÔÙ ÚÓ Ö Ð Ùº Å Ö Ñ³ ÚÓ Ö ÑÓØ Ú Ø Ñ³ ÚÓ Ö Ö ÓÒÒ ÓÒ Ò Ò ÑÓ Ú ÒØ Ð Ø ººº Å Ö Ò Ù Ø Ñ³ ÚÓ Ö Ò Ö Ô Ò ÒØ ØÖÓ ÒÒ ÕÙ ÓÒØ Ø ØÖ ÒÖ ÒØ º Ø Ñ Ö Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ØØ Ñ Ò Ô Ð³ÇÀÈ ³ Ò ÔÙ Ô Ò ØÖ Ö Ù ÙÖ ³ÙÒ ÓÙÔÓÐ Ø ÚÓ Ö ÙÒ Ø Ð ÓÔ ÔÐÙ ÔÖ ººº Ð³Ó ÓÒ Ö Ð Ö ÙÒ Ö Ú ³ Ò Òغººº Â Ö Ñ Ö Ù ØÓÙØ Ð³ ÕÙ Ô Ô Ý ÕÙ Ø ÐÐ Ö Ö Ö ÆÓ Ð ËØ Ô Ò Ø Ð Ò ÔÓÙÖ Ð ÙÖ Ù Ð Ð ÙÖ ÙÜ Ø Ð ÙÖ ÒØ ÐÐ º Å Ö ËÝÐÚ ÊÓÕÙ Ö ØÖ Ù Ä ÓÖ ØÓ Ö ³ ØÖÓÔ Ý ÕÙ ÌÓÙÐÓÙ ¹ Ì Ö ÔÓÙÖ ÓÒ ÓÙØ Ò Ø ÓÒ ÓÙØ º ÍÒ Ñ Ö ØÓÙØ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ú Ú ËÓÙ¹ Ð ÔÓÙÖ ÒÓÙÖ Ñ ÒØ ÐÓÖ ÑÓÒ ÖÖ Ú Ù Ð Óº Â Ö Ñ Ö Ð Ñ ÒØ ØÓÙØ Ð³ ÕÙ Ô Ñ Ò ØÖ Ø Ú Ù Ð ÓÖ ØÓ Ö ÓÑ Ò ÕÙ Ð Ü Ò Ö Ö ÖÓÐ ÂÓ Ò Ò ÕÙ Å Ö ¹ Ð Ù Ø Ð ÔÓÙÖ ÒØ ÐÐ Ø ÔÓÒ Ð Ø º Â Ø Ò Ö Ñ Ö Ö ÑÓÒ ÙÖÝ Ø ÔÓÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ø ÔÓÖØ ÑÓÒ ØÖ Ú Ðº Å Ö Â ÒÒ Ò Ù ³ ÚÓ Ö ÔØ ³ ØÖ ÔÖ ÒØ ÑÓÒ ÙÖÝ Ø ³ ÚÓ Ö ØÙ ÙÒ ÐÐ Ö¹Ö ØÓÙÖ È Ò¹ÌÓÙÐÓÙ ÔÓÙÖ ÔÓÙÚÓ Ö ØÖ ÔÖ Òغ Â Ö Ñ Ö Ð Ñ ÒØ Ñ Ö ÔÔÓÖØÖ Ú Ð Ò Ä Ö ØÓÒ Ø ÒÒ Ì ÓÙÐ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ø Ù ¹ Ø ÓÒ ØÖ ÓÒ ØÖÙØ º ØÖÓ ÒÒ Ô ÌÓÙÐÓÙ ÓÒØ ÖÓÙÐ Ò ÙÒ Ñ Ò ÔÐÙ Ð ÙÖ Ù Ø Ò Ô ÙÜ Ò Ú ÑÑ ÒØ Ô ÖØ Ö Ò Ö Ñ Ö Ö ØÓÙ ÙÜ Ú ÕÙ ³ Ô ÖØ ÓÒ ÑÓÑ ÒØ ººº ÌÓÙØ ³ ÓÖ Ø Ò Ö Ñ Ö Ö Ñ Ñ Ö ÙÖ Ùº Å Ö Ñ Ô Ø Ø Ê Ñ ÔÓÙÖ Ñ³ ÚÓ Ö ÓÙØ ÒÙ Ø ÙÔÔÓÖØ Ô Ò ÒØ ÙÜ ÖÒ Ö ÒÒ º Å Ö ÔÓÙÖ Ø ÓÒÒ ÙÑ ÙÖ Ô ÖÑ Ò ÒØ Ø ÔÓÙÖ ÚÓ Ö Ö Ù Ñ Ö Ö Ö ØÓÙ Ð ÓÙÖ Ø Ñ Ñ ÕÙ Ò Ð ÑÓÖ Ð Ò³ Ø Ø Ô Ù Ù Ü ººº

4 Å Ö Ù Â ÖÑ Ð ÖÒ Ö ÖÖ Ú Ò Ð ÙÖ Ù ÐÐ Ñ Ö ÔÓÙÖ ØÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ù ÓÒ ÒØ ÕÙ ÓÙ ÔÐÙ Ò ÓÖÑ ÐÐ ÙÖ Ù Ø ÔÐÙ Ú Ö µ ÔÓÙÖ Ð ½¼ ººº Ø ÔÓÙÖ Ð Ô ØÖ À ¼ ººº ³ Ö Ð Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ò Ñ Ö Å Ö Ð Ò Ø Ö Ø Ò ÔÓÙÖ Ð ÙÖ ÔÖ Ù Ø Ð ÙÖ ÓÙØ Ò ÑÓÖ Ð Ò Ð ÖÒ Ö Ð Ò ÖÓ Ø Ø ÓÒÒ Ò ØÓ Å Ö ÔÓÙÖ ØÖÓ ÒÒ Ø ÕÙ ³ÓÙÚÖ ÒØ Ú ÒØ ØÓ ººº Å Ö ËÝÐÚ Ì Ó ÔÓÙÖ ØÖ Ú ÒÙ Ñ Ö ÓÙ ÕÙ Ò ³ Ú ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ú Ð Ó ººº Å Ö Ù ÔÓÙÖ Ð Ô Ù ÓÓÐ Ø Ø ÔÓÙÖ Ð ÐÓÒ Ù Ù ÓÒ ÕÙ Ó Ø ÙÖ Ð ØÖ Ú Ð ÓÙ ÙÖ Ù Ø ÙÓÙÔ ÔÐÙ Ô Ö ÓÒÒ Ð Ø Õ٠ѳÓÒØ ÙÓÙÔ ÔÔÓÖØ ººº Å Ö ØÓÙ Ð ÙØÖ Ø Ö ÓÙ ÔÓ Ø¹ Ó Ö ÒÓÒØÖ Ô Ò ÒØ ØÖÓ ÒÒ º Â Ô Ò ÒÓØ ÑÑ ÒØ ËÝÐÚ Ò È Ð ÂÓ Ó Ù Ö Ý ÂÓ Ô ÙÖ Ð Î Ð Ö Ò Þ Å Ö Å Ð ººº Å Ö Ù ÔÓÙÖ Ð ÓÒÒ Ñ Ò Ô Ò ÒØ Ð Ö Ô Â Ö Ñ Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ô Ö ÓÒÒ ÕÙ ÓÒØ ÖÓ ÑÓÒ Ñ Ò ÙÖ ÒØ Ö¹ Ò Ö ÒÒ Ø ÕÙ ÓÒØ ÓÒØÖ Ù ÔÖ ÓÙ ÐÓ Ò ÕÙ Ô Ö Ú Ö Ò ØØ ÚÓ Ð Ò Ò ÒØ Ù Ì Ë Å Ö ÐÐ È ØÖ È ÓÙÖ Ö ØØ È ÐÓÙ ÓÙ Å Ö ¹Ì Ö ÐÓÙÞ Øº ÙÒ Ö ÒÓÒØÖ Ø ÓÙÖ ³ ÒÖ Ñ ÒØ Ø ÑÓØ Ú Ø ÓÒººº ÍÒ Ô Ò Ð Ñ ÒØ Ñ Ò ÒÒ Ñ Ö Å¾ Ø Ö Ò Ö Õ٠ѳÓÒØ ØÓÙ ÓÙÖ ÒÓÙÖ º Å Ö Ä Ø Ø ÔÓÙÖ ÒÓ ÐÓÒ Ù Ô Ù Ø Ð Ô Ó¹ Ò ÕÙ Õ٠ѳÓÒØ Ô ÖÑ ØÖ Ö Å Ö Ö ØØ Ø ÒØÓ Ò Ñ ØÓÙ ÓÙÖ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ Ø Ð ÙÖ ÓÒ Ð Ú º Ø Ñ Ö ÔÓÙÖ ØØ Ñ ÑÓÖ Ð Ó Ö Ô Ó ÖÚ Ö Ð ØÓ Ð Ò Ò Ñ ÖÒ Ö Ö Ñ Ö Ñ ÒØ ³ Ö ÒØ Ñ Ñ ÐÐ º Å Ö Ñ Ö Ò ¹ Ô Ö ÒØ Õ٠ѳÓÒØ ØÓÙ ÓÙÖ ÓÙØ ÒÙ Ø ÒÓÙÖ Ú ÙÒ Ô Ò ÑÙ ÔÓÙÖ ÑÓÒ Ö Ò ¹Ô Ö ÕÙ Ò³ ÙÖ Ô Ú٠г Ú Ñ ÒØ ØÖÓ ÒÒ ººº Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ñ Ö ÒØ Ñ Ñ Ö Ò ÕÙ Ò Ö Ñ ÖÖ Ú Ù Õ٠кºº Ð Ò³ Ô ØÓÙ ÓÙÖ Ø Ú ÒØ Ø Ð Ö ÕÙ ØÙ Ö ØÓÙØ Ù ÐÓÒ ÒÒ º ÌÓÒ Ø ØÓÒ ÓÙØ Ò Ñ³ÓÒØ Ô ÖÑ Ø Ò Ö Ù ÕÙ³ Ù ÓÙغ ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ð Ñ Ö º

5 ÑÓÒ È Ô

6

7 Ì Ð Ñ Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ Ì ÓÖ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö ½º½ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ Ä ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º¾ ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º½º Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ú Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º¾ Ç ÐÐ Ø ÓÒ ÒÓÒ¹Ö Ð Ø ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾º½ ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾º¾ ij ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÛÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾º Ä ÓÒ ÔÖ ÓÒ ÓÙ ÑÓ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾º Ä ÓÒ Ö Ú Ø ÓÙ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ä Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º½ ij Ò ÐÝ Ô Ö Ð Ñ Ø Ó ÂÏà º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½º º¾ Ì ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ô º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º ÖØ Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ä Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ ½ ¾º½ Ä Ó ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÌÓÙÐÓÙ ¹ Ò Ú º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º½ È Ö Ñ ØÖ ³ ÒØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º¾ Ä ÔÖÓ Ù ÒÓÒ¹ Ø Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º Ä ÓÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ó ÈÍÄË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À ¾¾ ÑÓ Ð Ø ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÙÜ Ó ÖÚ Ø ÓÒ º½ È Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÐÙÐ ÚÓÐÙØ Ø ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ Ó Ü ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ò ÐÝ Ñ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ä ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ø Ú Ö Ø ÓÒ º º º º º º º º º º ½

8 ¾ Ì Ä Ë Å ÌÁ Ê Ë º º¾ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÑÓ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä ÑÓ Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÙ Ð Ø ÓÒ ½ Ì ÓÊÓÌ ÔÖ Ñ ÖÝ Ø Ö Ø À ¾¾ ÑÓ Ð Ò Ñ Ø Ø ËÓÖ ÒÓ Åº Ø Ðº ¾¼¼ ² ½ ÈÙ Ð Ø ÓÒ ¾ Ø ÖÓ ÑÓÐÓ Ý Ó ÜÓÔÐ Ò Ø¹ Ó Ø Ø Ö Ð Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÒØ Ñ ÓÒ Ó ÓÊÓÌ Î ÙÐ Ö Ëº Ø Ðº ¾¼¼ Ë ¹ËÈ ½ ¼ Ë Ò ØÙÖ Ñ ÕÙ ÙÖ ³ Ð ÙÑ º½ ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú Ø ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò ÐÝ Ö ÙÐØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½ Ò ÐÝ Ø ÓÖ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÁÒ Ù Ò Ð Ñ Ð³ ØÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º ÁÒ Ù Ò Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º ÁÒ Ù Ò Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÙ Ð Ø ÓÒ Ø ÖÓ ÑÓÐÓ Ý Ó ÓÐ Ö¹ØÝÔ Ø Ö Ò ØÙÖ Ó ÓÒÚ Ø Ú Ò»ÓÖ Ð ÙÑ ÓÖ ËÓÖ ÒÓ Åº ² Î ÙÐ Ö Ëº ¾¼¼ ² ØÙ ½ È ½½½ º½ È Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ Ä Ô ØÖÓ Ö Ô ËÇÈÀÁ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º¾º½ Ö ÔØ ÓÒ Ò Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º¾º¾ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ø Ò ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º Ä Ó ÖÚ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÌÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ò ÐÝ Ñ ÕÙ µ Ö ½¾½ º½ È Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾½ º½º½ Ä Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾½ º½º¾ ÓÒØÖ ÒØ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º½º Ä ÐÙÑ ÒÓ Ø µ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º½º ÓÒØÖ ÒØ Ñ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ ÐÙÐ ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾

9 Ì Ä Ë Å ÌÁ Ê Ë º º Ò ÐÝ Ñ ÕÙ Ø Ö ÙÐØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º½ ÅÓ Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º¾ ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÒÐÙ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÈÙ Ð Ø ÓÒ Æ Û Ñ Ò ÐÝ Ó Ø ÜÓÔÐ Ò Ø¹ Ó Ø Ø Ö µ Ö ËÓÖ ÒÓ Åº ² Î Ù¹ Ð Ö Ëº ¾¼¼ ÓÙÑ ² ½ ½ ÓÒÐÙ ÓÒ ÒÒ Ü ÈÙ Ð Ø ÓÒ ÈÙ Ð Ø ÓÒ ÈÙ Ð Ø ÓÒ ÈÙ Ð Ø ÓÒ Ä Ø ÔÙ Ð Ø ÓÒ Ð Ó Ö Ô ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½

10

11 ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä³ Ø ÖÓ ÑÓÐÓ ÓÙ ØÙ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö Ø ÙÒ ÔÐ Ò Ò ÔÐ Ò ÓÖº ÐÓÖ ÕÙ ØÓ Ð Ú Ö Ð ÓÒØ ÓÒÒÙ ÔÙ ÔÐÙ ÕÙ ØÖ Ð ÓÙÚ ÖØ Å Ö Ø Ò ½ µ Ð Ó ÐÐ Ø ÓÒ ³ ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö Ò³ÓÒØ Ø Ñ Ò Ú Ò ÕÙ ØÖ Ö ÑÑ ÒØ ÙÒ Þ Ò ³ ÒÒ µº ij Ø ÖÓ ÑÓÐÓ Ø ØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÙÐ ÓÙØ Ð Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÓÒ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð³ ÒØ Ö ÙÖ ØÓ Ð Ø ³ Ò Ù Ö ÔÖ Ñ ÒØ Ð ÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ Ø ÒØ ÖÒ º ÔÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÓÐ Ö Ô Ö Ä ØÓÒ Ø Ðº ½ ¾µ Ø Ú Ò ² Å Ö ½ ¾µ ÔÙ ÍÐÖ ½ ¼µ Ø Ä Ö ² ËØ Ò ½ ½µ г ¹ Ð Ó ÑÓÐÓ Ô ÖÑ ÓÒÒ ØÖ Ð³ ÒØ Ö ÙÖ ÓÐ Ö ÙÒ ÔÓÙÖ Ñ ÐÐ ÔÖ º ÁÐ ³ Ø ³ÓÒ ÓÒÓÖ ÑÓ Ôµ Ü Ø Ñ Ò Ö ØÓ Ø ÕÙ Ö Ð ÔÖ Ò Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú ÜØ ÖÒ Ú Ô Ö Ó Ð³ÓÖ Ö ÕÙ ÐÕÙ Ñ ÒÙØ º ÈÐÙ Ö ÑÑ ÒØ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ñ Ð Ð ÓÒØ Ø Ø Ø Ò ÙÒ ÕÙ ÒÞ Ò ³ ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö º ÇÒ Ô ÙØ Ø Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ ÈÖÓÝÓÒ Å ÖØ Ø Ðº ½ µ α Ò ÓÙ Ý ² ÖÖ Ö ¾¼¼½µ α Ò ÖÖ Ö ² ÓÙÖ Ò ¾¼¼ µ µ Ö ÓÙ Ý Ø Ðº ¾¼¼ µ β ÀÝ Ö Ò Ø Ðº ¾¼¼½µ ÓÙ À ÅÓ Ö Ø Ðº ¾¼¼ µº ÓÒØÖ Ö Ñ ÒØ Ù Ù ËÓÐ Ð ÓÒØ ÓÒ Ô ÙØ ØÙ Ö Ð ÙÖ Ñ Ò Ö ÔÖ ¹ ÙÐ Ð ÑÓ Ô Ö ÓÒØ Ø Ø Ð Ò Ð ØÓ Ð Ù Ù Ñ ÒÕÙ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ø Ð º ÑÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÓÙ Ø ÕÙ ÔÖÓÔ ÒØ Ò Ð Ö ÓÒ Ð ÔÐÙ ÒØÖ Ð º Ä Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÒÒ ÒØ ÓÒ ÔÖ Ù Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ ØÓ Ð º È Ö ÐÐ ÙÖ Ð Ö Ü ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ ÓÒ Ò Ð Ö ÓÒ Ó Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ú Ö Ö Ô Ñ ÒØ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ù Ø Ø Ö Ð Ö ÓÒ ÔÐÙ ÜØ ÖÒ º È ÖÑ Ð ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö Ð Ø ÒØ Ö ÒØ ³ ØÙ Ö Ð ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö º Ò Ø ÔÙ Ð ÕÙ ÒÞ ÖÒ Ö ÒÒ ÜÓÔÐ Ò Ø ÓÒØ Ø ÓÙÚ ÖØ ÙØÓÙÖ ÔÐÙ ¼ ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö º ÜÓÔÐ Ò Ø ÓÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ Ø Ø Ô Ö Ð Ñ Ø Ó Ú Ø Ö Ð ÓÙ Ô Ö Ð Ñ Ø Ó ØÖ Ò Ø º Ä Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö ÓÙÚ ÖØ ÓÒØ Ö ÒØ ÒÓØÖ Ý Ø Ñ ÓÐ Ö Ñ Ð ÔÖÓÚ ÒØ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ Ð Ò Ö ÒØ Ñ Ø Ó º ÇÒ Ø Ø

12 Ò Ø ÔÖ Ö ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÔÐ Ò Ø ÒØ Ò ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð³ ØÓ Ð º ³ Ø Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ ÂÙÔ Ø Ö Ù Ð ³ Ø ÔÐ Ò Ø Ý ÒØ Ô Ö Ó ÓÙÖØ Ñ ÓÑÔ Ö Ð ÐÐ ÂÙÔ Ø Ö Ø ØÖÓÙÚ ÒØ ÙÒ Ø Ò Ð³ÓÖ Ö ¼º½ Í Ð³ ØÓ Ð º Å ØÙ ÐÐ Ñ ÒØ ÔÐÙ Ò ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÐ Ò Ø Ñ ÔÖÓ ÐÐ Ð Ì ÖÖ ÓÒØ Ù ÓÙÚ ÖØ º ÍÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÔÖ Ò Ô Ð ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö Ø Ð ÙÖ ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÜ ØÓ Ð Ò ÔÐ Ò Ø Ø Ø º ØØ ÙÖÑ ¹ Ø ÐÐ Ø Ø Ò ÑÓÝ ÒÒ ÙÔ Ö ÙÖ ¼º¾ Ü Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÐ Ö Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼½ ¾¼¼ ¾¼¼ ÓÒÞ Ð Þ ½ ¾¼¼ µº ÂÙ ÕÙ³ Ö ÑÑ ÒØ ÙÜ Ò Ö Ó Ø ÒØ ÔÖÓÔÓ ÔÓÙÖ Ø ÒØ Ö ³ ÜÔÐ ÕÙ Ö Ð³ÓÖ ¹ Ò Ø Ü Ò Ñ Ø Ùܺ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ò Ö Ó Ð³ ØÓ Ð Ö Ø ÓÖÑ Ò ÙÒ Þ ÔÖÓØÓ Ø ÐÐ Ö Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ñ Ø ÙÜ Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼½ ¾¼¼ µº Ò Ð³ ØÓ Ð Ø ÒØ Ö Ñ ÒØ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÔÙ Ð ÙÖ Ù ÕÙ³ Ù ÒØÖ º Ò Ð ÓÒ Ò Ö Ó Ð³ Ü Ò Ñ Ø ÙÜ Ö ÙÐØ Ö Ø Ð³ Ö Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ø Ñ ÙÜ ÙÖ Ð³ ØÓ Ð Ä Ù Ð Ò ² Ñ ½ ÅÙÖÖ Ý Ø Ðº ¾¼¼½µ Ô Ò ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ø Ö º Ò ÙÐ Ð ÓÙ ÙÔ Ö ÐРг ØÓ Ð Ú Ö¹ Ö ÒØ Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø Ù Ñ ÒØ Öº ÙÜ Ò Ö Ó ÒØÖ Ò ÒØ ÙÒ ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ Ö ÒØ ÞÓØ ² Î ÙÐ Ö ¾¼¼ µº ÁÐ Ñ Ð Ð Ö ÔÖ ÒØ ÕÙ Ð ÓÒ Ò Ö Ó Ò Ø ÒØ Ô ÔÓÙÖ ÔÐÙ ÙÖ Ö ¹ ÓÒ º Ä ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÒ Ø Ø ÓÖ ÕÙ Ð Ñ Ø Ö Ö Ø Ò Ö Ø Ô Ò Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú ÜØ ÖÒ Ñ ØÓÑ Ú Ö Ð³ ÒØ Ö ÙÖ Ò Ö ÓÒ Ð ÓÒÚ Ø ÓÒ Ø ÖÑÓ ¹ Ð Ò Ù Ù Ö ÒØ Ò Ø Ð ÔÓ ÑÓÐ ÙÐ Ö ÑÓÝ Ò Î ÙÐ Ö ¾¼¼ Ì Ó Ø Ðº ¾¼¼ µ Ø ÓÒØ Ð³ ÐÐ Ø ÑÔ Ø Ð³ÓÖ Ö Ù Ñ ÐÐ Ö ³ ÒÒ ÐÓÖ Õ٠г ÐÐ Ø ÑÔ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÔÐÙØØ Ð³ÓÖ Ö Ù Ñ ÐÐ Ö ³ ÒÒ º Ä ÙÜ Ñ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ ÐÐ Î ÙÐ Ö Ø Ðº ¾¼¼ µ ÓÒØ Ò Ø ÑÓÒØÖ Ö Ð³ Ø ÖÓ ¹ ÑÓÐÓ Õ٠г ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö ι ÀÓÖ Ú Ø ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ø ÓÖÑ Ú Ð³ Ñ ÀÝ Ò Ð Ñ Ñ ÒÙ ÔÖÓØÓ Ø ÐÐ Ö ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ º Ò Ò Ð Ô Ð Ø Ð ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ø Ö ÑÓÒØÖ ÒØ ÕÙ ÐÐ ¹ Ø ÚÓÖ Ô Ö Ð ÔÖ Ò ³ÙÒ ÔÐÙ Ö Ò ÓÒ Ò ³ Ð Ñ ÒØ ÐÓÙÖ Á ² Ä Ò ¾¼¼ µº ÁÐ Ñ Ð ÓÒ ÕÙ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø Ó ÖÚ Ó Ø Ð Ù Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ ÕÙ Ò³ ÑÔ Ô Ò ÒØ Ò Ù ÕÙ ÔÐ Ò Ø ÒØ Ù Ø Ö Ø Ô Ö Ð³ ØÓ Ð Ù ÓÙÖ Ð ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù Ý Ø Ñ º Ò ØØ Ø ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÑÑ ÒØ Ö ÔÐÙ ÙÖ ØÓ Ð ØÝÔ Ó¹ Ð Ö ÔÓ ÒØ ÙÒ ÓÙ ÔÐÙ ÙÖ ÔÐ Ò Ø º ÆÓÙ ÚÓÒ ÓÖ Ð Ù Ø ÓÙ ÔÐÙ ÙÖ Ô Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ó ÖÚ Ø ÓÒ º Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ØÖ ÒÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ð Ø ÓÖ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö º ÆÓÙ ÒØÖÓ Ù ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ö ÒØ Ð Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÒÓÙ Ö ÚÓÒ Ð Ö ÒØ ÑÓ º ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ð Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ö ÕÙ Ò Ò ÕÙ ÓÑ Ò ÓÒ

13 Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ö ÕÙ Ò ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ ÑÓ Ð ÙÜ Ó ¹ ÖÚ Ø ÓÒ º Ä ÓÒ Ô ØÖ Ö Ø Ð ÓÙØ Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ ÙØ Ð Ô Ò ÒØ ØØ Ø Ð Ó ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÌÓÙÐÓÙ ¹ Ò Ú Ø Ð Ó ÔÙÐ Ø ÓÒ ÈÍÄË º ÆÓÙ Ö ÚÓÒ Ð ÙÖ ÔÖ Ò Ô Ð Ö Ø Ö Ø ÕÙ º Ä ØÖÓ Ñ Ô ØÖ Ø ÓÒ Ö Ð³ ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö À ¾¾ Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÓÒ Ô Ø Ð ÓÊÓ̺ ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ ÙÒ ÑÓ Ð Ø ÓÒ ÔÖ ¹ Ð Ñ Ò Ö ÙÜ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ØØ ØÓ Ð º ÆÓÙ ØÙ ÓÒ Ð Ú Ö Ø ÓÒ ÓÑ Ò ¹ ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ö ÕÙ Ò Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ö Ò ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ ÒØÖ Ð ÑÓ Ð º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒÓÙ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ Ò Ð ÑÓ Ð ÚÓÐÙ ÔÓ ÒØ ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ö Ò Ð ÙÑ ÓÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ ÒÓÙ Ó Ø ÒÓÒ ÙÒ Ò ØÙÖ Ñ ÕÙ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú ÕÙ Ø Ø ÜÐÙ Ô Ö Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÓÙÖ ÑÑ ÒØ ÙØ Ð Ø ÕÙ ³ Ú Ö ØÖÓÔ ÑÔÐ º Ò Ð ÕÙ ØÖ Ñ Ô ØÖ ÒÓÙ ØÙ ÓÒ ØØ Ò ØÙÖ Ñ ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ð Ò Ö Ð ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö º ÆÓÙ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ ØÓÙØ Ð ØÓ Ð Ô ÒØ Ô Ö ÙÒ Ø Ô ÓÒÒ Ð ÙÖ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð ÙÖ Ô Ø Ø Ô Ö ¹ Ø ÓÒ Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú Ò Ð ÞÓÒ Ö ÕÙ Ò Ó ÖÚ Ð º ØØ Ò ØÙÖ Ñ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÓÒÒ Ö ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð ÙÖ ØÓ Ð Ò ÕÙ ÙÖ Ð Ø ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø ÙÖ ÓÒÚ Ø º Ä ÒÕÙ Ñ Ô ØÖ ÔÖ ÒØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ð³ ØÓ Ð ½ È ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ØÙ Ù ÓÙÖ Ð³ Ø ¾¼¼ Ð³Ç ÖÚ ØÓ Ö À ÙØ ¹ÈÖÓÚ Ò Ú Ð Ô ØÖÓ¹ Ö Ô ËÇÈÀÁ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ø Ø Ò Ñ Ù Ø Ð Ó ÐÐ Ø ÓÒ ØØ ØÓ Ð Ð ÔÖ Ñ Ö ÙØÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ ÙÒ ÔÐ Ò Ø Ø Ø Ø Ô Ö Å Ð Å ÝÓÖ Ø ¹ Ö ÉÙ ÐÓÞ Ò ½ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ò Ù Ø ØÙ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ó ¹ ÐÐ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ý Ö ³ ÒØ Ö Ð ÑÓ Ø Ð ÓÑÔ Ö Ö ÙÜ ÑÓ Ð º ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ ÒÓ ÔÖ Ñ Ö Ö ÙÐØ Ø º ÍÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ Õ٠г ØÓ Ð µ Ö Ø ÔÖ ÒØ Ù Ô ØÖ º ÐÐ Ø ÒØ ÓÑÔØ ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÒÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙÒ Ö Ú ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ü À ÔÔ Ö¹ Ó º ÆÓÙ ÓÑÔ ÖÓÒ ÒÓÙÚ ÙÜ ÑÓ Ð ÙÜ ÓÒÒ Ù Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø ÒÓÙ ÙØ Ð ÓÒ Ð³ Ø Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÔÓÙÖ ÓÒÒ Ö ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ º ÆÓÙ ÑÓÒØÖÓÒ Õ٠г Ø ÖÓ ÑÓÐÓ ÒÓÙ Ô ÖÑ Ø Ö ¹ Ú Ö Ú ÔÖ ÓÒ Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ö º ÆÓÙ ÔÓÙÚÓÒ Ù ÓÒØÖ Ò Ö Ð Ø ÐÐ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø ÓÒ ÜØ Ò ÓÒ Ù Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ö ÙÐØ Ø ÓÒØ Ñ¹ ÔÓÖØ ÒØ Ò Ð Ñ ÙÖ Ó Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ö ÓÒØ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÜÓÔÐ Ò Ø Ó º Ò Ð Ñ ÒØ ÒÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ ÙÒ Ù ÓÒ Ò Ö Ð ØÖ Ú ÙÜ Ò Ð ÓÒÐÙ ÓÒº

14

15 Ô ØÖ ½ Ì ÓÖ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö Ô ØÖ ÔÓÙÖ ÙØ ³ ÒØÖÓ Ù Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ ÓÙÚ ÖÒ ÒØ Ð Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö º ÁÐ ÔÖ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ø Ð ÓÙØ Ð Ô ÕÙ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÙØ Ð ÔÓÙÖ ÓÒØÖ Ò Ö Ð ÒØ Ö ÙÖ Ø ÐÐ Ö º ÈÓÙÖ ÔÐÙ Ø Ð Ð Ð Ø ÙÖ ÔÓÙÖÖ Ö Ö Ö Ä ØÙÖ ÆÓØ ÓÒ ËØ ÐÐ Ö Ç ÐÐ ¹ Ø ÓÒ Ö Ø Ò Ò¹ Ð Ö ½ ¾¼¼ µ ÓÒØ Ô ØÖ Ø Ò Ô Ö º ½º½ ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö Ä Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ØÖ Ø ÓÑÑ Ø ÒØ Ð ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ñ Ð Ù Ù º ½º½º½ Ä ÕÙ Ø ÓÒ ÇÒ ØÖ Ø Ð Ñ Ð Ù Ø ÐÐ Ö ÓÑÑ ÙÒ Þ ÓÒØ ÒÙ ÓÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒØ ÐÓÖ Ö Ø Ö Ô Ö ÔÓ Ø ÓÒ r Ø Ô Ö Ð Ø ÑÔ tº Þ Ø Ö Ô Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ð³ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ Õ٠г ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÙ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Ñ µ ρ t +.(ρ Ú ) = 0 Ó ρ Ø Ð Ò Ø Ø v Ð Ú Ø Ò Ø ÒØ Ò º г ÕÙ Ø ÓÒ Ù ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ½º½µ ρ( Ú t + ( Ú. Ú ) = P + ρ g ½º¾µ ½ ÓÙÖ ÔÓÒ Ð Ð³ Ö ØØÔ»»ÛÛÛºÔ Ý º Ùº»»Ó ÐÒÓØ»

16 ½¼ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë Ò Ð ÕÙ ÐÐ ÓÒ ÓÒ Ö ÙÐ Ñ ÒØ Ð ÔÖ ÓÒ P Ø Ð³ Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ ÐÐ g Ò Ô Ö g = Φ, ½º µ Ó Φ Ø Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ Ðº ÖÒ Ö Ú Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÈÓ ÓÒ 2 Φ = 4πGρ, ½º µ ÓÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø Φ( r, t) = G V ρ( r, t) r dv ½º µ r г ÕÙ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ö ÐÐ Ú ÒÓÙ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ÒØÖ P Ø ρº Ä ÔÖ Ñ Ö ÐÓ Ð Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÒÓÙ ÓÒÒ dq dt = de dt + P dv dt, ½º µ Ó E Ø Ð³ Ò Ö ÒØ ÖÒ Ô Ö ÙÒ Ø ÚÓÐÙÑ Ø Ó dq Ö ÔÖ ÒØ Ð Ø ÙÜ Ô ÖØ dt ÓÙ Ò Ð ÙÖº ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÙØ ØÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ú Ú Ö Ð Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ [ dq dt = C V dt dt (Γ 3 1) T ] dρ ½º µ ρ dt [ dt = C P dt Γ ] 2 1 T dp ½º µ Γ 2 P dt [ 1 dp = ρ(γ 3 1) dt Γ ] 1P dρ ½º µ ρ dt Ú C P Ø C V Ð Ð ÙÖ Ô ÕÙ Ô Ö ÙÒ Ø Ñ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖ ¹ ÓÒ Ø ÚÓÐÙÑ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ð Ò Ø ÕÙ Ò Ô Ö ( ) ln P Γ 1 =, Γ ( ) ( ) 2 1 ln T lnt =, Γ 3 1 = ½º½¼µ ln ρ Γ 2 ln P ln ρ ad Ö Ð Ø ÓÒ ÒØÖ P ρ T Γ 1 Γ 2 Ø Γ 3 ÚÓÒØ Ô Ò Ö Ð³ Ø Ø Ø ÖÑÓ ÝÒ ¹ Ñ ÕÙ Ø Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ù Þº ÇÒ Ô ÙØ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ö Ð ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ö Ô Ö ad ad ρ dq dt = ρǫ. F, ½º½½µ

17 ½º½º ÉÍ ÌÁÇÆË Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë ½½ Ó ǫ Ø Ð Ø ÙÜ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ³ Ò Ö Ø F Ð ÙÜ ³ Ò Ö º ÈÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ö ÓÒ Ú ÔÐ Ö Ò Ð Ö Ð³ ÔÔÖÓÜ ¹ Ñ Ø ÓÒ Ø ÕÙ ÕÙ ÓÒ Ø Ò Ð Ö Ð Ø ÙÜ Ô ÖØ ÓÙ Ò Ð ÙÖ dq/dtº ij ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ Ú ÒØ ÐÓÖ dp dt = Γ 1P dρ ρ dt ½º½¾µ ½º½º¾ ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ä Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÓÒØ Ð ÑÔÐ ØÙ ÓÑÔ Ö ÙÜ ÐÐ Ö ¹ Ø Ö Ø ÕÙ ³ÙÒ ØÓ Ð º ÐÐ ÚÓÒØ ÓÒ ØÖ ØÖ Ø ÓÑÑ Ø ÒØ Ð ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ÙØÓÙÖ ³ÙÒ Ø Ø ³ ÕÙ Ð Ö º Ä ØÖÙØÙÖ Ð³ ÕÙ Ð Ö Ø ÙÔÔÓ Ø Ø ÕÙ Ð Ö Ú Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ù Ø ÑÔ ÓÒØ Ò Ð º Ò Ð Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ø Ø º ij ÕÙ Ø ÓÒ Ù ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ½º¾µ ÑÔÐ Ø ÒÓÙ Ó Ø ÒÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ð³ Ý ÖÓ¹ Ø Ø ÕÙ P0 = ρ 0 g0 = ρ 0 Φ0, Ó Ð³ÓÒ ÒÓØ Ú Ð³ Ò ¼ Ð ÕÙ ÒØ Ø Ð³ ÕÙ Ð Ö º ij ÕÙ Ø ÓÒ ÈÓ ÓÒ ½º µ Ö Ø Ò Ò 2 Φ 0 = 4πGρ 0 Ò Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ö ½º½½µ Ú ÒØ dq dt = 0 = ǫ 0 1 ρ 0. F0 ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ÓÒ ÖÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ô Ø Ø Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ ÙØÓÙÖ Ð³ Ø Ø ³ ÕÙ Ð Ö º È Ö Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖ ÙÒ Ú Ö Ð ÕÙ ÐÓÒÕÙ y ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÚÓ Ö y( r, t) = y 0 ( r ) + y ( r, t) ½º½ µ Ò Ð Ò Ö Ð ÓÒ ÙØ Ð ÙÒ Ö ÔØ ÓÒ Ð Ö Ò ÒÒ ÕÙ Ø Ó ÙÒ Ö Ö ÒØ Ð Ù Ú ÒØ Ð ÑÓÙÚ Ñ Òغ Ë ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Þ ÔÐ r 0 Ò r 0 + δr Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð y Ú ÐÓÖ ³ Ö Ö δy( r ) = y( r 0 + δ r ) y 0 ( r 0 ) ½º½ µ = y ( r 0 ) + δ r. y 0 ½º½ µ

18 ½¾ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÙ ÓÒ Ð Ò Ö º ij ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ø ½º½µ Ú ÒØ ÐÓÖ δρ + ρ 0.δ r = 0 ½º½ µ ij ÕÙ Ø ÓÒ Ù ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ½º¾µ Ú ÒØ ρ 0 2 δ r t 2 = P + ρ 0 g + ρ g 0 ½º¾¼µ Ú g = Φ º Ä Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ Ð Φ Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ô ÖØÙÖ 2 Φ = 4πGρ, ½º¾½µ ÓÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø Φ = G V ρ ( r, t) r dv ½º¾¾µ r Ò Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ö Ú Ú Ò Ö ( δq t = 1 δp Γ ) 10P 0 δρ ρ 0 (Γ 3 1) t ρ 0 t ½º¾ µ Ò Ð Ù ÑÓÙÚ Ñ ÒØ Ø ÕÙ Ð Ø ÖÑ Ð ÙÖ Ø Ò Ð ÕÙ ÓÒÒ ½º½º δp t Γ 1,0P 0 ρ 0 Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ú Ö Ð δρ t = 0 ½º¾ µ ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ô Ö Ö Ð ÔÐ Ñ ÒØ δr Ò ÙÒ ÓÑÔÓ ÒØ Ö Ð Ø ÙÒ ÓÑÔÓ¹ ÒØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ó Ø δr = ξr ar + ξ h. ½º¾ µ Ú ξh = ξ θ aθ + ξ φ aφ ½º¾ µ ÓÒ ÖÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÖØÙÖ Ù ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ½º¾¼µº Ä Ú Ö Ò ÓÖ ÞÓÒ¹ Ø Ð ÓÑÔÓ ÒØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÒÓÙ ÓÒÒ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ρ 0 2 t 2 ( h. ξ h ) = 2 h P ρ 0 2 h Φ ½º¾ µ

19 ½º½º ÉÍ ÌÁÇÆË Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë ½ ij ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ð Ñ ½º½ µ Ô ÙØ ØÖ Ö Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ ρ = Ú(ρ 0δr) ½º¾ µ = 1 r 2 r (ρ 0r 2 ξ r ) ρ 0 h. ξ h, ½º¾ µ ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø ØØ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º¾ µ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö [ 2 ρ + 1 ] t 2 r 2 r (r2 ρ 0 ξ r ) = 2 hp ρ 0 2 hφ ½º ¼µ Ä ÓÑÔÓ ÒØ Ö Ð Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ù ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ½º¾¼µ ÒÓÙ ÓÒÒ 2 ξ r ρ 0 t = P 2 r Φ ρ g 0 ρ 0 ½º ½µ r Ò Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ô ÙØ ³ Ö Ö ) 1 (r 2 Φ + 2 r 2 h r r Φ = 4πGρ ½º ¾µ Ä Ú Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½º¾ µ ½º ¼µ ½º ½µ Ø ½º ¾µ ÚÓÒØ ØÖ Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ ξ r (r, θ, φ, t) = 4π ξ r (r)yl m (θ, φ) exp (iωt) P (r, θ, φ, t) = 4π P (r)yl m (θ, φ) exp ( iωt) Ó Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ ÓÒØ ÒÓØ Ú ÙÒ Ø Ð º Ä ÓÒØ ÓÒ Y m l (θ, φ) ÓÒØ Ð ÖÑÓÒ ÕÙ Ô Ö ÕÙ Ò Ô Ö Yl m (θ, φ) = ( 1) m(2l + 1)(l m)! Pl m (cosθ)e iωt, 4π(l + m)! ººº ½º µ ½º µ ½º µ Ó Pl m ÓÒØ Ð ÔÓÐÝÒÑ Ä Ò Ö º Ä ÖÑÓÒ ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÓÒØ Ö Ø Ö Ô Ö Ð Ö l Ø Ð Ö Þ ÑÙØ Ð mº Ä ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÖØÙÖ ÓÒØ ÒÒ ÒØ Yl m (θ, φ) ÓÑÑ Ø ÙÖ ÓÑÑÙÒº Ä ÕÙ Ø ÓÒ ½º ¼µ ½º ½µ Ø ½º ¾µ ÑÔÐ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ¹ Ö ÒØ ÐÐ ÔÓÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ ω 2 ρ + ω 2 ( 1 r 2 r (r2 ρ ξ r ) 1 r 2 r ) = ω 2 ρ 0 ξr = d P ( ) r 2d Φ dr l(l + 1) r 2 ( P + ρ 0 Φ ) ½º µ dr d ρ g 0 ρ Φ 0 dr ½º µ l(l + 1) r 2 Φ = 4πG ρ ½º µ

20 ½ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë Ò Ò ÓÒ Ó Ø ÒØ ÔÓÙÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ³ Ò Ö ρ 0 (Γ 3,0 1)δ q = δ P Γ 1,0P 0 ρ 0 δ ρ ½º µ ÇÒ Ô ÙØ ÒÓØ Ö ÕÙ ÕÙ ØÖ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ Ô Ð³ÓÖ Ö Þ ÑÙØ Ð m ÕÙ Ø Ò Ò ÓÖ Ú Ð³ ÝÔÓØ ÝÑ ØÖ Ô Ö Õ٠г Ø Ø ³ ÕÙ Ð Ö º ½º¾ ½º¾º½ Ç ÐÐ Ø ÓÒ ÒÓÒ¹Ö Ð Ø ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ ÆÓÙ ÒÓÙ ÔÐ ÓÒ Ò Ð Ö ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ð Ø ÖÑ ¹ Ð ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð ÕÙ ØÖ Ù Ø Ô Ö δq = 0º ij ÕÙ Ø ÓÒ ³ Ò Ö ½º µ ÑÔÐ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³Ó Ø Ò Ö ρ = δp = Γ 1P ρ δρ, ρ ( 1 Γ 1 P P dp + ρξ r Γ 1 P dr 1 ) dρ ρ dr ½º ¼µ ½º ½µ Ò ÒØÖÓ Ù ÒØ ØØ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ ½º µ Ø ½º µ ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÔÓÙÚÓ Ö Ð Ñ Ò Ö Ð Ú Ö Ð ρ º ÈÓÙÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ ÓÒ Ó Ø ÒØ ( dξ r 2 dr = r + 1 ) dp ξ r + 1 ( ) S 2 l Γ 1 P dr ρc 2 ω 1 P l(l + 1) + Φ ½º ¾µ 2 ω 2 r 2 Ò ØØ ÜÔÖ ÓÒ ÒÓÙ ÚÓÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ð Ö ÕÙ Ò ÓÙ Ø ÕÙ Ö Ø Ö ¹ Ø ÕÙ Sl 2 ÓÙ Ö ÕÙ Ò Ä Ñ Ò Ô Ö S 2 l = l(l + 1)c2 r 2 = k 2 h c2, ½º µ Ó c 2 = Γ 1 P/ρ Ø Ð ÖÖ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ø ÕÙ º ij ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ ÒÓÙ ÓÒÒ dp dr = ρξ ( r ω 2 N 2) + 1 dp Γ 1 P dr P ρ dφ dr ½º µ ÓÑÑ ÔÖ ÑÑ ÒØ ÒÓÙ ÚÓÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ð Ö ÕÙ Ò ÖÙÒعΠРN 2 ¹ Ò Ô Ö ( 1 N 2 dp = g Γ 1 P dr 1 ) dρ ½º µ ρ dr

21 ½º¾º ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ÆÇÆ¹Ê Á Ä Ë Á ÌÁÉÍ Ë ½ Ò Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ Ú Ú Ò Ö ) ( 1 d P (r 2dΦ = 4πG r 2 dr dr c + ρξ ) r 2 g N2 + l(l + 1) r 2 Φ ½º µ ØÖÓ ÕÙ Ø ÓÒ ½º ¾µ ½º µ Ø ½º µ ÙÜÕÙ ÐÐ ÓÒ ÓÙØ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º ½µ ÓÒ Ø ØÙ ÒØ ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÑÔÐ Ø ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ù Ñ ÓÖ Ö ÔÓÙÖ Ð Ú Ö Ð ξ r P Φ Ø dφ /drº Ä Ó ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ØÓÙ Ö Ð º Ä ÓÐÙØ ÓÒ Ú ÓÒ ØÖ Ø ÐÐ ÕÙ ω 2 Ó Ø Ù Ö Ð Ø Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÖÓÔÖ ÖÓÒØ ÐÓÖ Ó Ö ÐÐ º ÙÜ ÙÖ ÔÖ ÒØ ÒØ ÓÒ Ð Ö ÕÙ Ò Ø Ó Ø ÔÙÖ Ñ ÒØ Ö ÐÐ ÙÕÙ Ð Ð ÑÓÙÚ Ñ ÒØ Ø Ó ÐÐ ØÓ Ö Ø ÒÓÒ ÑÓÖØ Ó Ø Ð Ö ÕÙ Ò Ø ÔÙÖ Ñ ÒØ Ñ Ò Ö ÙÕÙ Ð Ð ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ÖÓ Ø ÓÙ ÖÓ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ñ Òغ ½º¾º¾ ij ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÛÐ Ò ÁÐ Ø ØÖ Ð Ö ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ ³ÓÖ Ö ÕÙ ØÖ ÕÙ Ö Ø Ð Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö º ÍÒ ÔÖ Ñ Ö ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ð Ö Ð Ô ÖØÙÖ Ø ÓÒ Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ Ð Φ ÓÒ Ð ÒÓÑÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÛÐ Ò ÓÛÐ Ò ½ ½µº Ä Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ù Ø ÓÒ ÙÒ Ý Ø Ñ ÙÜ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ò¹ Ø ÐÐ Ù ÓÒ ÓÖ Ö ( dξ r 2 = dr r + 1 ) H 1 P ξ r + 1 ( ) S 2 l Γ 1 ρc 2 ω 1 P ½º µ 2 Ó H 1 P dp dr = ρ ( ω 2 N 2) ξ r 1 Γ 1 H 1 P P, = d ln P/dr Ø Ð³ ÐÐ ÙØ ÙÖ ÔÖ ÓÒº ½º µ Ò Ð ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ö Ò ÓÖ Ö Ö Ð n Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÖÓÔÖ ÚÓÒØ Ú Ö Ö ÔÐÙ Ö Ô Ñ ÒØ ÕÙ Ð ÕÙ ÒØ Ø Ð³ ÕÙ Ð Ö º ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ò ÙÒ ÔÖ ¹ Ñ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ð Ö Ú ÕÙ ÒØ Ø Ð³ ÕÙ Ð Ö º Ä Ý Ø Ñ Ö Ù Ø ÐÓÖ ( ) dξ r S 2 = l P dr ω 1 ½º µ 2 ρc 2 dp = ρ ( ω 2 N 2) ξ r ½º ¼µ dr ÙÜ ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÓÑ Ò ÔÓÙÖ ÓÒÒ Ö ) ( ) d 2 ξ r (1 dr = ω2 N2 S 2 l 2 c 2 ω 2 ω 1 ξ 2 r ½º ½µ

22 ½ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÐÓ Ð ÑÓ ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø Ú ÓÒÒ Ö ÙÒ ÓÒÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÙÖ Ö ÕÙ Ò º ÇÒ ÒÓØ ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò Ö Ø Ö ¹ Ø ÕÙ Ä Ñ Ø ÖÙÒعΠРÓÙ ÒØ ÙÒ ÖÐ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ó ÐÐ Ø ÓÒ º ij ÚÓÐÙØ ÓÒ ÙÜ Ö ÕÙ Ò Ú Ð Ö ÝÓÒ Ð³ ØÓ Ð Ø ÑÓÒ¹ ØÖ Ò ÙÖ ½º½ Ò Ð ³ÙÒ ÑÓ Ð ÓÐ Ö Ø Ò Ö º Ä Ö ÕÙ Ò Ä Ñ Sl 2 Ø Ò Ú Ö Ð³ Ò Ò ÔÖ Ù ÒØÖ Ð³ ØÓ Ð Ø ÐÐ ÖÓ Ø Ñ Ò Ö ÑÓÒÓØÓÒ Ù ÕÙ³ Ð ÙÖ º Ä Ö ÕÙ Ò ÖÙÒØ¹Î Ð Ø Ò Ø Ú Ò Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø ÓÒ Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ð ÞÓÒ Ö Ø Ú º Ä Ñ Ü ÑÙÑ N 2 Ø ØÙ ÔÖ Ù ÒØÖ Ð³ ØÓ Ð Ð Ø Ó Ð³ Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð³ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ù ÒØÖ Ù ÙÜ Ö Ø ÓÒ ÒÙÐ Ö º º ½º½ Ö ÕÙ Ò ÖÙÒØ¹Î Ð Ð Ò ÓÒØ ÒÙ µ Ø Ä Ñ ÔÓÙÖ l ÓÑÔÖ ÒØÖ ½ Ø ÔÓ ÒØ ÐÐ µ Ò ÓÒØ ÓÒ Ù Ö ÝÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ÓÐ Ö º Ä Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÞÓÒ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ö ÕÙ Ò ½¼¼ µàþ Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ô Ö l = 2 Ø Ö ÕÙ Ò ½¼¼¼ µàþº ÈÓÙÖ Ò ÐÝ Ö Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ô ÙØ Ö Ö Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º ½µ

23 ½º¾º ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ÆÇÆ¹Ê Á Ä Ë Á ÌÁÉÍ Ë ½ ÓÙ Ð ÓÖÑ Ó ÓÒ K(r) = ω2 c 2 d 2 ξ r dr 2 = K(r)ξ r (1 N2 ω 2 ) ( ) S 2 l ω 1 2 ½º ¾µ ½º µ Ä ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÐÓ Ð ξ r Ú Ô Ò Ö Ù Ò K(r)º Ë K(r) Ø ÔÓ Ø ξ r Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ó ÐÐ ÒØ r Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö ( ) ξ r cos K 1/2 dr + φ, ½º µ Ó φ Ø ÙÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø º Ë K(r) Ø Ò Ø ξ r Ø ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÖÓ ÒØ ÓÙ ÖÓ ÒØ Ú r ÓÙ ( ξ r exp ± Ò Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ó ÐÐ ØÓ Ö ÕÙ Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÕÙ Ò ÓÙ ) K 1/2 dr ω > N Ø ω > S l ω < N Ø ω < S l N < ω < S l S l < ω < N ½º µ ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ó ÐÐ ØÓ Ö ÓÒÒ ÚÓ Ö ÔÐÙ ÙÖ Ö ÓÒ Ó Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÐÐ ÒØ Ú Ö ÓÒ ÒØ ÖÑ Ö Ó Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒØ ÐÓÖ ÜÔÓ¹ Ò ÒØ ÐÐ º Ò Ö Ð Ò Ö Ð ÙÒ Ö ÓÒ ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ú ÓÑ Ò Öº ÇÒ Ø ÐÓÖ ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ô Ò ØØ Ö ÓÒ ÓÒÒ Ø Ö ÕÙ Ò Ø ÓÑ Ò Ô Ö Ð ØÖÙØÙÖ Ù ÑÓ Ð Ò Ð Ö ÓÒ Ô º Ä Ð Ñ Ø ØØ ÞÓÒ Ô ÓÒØ ÔÔ Ð Ð ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ Òغ ÁÐ ÓÒØ Ø ÖÑ Ò Ô Ö K(r) = 0º Ô ÖØ Ö Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ò Ö Ø Ö Ø ÕÙ N Ø S l Ø ÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÚÓ Ö ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÐÐ ØÓ Ö ÓÒ Ú Ó Ø Ò Ö ÙÜ Ð ÑÓ Ä ÑÓ ÙØ Ö ÕÙ Ò ÓÙ ÑÓ Ô Ö Ø Ö Ô Ö ω > N Ø ω > S l Ä ÑÓ Ö ÕÙ Ò ÓÙ ÑÓ Ö Ø Ö Ô Ö ω < N Ø ω < S l

24 ½ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë ½º¾º Ä ÓÒ ÔÖ ÓÒ ÓÙ ÑÓ Ô ÑÓ ÓÒØ Ô ÒØÖ ÙÒ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r = r t Ø Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º Ä ÔÓ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ Ø Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ ω 2 = S 2 l Ó Ø c 2 (r t ) r 2 t = ω2 l(l + 1) ½º µ ÈÓÙÖ Ð ÑÓ Ô Ð Ö ÕÙ Ò ω Ø ØÖ Ö Ò ÓÑÔ Ö Ð Ö ÕÙ Ò ÖÙÒعΠРNº Ò ÓÒ ÕÙ Ò ÓÒ Ô ÙØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ö K Ô Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ K(r) 1 ( ) ω 2 S 2 c 2 l ½º µ Ä ÝÒ Ñ ÕÙ ÑÓ Ø ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ø Ù ÓÒ Ú Ð Ö ÝÓÒº ÑÓ ÓÒØ ÓÒ ÓÙ Ø ÕÙ Ð ÙÖ ÓÖ Ö ÔÔ Ð ÓÑ Ò ÒØ Ø Ð ÔÖ ÓÒº ÇÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö ÙÖ Ð ÙÖ ½º½µ Ð Ö ÓÒ ØÝÔ ÕÙ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÑÓ Ô ÒØÖ Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð Ø Ð ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r t º Ä ÒÓÑ Ö ³ÓÒ Ö Ð ÑÓ Ú ÙØ k 2 r = ω2 S 2 l c 2 ½º µ Ò Ð Ö ÓÒ ÔÐÙ ÔÖÓ ÓÒ Ð³ ØÓ Ð ÕÙ Ò r Ù Ñ ÒØ µ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ø ÔÐÙ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð ÑÓ ÔÖÓÔ ÒØ ÔÐÙ Ö Ô Ñ Òغ ÇÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö ³ ÔÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ ÕÙ ÕÙ Ò c Ù Ñ ÒØ k r Ñ ÒÙ Ù ÕÙ³ Ù ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ Ó Ð ³ ÒÒÙÐ º Ò ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ Ð Ò³Ý Ô ÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð Ð Ú Ø Ø Ø Ò ÒØ ÐÐ º Ä Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ÓÒ Ú ÐÓÖ ÓÙÖ Ö Ø ³ ÖØ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ð º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Ö l Ø Ð ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r t º Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ø ÕÙ ÔÐÙ l Ø Ô Ø Ø ÔÐÙ r t Ø Ô Ø Øº Ä ÓÒ Ô ÙÚ ÒØ ÐÓÖ ³ Ò ÓÒ Ö ÔÐÙ ÔÖÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ò Ð³ ØÓ Ð º Ä ÑÓ Ö ÚÓÒØ ÓÒ ÒÓÙ Ñ Ò Ö ÔÖ Ù Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÓÙ Ø ÐÐ Ö Ð ÔÐÙ ÔÖÓ ÓÒ º ½º¾º Ä ÓÒ Ö Ú Ø ÓÙ ÑÓ ÑÓ ÔÖÓÔ ÒØ ÒØÖ ÙÜ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ ÓÒØ Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ N = ω ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö ÙÖ Ð ÙÖ ½º½º Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ú ÐÓÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ ØÖ ÔÖÓ Ù ÒØÖ Ð³ ØÓ Ð Ø ÙÒ Ù Ø ÓÙ Ð Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú º Ä ÔÓ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ Ø Ò Ô Ò ÒØ Ù Ö lº

25 ½º º Ä ÌÀ ÇÊÁ Ë ÅÈÌÇÌÁÉÍ ½ Ä Ö ÕÙ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ ÑÓ Ø ØÖ Ô Ø Ø ÓÑÔ Ö Ð Ö ÕÙ Ò Ä Ñ ω 2 << Sl 2 µº ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ö Ö K(r) ÓÙ Ð ÓÖÑ Ù Ú ÒØ K(r) 1 ω 2 ( N 2 ω 2) l(l + 1) r 2 ½º µ Ä ÝÒ Ñ ÕÙ ÑÓ Ø ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ô Ö Ð Ú Ö Ø ÓÒ N Ú r ³ Ø Ö Ô Ö Ð Ö Ú Ø º Ë ÓÒ Ñ Ð K(r) ÙÒ ÒÓÑ Ö ³ÓÒ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ò Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ö ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ ³ÓÒ Ö Ú Ø k 2 r = l(l + 1) r 2 ( ) N 2 ω 1 2 ijÓÖ Ö ÑÓ Ù Ñ ÒØ ÕÙ Ò Ð Ö ÕÙ Ò Ñ ÒÙ º ½º ¼µ ½º Ä Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÇÒ Ö ÔÖ Ò Ð Ý Ø Ñ ÙÜ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ù ÓÒ ÓÖ Ö Ó Ø ÒÙ Ò Ð Ö Ð³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÛÐ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ½º Ø ½º µ Ñ ÓÒ Ò Ò Ð Ô Ð Ø ÖÑ Ò H 1 P º Ò Ö ÒØ ÒØ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ Ø Ò Ð Ñ Ò ÒØ Ð Ø ÖÑ dp /dr Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ ÓÒ Ó Ø ÒØ ( d 2 ξ r 2 dr = 2 r 1 ) [ H 1 dξr P Γ 1 dr 2 r d ( )] 1 H 1 2 P ξ r dr Γ ( ) { S 2 l ρc 2 ω 1 ρ ( ω 2 N 2) ξ 2 r + 1 [ ( ) } d H 1 P Γ P + 1 dr ln 1 S 2 l ]P ρc 2 ω 1 2 ½º ½µ ÇÒ ÙØРг ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ ÔÓÙÖ ÜÔÖ Ñ Ö P Ò ÓÒØ ÓÒ ξ r Ø dξ r /dr Ø ÓÒ Ö ÑÔÐ Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ º ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ Ö Ö [ d 2 ξ r 2 dr = 2 r + d ( ) ] dr ln 1 S 2 l ρc 2 ω 1 dξr [ 2 dr + K(r) h(r) ] ξ r, ½º ¾µ Ó Ã Öµ Ø ÓÒÒ ÓÑÑ ÔÖ ÑÑ ÒØ Ô Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ Ø h(r) Ø Ò Ô Ö [ h(r) = 1 H 1 P Γ + d ( ) ]( 1 dr ln 1 S 2 l 2 ρc 2 ω 1 2 r 1 ) H 1 P Γ [ r + d ( )] 1 H 1 2 P ½º µ dr Γ 1 Ø ÖÑ ÓÒØ ÒØ Ö Ú ÕÙ ÒØ Ø Ð³ ÕÙ Ð Ö Ð Ô ÙØ ÓÒ ØÖ Ò Ð Ú ÒØ K(r) Ü ÔØ ÔÖ Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º

26 ¾¼ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë ÁÐ Ø ÔÓ Ð Ö Ö Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º ½µ ÓÙ Ð ÓÖÑ d 2 ξ r dr d ln f dξ [ r 2 dr dr + K(r) h(r) ] ξ r = 0 Ò ÔÓ ÒØ f(r) = 1 Sl 2 ρr 2 c 2 ω 1 2 ½º µ ½º µ ij ØÙ ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ³ Ö Ò Ö Ù Ø ÖÑ Ö Ú ÔÖ Ñ Ö º ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ø Ø ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ú Ö Ð ξ r (r) = f(r) 1/2 ˆξr (r) ½º µ ˆξ r (r) Ø Ø ÐÓÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ó d 2 ˆξr dr 2 + [K(r) h(r)] ˆξ r = 0, ½º µ h(r) = h(r) 1 d 2 ln f + 1 ( ) 2 d lnf ½º µ 2 dr 2 4 dr ÌÓÙØ ÓÑÑ h(r) h(r) Ø ØÖ Ô Ø Ø Ú ÒØ K(r)º ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ð Ò Ð Öº Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ Ú ØÖ Ñ Ð Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º ½µ Ø ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ò Ö ØÖÓÙÚ Ö Ð Ñ Ñ ÞÓÒ Ô ÑÓ º ½º º½ ij Ò ÐÝ Ô Ö Ð Ñ Ø Ó ÂÏà ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ö Ö Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÝÑÔØÓØ Õ٠г ÕÙ Ø ÓÒ ½º µº ÈÓÙÖ Ö ÒÓÙ ÙØ Ð ÓÒ Ð Ñ Ø Ó Ø ÂÏÃ Â Ö Ï ÒØÞ Ð ÃÖ Ñ Ö Ø Ö ÐÐÓÙ Òµº ij ÝÔÓØ ØØ Ñ Ø Ó Ø ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ö Ö Ô Ñ ÒØ Óѹ Ô Ö ÙÜ ÕÙ ÒØ Ø Ð³ ÕÙ Ð Ö Ó Ø K(r)º ØØ ÓÐÙØ ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ ØÖ Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ ˆξ r (r) = a(r) exp [iψ(r)], ½º µ Ó a(r) Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ³ ÑÔÐ ØÙ ÕÙ Ú Ö Ð ÒØ Ñ Òغ Ψ(r) Ø Ø ÐÐ ÕÙ k r = dψ/dr Ø Ú Ö Ö Ô Ñ Òغ Ò Ö ÑÔÐ ÒØ ˆξ r Ô Ö ØØ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ Ø Ò Ò Ð ÒØ h(r) ÓÒ Ó Ø ÒØ d 2 a(r) dr 2 ( da(r) + i 2k r + a(r) dk ) r a(r)kr 2 dr dr = K(r)a(r) ½º ¼µ

27 ½º º Ä ÌÀ ÇÊÁ Ë ÅÈÌÇÌÁÉÍ ¾½ Ä Ø ÖÑ ÖÓ Ø ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ö Ð a(r) Ø k r Ø ÒØ Ùܹ Ù Ö Ð Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö ³ ÒÒÙÐ da(r) 2k r dr 1 da(r) a(r) dr = a(r) dk r dr = 1 1 dk r 2 k r dr ÇÒ Ó Ø ÒØ ÓÒ ÔÓÙÖ Ð³ ÑÔÐ ØÙ ÙÒ Ø ÙÖ ÔÖ a(r) = k r 1/2 ½º ½µ ½º ¾µ ij ÜÔÖ ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÓÒ Ø Ò Ð Ö Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ú ÓÒ Ö a(r) Ú ÒØ Ð Ø ÖÑ Ò (a(r)kr 2 )º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÓÒ Ô Ö ÒØ Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ù Ø k r = K(r) 1/2, a(r) = K(r) 1/4 Ä ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ Ö ÐÐ ³ Ö Ú ÒØ ÐÓÖ ÔÓÙÖ K(r) > 0 ÔÓÙÖ K(r) < 0 ( r ) ˆξ r (r) = A K(r) 1/4 cos K(r ) 1/2 dr + φ r 0 ½º µ ½º µ ½º µ ( r ) ( r )] ˆξ r (r) = K(r) [A 1/4 + exp K(r ) 1/2 dr + A exp K(r ) 1/2 dr r 0 r 0 ½º µ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒØ Ú Ð Ð ÐÓ Ò ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ Ó K(r) = 0º Ä ÓÒ Ø ÒØ Ö ÐÐ A A + A Ø φ ÓÒØ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø º ÇÒ ÓÒ Ø Ø ÕÙ³ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ò Ð ÙÜ ÙÖ K(r) > 0 Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ó ÐÐ ØÓ Ö Ð Ý ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ³ÓÒ º K(r) < 0 Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ð ÓÒ ÓÒØ Ú Ò ÒØ º ÈÓÙÖ Ò ÐÝ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ Ð ÙØ Ö Ð Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ð Ö ÓÒ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ø Ó ÐÐ ØÓ Ö Ø ØÖÓÙÚ Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÓÒ Ø ÒØ º ÇÒ ÔÐ Ò Ð Ö ³ÙÒ ÓÒ Ô Ò ÙÒ ÞÓÒ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ÓÑÔÖ ÒØÖ r 1 Ø r 2 º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ò Ú Ö Þ ÖÓ ÔÓÙÖ r < r 1 Ø r > r 2 º

28 ¾¾ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë Ä ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r 1 Ø Ø Ð ÕÙ K(r) < 0 ÕÙ Ò r < r 1 K(r) > 0 ÕÙ Ò r > r 1 Ò ÒØ ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø K(r) ÙØÓÙÖ r 1 ÓÒ ØÖÓÙÚ K(r) K 1 (r r 1 ), ½º µ Ó K 1 Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú º ÁÒØÖÓ Ù ÓÒ ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ú Ö Ð Ò Ô Ö x = K 1/3 1 (r r 1 ) ½º µ ij ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ Ò ξ r Ô ÙØ ÐÓÖ ØÖ Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ d 2 ˆξr dx 2 = xˆξ r Ä ÓÐÙØ ÓÒ ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ô Ò ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÝ A i Ø B i ˆξ r (r) = C 1 A i ( x) + C 2 B i ( x), ½º µ ½º ¼µ Ó C 1 Ø C 2 ÓÒØ ÓÒ Ø ÒØ º Ä ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ô Ò ÙÒ Ö ÓÒ Ó ÐÐ ØÓ Ö Ù Ð r 1 º Ò C 1 Ø C 2 Ó Ú ÒØ ØÖ Ø Ð ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ú ÖÓ ØÖ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÕÙ Ò Ö ÖÓ Øº Ò Ð Ó r < r 1 x Ø Ö Ò Ø Ò Ø Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÖÝ ³ Ö Ú ÒØ ÐÓÖ ÓÙ Ð ÓÖÑ 1 A i (x) 2 π x 1/4 exp ( 23 ) x 3/2 B i (x) 1 ( ) 2 x 1/4 exp π 3 x 3/2 ½º ½µ ½º ¾µ ÇÒ ÚÓ Ø Ò ÕÙ x Ø ØÖ Ö Ò B i Ù ÕÙ ÒØÖ Ò C 2 = 0º Ä ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø ÔÓÙÖ r < r 1 Ø ÓÒ ˆξ r (r) = C 1 A i ( x) ½º µ Ò Ð Ó r > r 1

29 ½º º Ä ÌÀ ÇÊÁ Ë ÅÈÌÇÌÁÉÍ ¾ x Ø Ö Ò Ø ÔÓ Ø Ð³ ÜÔÖ ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ A i Ø ÐÓÖ ÓÒÒ Ô Ö A i (x) 1 ( 2 x 1/4 cos π 3 x3/2 π ) ½º µ 4 ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÔÓÙÚÓ Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ô φ ÒØÖÓ Ù Ø Ò Ð³ ÕÙ ¹ Ø ÓÒ ½º µº È Ö ÒØ Ø ÓÒ Ú Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÕÙ ÒÓÙ ÓÒÒ r r 1 K(r ) 1/2 dr + φ = 2 3 x3/2 π 4, φ = π 4 ½º µ ½º µ Ä ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ð³ Ò ÐÝ ÂÏÃ Ø ÒØ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø Ò r = r 1 ÔÓÙÖ r > r 1 Ø ÐÓ Ò r 1 µ Ô ÙØ ÓÒ ³ Ö Ö ( r ˆξ r (r) = A 1 K(r) 1/4 cos K(r ) 1/2 dr π ) ½º µ r 1 4 Ä ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r 2 Ø Ø Ð ÕÙ K(r) > 0 ÕÙ Ò r < r 2 K(r) < 0 ÕÙ Ò r > r 2 Ð Ñ Ñ Ñ Ò Ö ÕÙ ÔÖ ÑÑ ÒØ ÓÒ ØÖÓÙÚ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÕÙ ÖÓ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ( r2 ˆξ r (r) = A 2 K(r) 1/4 cos K(r ) 1/2 dr π ) ½º µ 4 r ÈÓÙÖ Ö ÙÒ Ö Ð ÙÜ ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö ÓÒ ÔÐ Ù ÔÓ ÒØ r f ÓÑÔÖ ÒØÖ r 1 Ø r 2 º Ä ÙÜ ÓÐÙØ ÓÒ ÔÓÙÖ ˆξ r Ø Ð ÙÖ Ö Ú Ó Ú ÒØ ØÖ ÓÒØ ÒÙ Ò r = r f º Ò Ò Ð ÒØ Ð Ö Ú K(r) ÓÒ ( rf A 1 K(r f ) 1/4 cos K(r) 1/2 dr π ) r 1 4 ( rf A 1 K(r f ) 1/4 sin K(r) 1/2 dr π ) r 1 4 = A 2 K(r f ) 1/4 cos = A 2 K(r f ) 1/4 sin ( r2 ( r2 r f K(r) 1/2 dr π 4 ) ½º µ ) r f K(r) 1/2 dr π 4 ½º ¼µ

30 ¾ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë Ä ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓÙ ÓÒÒ ÒØ A 1 = A 2 ½º ½µ K(r) 1/2 dr π ) ( ) r2 + K(r) 1/2 dr π = (n 1)π ½º ¾µ r 1 4 r f 4 ( rf ÇÒ Ò Ù Ø ÐÓÖ r2 r 1 K(r) 1/2 dr = ( n 1 ) π, ½º µ 2 Ú n ÒØ Öº K(r) Ô Ò Ð Ö ÕÙ Ò º ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓÙ ÓÒÒ Ð Ö ÕÙ Ò ÑÓ Ô ÒØÖ r 1 Ø r 2 º Ô ÖØ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ½º ¼µ Ø ½º µ ÓÒ Ô ÙØ Ò Ù Ö ÔÓÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ÔÖÓÔÖ ÔÓÙÖ r 1 < r < r 2 Ö ÓÒ ³ÓÒ µ ξ r (r) = Ãρ 1/2 r 1 c 1 Sl 2 ω 1 2 1/2 = Aρ 1/2 r 1 c 1/2 Sl 2/ω2 1 N 2 /ω 2 1 ( r K(r) 1/4 cos K(r ) 1/2 dr π ) r 1 4 1/4 Ó A = Ãω 1/2 º ÔÓÙÖ Ð Ö ÓÒ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÔÓÙÖ r < r 1 ξ r (r) 1 2 Aρ 1/2 r 1 c 1/2 Sl 2/ω2 1 N 2 /ω 2 1 ( r cos K(r ) 1/2 dr π ), r 1 4 1/4 ( r1 ) exp K(r ) 1/2 dr r ½º µ ½º µ ½º µ ÔÓÙÖ r > r 2 ξ r (r) 1 2 Aρ 1/2 r 1 c 1/2 Sl 2/ω2 1 N 2 /ω 2 1 1/4 ( r ) exp K(r ) 1/2 dr r 2 ½º µ ½º º¾ Ì ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ô ÑÓ ÓÒØ Ö Ø Ö Ô Ö Ö ÕÙ Ò Ø ÐÐ ÕÙ ω >> Nº Ò K(r) Ú ³ Ö Ö K(r) 1 ( ) ω 2 S 2 c 2 l ½º µ

31 ½º º Ä ÌÀ ÇÊÁ Ë ÅÈÌÇÌÁÉÍ ¾ ÇÒ Ò Ô ÙØ Ô ÙØ Ð Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µº Ä ÑÓ Ô ÔÖÓÔ ÒØ ÒØÖ ÙÒ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r t Ò Ô Ö ω = S l Ø Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º ÇÖ Ð³ Ò ÐÝ ÕÙ ÓÒ Ù Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ Ò ÔÖ Ò Ô Ò ÓÑÔØ Ð Ö Ü ÓÒ ÓÒ Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º ÍÒ Ò ÐÝ Ñ Ð Ö ÕÙ ÒÓÙ Ò ØÖ Ø ÖÓÒ Ô µ Ò Ù Ø ÔÓÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ÑÓ Ô ÙÒ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ò ÐÓ Ù Ú ÙÒ Ô Ö ÒØ º ÇÒ R ( ) ω 2 Sl 2 1/2 = (n + α)π, ½º µ Ó α = 1/4 + csteº ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ô ÙØ ØÖ Ö Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ r t R r t (1 L2 c 2 ω 2 r 2 ) 1/2 dr c Ó ÓÒ Ò Ø L 2 = l(l + 1)º Ò ÔÓ ÒØ w = ω/l ÓÒ Ô ÙØ Ó Ø Ò Ö Ó F(w) = (n + α)π ω R r t = F (1 c2 (n + α)π =, ½º½¼¼µ ω ( ω L), ½º½¼½µ r 2 w 2 ) 1/2 dr c ½º½¼¾µ ÈÓÙÖ Ð ÑÓ Ö Ò Ö l ÑÓ ÓÒØ Ô ÔÖ Ð ÙÖ Ò Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú ÜØ ÖÒ Ð³ ØÓ Ð º ÇÒ ØÖÓÙÚ ÐÓÖ Ò Ñ Ð Ù ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ ØÖ Ø Ñ Ò Ö Ø ÕÙ º Ë ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ g Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÕÙ P = ρ = 0 Ò r = R ÓÒ ÐÓÖ c 2 = g µ p (R r), ½º½¼ µ Ó µ p = 1 Γ 1 Ø ÙÒ Ò ÔÓÐÝØÖÓÔ ÕÙ Ø Ð Ö ÓÒ ÓÒ Ö º 1 Ò ØÖ Ø ÒØ Ð ÓÙ ÓÒ Ö ÓÑÑ ÙÒ ÔÐ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ó r Ô ÙØ ØÖ Ö ÑÔÐ Ô Ö R Ò Ð³ ÒØ Ö Ð Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½¼¾µ ÓÒ ÐÓÖ F(w) = π 2 wµ pr g ÇÒ Ó Ø ÒØ Ò Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ö ÓÒ Ù Ú ÒØ ω 2 = (n + α)l 2g µ p R ½º½¼ µ ½º½¼ µ

32 ¾ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë ÈÓÙÖ Ð ÑÓ Ö l Ò r t Ø ÔÖÓ Ù ÒØÖ Ð³ ØÓ Ð º ÈÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ö ÓÒ ÓÒ ØÙ R dr R ) 1/2 I = (1 c c2 dr ½º½¼ µ w 2 r 2 c = 0 rt 0 dr c + r t R r t [ ) ] 1/2 1 (1 c2 w 2 r 2 dr c ½º½¼ µ = I 1 + I 2 ½º½¼ µ ÇÒ ÓÒ Ö ÕÙ c Ø ÓÒ Ø ÒØ ÔÖ Ù ÒØÖ ÓÒ Ð ÓÒ Ö ÓÒ ÓÑÑ ÓÒ Ø ÒØ Ò I 1 Ø ÓÒ ØÖÓÙÚ Ò I 1 = r t c(0) L ω = 1 w ½º½¼ µ ij ÒØ Ö ÒØ I 2 Ø Ö ÒØ Þ ÖÓ ÔÓÙÖ r r t º ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ù ÙÔÔÓ Ö ÕÙ c Ø ÓÒ Ø ÒØ Ù ÒØÖ º ÇÒ Ö ÑÔÐ ÐÓÖ Ð ÓÖÒ Ð³ ÒØ Ö Ð I 2 ÇÒ ØÖÓÙÚ ÓÒ Ò Ð Ñ ÒØ 1 I 2 = 1 [ 1 ( 1 u 2) ] 1/2 du w 0 u 2 = 1 ( π ) w 2 1 I = 1 w ³ ÔÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½¼ µ ÓÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö Õ٠гÓÒ Ð Ñ ÒØ π 2 ½º½½¼µ ½º½½½µ ½º½½¾µ I = R 0 dr c F(w) ½º½½ µ ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ ÐÙÐ Ö F(w) ÇÒ Ó Ø ÒØ Ò F(w) = R 0 dr c 1 π w 2 ½º½½ µ R 0 dr c L π ω 2 (n + α)π =, ½º½½ µ ω

33 ½º º Ä ÌÀ ÇÊÁ Ë ÅÈÌÇÌÁÉÍ ¾ Ø Ò Ð Ñ ÒØ ω = ( n + L 2 + α) π R 0 dr c ½º½½ µ ÍÒ Ò ÐÝ ÔÐÙ ÔÖ Ö ÓÒ ÒØÖ Ð Ì ÓÙÐ ½ ¼µ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ö ÙÐØ Ø Ø ÓÖÖ Ø Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö º Ò Ö ÑÔÐ ÒØ L Ô Ö l Ø Ò ÔÓ ÒØ ν 0 = [ R 2 0 ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ν n,l ν n,l (n + l ) + α ν 0 ] 1 dr, ½º½½ µ c ½º½½ µ ÇÒ ÒÓØ ÕÙ ν 0 Ø Ð³ ÒÚ Ö Ø ÑÔ Ò Ö ÙÜ ÓÒ ÔÓÙÖ ØÙ Ö ÙÒ ÐÐ Ö¹ Ö ØÓÙÖ ÒØÖ Ð ÒØÖ Ø Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º ½º º ÖØ Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ä Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÒÓÙ ÓÒÒ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö º Ô Ò ÒØ Ò ÙÒ ØÓ Ð Ö ÐÐ Ð Ü Ø ¹ Ú Ø ÓÒ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ØØ Ø ÓÖ º ÓÒØ ÖØ ÕÙ ÚÓÒØ ÒÓÙ ÓÒÒ Ö Ö Ò Ò Ñ ÒØ ÔÖ ÙÜ ÙÖ ÖØ Ò ÓÙ Ô Õ٠г ØÓ Ð º ËÓÖ ÒÓ Ø Ðº ¾¼¼ µ Ø ËÓÖ ÒÓ ² Î ÙÐ Ö ¾¼¼ µ ÓÒØ ÐÙÐ Ñ Ò Ö ÔÐÙ ÔÖ ÙÒ Ü¹ ÔÖ ÓÒ Ö ÕÙ Ò Ò ÒÐÙ ÒØ Ð ÓÒ ÓÖ Ö º Ä ÔÖ Ò Ô ÙÜ Ö ÙÐØ Ø ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò ØØ Ø ÓÒº Ê ÔÖ ÒÓÒ Ð ÐÙÐ Ø Ô Ö Ì ÓÙÐ ½ ¼µ Ñ Ò ÔÖ Ò ÒØ Ò ÓÑÔØ Ð Ø ÕÙ Ð Ö ÒØ ÑÓ Ò ÔÖÓÔ ÒØ Ô ØÓÙ Ò Ð Ñ Ñ Ö ÓÒ º Ò Ø Ð ÑÓ l = 0 ÔÖÓÔ ÒØ ÔÙ Ð ÒØÖ Ð³ ØÓ Ð r = 0µ Ù ÕÙ³ Ð ÙÖ Ð ÑÓ l 0 ÓÒØ Ô ÒØÖ Ð ÙÖ Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r t ÚÓ Ö Ë Ø ÓÒ ½º¾º µ ÓÒØ Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ô Ò Ù Ö lº Ô ÖØ Ö ÐÙÐ Ø Ô Ö Ì ÓÙÐ ½ ¼µ ÓÒ ØÖÓÙÚ Ò Ö ÑÔÐ ÒØ ÓÖÖ Ø ¹ Ñ ÒØ Ð ÓÖÒ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ú 2πν n,l R r t dr c = 2V = lim b R a r t ( 2n + l + n e + 1 ) π V, 2πν n,l [ b a l(l + 1)c r 2 dr ] l(l + 1) a c(a) ½º½½ µ ½º½¾¼µ

34 ¾ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë Ò ÒØ ÙÒ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ô ÖØ ÓÒ ØÖÓÙÚ Ô ÖØ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½¾¼µ ÕÙ [ R ] 1 dc c(r) 2V = l(l + 1) dr ½º½¾½µ r t r dr R Ò Ö ÑÔÐ ÒØ Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½½ µ Ø Ò ÔÓ ÒØ ÕÙ ν = Ò Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ö ÕÙ Ò Ù ÓÒ ÓÖ Ö ν n,l (n + l ) [ + α l(l + 1) ν c(r) ν 4π 2 ν n,l R R r t 1 r 1 2 R dr r t c ] dc dr dr ÓÒ Ó Ø ÒØ ½º½¾¾µ Ä Ø ÖÑ α Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½¾¾µ Ô Ò Ð³ Ø Ø ³ ÕÙ Ð Ö Ð³ ØÓ Ð Ø Ø Ò Ð ÙÜ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÖ º Ù ÓÒØÖ Ö Ð³ ÒØ Ö Ð Ò Ð Ø ÖÑ ÖÓ Ø Ø Ò Ð ÙÜ ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ò ÒØ Ù ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º ÖØ Ò ÓÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ö ÕÙ Ò ÚÓÒØ ÒÓÙ ÔÔÓÖØ Ö ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ö ÓÒ Ô Õ٠г ØÓ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ë ÐÓÒ Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ø Ð³ ÜÔÖ ÓÒ ØÖÓÙÚ Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö ÔÓÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ½º½½ µ ÓÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò Ñ Ñ Ö l Ø ³ÓÖ Ö Ù n ÓÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÒØ ν 0 º ÇÒ Ò Ø Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ô Ö ν n,l = ν n,l ν n 1,l ½º½¾ µ Ë ÐÓÒ Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ν n,l Ø Ð ν 0 º Ô Ò ÒØ Ú Ø ÓÒ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÚÓÒØ Ò Ù Ö Ú Ø ÓÒ ν Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ν 0 º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ ÔÖ Ò Ò ÓÑÔØ Ð Ø ÕÙ Ð Ö ÒØ ÑÓ Ò Ô ÖÓÙÖ ÒØ Ô Ð Ñ Ñ Ö ÓÒ ÐÓÒ Ð ÙÖ Ö l ÓÒ Ú ÚÓ Ö [ R ] 1 [ R ν n,l = 2 2 r t dr c 0 dr c ] 1 ½º½¾ µ ÍÒ ÓÙØ Ð ØÖ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ö ÕÙ Ò Ø Ð ÓÑÔ Ö Ö ÙÜ Ó ÖÚ ¹ Ø ÓÒ Ø Ð Ö ÑÑ ÐÐ º Ò ÓÖ ÓÒÒ ÓÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ö ÕÙ Ò ÔÓÙÖ ÕÙ Ö l Ø Ò Ð Ñ Ñ Ö ÕÙ Ò ÑÓ ÙÐÓ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ ³ Ø Ö ÓÖÖ n Ó ν 0 º Ë ÓÒ Ö Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÒÒ Ô Ö Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½½ µ ÓÒ ÚÖ Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ò Ú ÖØ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÕÙ Ö º Ò ÙÒ ØÓ Ð Ö ÐÐ Ð Ý ÙÒ ÖØ Ò Ø Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ Ð³ ØÓ Ð º

35 ½º º Ä ÌÀ ÇÊÁ Ë ÅÈÌÇÌÁÉÍ ¾ È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ³ ÔÖ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ½º½½ µ Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö ÔÓÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö ÕÙ Ð ÑÓ n, lµ Ø n 1, l + 2µ ÓÒØ ÕÙ Ñ ÒØ Ò Ö ν n,l ν n 1,l+2 Ñ Ð Ö Ò ÒØÖ Ð ÙÜ Ø ØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ú Ð ÑÓ Ð º ÇÒ Ò Ø Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ô Ö δν n,l = ν n,l ν n 1,l+2 ½º½¾ µ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒØ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ö ÓÒ Ð ÔÐÙ ÔÖÓ ÓÒ Ð³ ØÓ Ð ÓÙ ½ ÊÓÜ ÙÖ ² ÎÓÖÓÒØ ÓÚ ½ µº Ù ÓÒ ÓÖ Ö Ì ÓÙÐ ½ ¼µ Ó Ø ÒØ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ù Ú ÒØ ν 0 δν n,l (4l + 6) 4π 2 ν n,l R 0 1 dc r dr dr ½º½¾ µ Ò ÔÖ Ò ÒØ Ò ÓÑÔØ Ð Ø ÕÙ Ð ÑÓ Ö l 0 ÓÒØ Ô ÒØÖ Ð ÙÖ Ø Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r t ØØ ÜÔÖ ÓÒ Ò³ Ø ÔÐÙ Ú Ð Ð º ÁÐ ÙØ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÑÔÐ Ö Ð ÓÖÒ ³ ÒØ Ö Ø ÓÒº Ô ÖØ Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ö ÕÙ Ò Ù ÓÒ ÓÖ Ö ÓÒÒ Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½º½¾¾µ ÓÒ Ò Ø I(r t ) = R r t 1 r dc dr dr ½º½¾ µ Ò Ò Ð ÒØ Ð Ø ÖÑ c(r)/r Ú ÒØ I(r t ) Ò Ð³ ÜÔÖ ÓÒ ½º½¾¾µ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ù ÓÒ ÓÖ Ö ÔÓÙÖ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ø ÔÐÙ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ö l = 0 ¹ l = 2 Ø l = 1 ¹ l = 3 (n + 14 ) [ ] + α 6 ν2 ( ν 0 ν 2 ) + I(r t ) ½º½¾ µ δν 02 δν 13 (n α ) ( ν 1 ν 3 ) + I(r t ) 4π 2 ν n 1,2 [ ν1 6 ν 3 2π 2 ν n,1 2π 2 ν n 1,3 ] ½º½¾ µ ÇÒ ÚÓ Ø ÕÙ Ð Ø ÖÑ Ò I(r) ÕÙ Ô Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ Ð³ ØÓ Ð ÓÙ ÙÒ ÖÐ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ º ÕÙ ÒØ Ø Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÓÒ ÙÒ ÓÙØ Ð ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÔÓÙÖ Ñ Ò Ö ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º Ë ÓÒ Ö Ò Ò Ð Ö ÓÒ ÓÑÔÓÖØ ÒØ ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÒØ Ú Ø Ù ÓÒ ÓÑÑ Ð Ð Ñ Ø Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú ÓÙ Ð ÞÓÒ ³ ÓÒ Ø ÓÒ À ÁÁ Ð ÓÒ ÓÒØ Ô ÖØ ÐÐ Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ô ÙØ Ö Ö ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ÕÙ Ò º

36 ¼ À ÈÁÌÊ ½º ÌÀ ÇÊÁ Ë ÇË ÁÄÄ ÌÁÇÆË ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ÔÔ Ö ÒØ Ð Ö Ñ ÒØ Ò ÕÙ³ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÒ Ö Ò ÓÙ ½ ¼ ÅÓÒØ ÖÓ ² Ì ÓÑÔ ÓÒ ½ µ Ò Ô Ö δ 2 ν = ν n+1,l + ν n 1,l 2ν n,l ½º½ ¼µ Ä Ô Ö Ó ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø Ð ÙÜ Ó Ð ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ ÓÙ ¹ Ø ÕÙ ³ Ø Ö Ð Ø ÑÔ Ò Ö ÙÜ ÓÒ ÔÓÙÖ ÐÐ Ö Ð Ö ÓÒ ÓÒ Ö Ù ÕÙ³ Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º ÇÒ t s = R r s dr c(r) ½º½ ½µ Ó r s Ø Ð Ö ÝÓÒ Ð Ö ÓÒ ÓÒ Ö º Ò ÐÙÐ ÒØ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÓÒ Ö Ò ÓÒ Ô ÙØ Ú Ö Ö ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ô Ø Ð ÙÜ Ó Ð ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ ÓÙ Ø ÕÙ ÓÒØ ÒÙ Ø Ð Ú Ø Ù ÓÒº ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ ÒØ Ö Ð Ô Ð ÞÓÒ ³ ÓÒ Ø ÓÒ Ð³ Ð ÙÑ Ð ÔÐÙ ÔÖÓ Ð ÙÖ µ Ð Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú Ø Ò Ù ÓÒ ³ Ð ÙÑ Ð Ô Ù Ö ÒØ ³ Ð ÙÑ ÓÙ Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú Î ÙÐ Ö ² Ì Ó ¾¼¼ Ì Ó Ø Ðº ¾¼¼ ØÖÓ ² Î ÙÐ Ö ¾¼¼ µº ÌÓÙØ ÓÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÓÙØ Ð ØÖ ÙØ Ð ÐÓÖ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ ÑÓ Ð Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ÐÐ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÓÒØÖ Ò Ö ÔÖ Ñ ÒØ Ð Ö ÒØ Ö ÓÒ ³ÙÒ ØÓ Ð º

37 Ô ØÖ ¾ Ä Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ ¾º½ Ä Ó ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÌÓÙÐÓÙ ¹ Ò Ú Ä Ó ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ ÒÓÙ ÙØ Ð ÓÒ Ø Ú ÐÓÔÔ Ð³ÓÖ Ò Ò Ú ³ ÔÖ Ã ÔÔ Ò Òµ Ð Ø ÑÓ Ô Ö ÔÐÙ ÙÖ Ö ÙÖ ÓÒØ ÓÖ ÒÒ Ö¹ ÓÒÒ Ð ËÙÞ ÒÒ Ì ÐÓÒ ÇÐ Ú Ö Ê Ö Ø ËÝÐÚ Ì Ó ÕÙ ÓÒØ ÒØÖÓ Ù Ø Ø Ñ ¹ Ð ÓÖ Ð ÔÖÓ Ù Ù ÓÒ Ø Ñ Ð Ò º Ä Ó Ø ½ Ø ÙÔÔÓ Ð³ ØÓ Ð ÝÑ ØÖ Ô Ö ÕÙ Ø Ò ÑÔ Ñ Ò ¹ Ø ÕÙ º ÁÐ ÐÙÐ Ð ØÖÙØÙÖ ØÓ Ð ÕÙ Ô Ø ÑÔ ÚÓÐÙØ Ò Ø Ò ÒØ ÓÑÔØ Ò Ñ ÒØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ö Ø ÓÒ ÒÙÐ Ö ÓÙ Ð Ù ÓÒº ÁÐ ÙØ Ð ÔÖ ¹ ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ú ÙÒ ÑÓ Ð ÔÓÐÝØÖÓÔ ÕÙ º ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ ÒØÖ Ò ÕÙ Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÖÓ Ù Ô Ý ÕÙ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð ÐÙÐ ÒÓ ÑÓ Ð º ÍÒ Ö ÔØ ÓÒ Ø ÐÐ Ù Ó Ø ÓÒÒ Ô Ö ÀÙ ¹ ÓÒ¹ÀÓ ¾¼¼ µº ¾º½º½ È Ö Ñ ØÖ ³ ÒØÖ Ä³ ÕÙ Ø ÓÒ ³ Ø Ø ÐÐ Ô ÖÑ Ø Ô ÖØ Ö ÙÜ ØÖÓ Ô Ö Ñ ØÖ P ρ Ø T Ø ÖÑ Ò Ö ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ ÓÒÒ Ð ØÖÓ Ñ º Ò Ð Ó Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ³ Ø Ø ÔÖ ÒØ ÓÙ ÓÖÑ Ø Ð ÕÙ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ Ò Ñ Ð ÓÒÒ Ô Ö Ñ ØÖ P T X Zµ ÐÙÐ ÒØ Ð Ò Ø ρ Ò ÕÙ ³ ÙØÖ Ú Ö Ð Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÕÙ C V Γ 1 χ T χ ρ ºººµ Ò Ö ÙÜ ÐÙÐ ÑÓ Ð º Ä ÐÙÐ Ø Ô Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÒÒ ÔÓÙÖ ØÖÓ Ú Ð ÙÖ Ö ÒØ Ò Ø ÔÙ Ô Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ð ÐÓÒ Ð Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ º ½

38 ¾ À ÈÁÌÊ ¾º Ä Ë Ç Ë ÆÍÅ ÊÁÉÍ Ë ÁÐ Ø ÔÓ Ð Ó Ö ÒØÖ ÔÐÙ ÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ ³ Ø Ø ÓÑÑ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÅÀ Å Ð Ø Ðº ½ ÔÔ Ò ½ ¾µ ÇÈ Ä ÊÓ Ö Ø Ðº ½ ÊÓ Ö ² Æ Ý ÓÒÓÚ ¾¼¼¾µ ÓÙ Ù Þ Ô Ö Øº ÈÓÙÖ ØÓÙ Ð ÑÓ Ð ÐÙÐ Ò ØØ Ø ÒÓÙ ÚÓÒ ÙØ Ð Ð Ø Ð ÇÈ Ä¾¼¼½ ÊÓ Ö ² Æ Ý ÓÒÓÚ ¾¼¼¾µ ÕÙ ÓÒØ ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ ØÖÓ Ú Ð ÙÖ ¼ ¼º¼¾ Ø ¼º¼ º ÇÔ Ø Ò Ð Ó Ð ÐÙÐ ÓÔ Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ð³ Ø Ð º ÈÓÙÖ Ú Ð ÙÖ ÓÒÒ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ð ÔÖ ÓÒ Ø Ö Ø ÓÒ Ñ ³ Ý ÖÓ Ò Ø ³ Ð ÙÑ Ð ÓÔ Ø Ø Ö Ú ÓÒØ ÐÙÐ Ô Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒº ÆÓÙ ÙØ Ð ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙ ÒÓ ÐÙÐ Ð Ø Ð ³ÓÔ Ø ÇÈ Ä Á Ð ² ÊÓ¹ Ö ½ µ ÓÑÔÐ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ö Ð Ø Ð ³ Ð Ü Ò Ö ² Ö Ù ÓÒ ½ µº ÐÐ ÓÒØ ÐÙÐ ÔÓÙÖ ÓÒ Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ñ Ø ÙÜ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ÓÒ Ò Ô ÓØÓ Ô Ö ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ö Ú ² ÆÓ Ð ½ µº Ä Ö Ø ÓÒ ÒÙÐ Ö ÇÒ ÙØ Ð Ð Ø ÙÜ Ö Ø ÓÒ ÒÙÐ Ö Æ Ê Ò ÙÐÓ Ø Ðº ½ µ Ò ÒÐÙ ÒØ ØÓÙ Ð Ð Ñ ÒØ Ù Ö Ù Ö Ø ÓÒ ØÖÓ Ò ÔÔ Ø Ù ÝÐ ÆÇ Ù ÕÙ³ Ð Ö Ø ÓÒ 16 Ç Ô γµ 19 º Ä Ó ÐÙÐ Ð Ø ÙÜ Ö Ø ÓÒ ÒÙÐ Ö Ð Ø ÙÜ ÔÖÓ ÙØ ÓÒ ³ Ò Ö ÒÙÐ Ö Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø ÙÜ ³ Ö ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ º Ä ÓÒÚ Ø ÓÒ Ä ØÖ Ø Ñ ÒØ Ð ÓÒÚ Ø ÓÒ Ò Ð Ì ÓÙÖÒ Ø Ð ØÖ Ò ÖØ ³ Ò Ö Ò Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú Ø Ð Ö ÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ä Ø Ð Ø Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø ÓÒ Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ö Ø Ö Ë Û ÖÞ Ð rad ad Ä ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú ÓÒØ ØÖ Ø Ò Ð Ö Ð Ø ÓÖ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ñ Ð Ò ÅÄ̵ ÐÓÒ Ð ÔÖ Ö ÔØ ÓÒ Ñ¹Î Ø Ò ½ µ Ð ÙÐÐ ÓÒÚ Ø Ú ÓÒØ Ð Ñ ÒØ Ñ ÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÒØ Ð Ð Ö Ô ÖÓÙÖ ÑÓÝ Ò Ø Ð Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ Ñ Ð Ò Ò Ô Ö Λ = αh P, ¾º½µ Ó H p = 1/(d lnp/dr) Ø Ð³ ÐÐ ÙØ ÙÖ ÔÖ ÓÒ Ø α Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÒ Ù ÙÖ Ñ Ð Ò º ³ Ø ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ð Ö º ÈÓÙÖ ÒÓ ÑÓ Ð ÒÓÙ ÙØ Ð ÓÒ Ò Ò Ö Ð Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÓÐ Ö α = 1.8 Ê Ö ½ µº

39 ¾º½º Ä Ç ³ ÎÇÄÍÌÁÇÆ ËÌ ÄÄ ÁÊ ÌÇÍÄÇÍË ¹ Æ Î ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ò Ø Ð Ä Ô Ö Ñ ØÖ Ð Ö Õ٠гÓÒ Ü Ò ÒØÖ Ù Ó ÓÒØ ini Ø»À ini Ó»À Ø Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ò Ô Ö ( ) ( ) Z Z [Fe/H] = log log. ¾º¾µ X X ini Ø ini ÓÒØ ÐÙÐ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ñ Ð Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ÓÒ Ò Ö Ð Ø Ú Ö Ú ² ÆÓ Ð ½ µº Ä Ð Ñ ÒØ ÐÓÙÖ ÕÙ ÓÒØ ÔÖ Ò ÓÑÔØ ÓÒØ 6 Ä 7Ä Æ 15 Æ 16 Ç 17 Ç 18 Ç 20 Æ 22 Æ 24 Å 25 Å Ø 26 Å º ÁÐ Ø Ù ÔÓ Ð Ò Ö Ð³ ÓÒ Ò ³ Ð ÙѺ ÇÒ Ô ÙØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ö ÙÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ù Ø ÐÓÒ Ð ÐÓ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü ÁÞÓØÓÚ ² Ì Ù Ò ¾¼¼ µ Y = Y P + Z Y Z, ¾º µ Ó Y P = Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÖ ÑÓÖ Ð ³ Ð ÙÑ Ø Y/ Z = 2.3 Ð Ô ÒØ Ð ÓÙÖ Ö Ö ÓÒ Ó Ø ÒÙ Ô ÖØ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ º Ä Ú Ð ÙÖ Ù Ø Ð Ð Ö Ø ÓÒ ÓÐ Ö Ú Ì Ê Ö ½ µ ÓÒØ = Ø = º Ú Ð Ú Ð ÙÖ P Ø Y/ Z ÓÒÒ ¹ Ù ÓÒ Ó Ø ÒØ Ò Ð Ö Ð Ø ÓÒ ØØ Ò Ù Y = Y P + Z ( Y/ Z)º ij ØÑÓ Ô Ö ÇÒ ÙØ Ð ÙÒ ÑÓ Ð ³ ØÑÓ Ô Ö Ö ÕÙ Ù Ø Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ Ò ØÓÒ T(τ) = T eff [ 3 4 ( τ + 2 )] 1 4, ¾º µ 3 Ó τ Ø Ð ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ ÓÔØ ÕÙ º ij ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÑÑ Ò ÔÓÙÖ τ = Ø ³ ÖÖ Ø ÕÙ Ò ÓÒ ØØ ÒØ Ð³ ÒÚ ÐÓÔÔ ÔÓÙÖ T = T eff ³ ع¹ Ö ÕÙ Ò τ = 2/3µº ¾º½º¾ Ä ÔÖÓ Ù ÒÓÒ¹ Ø Ò Ö Ä Ù ÓÒ ØÓÑ ÕÙ ÍÒ ØÓ Ð Ø ÓÑÔÓ Ö ÒØ Ô Ñ ÕÙ º Ä ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ð Ñ ÒØ Ò ÕÙ ÓÙ ÚÓÐÙ Ù Ð Ù ÓÒ ØÓÑ ÕÙ º ÁÐ ³ Ø Ð Ñ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ö ÒØ ÔÖ ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ð³ Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ú Ø Ð Ö ÒØ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒº

40 À ÈÁÌÊ ¾º Ä Ë Ç Ë ÆÍÅ ÊÁÉÍ Ë ÁÐ Ò Ö ÙÐØ ÙÒ Ù ÓÒ Ð Ñ ÒØ ÕÙ ÒÓÙ ØÖ ØÓÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ Ú Ø Ò Ð Ó º ØØ Ú Ø Ù ÓÒ Ø ÐÙÐ Ò Ù Ú ÒØ Ð ÓÖÑ Ð Ñ ÔÑ Ò ² ÓÛÐ Ò ½ ¼µ ÕÙ ÙÔÔÓ ÙÒ Ñ Ð Ò Ø ÖÒ Ö ÒÐÙ ÒØ Ð Ð ØÖÓÒ º Ä Ú Ø Ù ÓÒ ³ÙÒ ÓÒ i Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÜ ÔÖÓØÓÒ ³ Ö Ø ÐÓÖ V pi = D pi [ ln C i + k p ln P + α pi ln T f i k B T ], ¾º µ Ó D pi Ø Ð Ó ÒØ Ù ÓÒ α pi Ð Ó ÒØ Ù ÓÒ Ø ÖÑ ÕÙ C i Ð ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ð³ Ð Ñ ÒØ i Ø f i Ð ÓÖ Ö Ø Ú º Ð Ù Ø Ð³ ÓÖÔØ ÓÒ Ó٠г Ñ ÓÒ Ô ÓØÓÒ Ô Ö Ð ØÓÑ Ð ØÖ Ò ¹ ÖØ ÑÓÑ ÒØ ÒØÖ Ð Ö ÝÓÒÒ Ñ ÒØ Ø ØÓÑ Ò Ù Ø ÓÖ Ö Ø Ú º ij Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ú ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ g rad ÕÙ ³ ÔÔÐ ÕÙ ÙÖ ÙÒ ÓÑÔÓ ÒØ Ø Ð ÓÑÑ ÙÜ Ø ÖÑ ÙÒ Ø ÖÑ ÔÖÓÚ Ò ÒØ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð ¹Ð Ø ÙÒ ÔÖÓÚ Ò ÒØ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð ¹Ð Ö º ËÝÐÚ Ì Ó Ö ÑÑ ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ö Ø Ú Ò Ð Ó Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÖÑ Ð Ñ Ä Ð Ò ² Ð Ò ¾¼¼ µ ÕÙ ÙØ Ð Ð³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ËÎÈ Ë Ò Ð Î ÐÙ È Ö Ñ Ø Öµ Ð Ø ÖÑ Ù Ð Ô Ý ÕÙ ØÓÑ ÕÙ ÓÒØ Ô Ö Ø ÖÑ ÒÓÒ Ð Ò Ö º ÔÐÙ Ð Ø ÖÑ Ð Ô Ý ÕÙ ØÓÑ ÕÙ Ø ÙÔÔÓ Ú Ö Ö ØÖ Ô Ù ÙØÓÙÖ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ð³ ÓÒ Ð ÓÖ Ö Ø Ú Ø Ñ Ü ÑÙѺ Ò Ð ÑÓ Ð ÐÙÐ ÔÓÙÖ ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö Ð ÓÖ Ö Ø Ú ÙÖ Ð ØÓÑ Ø Ð Ø Ô ÙØ ØÖ Ò Ð Å Ù Ø Ðº ½ µº Ä Ø ÖÑ Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ö ÒØ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ò³ Ø Ò Ò Ö Ð Ô ÐÙÐ Ö Ð Ø Ò Ð Ð Ù Ò Ð ÐÙÐ ÒÐÙ ÒØ ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ØÙÖ ÙÐ ÒØ º Ò ÙÒ Ó ÒØ Ù ÓÒ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø ÓÙØ Ò Ð Ø ÖÑ Ö ÒØ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÑÓ Ð Ö Ð ØÙÖ ÙÐ Ò Ò ½ µ Ω 2 r 6 L D T = γ G 2 ( ad rad M 3 (1 Ω2 2πGρ ), ¾º µ Ó r Ø Ð Ö ÝÓÒ L M Ø ρ ÓÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÐÙÑ ÒÓ Ø Ð Ñ Ø Ð Ò Ø Ò r Ω Ð Ú Ø Ò ÙÐ Ö Ð³Ø Ó Ð Ø γ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ù Ø Ð º Ä Ø ÙÖ Ù ÓÒ Ø ÖÑ ÕÙ α pi ³ Ö Ø α pi = 1 c i D th D pi, Ó D th Ø Ð Ó ÒØ Ù ÓÒ Ø ÖÑ ÕÙ ÙÖ Ö ½ ¼µº ¾º µ Ò Ò Ò ÔÖ Ò ÒØ Ò ÓÑÔØ Ð ÑÔ Ð ØÖ ÕÙ Ð Ô Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ð ØÖÓÒ Ð Ø ÖÑ ØÖ Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ Ð ³ Ö Ø ( k p ln P = A i Z i 2 1 ) ( ) mp Gm r, ¾º µ 2 k B T r 2

41 ¾º½º Ä Ç ³ ÎÇÄÍÌÁÇÆ ËÌ ÄÄ ÁÊ ÌÇÍÄÇÍË ¹ Æ Î Ó A i Ø Ð Ñ ØÓÑ Õ٠г Ð Ñ ÒØ i Z i Ö m p Ð Ñ Ù ÔÖÓØÓÒ G Ð ÓÒ Ø ÒØ Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ ÐÐ m r Ð Ñ Ù Ö ÝÓÒ r k B Ð ÓÒ Ø ÒØ ÓÐØÞÑ ÒÒ Ø G Ð ÓÒ Ø ÒØ Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ ÐÐ º ÈÓÙÖ ØÓÙ ÒÓ ÑÓ Ð ÒÓÙ ÙØ Ð ÓÒ Ð Ó ÒØ Ù ÓÒ D pi Ø α pi È ÕÙ ØØ Ø Ðº ½ µº Ä Ð Ñ ÒØ ÕÙ Ù ÒØ ÓÒØ À À Ä Æ Ç Æ Ø Å º Ä Ó ÐÙÐ Ð Ú Ø Ù ÓÒ ÔÓÙÖ ÕÙ ÓÙÔÐ ÓÒ¹ÔÖÓØÓÒ ÔÙ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð Ñ Òغ ij ÚÓÐÙØ ÓÒ Ð ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ö ÒØ Ô Ù Ø ÐÓÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ø ρ dc i dt = 1 ( r 2 V r 2 pi ρc ) λ i ρc i ¾º µ r Ó λ i Ø Ð Ø ÙÜ Ö Ø ÓÒ ÒÙÐ Ö Ð³ Ð Ñ ÒØ i ÓÒ Ö º ÁÐ ³ Ø ÐÓÖ Ö ÓÙ Ö ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ö º ÇÒ ØÙ ØÓÙØ ³ ÓÖ ÙÒ Ö Ø Ø ÓÒ Ô Ø Ð ÔÙ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙ ÓÖÑ Ñ ØÖ ÐÐ º Ý ¹ Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÐÓÖ Ö ÓÐÙ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ñ Ø Ó Ö Ò ¹Æ ÓÐ ÓÒ ÚÓ Ö Ö ÓÒÒ Ð Ø Ðº ½ ¾µº ÇÒ Ó Ø ÒØ Ò Ð ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÒ Ò Ð Ñ ÒØ º Ä ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ð³ Ý ÖÓ Ò Ø Ò Ù Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Ô ÖØ Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ X + Y + Z = 1º Ä Ù ÓÒ Ø ÐÙÐ Ù ÕÙ³ ÙÒ ÓÙ Ô ÖØ Ö Ð ÕÙ ÐРг ÐÐ Ø ÑÔ Ð Ù ÓÒ Ø Ò Ð Ð Ø Ð³ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÒÓÖ Ð º ³ ÙØÖ Ó ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÖÑ Ð Ñ ÙÖ Ö ÙÖ¹ Ö ½ ½ ¼µ ÕÙ ÓÒ Ø ÓÒÒ Ö ÔÓÙÖ ÕÙ ÓÒ ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÜ ÔÖ ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ º Ä Ý Ø Ñ ³ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ò Ù Ø Ö ÓÐÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð Óѹ ÔÓ ÒØ Ù Ñ Ð Ò º Ä Ö ÙÐØ Ø Ó Ø ÒÙ Ú Ð Ì Ò Ð ÑÓ Ð ÓÐ Ö ÓÒØ Ø ÓÑÔ Ö Ú ÙÜ Ó Ø ÒÙ Ú Ð Ó ÅÓÒØÖ Ð ÕÙ ÙØ Ð Ð ÓÖÑ Ð Ñ ÙÖ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø ÓÒØ ØÖ ÔÖÓ º ÑÓ Ð Ø ÐÐ Ö ÐÙÐ Ú Ð Ì ÓÒØ Ð Ñ ÒØ Ø ÓÑÔ Ö Ú ÑÓ Ð ÐÙÐ Ô Ö ³ ÙØÖ Ó ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÙØ Ð ÒØ Ð Ñ Ø Ó ÙÖ Ö Ø Ò Ð Ö Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ËÌ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ë Ñ ÌÓÓÐ Ø Ú Ø µ ÔÓÙÖ ÓÊÓÌ Ä Ö ØÓÒ Ø Ðº ¾¼¼ µº ÇÚ Ö ÓÓØ Ò Ä Ð Ñ Ø ÜØ Ö ÙÖ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø Ø ÖÑ Ò ÐÓÒ Ð Ö Ø Ö Ë Û ÖÞ¹ Ð Ô Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ rad = ad

42 À ÈÁÌÊ ¾º Ä Ë Ç Ë ÆÍÅ ÊÁÉÍ Ë Ô Ò ÒØ Ð ÙÐÐ ÓÒÚ Ø Ú Ò ³ ÖÖ Ø ÒØ Ô ÖÙØ Ð Ñ ÒØ ÐÓÖ ÕÙ³ ÐÐ ØØ Ò ÒØ Ð Ð Ñ Ø ÒØÖ Ð ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø Ð ÞÓÒ Ö Ø Ú º ÐÐ ÓÒØ ÒÙ ÒØ ÔÖÓÔ Ö Ò Ð ÞÓÒ Ö Ø Ú Ó٠г Ø Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ò ÖØ º ³ Ø ÕÙ³ÓÒ ÔÔ ÐРгÓÚ Ö¹ ÓÓØ Ò Ð ÞÓÒ Ñ Ð Ò ÓÒÚ Ø Ø Ø Ò Ù Ù Ð Ð Ð Ñ Ø Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ð Ö Ø Ö Ë Û ÖÞ Ð º Ô ÒÓÑ Ò Ô ÙØ Ð Ñ ÒØ ÔÖÓ Ù Ö ÓÙ Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú ÙÖ º Ò Ð Ì Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ø ÑÓ Ð ÓÑÑ ÙÒ ÑÔÐ ÜØ Ò ÓÒ Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø ÓÒ Ð Ö ÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÕÙ Ø Ø Ò Ù Ð ÞÓÒ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ò ÔÔ Ð ÒØ r mix Ð Ö ÝÓÒ Ð ÞÓÒ ÒØÖ Ð Ñ Ð Ò ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø ÜØ Ò ÓÒ Ù Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò µ ÓÒ r mix = r cc + α ov H P, Ó r cc Ø Ð Ö ÝÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø α ov Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ø H P г ÐÐ ÙØ ÙÖ ÔÖ ÓÒº Ä Ô Ö Ñ ØÖ α ov Ø ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ð Ö º ¾º½º Ä ÓÐ Ö Ê Ö ½ µ Ê Ö Ø Ðº ½ ¾¼¼ µ ÓÒØ ÐÙÐ ÑÓ Ð ÓÐ Ö Ú Ð Ó ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÌÓÙÐÓÙ ¹ Ò Ú º ÑÓ Ð ÓÒØ Ø Ð Ö Ñ Ò Ö Ó Ø Ò Ö Ð³ Ù ËÓÐ Ð Ò ÕÙ Ð Ö ÝÓÒ Ø Ð ÐÙÑ ÒÓ Ø ÓÐ Ö º Ä ÐÙÐ ÓÒØ Ø Ø Ò ÒÐÙ ÒØ Ð Ù ÓÒ ØÓÑ ÕÙ Ø Ð Ñ Ð Ò Ò Ù Ø Ô Ö Ð ÖÓØ Ø ÓÒº ÆÓÙ ÙØ Ð ÓÒ ÔÓÙÖ ÒÓ ÑÓ Ð Ð Ú Ð ÙÖ Ù Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓÒ Ù ÙÖ Ñ Ð Ò α Ø Ð³ ÓÒ Ò Ò Ø Ð ³ Ð ÙÑ ÓÒØÖ ÒØ Ô Ö Ê Ö ½ µ α = Ø Y 0 = ¾º¾ Ä Ó ÈÍÄË Ä Ó ÈÍÄË Ö Ö ² ÖÔ Ò Ø ¾¼¼ µ ÐÙÐ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÒÓÒ¹Ö Ð Ø ÕÙ º Ó ØÓÙØ ³ ÓÖ Ø Ú ÐÓÔÔ ÔÓÙÖ Ð³ Ø ÖÓ ÑÓ¹ ÐÓ Ò Ò Ð Ò Ñ Ð Ø Ñ ÒØ Ò ÒØ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ú Ö ØÝÔ ³ ØÓ Ð ÒÓØ ÑÑ ÒØ ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö º Ä Ó Ö ÓÙ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÒÓÒ Ö Ð Ò ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø º ØØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ô Ö Ø Ö Ø ÓÒ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ñ Ø Ó Ð Ñ ÒØ Ò Ð Ö Òº Ä ØÖ Ø Ø ÓÒ Ö Ð Ð³ ØÓ Ð Ø Ú Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ô Ö ÓÒØ ÓÒ Ð Ò Ö Ö ÕÙ Ö Ø ÕÙ ÓÙ Ù ÕÙ º

43 ¾º¾º Ä Ç ÈÍÄË Ä Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ò ÙÜ Ø Ô º ÌÓÙØ ³ ÓÖ Ð Ó ÒÒ Ð ÑÑ Ö ÕÙ Ò Ô ÕÙ Ò ÔÖ Ò ÒØ ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø ÓÑÑ Ö Ñ Ò Òغ ØØ Ø Ô Ô ÖÑ Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò Ø ÓÒØ ÓÒ ÔÖÓÔÖ º Ò Ð ÓÒ Ø Ô Ð Ó ÓÒÚ Ö Ô Ö Ø Ö Ø ÓÒ Ú Ö ÕÙ ÑÓ ÔÖÓÔÖ ÒØ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ñ Ø Ó Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ÓÒº

44

45 Ô ØÖ À ¾¾ ÑÓ Ð Ø ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÙÜ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÆÓÙ ÒÓÙ ÒØ Ö ÓÒ Ò Ô ØÖ Ð³ ØÓ Ð À ¾¾ º ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö Ð ¼¹Î ÙØÐ Ö Ø Ðº ¾¼¼¼µº ÍÒ ÔÐ Ò Ø ÒØ Ø ÓÙÚ ÖØ Ò Ô Ò ÑÑ ÒØ Ô Ö ÙØÐ Ö Ø Ðº ¾¼¼¼µ Ø Æ Ø Ðº ¾¼¼½µ Ñ Ø ½º½ Å J Ø ÐÐ ÓÖ Ø ¼º Í Ð³ ØÓ Ð Ò ½½ ÓÙÖ º À ¾¾ Ø ÙÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÖÓ Ñ ÕÙ ÓÊÓÌ ÕÙ ÙÜ Ó Ø ÒØ ÕÙ Ð Ø Ø ÓÒ ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö Ø Ð Ö Ö ØÖ Ò Ø ÔÐ Ò Ø Ö º ØØ ØÓ Ð Ø Ó ÖÚ Ô Ò ÒØ Ð ÓÒ ÐÓÒ ¹ÖÙÒ Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ð³ Ò¹ Ø ÒØÖ ÄÊ ¼¾µ Ù ½ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ù Ñ Ö ¾¼¼ Ó Ø ½½ ÓÙÖ ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÕÙ ¹ÓÒØ ÒÙ º Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÚÓÒØ ÔÔÓÖØ Ö ÓÒÒ ØÖ ÔÖ ÕÙ ¹ ÚÖ ÒØ Ô ÖÑ ØØÖ ÙÒ ÓÒÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò Ø ÙÒ ÒØ Ø ÓÒ ÑÓ ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ ØØ ØÓ Ð º ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ ÙÒ ÑÓ Ð Ø ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ØØ ØÓ Ð ÕÙ Ø Ö Ð ÔÓÙÖ ÔÖ Ô Ö Ö Ð Ñ ÓÒ ÓÊÓ̺ º½ È Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ö ÒÕ ÖÓÙÔ ³Ó ÖÚ Ø ÙÖ ÓÒØ ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö Ô ØÖÓ ÓÔ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ ØØ ØÓ Ð º Ú Ð ÙÖ ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò Ì Ð º½º ÓÑÑ Ð ÔÐÙÔ ÖØ ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö À ¾¾ Ø ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À Ú Ö ÒØÖ ¼º½ Ø ¼º¾ ÐÓÒ Ð ØÙ º Ä Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ô Ö Ð Ø ÐÐ Ø À ÔÔ ÖÓ ÓÒØ Ô ÖÑ Ö Ú Ö Ð Ô Ö Ð¹ Ð Ü ØØ ØÓ Ð π = ± 0.84 Ñ È ÖÖÝÑ Ò Ø Ðº ½ µº Ë Ñ Ò ØÙ Ú Ù ÐÐ Ø V = ±0.03 ËÁÅ ØÖÓÒÓÑ Ð Ø µº Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ø Ð ÐÓÛ Ö ½ µ ÔÓÙÖ Ð ÓÖÖ Ø ÓÒ ÓÐÓÑ ØÖ ÕÙ Ø ÙÒ Ñ Ò ØÙ ÓÐÙ

46 ¼ À ÈÁÌÊ º À ¾¾ ÅÇ ÄÁË ÌÁÇÆ ÈÊ ÄÁÅÁÆ ÁÊ Í Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆË Ì º º½ Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú Ö Ú Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ø Ó ÖÚ ÔÓÙÖ À ¾¾ º Ì eff (K) ÐÓ»À Ê Ö Ò ½ ¾±¾¾ º¾ ±¼º¼ ¼º¾ ±¼º¼¾ ÄÌʼ½ (a) ½¼ ± ¾ º¾ ±¼º½¾ ¼º¾ ±¼º¼ ËÁż (b) ¼ ± º¾ ±¼º¼ ¼º½ ±¼º¼ μ (c) ¼ ±½ º½¾±¼º¼ ¼º½ ±¼º¼ ÌÇËÃ˼ (d) ½ ±½ º ±¼º¼ ¼º¾ ±¼º¼¾ ż (e) Ê Ö Ò (a) ÓÒÞ Ð Þ Ø Ðº ¾¼¼½µ (b) Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µ (c) Ö ² Î Ð ÒØ ¾¼¼ µ (d) Ì Ø Ðº ¾¼¼ µ (e) ÐÐÓÒ ² Å Ò ¾¼¼ µ ÓÐÓÑ ØÖ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ËÓÐ Ð M bol, = 4.75 Ò Ö Ò ½ µ ÒÓÙ Ò ÚÓÒ Ù Ø ÔÓÙÖ À ¾¾ ÙÒ ÐÙÑ ÒÓ Ø ÐÓ Ä»Ä µ 0.29 ± 0.05º ÈÐÙ Ö ÑÑ ÒØ Ú Ò Ä ÙÛ Ò ¾¼¼ µ Ö Ð ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ò ÐÝ ÓÒÒ À ÔÔ ÖÓ Ð Ò Ù Ø ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ú Ð ÙÖ Ð Ô Ö ÐÐ Ü π = ± 0.40 Ñ ÕÙ ÒØÖ Ò ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÔÐÙ Ð Ú ÔÓÙÖ Ð ÐÙÑ ÒÓ Ø ÐÓ Ä»Ä µ 0.31 ± 0.03º ÆÓÙ ÚÓÒ Ø٠г Ò ÐÝ ØØ ØÓ Ð Ò ÙØ Ð ÒØ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ Ð ÓÒØÖ ÒØ ÑÔÓ Ô Ö Ð ØÖ ÔÐ Ø ÐÓ g ÐÓ Ì eff Ø»À µ ÕÙ Ø Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒÒ Ô Ö ÙÒ Ñ Ñ ÖÓÙÔ ³Ó ÖÚ Ø ÙÖ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÐÙÑ ÒÓ Ø Ø Ù Ø Ð Ô Ö ÐÐ Ü Ø Ð Ñ Ò Ø٠г ØÓ Ð º Ä ÓÒÓÖ Ò Ð ÐÙÑ ÒÓ Ø Ó Ø ÒÙ Ò ÒÓ ÑÓ Ð Ú Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ù Ø Ñ ÙÖ À ÔÔ ÖÓ Ø Ú Ö ÔÓ Ø Ö ÓÖ º º¾ º¾º½ ÐÙÐ ÚÓÐÙØ Ø ÑÓ Ð ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÔÐÙ ÙÖ Ö ÑÓ Ð Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ó ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÌÓÙÐÓÙ ¹ Ò Ú Ú Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ ÒØÖ ÓÒÒ Ù Ô ØÖ ¾ Ë Ø ÓÒ ¾º½º½º ÅÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÔÐÙ ÙÖ Ö ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ØÖÓ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ô ØÖÓ ÓÔ»À ¼º½ Ì Ø Ðº ¾¼¼ Ö ² Î Ð ÒØ ¾¼¼ µ ¼º¾ Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ ÐÐÓÒ ² Å Ò ¾¼¼ µ Ø ¼º¾ ÓÒÞ Ð Þ Ø Ðº ¾¼¼½µº Ò Ö Ð Ø ÐÐÓÒ ² Å Ò ¾¼¼ µ ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø ¼º¾ Ñ ÒÓÙ ÚÓÒ ÓÒ Ö ÕÙ Ð ÙÜ Ú Ð ÙÖ

47 º¾º Ä ÍÄË ÎÇÄÍÌÁ Ë Ì ÅÇ Ä Ë ½ º º½ ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ ÐÓ Ì eff ÔÓÙÖ Ð ØÖÓ Ö ÒØ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø»À ¼º½ Ö Ô Ù Ùص ¼º¾ Ö Ô Ò Ù µ Ø ¼º¾ Ö Ô Ò ÖÓ Ø µº Ä ÒÕ Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ö ÔÖ ÒØ ÓÒØ ÐÐÓÒ ² Å Ò ¾¼¼ µ ØÖ Ò Ð ÒÓ Ö µ Ö ² Î Ð ÒØ ¾¼¼ µ ØÖ Ò Ð Ð Ò µ Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µ ÐÓ Ò µ ÓÒÞ Ð Þ Ø Ðº ¾¼¼½µ Ø Ö ÕÙ µ Ø Ì Ø Ðº ¾¼¼ µ ÖÓ Üµº ÈÓÙÖ Ð ÙÖ Ò ÙØ Ù Ð ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÓÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ½º¾ Ð Ò Ò ØÖ Ø ÔÐ Òµ ½º ¼ ÔÓ ÒØ ÐÐ µ ½º ½ Ø Ö Ø µ Ø ½º ¾ Å Ø Ö Ø ¹ÔÓ ÒØ µ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ Ò ÙØ ÖÓ Ø Ð ØÖ ÓÒØ Ò Ð Ñ Ñ ÓÖ Ö ÔÓÙÖ ½º½ ½º¾¼ ½º¾½ Ø ½º¾¾Å ÔÓÙÖ Ð ÙÖ Ò Ù ÐÐ ÓÒØ Ò Ð Ñ Ñ ÓÖ Ö ÔÓÙÖ ½º½ ½º¾¼ ½º¾½ Ø ½º¾¾ Å ÔÓÙÖ Ð ÙÖ Ò ÖÓ Ø ÐÐ ÓÒØ Ò Ð Ñ Ñ ÓÖ Ö ÔÓÙÖ ½º½ ½º¾¼ ½º¾¾ Ø ½º¾ Å º

48 ¾ À ÈÁÌÊ º À ¾¾ ÅÇ ÄÁË ÌÁÇÆ ÈÊ ÄÁÅÁÆ ÁÊ Í Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆË º º¾ ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú Ú Ö Ø ÓÒ Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ ÐÓ Ì eff ÔÓÙÖ ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø»À ¼º¾ Ö Ô Ù µ Ø ¼º¾ Ö Ô ÖÓ Ø µº Ä Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ö ÔÖ ÒØ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º½ Ú Ò Ö Ð ÓÙ Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø ØÙ º ÈÓÙÖ Ð Ö Ô Ù Ð ØÖ ÚÓÐÙ¹ Ø Ú ÓÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ½º¾¼ Ð Ò Ò ØÖ Ø ÔÐ Òµ ½º¾¾ ÔÓ ÒØ ÐÐ µ ½º¾ Ø Ö Ø µ Ø ½º¾ Ñ ÓÐ Ø Ö Ø ¹ÔÓ ÒØ µ ÔÓÙÖ Ð Ö Ô ÖÓ Ø ÐÐ ÓÒØ Ò Ð Ñ Ñ ÓÖ Ö ÔÓÙÖ ½º¾¼ ½º¾¾ ½º¾ Ø ½º¾ Å º

49 º¾º Ä ÍÄË ÎÇÄÍÌÁ Ë Ì ÅÇ Ä Ë»À ¼º¾ Ø ¼º¾ µ Ø ÒØ Ù ÑÑ ÒØ ÔÖÓ ÔÓÙÖ Ò Ö ÕÙ³ÙÒ ÙÐ ØÖ º ÆÓØÓÒ ÕÙ³ Ð ³ Ø Ð Ñ Ø ÐÐ Ø Ò Ø Ð ÒÓ ÑÓ Ð Ø ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ Ò ÙÖ Ò Ù ÓÙÖ Ù Ø ÑÔ Ò Ö ÓÒ Ð Ù ÓÒº Ø ÙØ Ù Ô Ö Ö Ô º¾º¾º ÆÓÙ ÚÓÒ ÙÔÔÓ ÔÓÙÖ ØÓÙ ÑÓ Ð Õ٠г ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ù Ñ ÒØ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒÒ ÐÐ Ñ ÒØ ÙÜ Ñ Ø ÙÜ ÐÓÒ Ð ÐÓ ÓÒÒ Ô Ö ÁÞÓØÓÚ ² Ì Ù Ò ¾¼¼ µ ÓÒ ÖÒ ÒØ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü º Ä Ö ÙÐØ Ø Ó Ø ÒÙ Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ ÐÓ Ì eff ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º½º ÕÙ Ö Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø º Ä ÒÕ Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ ÓÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ú Ò ØÖ Ö Ð Ð µ Ó Ø µ ³ ÖÖ ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ø Ð¹ Ð Ø ØÙ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ó Ð ÑÓ Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ú Ð ÙÖ»À ÓÒÒ Ô ÒØ Ô Ö Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÙÜ Ö Ô ÓÒØ ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ»À ¼º½ ÔÙ ÕÙ Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ì ¹ Ø Ðº ¾¼¼ µ Ô ÙØ ØÖ ØÖ Ú Ö Ô Ö ÙÜ ØÝÔ ÑÓ Ð ÑÓ Ð ØÙ Ò ÙØ Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ ÙÖ º½ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ ÓÙ ÑÓ Ð ÔÐÙ Ñ Ò Ò ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÙÖ º½ Ö Ô Ò ÙØ Ù µº ÅÓ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ä³ÓÖ Ò Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö Ø Ö ¹ Ø Ô Ò ÒØ ÕÙ ÐÕÙ ÒÒ Ñ Ð ÓÒÒÙ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ð Ñ ÒØ ÐÙÐ ÑÓ Ð Ú Ö Ø ÓÒ ³ ع¹ Ö Ò ÒØ Ð³ ÝÔÓØ ÕÙ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø Ó ÖÚ ÔÓÙÖ ÓÖ Ò ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ö Ð ÔÐ Ò Ø Ö º Ò Ð ÙÖ ÓÒ Ò Ò Ñ Ø ÙÜ ÒØ ÖÚ ÒØ ÙÐ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÙ ÙÔ Ö ÐРг ØÓ Ð º ÆÓØÓÒ ÕÙ³ Ù ÓÙÖ ³ Ù Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò ¹ Ø Ö Ø ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ³ÓÖ Ò ÔÖ ÑÓÖ Ð Î ÙÐ Ö Ø Ðº ¾¼¼ µ Ñ Ñ ³ Ð Ò³ Ø Ô ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÜÐÙ ÕÙ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø Ù ÒÙ ÔÖÓØÓ Ø ÐÐ Ö ÔÖ ÑÓÖ Ð Ø Ð³ Ö Ø ÓÒ ÓÙ ÒØ ØÓÙ Ð ÙÜ ÙÒ ÖÐ Ò Ð³ Ü Ò Ñ Ø ÙÜ ØÓ Ð º ÆÓÙ ÚÓÒ ÓÒ ÐÙÐ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú Ú Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ»À ¼º¾ Ø ¼º¾ Ò ÒØ Ð Ñ Ñ ÝÔÓØ ÕÙ ÞÓØ ² Î ÙÐ Ö ¾¼¼ µ ÙØ Ò Ø Ò¹ Ø Ò Ñ Ø Ö Ù ÙØ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ø Ñ Ð Ò Ò Ø ÒØ Ò Ò Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø ÓÒº ij Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÑÓ Ð Ò Ð Ó Ì ÓÑÑ ÙÒ Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ò Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú º Ë X i Ø Ð³ ÓÒ Ò Ð³ Ð Ñ ÒØ i Ú ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø X a i ÓÒ ÓÒ Ò ÙÖ ÔÖ Ö Ø ÓÒ ÓÒ X a i = X i (1 + f a i ) Ó Ð Ø ÙÖ f a i Ø Ó Ñ Ò Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ø ÙÜ ³ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÔÓÙÖ Ð³ Ð Ñ ÒØ iº ÂÙ Ø ÔÖ Ð³ Ö Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ò ÓÒØ Ù Ø ÔÓÙÖ Ø Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ X + Y + Z = 1º

50 À ÈÁÌÊ º À ¾¾ ÅÇ ÄÁË ÌÁÇÆ ÈÊ ÄÁÅÁÆ ÁÊ Í Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆË ÑÓ Ð ÓÒØ ÓÒ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ò Ð ÙÖ ÓÙ ÜØ ÖÒ Ø ÓÒØ Ð Ñ ¹ Ø ÐÐ Ø ÓÐ Ö Ð³ ÒØ Ö ÙÖº Ä ÕÙ ÒØ Ø Ñ Ø ÙÜ Ö Ø Ô Ò Ð ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú º Á ÔÓÙÖ ÑÓ Ð Ñ Ð³ÓÖ Ö ½º¾ Å Ú ÙÒ ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú Ð³ÓÖ Ö ÙÒ ÔÓÙÖ Ñ ÐÐ Ð Ñ Ð³ ØÓ Ð Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ñ Ñ Ø ÙÜ Ö Ø ¼º½ Å J º Ä ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÑÓ Ð ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º¾º ÇÒ ÒÓØ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ñ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø Ð ÑÓ Ð Ú Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ô ÒØ Ò Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÒØ ÔÐÙ ÙÒ Ø ÔÐÙ Ñ ÕÙ Ð ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ º ÅÓ Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ò Ò ÒÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÔÖ Ò ÒØ Ò ÓÑÔØ Ð ¹ Ø ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ Ð³ ØÓ Ð Ð ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º º ijÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ø ÑÓ Ð ÓÑÑ ÙÒ ÜØ Ò ÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø ³ Ô ÙÖ α ov H P º ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÓÙÖ ÒÓ ÐÙÐ Ü Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò α ov = 0.20 Å Ö ² Å ÖÑ ÐÐ Ó ½ ½µº ij ÓÙØ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ù Ñ ÒØ Ð ÐÐ Ø ÑÔ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ð Ú ÐÓÔ¹ Ô Ñ ÒØ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø Ù Ñ ÒØ Ô Ò ÒØ ÙÒ Ô ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÔÐÙ ÐÓÒ Ù º Ä ÑÓ Ð Ò ÓÖ Ú Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ Ð³ ØÓ Ð ³ ع¹ Ö Ð ÑÓ Ð Ô ÒØ Ô Ö Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ ÓÒØ ØÓÙ ÙÖ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º ÇÒ ÒÓØ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ ÓÒØÖ Ö Ñ ÒØ Ù Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÙÒ ÙÐ ØÝÔ ÑÓ Ð ØÖ Ú Ö ØØ Ó Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ì Ø Ðº ¾¼¼ µ Ð ³ Ø ÑÓ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ú ÙÒ Ñ ÔÐÙ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð³ÓÖ Ö ½º ¼ Å º º¾º¾ Ó Ü ÑÓ Ð ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÙÒ Ö Ò ÒÓÑ Ö ÑÓ Ð Ð ÐÓÒ Ú Ö ØÖ ÚÓÐÙ¹ Ø Ú Ò ÓÖ Ú Ð ÓÒØÖ ÒØ Ù Ø Ð Ô ØÖÓ ÓÔ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ö Ø ÒÙ ÔÐÙ ÙÖ ÑÓ Ð ÔÓÙÖ ÙÒ ØÙ Ø ÖÓ Ñ ÕÙ ÔÐÙ ÔÔÖÓ ÓÒ º Ä ÙÖ Ö Ø Ö ¹ Ø ÕÙ ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò Ì Ð º¾ Ø º º ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ ÙÜ Ú Ð ÙÖ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø»À Ð Ú Ð ÙÖ Ò Ø Ð Ø Ð Ú Ð ÙÖ Ò Ð Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º ØØ ÖÒ Ö Ø Ñ ÒÙ ÔÐÙ ÙÖ Þ Ò ÔÓÙÖ ÒØ Ô Ö Ö ÔÓÖØ Ð Ú Ð ÙÖ Ò Ø Ð Ù Ð Ù ÓÒ Ñ Ø Ùܺ Ô Ò ÒØ ÒÓ ÑÓ Ð Ò ÔÖ ÒÒ ÒØ Ô Ò ÓÑÔØ Ð Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ú ÓÑÑ ÚÖ Ø ØÖ Ð ÔÓÙÖ ØÓ Ð Ñ ÙÔ Ö ÙÖ ÒÚ ÖÓÒ ½º½ Å º Ò ÓÒ ÕÙ Ò Ð Ñ ÒÙØ ÓÒ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø ÚÖ Ø ØÖ ÑÓ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ º Ä Ñ Ø ÐÐ Ø ÕÙ ÑÓ Ð ØÙ ÓÒ ÒØÖ Ð ÙÜ Ú Ð ÙÖ»À ÓÒÒ Ò Ì Ð º¾º

51 º¾º Ä ÍÄË ÎÇÄÍÌÁ Ë Ì ÅÇ Ä Ë º º ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ ÐÓ Ì eff ÔÓÙÖ Ð ØÖÓ Ö ÒØ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø»À ¼º½ Ö Ô Ò ÙØ Ù µ ¼º¾ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ Ø ¼º¾ Ö Ô Ù µ Ø Ú Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ α ov ¼º¾¼µº Ä Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ö ÔÖ ÒØ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º½ Ú Ò Ö Ð ÓÙ Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø ØÙ º ÈÙÖ Ð ØÖÓ Ö Ô Ð Ñ Ö ÔÖ ÒØ ÓÒØ ½º½ ØÖ Ø ÔÐ Ò µ ½º¾¼ ÔÓ ÒØ ÐÐ µ ½º¾¾ Ø Ö Ø µ ½º¾ Ø Ö Ø ¹ ÔÓ ÒØ µ ½º¾ Ø Ö Ø ¹ÔÓ ÒØ ¹ÔÓ ÒØ µ ½º¾ ÐÓÒ Ø Ö Ø µ Ø ½º ¼ Å ØÖ Ø ÔÐ Ò µº

52 À ÈÁÌÊ º À ¾¾ ÅÇ ÄÁË ÌÁÇÆ ÈÊ ÄÁÅÁÆ ÁÊ Í Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆË Ì º º¾ Å Ö Ú Ø ÙÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú ÐÙÑ ÒÓ Ø Ñ Ø ÐÐ Ø Ò Ø Ð Ø ÙÖ Ø Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ ÔÓÙÖ ½¼ ÑÓ Ð Ò ÓÖ Ú Ð ÓÒØÖ ÒØ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÔÓÙÖ À ¾¾ º Ä ÑÓ Ð ÇÅ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÑÓ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ø ÇÎ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÅÓ Ð Å Å µ ÝÖµ ÐÓ g ÐÓ Ì eff ÐÓ Ä»Ä»À i»à s ν 0 µàþµ ½ Çŵ ½º¾½ ½º¾ º ¼ º ½ ¼º¾ ¼º¾ ¼º¾¼ ½½ ¾ Çŵ ½º½ º ¾ º¾ º ¼º ½ ¼º½ ¼º½ ½¼¼ Çŵ ½º½ ¾º ¼ º ¾¼ º ¼º¾ ¼º¾ ¼º½ ½¼ Çŵ ½º¾¾ ½º º ¼¼ º ½¼ ¼º¾ ½ ¼º¾ ¼º¾ ½½½ µ ½º¾¾ ¼º ¼ º ¼¼ º ¾ ¼º¾ ¼ ¼º¾ ¼º¾½ ½½¼ µ ½º¾ ¼º ¼ º ¾¼ º ¾ ¼º ½ ¼º¾ ¼º¾ ½¼ Çŵ ½º ½ º¾½ º½¾ º ¾ ¼º ½ ¼º½ ¼º½ Çŵ ½º¾¼ º º½¾ º ½ ¼º ½ ¼º½ ¼º½ Çε ½º¾¾ ½º º º ¼ ¼º¾ ¼º¾ ¼º¾ ½½½ ½¼ Çε ½º ¼ º ¾ º½¼ º ¾ ¼º ¾ ¼º½ ¼º½ Ä ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÑÓ Ð ½ µ Ø Ú Ö Ø ÓÒ ÑÓ Ð Ø µ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ØÓ Ð ÚÓÐÙ ÒØ ÙÖ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º Ä ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÕÙ Ô ÒØ Ô Ö Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ Ó¹ Ô ÕÙ Ì Ø Ðº ¾¼¼ µ ÓÒ Ù ÒØ ÑÓ Ð ØÖ Ö ÒØ ÑÓ Ð Ø µ ÙÒ ØÙ Ð Ò Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ø Ð³ ÙØÖ Ù ÙØ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ º Ò Ò Ð ÑÓ Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÑÓ Ð Ø ½¼µ ÓÒØ Ø Ó Ú Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ø µ ÔÖÓ ÑÓ Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÑÓ Ð Ø Ö Ô Ø Ú Ñ Òص Ò Ð ÙØ ÔÓÙÚÓ Ö ØÙ Ö Ð³ Ò Ù Ò Ð³ ÜØ Ò ÓÒ Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒº º Ò ÐÝ Ñ ÕÙ Ä Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÕÙ ÓÒØ Ø ÐÙÐ Ú Ð Ó ÈÍÄË ÔÓÙÖ Ð Ö l = Ø 3º Ä Ö ÕÙ Ò Ó ÖÚ Ð ØÙ ÒØ Ò ÓÙ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÙÔÙÖ Ä Ñ ½ ¼ µ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ³ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø Ù Ñ Ñ ÓÖ Ö Õ٠г ÐÐ ÙØ ÙÖ Ð³ ØÑÓ Ô Ö º ÐÐ Ô ÙØ ØÖ ÐÙÐ Ñ Ò Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ù Ú ÒØ 2πν c = c s 2H

53 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ Ì º º Ê ÝÓÒ Ö ÝÓÒ Ø Ñ Ö Ø ÓÒÒ Ð Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø Ö ÝÓÒ Ö Ø ÓÒÒ Ð Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú ÜØ ÖÒ Ö Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ð ³ Ð ÙÑ Ø Ñ Ø ÙÜ Ö Ø ÓÒ Ñ ÙÖ ³ Ð ÙÑ Ø Ñ Ø ÙÜ Ø Ö Ø ÓÒ Ñ ÒØÖ Ð ³ Ð ÙÑ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ð Ì Ð º¾º ÅÓ Ð Ê Ñµ Ö cc»ê Å cc»å Ö ec»ê 0 0 s s c ½ Çŵ º¾ ½¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼½¾½ ¼º ¼º¾ ¼ ¼º¼¾ ¾ ¼º¾ ¼ ¼º¼¾ ¼º ¾ Çŵ º¼½ ½¼ ¼º¼ ¼º¼¼ ¾ ¼º ¾ ¼º¾ ¼º¼¾ ¼ ¼º¾ ¼ ¼º¼¾ ¼º ¾ Çŵ º ½¼ ¼º¼ ¾ ¼º¼½ ¼º ¼º¾ ¼ ¼º¼¾ ¾ ¼º¾ ¼º¼¾ ½ ¼º ¾ Çŵ º ½ ½¼ ¼º¼ ¼º¼¾¼ ¼º ¼º¾ ¼º¼ ¼ ¼º¾ ¼º¼¾ ¼º ¼½ µ º ½¼ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼º ¾ ¼º¾ ½ ¼º¼½ ¼º¾ ¼º¼¾ ¼º ¾ µ º ½¼ ¼º¼ ½ ¼º¼¼ ¼º ¼º¾ ½ ¼º¼½ ¼º¾ ¼º¼ ¼ ¼º Çŵ ½½º ½ ½¼ ¼º¼ ½ ¼º¼ ¼ ¼º ¼º¾ ¼º¼¾ ¼ ¼º¾ ¼º¼¾ ¼º Çŵ ½½º½½ ½¼ ¼º¼ ½µ (a) ¼º½¼ µ (a) ¼º ¼º¾ ¼º¼¾ ¼ ¼º¾ ¼ ¼º¼¾ ¼º ½ Çε º ½¼ ¼º¼ ¼º¼ ½ ¼º ¼º¾ ¼º¼ ¼ ¼º¾ ¼º¼¾ ¼º ½¼ Çε ½½º ¼ ½¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º ¼º¾ ¼º¼¾ ¼ ¼º¾ ¼ ¼º¼¾ ¼º ¾ (a) ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÕÙ Ò³ ÔÐÙ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ð ÓÐÓÒÒ Ø ÔÖ ÒØ ÒØ Ð Ö ÝÓÒ Ø Ð Ñ Ö Ø ÓÒÒ Ð Ù ÙÖ ³ Ð ÙѺ Ó c s Ø Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð Ø H г ÐÐ ÙØ ÙÖ Ð³ ØÑÓ Ô Ö º ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ØØ Ö ÕÙ Ò ÔÓÙÖ ÒÓ ÑÓ Ð º ÈÓÙÖ Ð ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÖ Ð Ú Ð ÙÖ c s Ø H Ù Ö ÝÓÒ Ô ÓØÓ Ô Ö ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ÙÖ Ú Ð Ð³ ØÓ Ð ³ ع¹ Ö Ð Ö ÝÓÒ ÙÕÙ Ð Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ð Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú º ÆÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ ν c Ú Ö ¾ ÑÀÞ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ð ÔÐÙ ÚÓÐÙ º ÑÀÞ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º ÆÓØÓÒ Ô Ò ÒØ ÕÙ ÐÙÐ Ô Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÔÖ Ð³ ØÑÓ Ô Ö ÕÙ Ò³ Ø Ô Ò ÓÒÒÙ º ÆÓÙ ÚÓÒ ÓÒ Ö Ñ Ò Ö Ò Ö Ð Ð Ö ÕÙ Ò ÓÑÔÖ ÒØÖ ½ Ø º ÑÀÞº º º½ Ä ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ø Ú Ö Ø ÓÒ ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÔÓÙÖ ÕÙ ÑÓ Ð Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ô Ö ν = ν n+1,l ν n,l ÆÓÙ ÚÓÒ ÚÙ Ù Ô ØÖ ½ Ë Ø ÓÒ ½º º ÕÙ Ò Ð Ö Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ø ÙÔÔÓ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ð Ð Ö Ò ¹ Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ ν 0 º Ô Ò ÒØ Ò ÙÒ ØÓ Ð Ö ÐÐ Ð Ü Ø Ú Ø ÓÒ

54 À ÈÁÌÊ º À ¾¾ ÅÇ ÄÁË ÌÁÇÆ ÈÊ ÄÁÅÁÆ ÁÊ Í Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆË ØØ Ø ÓÖ º ÆÓÙ ÚÓÒ ØÖ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 1 Ø 2 Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ö ÕÙ Ò ÔÓÙÖ Ü ÑÓ Ð º Ä Ö ÙÐØ Ø ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º º Ä Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ô ¹ Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ º ÇÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö ÕÙ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÓÒØ Ö ÒØ ÐÓÒ Ð Ú Ð ÙÖ Ù Ö l Ø ÕÙ Ð ÙÖ Ú Ð ÙÖ Ò³ Ø Ô ÓÒ Ø ÒØ ÐÐ ÙØÙ ÙØÓÙÖ ν 0 º ÆÓÙ ÚÓÒ Ð Ñ ÒØ ØÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ò Ð ÕÙ Ð ÓÒ ÔÓÖØ Ò ÓÖ ÓÒÒ Ð Ö ÕÙ Ò Ø Ò Ð Ñ Ñ Ö ÕÙ Ò ÑÓ ÙÐÓ Ð Ö Ò ¹ Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ º Ä Ö ÙÐØ Ø ÓÒØ ÓÒÒ Ò ÙÖ º º Ò Ò ÒÓÙ ÚÓÒ Ð Ñ ÒØ ÐÙÐ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ô Ö δν n,l = ν n,l ν n 1,l+2 ÐÐ ÓÒØ ØÖ Ò Ð ÙÜ ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ò ÒØ Ù ÙÖ Ð³ ØÓ Ð ÚÓ Ö ¹ Ô ØÖ ½µº ÐÐ ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º º ÇÒ ÓÒ Ø Ø ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÖÓ ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ ÕÙ Ò Ð Ö ÕÙ Ò Ù Ñ ÒØ º ÌÓÙ ÑÓ Ð ÔÖ ÒØ ÒØ ÒØÖ ÙÜ Ö Ò ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÓÖÑ Ù Ö ÑÑ ÐÐ µ Ò Ù Ø Ô Ö Ð Ö Ò ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ ÒØÖ Ð ÑÓ Ð ÓÑÑ Ð Ø ÐÐ Ù ÙÖ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ Õ٠غºº Ö Ò ÖÓÒØ Ð Ö Ñ ÒØ Ø Ø Ð Ù ÚÙ Ð ÔÖ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ø ÓÊÓÌ ½ µàþµº º º¾ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÑÓ Ð Ø Ä ÑÓ Ð Ø ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ µ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ì Ø Ðº ¾¼¼ µº Ä ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ØÓ Ð Ò ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ð ÑÓ Ð ÙÒ ØÓ Ð ÚÓÐÙ ÒØ ÙÖ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ º È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÙÜ ÑÓ Ð ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ ØÖ ÒØ Ö ÒØ Ò Ú Ð ÙÖ Ð ÙÖ º Ö Ô Ù Ñ Ð Ùµ Ð Ð Ò l = 0 ¹ l = 2 Ù Ö ÑÑ ÐÐ ÖÓ ÒØ ÙÒ Ö ÕÙ Ò ¾º ÑÀÞ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø º½ ÑÀÞ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð º Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ Ð Ð Ò l = 1 ¹ l = 3 Ö ÔÔÖÓ ÒØ ÔÓÙÖ ÙØ Ö ÕÙ Ò º ËÙÖ Ð ÙÖ º Ö Ô Ù µ ÓÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ δν 02 Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú Ð Ö ÕÙ Ò ÖÓ Ñ Òغ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ö Ð ÙÜ Ú Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ð Ú Ø Ù ÓÒ ÔÖ Ù ÙÖ Ð³ ØÓ Ð ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö Ò ÙÖ º Ö Ô Ù Ùصº ÇÒ Ó ÖÚ ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð c ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º Ò Ð ÑÓ Ð Ð ÙÖ Ø ÓÒÚ Ø Ú ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ¼º µº ÈÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ù ÙØ Ð

55 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ º º Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ½ Ø Ð ÑÓ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ø º Ä Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙ ÑÓ Ð º

56 ¼ À ÈÁÌÊ º À ¾¾ ÅÇ ÄÁË ÌÁÇÆ ÈÊ ÄÁÅÁÆ ÁÊ Í Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆË º º Ö ÑÑ ÐÐ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ½ Ø Ð ÑÓ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ø º Ð ÐÓ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ l = 0 Ð ØÖ Ò Ð l = 1 Ð ÖÓ Ü l = 2 Ø Ð Ø Ö ÕÙ l = 3º

57 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ ½ º º È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ½ Ø Ð ÑÓ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ø º Ä Ð Ò ÔÐ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ö Ò l = 0 ÑÓ Ò l = 2 Ø Ð Ø Ö Ø ÙÜ Ö Ò l = 1 ÑÓ Ò l = 3º

58 ¾ À ÈÁÌÊ º À ¾¾ ÅÇ ÄÁË ÌÁÇÆ ÈÊ ÄÁÅÁÆ ÁÊ Í Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆË Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ Ð ÙÖ ÓÒÚ Ø Ô ÖÙ Ð ÒØ Ð ÔÐ ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ Ú ÖÓÒØ Ö ÖÙÔØ º ÓÑÑ ÒÓ٠г ÚÓÒ ÚÙ Ù Ô ØÖ ½ Ë Ø ÓÒ ½º¾º Ð ÑÓ l = 0 ÔÖÓÔ ÒØ ØÖ Ú Ö ØÓÙØ Ð³ ØÓ Ð Ø Ò ÕÙ Ð ÑÓ l = 2 ÓÒØ Ô ÒØÖ Ð ÙÖ Ø Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ ÒØ ÖÒ ÓÒØ Ð Ö ÝÓÒ Ø Ò Ô Ö S l (r t ) = ω = 2πν, Ó S l Ø Ð Ö ÕÙ Ò Ä Ñ Ò Ô Ö S l (r) = c(r) l(l + 1). r º½µ º¾µ ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÔÓÙÖ ÙÜ ÑÓ Ð Ð ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r t ÔÓÙÖ Ð ÑÓ l = 2 ÓÒØ Ð Ö ÝÓÒ Ø ÓÒÒ Ô Ö c 2 (r t ) = 4π2 ν 2 rt 2 º µ 6 Ä Ö ÙÐØ Ø ÓÒØ ÑÓÒØÖ Ò ÙÖ º Ö Ô Ù µº Ò Ð ÙÜ Ð ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ ÓÒ l = 2 ØØ ÒØ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ÖÓ Ñ ÒØ Ð Ò l = 0 ¹ l = 2 Ö ÑÑ ÐÐ º Ù ÓÒ ÈÓÙÖ ÒÓ ÐÙÐ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÓÒØ Ø ÐÙÐ Ñ Ò Ö ÔÖ Ú ÙÒ Ó ÔÙÐ Ø ÓÒ Ø ÕÙ ÈÍÄË µº Ä Ø ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÙ ÒØ Ú Ò Ö Ò Ø Ú Ø ÔÖ ÓÖ ÓÒØÖ ¹ ØÓ Ö Ú Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö Ú ÐÓÔÔ Ô Ö Ì ÓÙÐ ½ ¼µº Ô Ò ÒØ Ò ÔÖ Ò ÒØ Ò ÓÑÔØ Ð Ø ÕÙ Ð ÑÓ l = 2 Ò ÔÖÓÔ ÒØ Ô Ð ÙÖ ÙÕÙ³ Ù ÒØÖ Ñ Ù ÕÙ³ Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ ÒÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ Ù Ô ØÖ ½ Ë Ø ÓÒ ½º º ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ l = 0 ¹ l = 2 Ô ÙÚ ÒØ ³ ÜÔÖ Ñ Ö ÓÙ Ð ÓÖÑ δν 02 (n + 14 ) + α ( ν 0 ν 2 ) 3 ν 2 I(r 2π 2 t ) º µ ν n,l Ä Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ô Ò ÒØ ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Ø Ò Ô Ö¹ Ø ÙÐ Ö Ð³ ÒØ Ö Ð I(r t ) Ò Ô Ö I(r t ) = R r t 1 r dc dr dr º µ Ò Ð Ó Ð³ ØÓ Ð ÙÒ ÙÖ Ö Ò Ð ÙÑ Ð Ö ÒØ Ú Ø Ù ÓÒ Ú Ö ÓÖØ Ñ ÒØ ÔÖ Ù ÒØÖ º Ò Ð³ ÒØ Ö Ð I(r) Ú ØÖ Ö ÒØ ÒØÖ r = 0 Ø r = r t º

59 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ º º Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ù Ùص Ö ÑÑ ÐÐ Ö Ô Ù Ñ Ð Ùµ Ø Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ù µ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø º ÈÓÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ð ÝÑ ÓÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º

60 À ÈÁÌÊ º À ¾¾ ÅÇ ÄÁË ÌÁÇÆ ÈÊ ÄÁÅÁÆ ÁÊ Í Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆË º º Ö Ô Ù ÙØ ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø º Ö Ô Ù ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r t ÑÓ l = 2 Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ö ÕÙ Ò ØÖ Ø ÔÐ Ò µº Ä Ø Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð Ö ÝÓÒ Ù ÙÖ Ö Ò Ð ÙѺ

61 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ º º Ö Ô Ù ÙØ Ú Ö Ø ÓÒ 1 r Ø º Ö Ô Ù ÁÒØ Ö Ð I(r t )º dc dr Ò Ð Ö ÓÒ ÒØÖ Ð ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð

62 À ÈÁÌÊ º À ¾¾ ÅÇ ÄÁË ÌÁÇÆ ÈÊ ÄÁÅÁÆ ÁÊ Í Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆË Ä ÙÖ º Ö Ô Ù µ ÔÖ ÒØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ð I(r t ) Ú Ð Ö ÝÓÒ Ð³ ØÓ Ð º ÈÓÙÖ Ð ÑÓ Ð I(r t ) Ò Ò ÕÙ Ò r t ØØ ÒØ Ð ÖÓÒØ Ö Ù ÙÖ ³ ¹ Ð ÙѺ Ä Ò Ñ ÒØ Ò I(r t ) ÒØÖ Ò ÙØÓÑ Ø ÕÙ Ñ ÒØ Ð Ò Ñ ÒØ Ò Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 ¹ l = 2º ÈÓÙÖ Ð ÑÓ Ð I(r t ) Ø ÔÖÓ Þ ÖÓ Ñ Ò Ò Ô Ò º Ô Ò¹ ÒØ Ò Ö Ö ÒØ ÔÐÙ ÔÖ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÑÓ Ð ÙÖ º Ö Ô Ò ÙØ Ù µ ÓÒ ³ Ô ÖÓ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÑÑ Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ö ÒÓÙ ÚÓÒ ν 2 > ν 0 º Ä Ö Ò Ø ³ ÒÚ ÖÓÒ ¼º¾ ¹ ¼º µàþº Ø Ð Ù Ø ÕÙ Ð Ø ÑÔ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ÓÒ l = 2 Ø ÔÐÙ ÓÙÖØ ÕÙ ÐÙ ÑÓ l = 0º ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ø Ö Ð Ù Ô Ó ÖÚ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ ÙÖ º Ö Ô Ù Ùص Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ ³ Ð ÙѺ Ú ÓÖ Ö n гÓÖ Ö ¼ ÙÒ Ø ÐÐ Ö Ò Ò Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ù ÒØ ÔÓÙÖ Ò Ù Ö ÙÒ Ò Ñ ÒØ Ò δν 02 ÕÙ Ò r t ØØ ÒØ Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º º º Ä ÑÓ Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ä ÑÓ Ð Ø ½¼ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÒÓÙ ÚÓÒ ÓÙØ Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø º ÁÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÑÓ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º Ä ÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ ÓÒØ ØÖ ÔÖÓ ÙÜ ÑÓ Ð Ø Ö Ô Ø Ú Ñ Òغ ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ò ÔÓÙÚÓ Ö ØÙ Ö ÔÓÙÖ ÙÜ ÕÙ ÐÐ Ø Ð³ Ò Ù Ò Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒº ÓÑÔ Ö ÓÒ ÑÓ Ð Ø ÆÓÙ ÓÑÔ ÖÓÒ Ð ÑÓ Ð Ø º ÁÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø»À ¼º¾ µ Ð Ñ Ñ Ñ ½º¾¾ Å µ Ø Ð Ñ Ñ ½º ÝÖµº Ô Ò ÒØ Ò Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ö ÝÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø ÔÐÙ ÑÔÓÖØ ÒØ ÚÓ Ö Ì Ð º µ Ä ÙÖ º½¼ Ö Ô Ù µ ÔÖ ÒØ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ù ÑÓ Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÆÓÙ ÚÓÒ Ó Ø ÒÙ ÔÓÙÖ ÑÓ Ð Ð Ñ Ñ Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ ν 0 ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÑÓ Ð µ ½½½ µàþº ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ð Ö Ò ÒØÖ Ð Ö ÕÙ Ò ÙÜ ÑÓ Ð ÔÓÙÖ ÕÙ Ö lº Ä Ö ÙÐØ Ø Ø ÑÓÒØÖ Ò ÙÖ º½¼ Ö Ô ÖÓ Ø µº ÇÒ ÚÓ Ø ÕÙ Ð ÖØ ÒØÖ Ð Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ØÖ Ð Ð Ò Ô ÒØ Ô º ÕÙ Ð ÕÙ Ó Ø Ð Ö º ÇÒ ÚÓ Ø ÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ÑÓ Ð ÙÒ ÚÓÐÙ ÒØ Ù ÙØ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ð³ ÓÙØ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ò³ Ô ³ Ò Ù Ò Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ¹ ÐÐ Ø ÓÒº

63 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ º º½¼ Ö Ô Ù Ö ÑÑ ÐÐ Ù ÑÓ Ð º Ä ÝÑ ÓÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º Ö Ô ÖÓ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒØÖ Ð Ö ÕÙ Ò ÑÓ Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò µ Ø Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò µ ÔÓÙÖ l = 0 ØÖ Ø ÔÐ Ò µ l = 1 ÔÓ ÒØ ÐÐ µ l = 2 Ø Ö Ø µ Ø l = 3 Ø Ö Ø ¹ÔÓ ÒØ µº ÓÑÔ Ö ÓÒ ÑÓ Ð Ø ½¼ ÆÓÙ ÒÓÙ ÒØ Ö ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ù ÑÓ Ð Ú»À ¼º½ Ô ÒØ Ô Ö Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ Ì Ø Ðº ¾¼¼ µº ÁÐ ³ Ø ÑÓ Ð ÔÐÙ ÚÓÐÙ Ð ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ØÓ Ð ½º ½ Å º¾½ ÝÖ Ò Ò ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º ÉÙ ÒØ Ù ÑÓ Ð ½¼ Ð ³ Ø ³ÙÒ ØÓ Ð ½º ¼ Å º ¾ ÝÖ ÚÓÐÙ ÒØ ÒÓÖ ÙÖ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º Ä Ö Ò Ò Ð Ø ÚÓÐÙØ Ú ÒØ Ð Ö Ò Ò Ð ÐÐ Ø ÑÔ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ ÓÒØ ÔÐÙ ÐÓÒ Ù ÕÙ Ò ÓÒ ÓÙØ Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ä ÙÖ º½½ ÑÓÒØÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ ÙÜ ÑÓ Ð º ÈÓÙÖ Ð ÑÓ¹ Ð ½¼ Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÒÓÙ Ó Ø ÒÓÒ Ð Ñ ÒØ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú Ø ÓÒ Ó ÖÚ ÓÒ ÙÒ ÖÓ Ñ ÒØ Ð Ò l = 0 ¹ l = 2 ÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ ÙÖ º½½ Ö Ô ÖÓ Ø µº Ä Ö ÕÙ Ò Ð ÕÙ ÐÐ ÖÓ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ù Ø Ø Ù Ñ Ñ ÓÖ Ö ÕÙ Ò Ð Ù ÑÓ Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ¾º ÑÀÞº ÇÒ Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ Ð Ð Ò ÖÓ ÒØ ÒÓÙÚ Ù ÙÜ Ð ÒØÓÙÖ ÑÀÞ ÕÙ Ò ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ δν 02 Ö Ú ÒÒ ÒØ ÔÓ Ø Ú º Ô ÒÓÑ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ð Ð Ö Ü ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ ÓÒ Ò Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð ÊÓÜ ÙÖ ² ÎÓÖÓÒØ ÓÚ ½ µº ÇÒ Ò Ð ÚÓ Ø ÔÔ Ö ØÖ ÕÙ Ò Ð Ú ÓÚ Ö¹ ÓÓØ Ò Ö Ð Ö ÝÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø ÒØ ÔÐÙ Ö Ò Ð Ô Ö Ó Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø Ñ ÒÙ º ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ Ó ÖÚ Ö Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ð Ð Ò Ù Ö ÑÑ ÐÐ ÖÓ ÒØ ÙÜ Ó º

64 À ÈÁÌÊ º À ¾¾ ÅÇ ÄÁË ÌÁÇÆ ÈÊ ÄÁÅÁÆ ÁÊ Í Ç Ë ÊÎ ÌÁÇÆË º º½½ Ö ÑÑ ÐÐ ÑÓ Ð Ö Ô Ù µ Ø Ö Ô ÖÓ Ø µº Ä ÝÑ ÓÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º º Ð Ò ÆÓÙ ÚÓÒ Ö Ð ÙÒ ÑÓ Ð Ø ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö À ¾¾ ØÓ Ð Ð ÓÊÓ̺ Ô ÖØ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ ÐÓ g ÐÓ Ì eff Ø»À µ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ô ØÖÓ ÓÔ ÔÓÙÖ ØØ ØÓ Ð ÒÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ö ÒØ Ö ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÓÙ Ú Ö Ø ÓÒ Ú ÓÙ Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÆÓÙ ÚÓÒ Ð Ø ÓÒÒ Ü ÑÓ Ð ÓÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒØ Ò ÓÖ Ú Ð ÓÒØÖ ÒØ ÓÒÒ Ô Ö Ð Ô ØÖÓ ÓÔ º ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ð ÙÖ Ö ÕÙ Ò ³Ó ¹ ÐÐ Ø ÓÒ ÐÙÐ ÔÓÙÖ ÕÙ ÑÓ Ð Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ø ØÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ º ÆÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ ÑÓ Ð ÔÖ ÒØ ÒØ Ö Ò ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ ÕÙ ÓÒØ Ò ØØ Ñ ÒØ Ú Ð Ò Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ¹ ÐÐ Ø ÓÒº Ä Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÒØÖ ÒØ Ö Ò Ú Ö ÒØ ÒØÖ Ø ¾ µàþ Ø Ò ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ú Ö ÒØ ½ µàþº Ä ÓÖÑ Ù ¹ Ö ÑÑ ÐÐ Ø ÐÐ ¹ Ù Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÕÙ ÑÓ Ð º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ Ð ÑÓ Ð Ô ÒØ Ô Ö Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ì Ø Ðº ¾¼¼ µ ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 ¹ l = 2 Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú ÙÒ ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò Ø ÓÒ Ó ÖÚ ÙÒ ÖÓ Ñ ÒØ Ð Ò ÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ º Ä ÔÖ Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ØÓ Ð Ò ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ú ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ö Ò Ð ÙѺ Ä ÓÒ Ø ÙÒ ØÓ Ð ÚÓÐÙ ÒØ ÙÖ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ Ú ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ ÙÜ ÖÓÒØ Ö ÖÙÔØ º Ò Ð ÙÜ ÒÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ø Ø Ö Ð Ð³ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º Ä Ö ÕÙ Ò Ð ÕÙ ÐÐ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ

65 º º ÁÄ Æ Ò ÒØ Ò Ø Ð Ð Ô Ò ØÖ Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ð ÙÖ Ö Ò Ð ÙѺ Ò Ò ÒÓÙ ÚÓÒ Ø Ø Ð³ Ò Ù Ò Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó й Ð Ø ÓÒº ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÙ ÚÓ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ÑÓ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ð³ ÓÙØ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø Ò³ Ô ÙÒ Ò Ù Ò Ú Ð Ò Ð Ö ÕÙ Ò º ÈÓÙÖ ÑÓ Ð ÔÐÙ ÚÓÐÙ ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ð Ô ÒÓÑ Ò Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú º À ¾¾ Ø Ó ÖÚ Ú Ð Ø ÐÐ Ø ÓÊÓÌ Ô Ò ÒØ ÔÐÙ ÙÖ ÑÓ ÓÒ ¹ ÙØ º Ä ÔÖ Ñ Ö ÓÒÒ ÓÒ ÖÒ ÒØ ØØ ØÓ Ð ÚÖ ÒØ ØÖ ÔÓÒ Ð Ò ÂÙ ÐÐ Ø ¾¼¼ º ÁÐ Ö ÔÓ Ð ÓÑÔ Ö Ö ØÓÙ ÑÓ Ð Ú Ð ÓÒÒ º ÁÐ ÔÓÙÖÖÓÒØ ÐÓÖ ØÖ Ò Ò Ø Ø ÒØ ³ ÙØÖ Ú Ð ÙÖ ³ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ò ÒØ Ú Ö Ö Ð Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÙ Ò ÒØ Ú Ö Ö Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÁÐ ÔÓÙÖÖ Ò ØÖ ÔÓ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ú ÔÖ ÓÒ Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ Ð³ ØÓ Ð º

66

67 ÈÙ Ð Ø ÓÒ ½ Ì ÓÊÓÌ ÔÖ Ñ ÖÝ Ø Ö Ø À ¾¾ ÑÓ Ð Ò Ñ Ø Ø Åº ËÓÖ ÒÓ Ëº Î ÙÐ Ö º Î ÙÐ Ö Ò Åº Ä ÝÑ Ò ØÖ Ø À ¾¾ Ø Ð ÙÐ ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ ÑÓÐÓ Ð Ñ ÓÒ ÓÊÓ̺ ÐÐ Ú Ò ØÖ Ó ÖÚ Ò ÒØ ÖÖÙÔØ ÓÒ Ô Ò ÒØ ÑÓ ÕÙ Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÒØ Ö ÒØ Ò Ð Ö Ð³ ØÙ Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö º ØØ ØÓ Ð Ø Ð ÓÑÑ ÒØ Ò Ð Ö Ø ËØ Ö Ø ÐÓ ÐÓÖ ÕÙ³ Ð ³ Ø ÔÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ ØÓ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÓÙ ÙØ Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ º ÆÓÙ ÚÓÒ ØÙ ÙÒ Ò ÐÝ ÔÔÖÓ ÓÒ ØØ ØÓ Ð Ò ÑÓÒØÖ ÒØ Õ٠г Ø ÖÓ ÑÓÐÓ Ô ÙØ Ô ÖÑ ØØÖ ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ ÔÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ Ø ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ º ÆÓÙ ÚÓÒ ØÓÙØ ³ ÓÖ Ô Ò Ö ÚÙ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÖ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø Ð Ö Ú Ø Ø Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú Ö Ú Ô ÖØ Ö ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ À ¾¾ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ù ÐÙÐ ÐÙÑ ÒÓ Ø Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ô Ö ÐÐ Ü À ÔÔ ÖÓ º ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÔÓÙÖ ÑÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø Ú Ö Ô ÒØ Ò Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ð Ø ÓÒÒ ÑÓ Ð Ø ÒØ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ ÐÐ ÐÙÐ Ð ÙÖ Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø Ò ÐÝ Ø Ø Ñ ÕÙ Ô ÕÙ º Ä ÑÓ Ð ÔÓ Ð ÔÓÙÖ À ¾¾ ÕÙ Ø ÓÒØ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ù Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÒØ Ö ÒØ Ò Ð ÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ Ø ÒØ ÖÒ º ÁÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ØÓ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÓÙ Ò ÙØ Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ º Ä Ö Ò ÒØÖ Ð ÑÓ Ð Ò Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Ø Ö ÒØ Ò Ð ÙÖ Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒº ÆÓÙ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ Ö ÕÙ Ò Ò Ð ÙÖ Ö Ò Ð ÙÑ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ô ÙÚ ÒØ Ú Ò Ö Ò Ø Ú Ø ÓÒÒ Ö ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð Ø ÐÐ Ù ÙÖº ÆÓÙ Ô ÖÓÒ ÕÙ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÓÊÓÌ ÒÓÙ Ô ÖÑ ØØÖÓÒØ Ó Ö ÒØÖ Ö ÒØ ÑÓ Ð º ¾¼¼ ØÖÓÒÓÑÝ Ò ØÖÓÔ Ý ½ ½

68

69 A&A 471, (2007) DOI: / : c ESO 2007 Astronomy & Astrophysics The CoRoT primary target HD 52265: models and seismic tests M. Soriano, S. Vauclair, G. Vauclair, and M. Laymand Laboratoire d Astrophysique de Toulouse et Tarbes UMR 5572 Université Paul Sabatier Toulouse III CNRS, 14 Av. E. Belin, Toulouse, France sylvie.vauclair@ast.obs-mip.fr Received 23 November 2006/ Accepted 6 May 2007 ABSTRACT Aims. HD is the only known exoplanet-host star selected as a main target for the seismology programme of the CoRoT satellite. As such, it will be observed continuously during five months, which is of particular interest when studying planetary systems. This star was misclassified as a giant in the Bright Star Catalog, while it is more probably on the main-sequence or at the beginning of the subgiant branch. We performed an extensive analysis of this star, showing how asteroseismology may lead to a precise determination of its external parameters and internal structure. Methods. We first reviewed the observational constraints on the metallicity, the gravity, and the effective temperature derived from the spectroscopic observations of HD We also derived its luminosity using the Hipparcos parallax. We computed the evolutionary tracks for models of various metallicities that cross the relevant observational error boxes in the gravity-effective temperature plane. We selected eight different stellar models that satisfy the observational constraints, computed their p-modes frequencies, and analysed specific seismic tests. Results. The possible models for HD 52265, which satisfy the constraints derived from the spectroscopic observations, are different in both their external and internal parameters. They lie either on the main sequence or at the beginning of the subgiant branch. The differences in the models lead to quite different properties of their oscillation frequencies. We give evidence of an interesting specific behaviour of these frequencies in the case of helium-rich cores: the small separations may become negative and give constraints on the size of the core. We expect that the observations of this star by the CoRoT satellite will allow a choice between these possible models. Key words. stars: individual: HD planetary systems stars: oscillations stars: abundances 1. Introduction The study of the internal structure of exoplanet-host stars (EHS) is a key issue for understanding the formation of planetary systems. In this context, asteroseismology techniques represent an excellent tool for determining the structural differences between stars with and without detected planets. The most striking among these differences is the observed overmetallicity of EHS compared to stars without planets (Santos et al. 2003, 2005; Gonzalez 2003; Fischer & Valenti 2005). This overmetallicity may have a primordial origin, which means that it was already present in the interstellar cloud out of which the stellar system emerged or related to accretion of hydrogen poor material onto the star during the early phases of the planetary system s formation (Bazot & Vauclair 2004). Although the first scenario seems more realistic and probable, the second one is not yet completely excluded. Note that the stars for which no planet have been detected may very well possess planets with large orbits, like the Sun. The so-called exoplanet-host stars correspond to those for which the giant planets have migrated towards the central star during the early phases. One must keep in mind that the differences between the two cases (stars observed with or without planets) are related to the phenomenon of planet migration more than that of planet formation, even if both effects are connected. Besides the question of the origin of the overmetallicity in EHS, recent papers (Bazot et al. 2005; Laymand & Vauclair 2007) showed how asteroseismology could lead to more precise determinations of the outer stellar parameters (logg, log T eff, metallicity) than spectroscopy. Meanwhile, Laymand & Vauclair (2007) showed the importance of computing very precise models of the studied star, taking precise metallicity into account, to infer mass and age. Determining these parameters by extrapolation in published grids can lead to wrong values. The EHSµArae was observed with the HARPS spectrometer in June 2004 to obtain radial velocity time series. Their analysis led to the discovery of up to 43 frequencies that could be identified with p-modes of degreel=0to 3 (Bouchy et al. 2005) and a detailed modelling was given in Bazot et al. (2005). Two other very promising EHS for such a seismic analysis are the solar type starsιhor (HD 17051, HR 810) and HD The case ofιhor, which has been observed with HARPS in November 2006, was discussed by Laymand & Vauclair (2007). HD 52265, mistakenly classified as a G0III-IV in the Bright Star Catalog, was reclassified as a solar type G0V main sequence star by Butler et al. (2000). A Jupiter-mass planet orbiting at 0.5 AU with a period of 119 days was discovered independently by Butler et al. (2000) and Naef et al. (2001). The star s overmetallicity has been established by a number of subsequent analyses like Gonzalez et al. (2001), Santos et al. (2004), Fischer & Valenti (2005), Takeda et al. (2005), and Gillon & Magain (2006). HD will be one of the main targets of the seismology programme of the CoRoT space mission (Baglin 2003), which has two main scientific programmes: the asteroseismological study of bright variable stars of different types in the

70 886 M. Soriano et al.: Seismic modelling of HD H-R diagram and the search for planetary transits. The study of HD offers a unique opportunity to link the two scientific programmes of CoRoT (Vauclair et al. 2006). For the present paper we computed evolutionary tracks using [Fe/H] values as given by the various observing groups and selected models lying inside the corresponding error boxes in the log g log T eff plane. We used the TGEC code (Toulouse-Geneva evolutionary code) as described in previous papers (e.g. Bazot & Vauclair 2004; Bazot et al. 2005). We tested the differences obtained in the internal structure of the models for the various possible, observed metallicities and the overmetallic-versus-accretion scenarii. According to the atmospheric parameters derived by the different authors cited above, HD should have a convective core whose mass largely depends on the adopted metallicity. We computed the p-modes oscillation frequencies for several characteristic models, using the code PULSE (Brassard et al. 1992). We discuss asteroseismic tests that will help in choosing among the possible models. We find that, if the star is at the end of the main-sequence or at the beginning of the subgiant branch, the small separations between modesl=0 andl=2 become negative at some frequency, and we specifically discuss this interesting behaviour. The computations of evolutionary tracks and various modelling of this star are described in Sect. 2. Section 3 is devoted to the discussion of asteroseismic tests and predictions for models that lie at the beginning of the main sequence. In Sect. 4, we specifically discuss the case of two models with helium-rich cores and emphasize the question of negative small separations. The summary and conclusion are given in Sect Evolutionary tracks and models 2.1. Observational boxes and computations Five different groups of observers have determined the metallicity and the external parameters of HD (see Table 1). This star was also observed with the Hipparcos satellite from which the parallax was derived:π=35.63±0.84 mas. The visual magnitude of HD is given as V= (SIMBAD Astronomical data base). From Table 1, we derive an average value for the effective temperature T eff = 6115 K with an uncertainty of order 100 K. Using the tables of Flower (1996), we obtained BC = 0.03 ± 0.01 for the bolometric correction. With a solar absolute bolometric magnitude of M bol, = 4.75 (Lejeune et al. 1998), and taking the uncertainty on the parallax into account, we deduce a luminosity of log L/L = 0.29±0.05. In any case, we do not use this luminosity as a basic constraint on our models, which are more consistently fitted to the triplets ([Fe/H], logg; log T eff ) given by spectroscopists. We computed a series of overmetallic and accretion models that could account for the observed parameters of HD We used the Toulouse-Geneva stellar evolution code with the OPAL equation of state and opacities (Rogers & Nayfonov 2002; Iglesias & Rogers 1996) and the NACRE nuclear reaction rates (Angulo et al. 1999). In all our models, microscopic diffusion was included using the Paquette prescription (Paquette et al. 1986; Michaud et al. 2004). The treatment of convection was done in the framework of the mixing length theory and the mixing length parameter was adjusted as in the Sun (α = 1.8). For the overmetallic models, we assumed that helium was enriched, along with metals according to the law given by Isotov & Thuan (2004): dy/dz = 2.8 ± 0.5. The accretion models were computed with the same assumptions as in Bazot & Vauclair (2004) (instantaneous fall of matter at the beginning of the main Table 1. Effective temperatures, gravities, and metal abundances observed for HD [Fe/H] ratios are given in dex. T eff (K) logg [Fe/H] Reference 6162± ± ±0.02 GLTR01 a 6103± ± ±0.05 SIM04 b 6076± ± ±0.03 FV05 c 6069± ± ±0.03 TOSKS05 d 6179± ± ±0.02 GM06 e References: a Gonzalez et al. (2001); b Santos et al. (2004); c Fischer & Valenti (2005); d Takeda et al. (2005); e Gillon & Magain (2006). sequence and instantaneous mixing inside the convection zone). Neither extra mixing nor overshoot were taken into account in the present paper Evolutionary tracks for overmetallic models We first computed evolutionary tracks for overmetallic models, using the three different values of the metallicity as given by the groups of observers: [Fe/H]=0.19 (TOSKS05 and FV05), 0.23 (SIM04 and GM06), and 0.27 (GLTR01). The results obtained in the logg log T eff diagram are displayed in Fig. 1 (upper and middle panels). Each graph corresponds to one value of the metallicity. The five observational error boxes are shown in each graph, but those that correspond to the same metallicity as the models are drawn in thicker lines. The only acceptable models computed with a given metallicity are those that cross the error boxes corresponding to the same metallicity as derived by the observers. Two different graphs are presented for the [Fe/H] = 0.19 case, because the TOSKS05 box can be crossed in two different ways. On the graph presented on the upper left, the evolutionary tracks cross this box at the end of the main sequence, while on the graph presented on the upper right, this happens at the beginning of the subgiant phase. Of course the masses involved are quite different as is the internal structure of the stars, as will be seen below Evolutionary tracks for accretion models The lower panels of Fig. 1 show the evolutionary tracks of models with accretion for two metallicities: [Fe/H] = 0.23 and [Fe/H]=0.27. We observe that, for the same value of [Fe/H], the accretion models that cross the error boxes are more massive and younger than the overmetallic ones. We also note that for all the considered cases, except the special one for which the star should be a subgiant, the range of stellar masses is from 1.18 M to 1.25 M so that all the models (overmetallic and accretion) develop convective cores during evolution. 3. Models and seismic tests We computed a large number of models along the evolutionary tracks with the constraints of having consistent metallicities, effective temperatures, and gravities as given by each group of observers. We chose eight of these models for further asteroseismic studies Choice of models The characteristics of the models chosen for asteroseismic studies are displayed in Tables 2 and 3. The overmetallic models

71 M. Soriano et al.: Seismic modelling of HD Fig. 1. Constraints on the position of the star HD in the logg log T eff diagram for the three different metallicities derived from spectroscopic observations. The five error boxes shown are from: Gillon & Magain (black triangles), Fischer & Valenti (white triangles), Santos et al. (diamonds), Gonzalez et al. (asterisks), Takeda et al. (crosses). For each selected metallicity, the corresponding authors box is drawn in thick lines. The figures of the upper and middle panels for [Fe/H] = 0.19, 0.23, and 0.27 show the evolutionary tracks for overmetallic models, while the lower figures for [Fe/H]=0.23 and 0.27 are for models with accretion. In the upper-left figure, the evolutionary tracks are for 1.28 M (thick line), 1.30 M (dotted line), 1.31 M (dashed line), and 1.32 M (dotted-dashed line), respectively; in the upper-right figure the evolutionary tracks are in the same order for 1.18, 1.19, 1.20, and 1.22 M ; in the middle-left figure the evolutionary tracks are in the same order for 1.19, 1.20, 1.21, and 1.22 M ; in the middle-right figure they are in the same order for 1.18, 1.20, 1.22, and 1.24 M ; in the lower-left figure, the tracks are for 1.20, 1.22, 1.24, and 1.25 M ; and in the lower-right figure, they are in the same order for 1.20, 1.22, 1.23, and 1.25 M. Table 2. Mass, age, surface gravity, effective temperature, luminosity, surface metallicity and average large separations of eight stellar models consistent with the spectroscopic constraints. Model M (M ) Age (Gyr) logg log T eff (K) log L/L [Fe/H] ν (µhz) 1 (OM) (OM) (OM) (OM) (AC) (AC) (OM) (OM) labelled 1 to 4 (OM) correspond to main-sequence stars. Their seismic analysis is given in Sect Models computed with the accretion hypothesis, labelled 5 and 6 (AC) are discussed in Sect The evolutionary tracks that cross the error box of Takeda et al. (2005) lead to very different models, either at the end of the main sequence or at the beginning of the subgiant branch. We discuss two of them, labelled 7 and 8 (OM) in a special section (Sect. 4). These models, which have high luminosities compared to those derived from the Hipparcos parallax, present specially interesting characteristics: in both cases the small separations become negative at some particular frequency. Note that in model 8 (OM) the convective core has disappeared, while it did develop along the evolutionary track. For this reason, model 8 (OM) possesses a radiative helium core with a sharp boundary, while model 7 still has a convective core. These interesting models and the underlying physics are discussed in Sect Seismic analysis of models 1 to 4: large separations, small separations, and echelle diagrams Adiabatic oscillation frequencies were computed for the models chosen in Sect. 2 using the Brassard et al. (1992) code, as in Bazot & Vauclair (2004). The frequencies were computed for angular degrees l = 0 to l = 3 and radial orders typically ranging from 4 to 100. The corresponding echelle diagrams, where the frequencies are plotted in ordinates and the same frequencies modulo the large separation are plotted in abscissae, are given in Fig. 3. They present characteristic differences large enough to be detectable with the CoRoT satellite, which should reach a frequency resolution of the order of 0.1 µhz for the long observational runs of 150 days. We also computed the small separations,δν=ν n,l ν n 1,l+2, which are very sensitive to the deep stellar interior (Tassoul 1980; Roxburgh & Vorontsov 1994; Gough 1986). They are

72 888 M. Soriano et al.: Seismic modelling of HD Table 3. Radius, fractional radius and mass of the convective core, fractional radius of the outer convective zone, initial helium and metal mass fraction, present surface helium and metal mass fraction, and present central helium mass fraction for the same models as in Table 2. Model R (cm) r cc /R M cc /M r ec /R Y 0 Z 0 Y s Z s Y c 1 (OM) 8.266e (OM) 9.014e (OM) 8.643e (OM) 8.510e (AC) 8.570e (AC) 8.864e (OM) 11.51e (OM) 11.11e10 (0.0612) a (0.1077) a a For model 8, which has no more convective core, Cols. 3 and 4 present the radius and mass fractions of the helium core. Fig. 2. Large separations for the overmetallic models 1 to 4 and the accretion models 5 and 6. The horizontal dotted-dashed line corresponds to the value of the mean large separation in each. presented in Fig. 4. We come back in more detail to the subject of small separations in Sect. 4, as they present a special behaviour in models 7 and Seismic analysis of the accretion models 5 and 6 Two models have been computed with the assumption that the observed overmetallicity was due to accretion of hydrogen poor matter onto the star during the early phases of planetary formation. Both models have a solar metallicity in their interiors, while model 5 (AC) has [Fe/H]=0.23 and model 6 (AC) [Fe/H]= 0.27 in their outer layers. The external and internal parameters of these models are given in Tables 2 and 3. Both models have a convective core that is smaller than the ones obtained for the overmetallic models with the same atmospheric metallicity (models 3 and 4). The large separations, echelle diagrams, and small separations for these models are given in Figs. 2 4 (lower panels). Although these models show no qualitative differences with the overmetallic models, due to the fact that they all have convective cores, they do present visible quantitative differences, which are due to the different sizes of their convective cores. The situation here is not the same as for stars with lower masses, for which the accretion models, which have no convective cores, follow evolutionary tracks very different from those of the overmetallic models (see Bazot & Vauclair 2004). We expect, however, that the quantitative differences between these models should be detectable at the precision of the CoRoT observations.

73 M. Soriano et al.: Seismic modelling of HD The special cases of models 7 and 8: negative small separations Models 7 and 8 correspond to the Takeda et al. (2005) error boxes in the logg log T eff diagram (Fig. 1, upper panels, left for model 7, right for model 8). Model 7 is at the end of the main-sequence, model 8 at the beginning of the subgiant branch Seismic analysis of models 7 and 8 These models present very interesting features, clearly visible in Fig. 5: thel=0 andl=2 lines cross at frequencies of 2.3 mhz for model 7 and 3.15 mhz for model 8. Meanwhile thel=1 and l=3 lines become very close at high frequencies. In the lower panel, we may check that the small separations betweenl=0 and l = 2 become negative at the crossing frequencies. These characteristic features are related to the rapid variations of the sound velocity near the helium-rich cores (Fig. 6, upper panels). In model 7, the core is convective, with a high helium abundance Y= In model 8, which corresponds to the beginning of the subgiant branch, the central convection has disappeared but a sharp-edged helium core remains. While thel=0modes propagate inside the whole star from the surface down to the centre, thel=2 modes turn back at a layer whose radius (turning point) is given by S l (r t )=ω=2πν, (1) Fig. 3. Echelle diagrams for the overmetallic models 1 to 4 and the accretion models 5 and 6. Diamonds correspond tol=0, triangles to l=1, crosses tol=2, and asterisks tol=3. whereνis the frequency of the considered mode and S l (r) the Lamb frequency, given by S l (r)= c(r) r l(l+1). (2) We computed the turning points r t (ν) for thel = 2 modes in models 7 and 8, the radii of which is obtained from: c 2 (r t )= 2π2 ν 2 rt 2 3. (3) The results are given in Fig. 6 (lower panels). For both models, the turning points of thel=2 waves reach the edge of the core at the exact frequency for which thel=0 andl=2 lines cross in the echelle diagrams Negative small separations: discussion For the present study, the p-mode frequencies have been computed in a precise way, using the code PULSE (Brassard et al. 1992). The fact that the computed small separations change sign for models with helium cores is an important result. Negative small separations at first sight contradict the so-called asymptotic theory developed by Tassoul (1980). We show below that this behaviour may be understood if we relax one of the Tassoul s assumptions, namely if we take into account the fact that thel = 2 waves do not travel down to the centre of the

74 890 M. Soriano et al.: Seismic modelling of HD star, below their turning point. In the usual asymptotic theory, the small separations may be written R ν 1 dc δν=ν n,l ν n 1,l+2 (4l+6) dr, (4) 4π 2 ν n,l 0 r dr which is always positive. However, this expression is obtained with the assumption that the integrations may be performed between r = 0 and r = R for low values ofl, as well as forl=0, while they should be computed between r t and R, where r t is the internal turning point of the waves. In the case of helium rich cores, the sound velocity gradient that enters the integral in Eq. (4) strongly varies near the centre, as shown in the upper panels of Fig. 7. As a consequence, the integral I(r), defined as R 1 dc I(r)= dr, (5) r t r dr changes drastically, so that I(r) is very different from I(0) for low values of r (Fig. 7, lower panels). To understand how the small separations may become negative, let us go back to the approximate computations of the frequencies proposed by Tassoul (1980), in which we reintroduce integrals between r t and R instead of zero and R. The approximate expression forν n,l may be written ν n,l (n+ l ) +α ν l l(l+1) ν l 4π 2 ν n,l [ c(r) R ] R 1 dc r l r dr dr δ ν2 l ν n,l, (6) Fig. 4. Small separations for the overmetallic models 1 to 4 and the accretion models 5 and 6. Solid lines are for the differencesl=0 minusl=2 and dashed lines for the differences l=1minusl=3. which is the usual Tassoul s expression where the lower limit for the integral r l is the turning point for thelmode with frequencyν n,l ; ν l is the large separation, generally approximated as ν 0 = 1 2t a where t a is the acoustic radius of the star;αcorresponds to a surface phase shift; and δ is a function of the parameters of the equilibrium model. For the following discussion, we keep ν l in the equations as a working hypothesis instead of ν 0, which means that we allow ν l to be different for differentl values. Under these assumptions, neglecting the ratio c(r) R in front of the integral and theδ-term, the small separations betweenl=0 andl=2 may be written: δν 02 ( n α) ( ν 0 ν 2 ) 3 ν 2 2π 2 ν n,l I(r t ). (7) For model 8, I(r t ) changes sign when r t reaches the edge of the helium core (Fig. 7, lower panel, right). In this case, the reasonδν 02 changes sign is evident. For model 7 (left), the integral becomes close to zero without changing sign. However, a close look at the large separations (Fig. 5, upper left) shows that, in the considered range of frequencies, ν 2 is systematically larger than ν 0 by about µHz, which represents a signature of the fact that the propagation times for thel=2 waves are shorter than that of the l = 0 waves. This behaviour is logically related to the drop in the sound velocity in the helium core. With characteristic values of n of order 30, a rapid computation shows that such a difference in the large separations is enough to induce a change of sign forδν 02 when the turning point of the waves reaches the edge of the helium core.

75 M. Soriano et al.: Seismic modelling of HD Fig. 5. Large separations, echelle diagrams, and small separations for the overmetallic models 7 and 8. We note that, in the echelle diagrams, the l=0 andl=2 lines cross at frequencies of 2.3 mhz (model 7) and 3.15 mhz (model 8), while thel=1 andl=3 lines become very close for high frequencies. This is due to their helium-rich cores (see text). Fig. 6. Upper panels: sound speed profiles for the overmetallic models 7 and 8. The sound velocities present a sharp variation at the boundary of the helium-rich core, which is convective in model 7 but radiative in model 8. Lower panels: turning point r t of thel = 2 waves, computed as a function of the frequency of the waves (solid lines). The dashed lines represent the radius of the helium-rich core. We see that the turning point reaches the core boundary at the same frequency as that of the crossing point in the echelle diagrams. This is an important result that will be discussed in more details for the general case of solar-type stars in a forthcoming paper. 5. Summary The exoplanet-host star HD is one of the main targets of the CoRoT satellite and, as such, will be observed as a long run during five consecutive months. This solar-type star has one known planet, a hot Jupiter orbiting at 0.5 AU with a period of 119 days. Like most exoplanet-host stars, its measured metallicity is higher than that of the Sun. From the various observing groups, the determined values range between [Fe/H] = 0.19 to Each of these metallicities is given with consistent spectroscopically-obtained values of gravity and effective temperature.

76 892 M. Soriano et al.: Seismic modelling of HD We performed an extensive analysis of this star in the same way as we did for the exoplanet-host starιhor (Laymand & Vauclair 2007). We first presented a review of the spectroscopic observations: five groups of observers gave different sets of values for its metallicity, gravity and effective temperature. We then computed eight realistic models of HD 52265, each of them consistent with at least one of these sets of observed parameters. They present oscillation frequencies and seismic signatures (large and small separations, echelle diagrams), with much larger differences than the precision expected with CoRoT. The differences in the large separations among our models vary from 4 to 25µHz, for the small separations from 1 to 4µHz. Since the 150 day-long runs of CoRoT will provide frequencies with an uncertainty of the order of 0.1 µhz, it should be possible to unambiguously determine which of all the potential models gives the best fit of the observations. The computed models that correspond to the Takeda et al. (2005) atmospheric parameters, present a special behaviour. Two kinds of evolutionary tracks can cross the error box. For one of them, the star is at the end of the main sequence (model 7) and it has a helium-rich convective core. For the second case, the star is at the beginning of the subgiant branch: the convective core has disappeared but a helium core remains, with a sharp boundary. For both models, the small separations become negative at a particular frequency related to the penetration of the acoustic waves inside the core. We give a preliminary discussion of this important behaviour, which will be discussed in more detail for the general case of solar type stars in a forthcoming paper. The detailed modelling of HD shows that seismic tests are more powerful than classical spectroscopy for determining the external stellar parameters. It also leads to more precise values of the mass and age of the star and gives constraints on its internal structure. With asteroseismology, we are entering a new era for the study of the structure and evolution of solar-type stars. Observing and studying the oscillations of exoplanet-host stars compared to those of stars without detected planets is extremely interesting in view of determining their differences in internal Fig. 7. Upper panels: variations in the product 1 dc in the central regions of the stars. Lower r dr panels: integral I(r)= R dc dr. r dr structure and chemical composition. This subject is closely related to the studies of planetary formation and evolution and to the process of planet migration towards the central star. References Angulo, C., Arnould, M., & Rayet, M. (NACRE collaboration) 1999, Nuclear Physics A, 656, 1, Baglin, A. 2003, Adv. Space Res., 31, 345 Bazot, M., & Vauclair, S. 2004, A&A, 427, 965 Bazot, M., Vauclair, S., Bouchy, F., & Santos, N. C. 2005, A&A, 440, 615 Bouchy, F., Bazot, M., Santos, N. C., Vauclair, S., & Sosnowska, D. 2005, A&A, 440, 609 Brassard, P., Fontaine, G., Wesemael, F., & Tassoul, M. 1992, ApJS, 81, 747 Butler, R. P., Vogt, S. S., Marcy, G. W., et al. 2000, ApJ, 545, 504 Fischer, D. A., & Valenti, J. A. 2005, ApJ, 622, 1102 Flower, P. J. 1996, ApJ, 469, 355 Gillon, M., & Magain, P. 2006, A&A, 448, 341 Gonzalez, G. 2003, Rev. Mod. Phys., 75, 101 Gonzalez, G., Laws, C., Tyagi, S., & Reddy, B. E. 2001, ApJ, 121, 432 Gough, D. O. 1986, in Hydrodynamic and magnetohydrodynamic problems in the Sun and stars, ed. Y. Osaki (Uni. of Tokyo Press), 117 Iglesias, C. A., & Rogers, F. J. 1996, ApJ, 464, 943 Isotov, Y. I., & Thuan, T. X. 2004, ApJ, 602, 200 Laymand, M., & Vauclair, S. 2007, A&A, 463, 657 Lejeune, T., Cuisinier, F., & Buser, R. 1998, A&AS, 130, 65 Michaud, G., Richard, O., Richer, J., & VandenBerg, D. 2004, ApJ, 606, 452 Naef, D., Mayor, M., Pepe, F., et al. 2001, A&A, 375, 205 Paquette, C., Pelletier, C., Fontaine, G., & Michaud, G. 1986, ApJS, 61, 177 Rogers, F. J., & Nayfonov, A. 2002, ApJ, 576, 1064 Roxburgh, I. W., & Vorontsov, S. V. 1994, MNRAS, 267, 297 Santos, N. C., Israelian, G., Mayor, M., Rebolo, R., & Udry, S. 2003, A&A, 398, 363 Santos, N. C., Israelian, G., & Mayor, M. 2004, A&A, 415, 1153 Santos, N. C., Israelian, G., Mayor, M., et al. 2005, A&A, 437, 1127 Simbad Astronomical Database, Takeda, Y., Ohkubo, M., Sato, B., Kambe, E., & Sadakane, K. 2005, PASJ, 57, 27 Tassoul, M. 1980, ApJS, 43, 469 Vauclair, S., Castro, M., Charpinet, S., et al. 2006, in The CoRoT mission, ed. M. Fridlund, A. Baglin, J. Lochard, & L. Conroy (ESA Publications Division), ESA Spec. Publ., 1306, 77 r t 1

77 ÈÙ Ð Ø ÓÒ ¾ Ø ÖÓ ÑÓÐÓ Ý Ó ÜÓÔÐ Ò Ø¹ Ó Ø Ø Ö Ð Ò ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÒØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ó ÓÊÓÌ Ëº Î ÙÐ Ö Åº ØÖÓ Ëº ÖÔ Ò Ø Åº Ä ÝÑ Ò Åº ËÓÖ ÒÓ Ø Ðº ØÖ Ø ÁÐ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ³ ØÙ Ö Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö Ø Ð ÓÑÔ Ö Ö ÐÐ ØÓ Ð Ò ÔÐ Ò Ø Ø Ø ÔÓÙÖ Ñ ÙÜ ÓÑÔÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ù ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ø Ö º Ø Ö Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø Ó ÖÚ ØÓ Ð ÔÐ Ò Ø Ô ÙØ ÔÔÓÖØ Ö ÙÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Öº Ò ÕÙ³ ÐÐ Ó Ø Ñ Ò Ø Ñ ÒØ Ö Ð ÙÜ ÔÖÓ Ù Ô Ý ÕÙ ÔÖÓ Ù ÒØ Ô Ò ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ð ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ø Ö Ð³ÓÖ Ò ØØ ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø Ò³ Ø Ô Ð Ö º ÐÐ Ô ÙØ ØÖ Ó Ø ÔÖ ÑÓÖ Ð Ó Ø Ð Ð³ Ö Ø ÓÒ ÓÙ ÒÓÖ ÙÜ Ùܺ ij Ø ÖÓ ÑÓ¹ ÐÓ Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ü ÐÐ ÒØ ÓÙØ Ð ÔÓÙÖ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö Ò ØÖÙØÙÖ ÒØÖ Ð ØÓ Ð Ú Ø Ò ÔÐ Ò Ø Ø Ø º Ä ÙÜ Ñ ÓÒ ÓÊÓÌ ÓÒØ Ð Ð Ø Ø ÓÒ ÒÓÙÚ ÐÐ ÔÐ Ò Ø Ø Ð³ ØÙ Ñ ÕÙ Ð ÙÖ ØÓ Ð Ø ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÙØ Ñ ÙÜ ÓÑÔÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ¹ Ù ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÔÐ Ò Ø Ö º Ä Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÓÊÓÌ À ¾¾ ÕÙ Ù ÑÓ Ò ÙÒ ÔÐ Ò Ø ÒØ Ö Ó ÖÚ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ò ÒØ ÑÓ Ö ÙÐØ Ø ÒØ Ö ÒØ ÓÒØ ØØ Ò Ù º Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÖÓÒØ Ö Ö Ò Ð ØÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ ÒÓÙÚ ÐÐ ÔÐ Ò Ø ÖÓÒØ ÓÙÚ ÖØ º ¾¼¼ ÈÖÓ Ò Ó Ì ÓÊÓÌ Å ÓÒ ÈÖ ¹Ä ÙÒ ËØ ØÙ ¹ ËØ ÐÐ Ö Ë ÑÓÐÓ Ý Ò ÈÐ Ò Ø Ò Ò Ë Ëȹ½ ¼ µ Ôº ½

78

79

80

81

82

83

84

85 Ô ØÖ Ë Ò ØÙÖ Ñ ÕÙ ÙÖ ³ Ð ÙÑ Ò ØÙ ÒØ Ð³ ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö À ¾¾ ÒÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ò ÖØ Ò Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÚ ÒØ Ú Ò Ö Ò Ø Ú º Óѹ ÔÓÖØ Ñ ÒØ Ñ Ð Ø ÔÖ ÓÖ Ò ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ú Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ú ÐÓÔÔ Ô Ö Ì ÓÙÐ ½ ¼µº ÆÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ô ÒÓÑ Ò Ø Ø Ð Ð ÔÖ Ò Ó Ø ³ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ó Ø ³ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ Ú ÖÓÒØ Ö ÖÙÔØ Ö ÙÐØ ÒØ Ð ÔÖ Ò ³ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ô Ò ÒØ Ð Ô ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ ÙÒ Ò ÐÝ Ò Ö Ð Ô ÒÓÑ Ò ÔÓÙÖ Ð ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö Ú ÓÙ Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÆÓÙ ÚÓÒ ÓÒ ÒØÖ ØØ ØÙ ÙÖ Ð ØÓ Ð Ý ÒØ ÙÒ Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÐ Ö ÓÙ ÕÙ ÓÒØ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÕÙ Ø Ð ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö º ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÔÐÙ ÙÖ Ö ÑÓ Ð Ø ÐÐ Ö Ò ÒØ Ú Ö Ö Ð Ñ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ø Ò ÓÙØ ÒØ Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÆÓÙ ÚÓÒ Ò Ù Ø Ø٠г ÚÓÐÙØ ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓÙÖ ÚÓ Ö ÒÓÙ Ö ØÖÓÙÚ ÓÒ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ô ÖØ ÙÐ Öº º½ ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú Ø ÑÓ Ð ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÔÐÙ ÙÖ Ö ÑÓ Ð Ú Ð Ó ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÌÓÙÐÓÙ ¹ Ò Ú Ì ÚÓ Ö Ô ØÖ ¾µ Ú Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ ÒØÖ ÓÒÒ Ò Ë Ø ÓÒ ¾º½º½º ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ü Ö ÑÓ Ð ÔÓÙÖ Ñ ÐÐ ÒØ ½º¼ ½º¾ Å º Ä ØÖÓ ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÒØ Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ø Ð ØÖÓ ÙØÖ ÓÒØ Ð³ÓÚ Ö¹ ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº ijÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ø ÑÓ Ð ÓÑÑ ÙÒ ÜØ Ò ÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø ÚÓ Ö Ô ØÖ ¾ Ë Ø ÓÒ ¾º½º¾µº ÈÓÙÖ ÒÓ ÐÙÐ ÒÓÙ ÚÓÒ Ü Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò α ov ¼º¾¼º Ò ÕÙ Ð ØÖÓ Ö Ö ÒØ Ô Ö

86 ¼ À ÈÁÌÊ º ËÁ Æ ÌÍÊ ËÁËÅÁÉÍ Ë ÍÊË ³À ÄÁÍÅ Ì º º½ È Ö Ñ ØÖ ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÐÙÐ Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ú ÙÒ Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÐ Ö»À Ø ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÓÐ Ö º º½ Ö Ô Ù Ùصº Å Å µ ÝÖµ C C Ê Ñµ Ä»Ä ÐÓ Ì eff ÐÓ g Ê cc»ê t cc µ ½º¼ º < 10 4 ¼º º¼ ½¼ ½º º ½ º ¾ ¼º¼ µ a ½¾ º µ b ½º½¼ º¼ < 10 4 ¼º º ½¼ ½º ½ º º¾ ¼º¼ µ a ½¾ º µ b ½º½ º < 10 4 ¼º ½¼º½¾ ½¼ ¾º ½ º º½ ¼º¼ µ a ½¾ µ b ½º¾¼ º ¼º½ ¾ ¼º º ½¼ ¾º º º¾½ ¼º¼ ½½ ½º¾ º¼ ¼º½ ¼º ½ ½¼º ¼ ½¼ ¾º ¾ º º½ ¼º¼ ½¾ º a Ä Ú Ð ÙÖ ÒØÖ Ô Ö ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ó Ð ÙÖ ÓÒÚ Ø Ô ÖÙ Ð ¹ ÒØ Ð ÔÐ ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ Ú ÖÓÒØ Ö ÖÙÔØ º Ä Ú Ð ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ö ÝÓÒ ÙÖ ³ Ð ÙѺ b Ä Ú Ð ÙÖ ÒØÖ Ô Ö ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ù Ö ÝÓÒ ÓÙ Ø ÕÙ ÙÖ ³ Ð ÙѺ Ì º º¾ Á Ñ Ð Ì Ð º½ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼µ Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ G º º½ Ö Ô Ù Ñ Ð Ùµº Å Å µ ÝÖµ C C Ê Ñµ Ä»Ä ÐÓ Ì eff ÐÓ g Ê cc»ê t cc µ ½º¼ º < 10 4 ¼º º ½¼ ½º ½½ º º¾ ¼º¼ µ ½¾½º µ ½º½¼ º ¼º¼ ¾ ¼º ½ º ½¼ ½º º ½ º¾ ¼º¼ º¾ ½º½ º ¼º½¼ ¼º º½ ½¼ ½º ½ º º¾ ¼º¼ ½½ º½ ½º¾¼ º ¼º½ ¼ ¼º º ¼ ½¼ ¾º½½ º º¾ ¼ ¼º¼ ½¾ º ½º¾ º½ ¼º¾¾¼ ¼º ½ º ½¼ ¾º ½ º ¾ º¾¾ ¼º¼ ½ ¼ Ð ÙÖ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ñ Ø ÐÐ Ø Ø ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÓÐ Ö º ÆÓÙ ÚÓÒ ÙØ Ð Ð ÓÒ Ò Ö Ú ² ÆÓ Ð ½ µ ÕÙ ÓÒØ ÓÑÔ Ø Ð Ú Ð³ Ð Ó ÑÓÐÓ ini = ini = ini = º ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø»À ¼º ¼µ Ø ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÐÙÐ ÐÓÒ Ð ÐÓ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü ÁÞÓØÓÚ ² Ì Ù Ò ¾¼¼ µ ini = ini = ini = º ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø»À ¼º ¼µ Ø ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÓÐ Ö ini = ini = ini = º ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ö Ò ÒÓÑ Ö ÑÓ Ð Ð ÐÓÒ ÕÙ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú Ð³ Ù Ó ÈÍÄË Ö Ö ² ÖÔ Ò Ø ¾¼¼ µº Ú Ö ÕÙ Ò ÒÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÕÙ ÑÓ¹

87 º½º ÌÊ Ë ÎÇÄÍÌÁÎ Ë Ì ÅÇ Ä Ë ½ º º½ ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú ÔÓÙÖ ÑÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÐ Ö»À Ö Ô Ò ÙØ Ù µ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼ Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ù Ú ÒØ Ð ÐÓ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü G Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ Ø ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÓÐ Ö Ö Ô Ù µº ÌÓÙ ÑÓ Ð ÓÒØ Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ä ØÖ ÓÒØ ÔÓÙÖ Ñ ½º¼ ½º½¼ ½º½ ½º¾¼ Ø ½º¾ Å º Ä ÖÓ Ü Ö ÔÖ ¹ ÒØ ÒØ Ð ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÕÙ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ³ ع¹ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú Ò ÓÙ º ÑÀÞº Ä Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÑÓ Ð ÓÒØ ÓÒÒ Ò Ì Ð º½ º¾ Ø º º

88 ¾ À ÈÁÌÊ º ËÁ Æ ÌÍÊ ËÁËÅÁÉÍ Ë ÍÊË ³À ÄÁÍÅ º º¾ ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú ÐÙÐ Ú Ð Ñ Ñ ÝÔÓØ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º½ Ñ Ú Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº Ä Ñ Ö ÔÖ ÒØ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º½º ËÙÖ ÕÙ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÒÓÙ ÚÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ð ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ ÖÓ Üº Ä Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÑÓ Ð ÓÒØ ÓÒÒ Ò Ì Ð º º Ø º º

89 º½º ÌÊ Ë ÎÇÄÍÌÁÎ Ë Ì ÅÇ Ä Ë Ì º º Á Ñ Ð Ì Ð º½ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼µ Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ º º½ Ö Ô Ù µº Å Å µ ÝÖµ C C Ê Ñµ Ä»Ä ÐÓ Ì eff ÐÓ g Ê cc»ê t cc µ ½º¼ º < 10 4 ¼º º ¾ ½¼ ½º¾ º º¾ ¼º¼ µ ½¼ º µ ½º½¼ º < 10 4 ¼º º ½¼ ½º º º¾ ¼º¼ µ ½¼ º½µ ½º½ º < 10 4 ¼º ¼ º ¾ ½¼ ½º º ¾ º¾¾ ¼º¼ µ ½½½º µ ½º¾¼ º ¼º½¾¾¼ ¼º ¾ º ¼ ½¼ ½º º º¾ ¼º¼ ½¼ ½º¾ º¼ ¼º½ ¼º º ¼ ½¼ ¾º½ º º¾ ¼º¼ ½¾¾º Ì º º È Ö Ñ ØÖ ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÐÙÐ Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÙÒ Ñ Ø ÐÐ ¹ Ø ÓÐ Ö»À Ø ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÓÐ Ö º º¾ Ö Ô Ù Ùص Å Å µ ÝÖµ C C Ê Ñµ Ä»Ä ÐÓ Ì eff ÐÓ g Ê cc»ê t cc µ ½º¼ º < 10 4 ¼º º¼ ½¼ ½º º ½ º ¾ ¼º¼ µ a ½¾ º µ b ½º½¼ º ¼º¾¾ ¼º ½ º¼¾ ½¼ ½º º º¾ ¼º¼ ½½ º ½º½ º ¼º¾ ¼º ¼ º ½¼ ¾º¾ º ¼ º¾½ ¼º¼ ½¾ º ½º¾¼ º¾ ¼º¾ ¾ ¼º ½ ½¼º¾ ½¼ ¾º ¾ º º½ ¼º¼ ½ º ½º¾ º ¼º¾ ¾ ¼º ¾ ½½º¼ ½¼ º¾¾ º º½ ¼º¼ ½ º½ a Ä Ú Ð ÙÖ ÒØÖ Ô Ö ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ó Ð ÙÖ ÓÒÚ Ø Ô ÖÙ Ð ¹ ÒØ Ð ÔÐ ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ Ú ÖÓÒØ Ö ÖÙÔØ º Ä Ú Ð ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ö ÝÓÒ ÙÖ ³ Ð ÙѺ b Ä Ú Ð ÙÖ ÒØÖ Ô Ö ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ù Ö ÝÓÒ ÓÙ Ø ÕÙ ÙÖ ³ Ð ÙѺ Ì º º Á Ñ Ð Ì Ð º ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼µ Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ G º º¾ Ö Ô Ù Ñ Ð Ùµº Å Å µ ÝÖµ C C Ê Ñµ Ä»Ä ÐÓ Ì eff ÐÓ g Ê cc»ê t cc µ ½º¼ º < 10 4 ¼º º ½¼ ½º ½ º º¾ ½ ¼º¼ µ ½¾½º µ ½º½¼ º ¼º¾½¼ ¼º º¼ ½¼ ½º º º¾ ¼º¼ ½ º ½º½ º ¼º¾½ ¼º º ½¼ ½º ½¾ º º¾¾ ¼º¼ ½ º ½º¾¼ º ¼º¾¾ ¾ ¼º ½ ½¼º¾¼ ½¼ ¾º¾ º º½ ¼º¼ ½ º ½º¾ º½ ¼º¾¾ ¼º ½¼º ½¼ ¾º ½ º º½ ¼º¼ ½ ½º

90 À ÈÁÌÊ º ËÁ Æ ÌÍÊ ËÁËÅÁÉÍ Ë ÍÊË ³À ÄÁÍÅ Ì º º Á Ñ Ð Ì Ð º ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼µ Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ º º¾ Ö Ô Ù µº Å Å µ ÝÖµ C C Ê Ñµ Ä»Ä ÐÓ Ì eff ÐÓ g Ê cc»ê t cc µ ½º¼ º < 10 4 ¼º º ½¼ ½º¾ º º¾ ¼º¼ µ ½¼ º µ ½º½¼ º¼ < 10 4 ¼º º ½¼ ½º º º¾ ½ ¼º¼ µ ½¼ º µ ½º½ º ¼º¾¾ ¼º º¾¼ ½¼ ½º ¾ º º¾ ¼º¼ ½ º ½º¾¼ º ¼º¾ ¼º ¼½ º ½¼ ½º º ½ º¾¾ ¼º¼ ½ º ½º¾ º¼ ¼º¾ ¼¾ ¼º ¾ ½¼º ½¼ ¾º¾ ¼ º º½ ¾ ¼º¼ ½ º Ð Ø Ò ÐÝ Ò ÕÙ ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø ÔÓÙÚ ÒØ Ú Ò Ö Ò Ø Ú º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ð ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÑÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú ÙÒ ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò ÕÙ Ò ÕÙ Ð Ð Ò l = 0 ¹ l = 2 ÖÓ ÒØ ÔÓÙÖ ØØ Ö ÕÙ Ò ÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ º Ò ØÓÙ Ð Ð Ö ÕÙ Ò ÔÓ ÒØ ÖÓ Ñ ÒØ ÖÓ Ø ÕÙ Ò Ð³ ÑÓ Ð Ù Ñ ÒØ º ÈÓÙÖ ÕÙ ØÖ ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÔ Ð Ð ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð ³ Ø Ù ÑÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð Ô ÒÓÑ Ò ÔÔ Ö Ø ÔÓÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ò ÓÙ º ÑÀÞº ÑÓ Ð ÓÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÖÓ Ü ÙÖ Ð ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÙÖ º½ Ø º¾µ Ø Ð ÙÖ Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÓÒØ ÓÒÒ Ò Ì Ð º½ º º º¾ Ò ÐÝ Ö ÙÐØ Ø ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ò ÐÝ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú Ø ÓÒÒ Ò Ð ¹ Ô ØÖ ÔÓÙÖ Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð³ ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö À ¾¾ º ÉÙ Ò ÒÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÑÓ Ð Ø ÒØ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÔÓÙÖ ØØ ØÓ Ð ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ ÖØ Ò ÑÓ Ð Ô ÕÙ ÔÖ ÒØ ÒØ ØØ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø º ÆÓÙ ÚÓÒ Ö Ð Õ٠г ÔÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò ¹ Ø Ú Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ Ö Ð ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ò Ð ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º Ä ÖÐ ÔÖ Ò Ô Ð Ð ÓÒÚ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÒØÖ Ö Ð³ Ð ÙÑ Ò ÙÒ ÙÖ ÙÜ ÖÓÒØ Ö ÖÙÔØ Ô Ò ÒØ Ð Ô ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º ÆÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÔÓÙÚ ÒØ ØÖ ÙÒ ¹ Ò ØÙÖ Ñ ÕÙ Ð Ø ÐÐ Ù ÙÖ ³ Ð ÙÑ ÓÙ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø ³ Ð Ø ÒÓÖ ÔÖ Òغ ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ ÙÒ Ò ÐÝ ÔÐÙ ÓÑÔÐ Ø Ò Ö Ð Ù ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö º

91 º¾º Æ Ä Ë Ë Ê ËÍÄÌ ÌË º¾º½ Ò ÐÝ Ø ÓÖ ÕÙ ÈÓÙÖ ØÓÙ ÒÓ ÑÓ Ð Ð Ö ÕÙ Ò ÓÙ Ø ÕÙ ÓÒØ ÐÙÐ Ú Ð Ó ÈÍÄË ÚÓ Ö Ô ØÖ ¾ Ë Ø ÓÒ ¾º¾µº Ä Ö ÙÐØ Ø ÔÖ ÒÒ ÒØ Ò ÓÑÔØ Ð Ô ÖØ ¹ ÙÐ Ö Ø ÒØ Ö ÙÖ Ø ÐÐ Ö º Ä Ø ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú Ø ÔÖ Ñ Ö ÚÙ ÙÖÔÖ ¹ Ò ÒØ Ð³ÓÒ ÔÐ Ò Ð Ö Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ú ÐÓÔÔ Ô Ö Ì ÓÙÐ ½ ¼µº Ò Ø ØØ Ø ÓÖ ÔÖ Ø Ù ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ö ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÚÖ ÒØ Ú Ö Ö Ô Ù Ø Ö Ø Ö ÔÓ Ø Ú º Ô Ò ÒØ ÓÑÑ ÒÓ٠г ÚÓÒ ÑÓÒØÖ Ù Ô ØÖ ½ ØØ Ø ÓÖ Ø ¹ Ú ÐÓÔÔ Ò ÒØ ÝÔÓØ ÕÙ Ò ÓÒØ Ô ØÓÙ ÓÙÖ Ù Ø º ij ÝÔÓØ Ð ÔÐÙ Ö Ð ÓÒ ÖÒ Ð ÒØ Ö Ð ÕÙ ÓÒØ ÐÙÐ ÒØÖ ¼ Ø Êº Ò Ö Ð Ø Ð ÑÓ ÓÒØ Ô ÒØÖ Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ ÒØ ÖÒ r t Ø Ð ÙÖ º Ð Ò ÕÙ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ø ÙÔÔÓ Ð Ñ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ r t Ø Ù ÒØÖ Ð³ ØÓ Ð º Ò³ Ø Ô Ð ÔÓÙÖ ØÓ Ð Ú ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø ÒÓÖ ÑÓ Ò ÕÙ Ò Ð Ö ÔÔÓÖØ Ð ÙÑ ÙÖ Ý ÖÓ Ò Ù Ñ ÒØ º ÁÐ ÙØ ÓÒ ÐÙÐ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ð ÒØ Ö Ð ÒØÖ ÙÜ Ð Ñ Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ÓÒ º Ô ÖØ Ö ÐÙÐ Ì ÓÙÐ ½ ¼µ Ñ Ò Ö Ð ÒØ ÝÔÓØ ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÔÓÙÖ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ð ÜÔÖ ÓÒ ÓÒÒ Ô Ö Ð ÕÙ ¹ Ø ÓÒ ½º½¾ Ø ½º½¾ Ô ØÖ ½ Ë Ø ÓÒ ½º º µº ÆÓÙ ÒÓÙ ÓÒ ÒØÖÓÒ ÙÖ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 ¹ l = 2º ³ ÔÖ ÜÔÖ ÓÒ ÓÒ ÚÓ Ø Õ٠г ÒØ Ö Ð I(r) ÓÙ ÙÒ ÖÐ ØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ð ÐÙÐ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ º Ò ÖØ Ò Ð³ ÒØ Ö Ð I(r) ÕÙ Ø Ò Ò Ö Ð Ò Ø Ú Ô ÙØ Ú Ò Ö ÔÓ ¹ Ø Ú Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ Ð Ö ÔÔÓÖØ 4 À»À Ø Ù ÑÑ ÒØ Ö Ò º Ò ¹Ð ÓÒ Ó ÖÚ ÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ð Ú Ø Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÔÐÙ Ð Ò Ð ÙÖ ÕÙ ÕÙÓ ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ø ³ ØØ Ò Ö Ò ÒØ ÙÒ ÑÔÐ ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ö ÓÙ ÙÔ Ö ÙÖ º Ä Ò Ñ ÒØ Ò Ð³ ÒØ Ö Ð Ù Ø ÐÓÖ ÜÔÐ ÕÙ Ö Õ٠гÓÒ Ó Ø ÒÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÓÑÑ Ò Ð Ù ÑÓ Ð ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º º Ä Ö ÕÙ Ò Ð ÕÙ ÐÐ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò ÒØ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ö ÕÙ Ò ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð ÑÓ l = 2 ØØ Ò ÒØ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ r t = r cc µº Ò ³ ÙØÖ ÓÑÑ ÐÙ ÔÖ ÒØ Ò Ü ÑÔÐ Ò ÙÖ º Ð Ú Ð ÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ð Ò ÖÙ ÕÙ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ú ¹ ÙÖ º Ö Ô Ò ÖÓ Ø µº ÇÒ Ó ÖÚ Ô Ò ÒØ ÙÒ Ð Ö Ö Ò ÒØÖ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 Ø l = 2 ν 2 Ø Ý Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ ÙÔ Ö ÙÖ ν 0 ÕÙ ÐÕÙ Þ Ñ µàþ ÙÖ º Ö Ô Ò Ù µº ÖØ ØØ Ö Ò Ø Ð Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ö Ð³ÓÖ Ö Ö Ð n ÑÓ Ð³ÓÖ Ö ¼µ ÐÐ Ù Ø Ò Ù Ö Ð Ò Ñ ÒØ Ò Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ º

92 À ÈÁÌÊ º ËÁ Æ ÌÍÊ ËÁËÅÁÉÍ Ë ÍÊË ³À ÄÁÍÅ º º È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò ÙØ Ù µ Ö ÑÑ ÐÐ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò Ù µ Ø ÒØ Ö Ð I(r) Ö Ô Ò ÖÓ Ø µ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ½º¾¼ Å º ÝÖ Ú ÙÒ Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÐ Ö º ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ØÓ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ú ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø º ÈÓÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ð Ð Ò Ò ØÖ Ø ÔÐ Ò ÓÒØ ÔÓÙÖ l = 0 Ð ÔÓ ÒØ ÐÐ ÔÓÙÖ l = 1 Ð Ø Ö Ø ÔÓÙÖ l = 2 Ø Ð Ø Ö Ø ¹ÔÓ ÒØ ÔÓÙÖ l = 3º

93 º¾º Æ Ä Ë Ë Ê ËÍÄÌ ÌË º º È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò ÙØ Ù µ Ö ÑÑ ÐÐ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò Ù µ Ø ÒØ Ö Ð I(r) Ö Ô Ò ÖÓ Ø µ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ½º¾¼ Å º¾ ¼ ÝÖ Ú ÙÒ Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÐ Ö º ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ØÓ Ð ÚÓÐÙ Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ µ Ú ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙѺ Ä Ð Ò Ù Ö ÑÑ ÐÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º

94 À ÈÁÌÊ º ËÁ Æ ÌÍÊ ËÁËÅÁÉÍ Ë ÍÊË ³À ÄÁÍÅ º¾º¾ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ä ÙÖ º º Ø º ÑÓÒØÖ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÒØ ÖÒ ÔÓÙÖ ØÖÓ ÑÓ Ð Ð ÐÓÒ ³ÙÒ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ½º½ Å Ú»À ¼º ¼ Ø Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ä ÔÖ Ñ Ö ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÑÓ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ò ÙÒ ØÙ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÓÒØ ØÓÙ ÓÙÖ ÔÓ Ø Ú Ò Ð ÑÑ Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ö ½º ¾ ÝÖ ÙÖ º µº Ä ÙÜ Ñ ÑÓ Ð Ø ÔÐÙ ÚÓÐÙ Ø Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 ¹ l = 2 Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú º ÑÀÞ º ÝÖ ÙÖ º µº ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÔ Ð Ð ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒº Ä ØÖÓ Ñ ÑÓ Ð Ø ÒÓÖ ÔÐÙ ÚÓÐÙ Ò Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ º ÝÖ ÙÖ º µº ËÙÖ ÕÙ ÙÖ ÒÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ð ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ø Ð³ ÒØ Ö Ð I(r)º Ù ÙØ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÑÓ Ð ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º µ Ð ÙÖ ÓÒÚ Ø Ð³ ØÓ Ð Ø ÒÓÖ Ô Ø Ø r cc /R = 0.03µº ij ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ù ÒØÖ Ø Ð c = 0.51µ Ø Ð³ÓÒ Ò³Ó ÖÚ Ô ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ù ÒØÖ Ð³ ØÓ Ð º ij ÒØ Ö Ð I(r) Ø Ò Ø Ú Ò ØÓÙØ Ð³ ØÓ Ð º Ò Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ δν 02 ÓÒØ ÔÓ Ø Ú ÙÖ ØÓÙØ Ð ÑÑ Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ö Ø Ð Ò³Ý Ô ÔÓ ÒØ ÖÓ Ñ ÒØ ÒØÖ Ð Ð Ò l = 0 ¹ l = 2 ÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ º ÉÙ Ò Ð³ г ØÓ Ð Ù Ñ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ñ ÒÙ Òغ Ä ÙÖ ÓÒÚ Ø Ú ÐÓÔÔ Ø Ð Ý ÔÐÙ ³ Ð ÙÑ Ù ÒØÖ Ð³ ØÓ Ð º ÍÒ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ ÔÔ Ö Øº Ä ÑÓ Ð ÔÖ ÒØ ÙÖ Ð ÙÖ º ÓÖÖ ÔÓÒ Ù ÔÖ Ñ Ö ÑÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÔÓÙÖ ÙÒ Ö ÕÙ Ò Ò Ö ÙÖ º ÑÀÞº Ë ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ñ ÖÕÙ Ô Ö ÙÒ ÖÓ Ü ÙÖ Ð ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÖ º½ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µº Ä ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø ÔÐÙ Ú ÐÓÔÔ r cc /R = 0.06µ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÔÖ Òغ ÇÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ ÙÖ º Ö Ô Ò Ù µº Ò ÓÒ ÕÙ Ò Ð³ ÒØ Ö Ð I(r) Ø ØÖ Ö ÒØ ÒØÖ r = 0 Ø r = r t = r cc º Ò Ð ÕÙ ÒÓÙ ØÙ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ô Ò Ñ Ñ ÐÐ Ø Ò Ú Ö Þ ÖÓ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº Ô Ò ÒØ Ú Ö Ø ÓÒ ÓÒØ Ù ÒØ ÔÓÙÖ Ö ÙÐ Ö Ð Ò Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ δν 02 º ÈÓÙÖ Ð ØÖÓ Ñ ÑÓ Ð ÙÖ º µ Ð ÙÖ ÓÒÚ Ø Ô ÖÙ Ð ÒØ ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙѺ ÁÐ Ý ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ ÙÖ º Ö Ô Ò Ù µ Ø Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ δν 02 Ò ÒØ Ò ÙÒ Ö ÕÙ Ò ÔÐÙ Ð ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð ÔÖ ÒØ ÙÖ º Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µº Ä Ö ÕÙ Ò Ô ÖØ Ö Ð ÕÙ ÐÐ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú ÓÒØ ÒÙ Ö Ø Ò Õ٠г ØÓ Ð ÚÓÐÙ Ð ÐÓÒ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ Ù ÕÙ³ ÕÙ Ð ØÖÙØÙÖ Ð³ ØÓ Ð Ò ÔÖÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ú ÙÒ Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ

95 º¾º Æ Ä Ë Ë Ê ËÍÄÌ ÌË º º È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò ÙØ Ù µ Ö ÑÑ ÐÐ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ö Ô Ò Ù µ Ø ÒØ Ö Ð I(r) Ö Ô Ò ÖÓ Ø µ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ½º½ Å ½º ¾ ÝÖ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼µ Ø Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ä Ð Ò Ù Ö ÑÑ ÐÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º

96 ¼ À ÈÁÌÊ º ËÁ Æ ÌÍÊ ËÁËÅÁÉÍ Ë ÍÊË ³À ÄÁÍÅ º º È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò ÙØ Ù µ Ö ÑÑ ÐÐ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ö Ô Ò Ù µ Ø ÒØ Ö Ð I(r) Ö Ô Ò ÖÓ Ø µ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ½º½ Å º ÝÖ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼ Ø Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÁÐ ³ Ø Ù ÔÖ Ñ Ö ÑÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÔÔ Ö ÒØ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú Ò ÓÙ º ÑÀÞº Ä Ð Ò Ù Ö ÑÑ ÐÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º

97 º¾º Æ Ä Ë Ë Ê ËÍÄÌ ÌË ½ º º È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò ÙØ Ù µ Ö ÑÑ ÐÐ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ö Ô Ò Ù µ Ø ÒØ Ö Ð I(r) Ö Ô Ò ÖÓ Ø µ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ½º½ Å º ÝÖ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼µ Ø Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ØÓ Ð Ú ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ ÚÓÐÙ ÒØ ÙÖ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ º Ä Ð Ò Ù Ö ÑÑ ÐÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º

98 ¾ À ÈÁÌÊ º ËÁ Æ ÌÍÊ ËÁËÅÁÉÍ Ë ÍÊË ³À ÄÁÍÅ Ð Ø ÐÐ Ð ÞÓÒ ÓÒÚ Ø Ú ÙÖ Ø ÙÒ ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ù ÙÖº Ò Ð ÔÖ ÒØ ØÖ Ú Ð ÒÓÙ ÒÓÙ ÒØ Ö ÓÒ ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ø Ù ÙØ Ô ÓÙ ¹ ÒØ º º¾º ÁÒ Ù Ò Ð Ñ Ð³ ØÓ Ð Ä Ø Ð º½ º ÔÖ ÒØ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ö ÒØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ò Ø Ð º Ò ÕÙ Ø Ð Ð Ö ÙÐØ Ø ÓÒØ ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ñ ÒÕ Ú Ð ÙÖ Ñ ½º¼ ½º½¼ ½º½ ½º¾¼ Ø ½º¾ Å º ÇÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö Õ٠г ÑÓ Ð ØÖ Ò¹ Ø ÓÒ Ñ ÒÙ ÕÙ Ò Ð Ñ Ù Ñ ÒØ º Ò³ Ø Ô ÙÐ Ñ ÒØ ÙÜ ÐÐ Ø ÑÔ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÔÐÙ Ö Ô ÔÙ ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ñ ³ Ð ÙÑ ÓÖÖ ÔÓÒ¹ ÒØ Ñ ÒÙ ÒØ Ð Ñ ÒØ ÕÙ Ò Ð Ñ Ù Ñ ÒØ º ³ÙÒ ÙØÖ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö ÕÙ Ð Ö ÝÓÒ ØÓØ Ð ÑÓ Ð Ò ÕÙ Ð Ö ÝÓÒ Ð ÙÖ ÙÖ ÓÒÚ Ø ÓÙ ³ Ð ÙÑ Ò ÑÓÒØÖ ÒØ Ô Ú Ö Ø ÓÒ ÑÔÓÖØ ÒØ Ú Ð Ñ º ÇÒ Ô ÙØ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÖ Ò Ö Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ñ ÑÓÖ ÒØ ÔÓÙÖÕÙÓ Ð Ô ¹ Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú º ÓÑÑ ÒÓ٠г ÚÓÒ Ø Ò Ë Ø ÓÒ º º¾ ÐÐ ÔÔ Ö ÒØ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ò ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ ÒØ ÖÒ ÓÒ ØØ ÒØ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº Ä Ö Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Ö ÕÙ Ò Ø Ð ÙÖ ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ Ø ÓÒÒ Ô Ö 2πν = c(r) l(l + 1) r º½µ Ó ν Ø Ð Ö ÕÙ Ò Ù ÑÓ ÓÒ Ö r Ð Ö ÝÓÒ Ø c(r) Ð Ú Ø Ù ÓÒº Ò ÔÓÙÖ Ð ÑÓ l = 2 Ð Ö ÕÙ Ò Ö Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð ÔÓ ÒØ Ö ØÓÙÖÒ Ñ ÒØ ØÙ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ Ú ÙØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ ν c 0.4 c(r cc) r cc º¾µ Å Ñ r cc Ô ÙØ Ú Ö Ö Ð Ö Ñ ÒØ ³ÙÒ ÑÓ Ð Ð³ ÙØÖ Ð Ò³ Ø Ô ÙÖÔÖ Ò ÒØ ØÖÓÙÚ Ö ÕÙ³ Ú Ð ÙÖ Ü ν c ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÑÓ Ð Ú Ú Ð ÙÖ Ñ Ð Ö r cc º Ò Ô ÒÓÑ Ò ÔÔ Ö Ø ÔÐÙ ØØ ÔÓÙÖ ØÓ Ð Ñ ÔÐÙ Ö Ò Ø ÔÓÙÖ ÑÓ Ð Ö ÝÓÒ Ñ Ð Ö Ñ Ú ÐÙÑ ÒÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú Ø Ö Ú Ø Ö ÒØ º º¾º ÁÒ Ù Ò Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ä Ø Ð º½ Ø º ÑÓÒØÖ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÐÙ¹ Ð Ú Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ ÓÐ Ö ÒÓÙ ÚÓÒ ÙØ Ð Ð Ñ Ð Ò Ö Ú

99 º¾º Æ Ä Ë Ë Ê ËÍÄÌ ÌË ² ÆÓ Ð ½ µµº Ä Ø Ð º¾ Ø º ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÑÓ Ð ÐÙÐ Ú ÙÒ ÙÖ ÓÒ Ò Ò Ñ Ø ÙÜ»À ¼º ¼µ Ø ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ù Ú ÒØ Ð ÐÓ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü ÓÒÒ Ô Ö ÁÞÓØÓÚ ² Ì Ù Ò ¾¼¼ µº Ò¹ Ò Ð Ø Ð º Ø º ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ñ Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÓÐ Ö º ij Ø Ð ÔÐÙ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø Ø ÔÐ Ö Ð ØÖ ÚÓÐÙØ Ú Ú Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú ÔÐÙ ÕÙ ÐÐ ÕÙ Ó Ø Ð Ú Ð ÙÖ ³ ÓÒ Ò ³ Ð ÙѺ Ò Ð ³ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ñ ³ Ð ÙÑ ÔÐÙ Ö Ò Ð ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÓÒØ Ñ Ð Ö ÙÜ ÕÙ ÓÒØ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÐ Ö º Ô Ò ÒØ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ø Ô ÚÓÐÙØ Ú Ö ÒØ º È Ö Ü ÑÔÐ Ð ÑÓ Ð ½º½ Å ÔÖ ÒØ Ò Ð Ø Ð º½ Ø º¾ ÓÒØ Ñ Ð Ö Ñ Ð ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ØÓ Ð ÚÓÐÙ ÒØ ÒÓÖ ÙÖ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ø ÔÓ ÒØ ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø ÐÓÖ ÕÙ Ð ÑÓ Ð Ú Ð ÓÒ Ò ÓÐ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ØÓ Ð Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ Ú ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ Ø ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ ÓÒÚ Ø º ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð Ú Ö Ö Ò Ð Ø Ð Ð ÙÖ ÐÙÑ ÒÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú Ø Ö Ú Ø ÙÖ ÓÒØ ÐÓÖ Ú Ð ÙÖ Þ Ö ÒØ º Ò Ð ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÓÐ Ö Ð ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒØ ÔÐÙ Ö Ò ÕÙ ÙÜ ÕÙ ÓÒØ ÙÒ Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÐ Ö º Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ³ÙÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÐ Ö Ð ÑÓ Ð Ð ÑÓ Ò Ñ ÓÒØ ÙÖ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ Ø Ò³ÓÒØ ÔÐÙ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ñ Ð ÙÖ ÐÙÑ ÒÓ Ø Ø Ð ÙÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú ÓÒØ ÔÐÙ Ð º º¾º ÁÒ Ù Ò Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÓÑÑ ÒÓ٠г ÚÓÒ Ø Ô ØÖ ¾ Ë Ø ÓÒ ¾º½º¾ гÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ø ÑÓ Ð Ò Ð Ó ÓÑÑ ÙÒ ÜØ Ò ÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø ÓÒØ ÒÓÙ ÚÓÒ Ü Ð³ Ô ¹ ÙÖ ¼º¾¼ Ó Ð³ ÐÐ ÙØ ÙÖ ÔÖ ÓÒº Ä ÙÖ º º Ø º½¼ ÑÓÒØÖ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÒØ ÖÒ ØÓ Ð Ð ÐÓÒ ³ÙÒ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ½º½ Å Ú»À ¼º ¼ Ø Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÙÖ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ö Ø Ñ ÒØ ÓÑÔ Ö ÙÜ ÙÖ º º Ø º ÕÙ ÑÓÒØÖ ÒØ Ð Ñ Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÙÖ ØÓ Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÉÙ Ò ÓÒ ÓÙØ Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ö ÝÓÒ ØÓØ Ð Ù ÙÖ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ü¹ Ø Ò ÓÒ Ù Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò µ Ø Ù Ñ ÒØ º Ò Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú ÔÓÙÖ Ö ÕÙ Ò ÔÐÙ ÕÙ Ò Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ä Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò Ð Ø Ð º º º Ä ÑÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÔÔ Ö ÒØ Ñ Ð Ö ÙÜ Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ô Ò ÒØ ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö ÙÖ Ð ÙÖ º¾ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ô

100 À ÈÁÌÊ º ËÁ Æ ÌÍÊ ËÁËÅÁÉÍ Ë ÍÊË ³À ÄÁÍÅ º º È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò ÙØ Ù µ Ö ÑÑ ÐÐ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ö Ô Ò Ù µ Ø ÒØ Ö Ð I(r) Ö Ô Ò ÖÓ Ø µ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ½º½ Å ¾º¾½ ÝÖ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼µ Ø Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ä Ð Ò Ù Ö ÑÑ ÐÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º

101 º¾º Æ Ä Ë Ë Ê ËÍÄÌ ÌË º º È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò ÙØ Ù µ Ö ÑÑ ÐÐ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ö Ô Ò Ù µ Ø ÒØ Ö Ð I(r) Ö Ô Ò ÖÓ Ø µ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ½º½ Å º ½ ÝÖ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼µ Ø Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÁÐ ³ Ø Ù ÔÖ Ñ Ö ÑÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÓÒ Ó Ø ÒØ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÔÓÙÖ ÙÒ Ö ÕÙ Ò Ò Ö ÙÖ º ÑÀÞº Ä Ð Ò Ù Ö ÑÑ ÐÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º

102 À ÈÁÌÊ º ËÁ Æ ÌÍÊ ËÁËÅÁÉÍ Ë ÍÊË ³À ÄÁÍÅ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÔÐÙ ÙÒ ÙÖ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÔÙ ÕÙ Ð ÐÐ Ø ÑÔ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÒØ ÔÐÙ ÐÓÒ Ù ÕÙ Ò Ð ÞÓÒ Ñ Ð Ò ÓÒØ ÔÐÙ Ö Ò Ù ÒØÖ º Ò Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ö ÝÓÒ Ù ÙÖ Ø ÒØ ÔÐÙ Ö Ò Ð Ó ÐÐ ¹ Ø ÓÒ ÔÖ Ø ÔÓÙÖ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ º º ÊÓÜ ÙÖ ² ÎÓÖÓÒØ ÓÚ ½ ÞÓØ ² Î ÙÐ Ö ¾¼¼ µ ÓÑÑ Ò ÒØ ÔÔ Ö ØÖ Ð Ö Ñ ÒØ ÙÖ º Ø º½¼µº È Ö Ü ÑÔÐ Ò Ð Ù ÑÓ Ð ½º½ Å Ø º ÝÖ ÙÖ º½¼µ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 ¹ l = 2 ÓÑÑ Ò ÒØ ÖÓ ØÖ ÕÙ Ò Ð Ö ÕÙ Ò Ù Ñ ÒØ Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú ν = 1.8 ÑÀÞ ÓÒØ ÒÙ ÒØ Ñ ÒÙ Ö Ô ÒØ Ô Ö ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ ν = 2.7 ÑÀÞ ÔÙ ÓÑÑ Ò ÒØ Ù Ñ ÒØ Öº ÐÐ Ö Ú ÒÒ ÒØ Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú ÔÓÙÖ ÙÒ Ö ÕÙ Ò ÙÔ Ö ÙÖ º ÑÀÞº Ô ÒÓÑ Ò Ø Ö Ð Ð Ö Ü ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ ÓÒ Ò Ð ÙÖ Ø Ð Ô Ö Ó ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ø Ð³ÓÖ Ö Ð³ ÒÚ Ö Ù Ø ÑÔ ÓÙ Ø ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ Ú Ð ÙÖ ÓÒÒ Ò ÓÐÓÒÒ Ì Ð º½ º µº Ä Ø Õ٠гÓÒ Ó ÖÚ Ô ÒÓÑ Ò ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ø Ð³ Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ø ÐÐ Ù ÙÖ Ø ÓÒ ÙÒ Ñ ÒÙØ ÓÒ Ð Ô Ö Ó ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒº º Ð Ò ÆÓÙ ÚÓÒ ØÙ Ò Ô ØÖ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 ¹ l = 2 Ò Ð Ò Ö Ð ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö º ÆÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÔÖ Ñ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÚÖ ÒØ Ö Ø Ö ÔÓ Ø Ú Ô ÙÚ ÒØ Ú Ò Ö Ò Ø Ú Ô Ò ÒØ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ØÓ Ð º ÇÒ Ó ÖÚ ÐÓÖ ÙÒ ÖÓ Ñ ÒØ Ð Ò ÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ º Ô ÒÓÑ Ò ÔÔ Ö Ø Ñ Ò Ö Ý Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓ Ð Ò Ò ¹ ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÓÙ ÚÓÐÙ ÒØ ÙÖ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ º ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô ÙØ Ð Ñ ÒØ ÔÖÓ Ù Ö ÔÓÙÖ Ð Ô Ø Ø Ô ¹ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Ö l = 1 Ø l = 3 Ñ Ð Ø ÔÐÙ Ð Ð³Ó ÖÚ Ö Ö Ð ÔÖÓ Ù Ø Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ò ÙÔ Ö ÙÖ Ð ÑÑ Ö ÕÙ Ò ³Ó ÖÚ Ø ÓÒº ÆÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ô ÒÓÑ Ò Ø Ø Ö Ð Ð ÔÖ Ò Ó Ø ³ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ö Ò Ð ÙÑ Ò Ð ØÓ Ð Ò Ò ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ó Ø ³ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ ÙÜ ÖÓÒØ Ö ÖÙÔØ Ò Ð ÓÙ ¹ ÒØ º Ò Ð ÙÜ Ð ÓÖØ Ö ÒØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ò Ù Ø ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº Ò Ñ ÒØ Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ Ò Ù Ò Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ù Ø Óѹ ÔÓÖØ Ñ ÒØ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ º ØØ Ò ØÙÖ Ñ ÕÙ Ø ØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÐÐ Ô ÙØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÙÒ ÓÙØ Ð ÔÓÙÖ Ö Ø Ö Ö Ð ÙÖ ÓÒÚ Ø ÓÙ ³ Ð ÙÑ Ò Ð ³ ØÓ Ð Ò

103 º º ÁÄ Æ º º½¼ È Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò ÙØ Ù µ Ö ÑÑ ÐÐ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ö Ô Ò Ù µ Ø ÒØ Ö Ð I(r) Ö Ô Ò ÖÓ Ø µ ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓ Ð ½º½ Å º ÝÖ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ»À ¼º ¼µ Ø Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ØÓ Ð Ú ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ ÚÓÐÙ ÒØ ÙÖ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ º Ä Ð Ò Ù Ö ÑÑ ÐÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º

104 À ÈÁÌÊ º ËÁ Æ ÌÍÊ ËÁËÅÁÉÍ Ë ÍÊË ³À ÄÁÍÅ ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÓÙ ÓÙ ¹ ÒØ º Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÔÓÙÖÖÓÒØ Ð Ñ ÒØ ØÖ ÙØ Ð ÔÓÙÖ ÓÒÒ Ö ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð³ ÜØ Ò ÓÒ ÔÓ Ð ÙÖ ÓÒÚ Ø Ù Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º

105 ÈÙ Ð Ø ÓÒ Ø ÖÓ ÑÓÐÓ Ý Ó ÓÐ Ö¹ØÝÔ Ø Ö Ò ØÙÖ Ó ÓÒÚ Ø Ú Ò»ÓÖ Ð ÙÑ ÓÖ ØÖ Ø Åº ËÓÖ ÒÓ ² ˺ Î ÙÐ Ö ÈÐÙ ÙÖ ÓÑ Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÙØ Ð Ò Ð³ Ò ÐÝ Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ö ÔÓÙÖ ÓÑÔ Ö Ö Ð ÑÓ Ð ÙÜ Ó ÖÚ Ø ÓÒ º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ô ÙÚ ÒØ ÒÓÙ Ö ÓÒØÖ Ò Ö Ð ÙÖ ØÓ Ð º ÆÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ Ò ÙÒ Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÕÙ³ ÐÐ Ô ÙÚ ÒØ Ò Ö Ò ÕÙ Ø Ò ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ú Ð Ø ÓÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ø ÕÙ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ô ÙØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö ÙÒ Ò ØÙÖ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø»ÓÙ ³ Ð ÙѺ ÆÓÙ Ò ÐÝ ÓÒ Ò Ø Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ò ÒØ ÙÒ ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ø ÕÙ Ð ÐÓÒ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÐ Ö º ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÔÓÙÖ ÑÓ Ð Ö ÒØ Ñ ½º¼ ½¾ Å µ Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ú Ø Ò ÓÚ Ö ÓÓ Ò º ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÕÙ ÑÓ Ð Ø ÒÓÙ ÚÓÒ Ò ÐÝ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ð ÐÓÒ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú º ÆÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ Ò ØÓÙ Ð Ð ØÓ Ð Ô ÒØ Ô Ö ÙÒ Ø Ô Ð ÙÖ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 Ø l = 2 Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú Ò Ð ÑÑ Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ö º Ô ÒÓÑ Ò Ø Ð Ð Ò ØÙÖ ³ÙÒ ÙÖ Ö Ò Ð ÙѺ ÆÓÙ ÙØÓÒ ÓÒ ÕÙ Ò Ò Ð³ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÓÙ Ø ÕÙ Ó ÖÚ Ò Ð ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö º ¾¼¼ ØÖÓÒÓÑÝ Ò ØÖÓÔ Ý

106

107 A&A 488, (2008) DOI: / : c ESO 2008 Astronomy & Astrophysics Asteroseismology of solar-type stars: signatures of convective and/or helium cores M. Soriano and S. Vauclair 1 Laboratoire d Astrophysique de Toulouse-Tarbes - UMR Université de Toulouse - CNRS, 14 Av. E. Belin, Toulouse, France sylvie.vauclair@ast.obs-mip.fr Received 15 April 2008/ Accepted 28 May 2008 ABSTRACT Aims. Several frequency combinations are widely used in the analysis of stellar oscillations for comparisons between models and observations. In particular, the small separations can help constraining the stellar cores. We showed in a previous paper that they can change sign, in contradiction with the asymptotic theory, and that this behaviour could correspond to signatures of convective and/or helium cores. Here we analyse this behaviour in detail by systematic modelling during stellar evolution. Methods. We computed evolutionary tracks for models with various masses (from 1.05 to 1.25 M ) and various chemical compositions, with and without overshooting. We computed the adiabatic oscillation frequencies of the models and analysed the evolution of their small separations along an evolutionary track. Results. We find that, for all cases, the stars go through a stage during their evolution, where the small separations computed between degrees l = 0 and l = 2 become negative in the observed range of frequencies. This behaviour is clearly related to the signature of a helium-rich core. We discuss the consequences for interpreting of the acoustic frequencies observed in solar-type stars. Key words. stars: oscillations stars: abundances stars: evolution stars: planetary systems Galaxy: kinematics and dynamics Galaxy: open clusters and associations: general 1. Introduction Asteroseismology has proved to be an excellent tool for deriving stellar parameters more precisely than ever before: mass, age, radius, metallicity, helium abundance value, stellar gravity, effective temperature. This has been discussed recently in detail for the case of the exoplanet-host starιhor (Vauclair et al. 2008). Spectroscopic observations lead to values of T eff,g, and [Fe/H], which differ for different authors, according to the scale they use for the effective temperature determinations. The associated error bars are quite large. In this framework, observing the acoustic oscillations of the star and determining the mode frequencies is extremely helpful. Once the oscillations of the star have been observed long enough (typically eight nights with HARPS), the analysis of the Fourier transform may lead to the determination of the large separations, defined as ν n,l = ν n+1,l ν n,l and to the identification of the modes, as discussed in Bouchy et al. (2005). Meanwhile, various evolutionary tracks are computed with different input parameters (mass, chemical composition, presence or not of overshooting, etc.). For a given set of parameters, only one model may reproduce the observed frequencies satisfactorily (Bazot et al. 2005; Soriano et al. 2007; Laymand & Vauclair 2007; Vauclair et al. 2008). As shown in Vauclair et al. (2008), the various models obtained in this way have similar gravities and ages. The other parameters are constrained with the help of the spectroscopic observational boxes. Asteroseismology can also give information about the internal structure of the stars and, more specifically, about the regions where the sound velocity changes rapidly. This happens in various transition layers, such as the limits of convective regions or layers with strong helium gradients. The transition layers that occur in stellar outer regions (bottom of outer convective zones, diffusion-induced helium gradients) may be characterised owing to the reflexion of the acoustic waves on the stellar surface and on the region of rapidly varying sound velocity. This is generally studied with the help of the second differences, defined as δ 2 ν n,l =ν n+1,l +ν n 1,l 2ν n,l, which present oscillations with a period related to the acoustic depth of the transition layer (e.g. Gough 1990; Monteiro & Thompson 1998; Vauclair & Théado 2004; Castro & Vauclair 2006). On the other hand, the transition layers in the stellar internal regions are better characterised using the small separations, defined asδν n,l =ν n,l ν n 1,l+2 (e.g. Roxburgh & Vorontsov 1994). In a series of papers, Roxburgh & Vorontsov (see Roxburgh & Vorontsov 2007, and references therein) show how the presence of a convective core could lead to oscillations in the small separations. In a previous paper dedicated to the study of the exoplanethost star HD (Soriano et al. 2007), we showed that in some cases the small separations, which should be positive in first approximation, could become negative. We explained how this special behaviour was related to either a convective core or a helium core with abrupt frontiers, resulting from the presence of a convective core in the past history of the star. In the present paper, we give a general analysis of this effect for solar-type stars, with or without overshooting. We focused our analysis on stars that have either a solar metallicity or that are overmetallic, which is the case of exoplanet-host stars. We show that, along their evolutionary tracks, all stars go through a stage where the small separations between thel=0 andl=2 modes become negative, whether near the end of the main-sequence or at the beginning of the subgiant branch. This leads to a special behaviour in the echelle diagram, which is obtained by Article published by EDP Sciences

108 976 M. Soriano and S. Vauclair: Signatures of convective and/or helium cores plotting the mode frequencies in ordinates and the same frequencies modulo the large separations in abscissae (e.g. Soriano et al. 2007). Instead of remaining parallel, as predicted by the asymptotic theory (Tassoul 1980), a crossing point appears between the l=0 andl=2 curves. This may also happen between thel=1 andl=3 curves, but it is less frequent and we concentrate here on thel=0 andl=2 case. For comparisons with observations, this behaviour becomes important if the crossing points correspond to frequencies below the cut-off frequency of the acoustic waves, which is the highest frequency for which the waves are reflected on the atmospheric regions. As this cut-off frequency depends on the characteristics of the stellar outer regions and may vary from star to star, we chose to study all the cases for which the crossing point occurs below 3.5 mhz. Along the evolutionary track, we computed the models for which this behaviour appears for the first time, for various masses, and give their ages. In the following, we refer to these special models as transition models. As the apparition of this behaviour is related to the radius of the convective or helium core, negative small separations appear earlier when overshooting is introduced. This particular behaviour of the small separations could be used to derive the size of stellar cores and the presence of overshooting for stars at the end of the main-sequence. A direct application to the exoplanet-host starµarae will be given in a forthcoming paper. 2. Evolutionary tracks and models We computed series of evolutionary tracks using the Toulouse Geneva Evolution Code (see Hui Bon Hoa 2007, for a general description of this code) with the OPAL equation of state and opacities (Rogers & Nayfonov 2002; Iglesias & Rogers 1996) and the NACRE nuclear reaction rates (Angulo et al. 1999). In all our models, we included microscopic diffusion as described in Michaud et al. (2004) and Paquette et al. (1986). The convection was treated in the framework of the mixing length theory and the mixing length parameter was adjusted as in the Sun:α=1.8 (Richard et al. 2004). Models were computed for a range of masses from 1.05 to 1.25 M. We computed six series of models. The first three series were computed without overshooting and the second three series with overshooting at the limit of the stellar core. Here overshooting is described as an extension of the central convective zone by a lengthα ov H P, where H P is the pressure height scale, andα ov the overshooting parameter. In our computations, we fixedα ov to In each case, the three series differ from their abundances: Metallic and helium solar values. For the metallic values, the old Grevesse & Noels (1993) abundances, compatible with helioseismology, are used: X ini = , Y ini = , Z ini = (Fig. 1, upper panel, and Table 1 for the case without overshooting; Fig. 2, upper panel, and Table 4 for the case with overshooting). Overmetallic abundance [Fe/H] = 0.30, and helium value computed as for the chemical evolution of galaxies, namely dy/dz = 2.8±0.5: X ini = , Y ini = , Z ini = (Izotov & Thuan 2004) (Fig. 1, middle panel, and Table 2 for the case without overshooting; Fig. 2, middle panel, and Table 5 for the case with overshooting). Overmetallic abundance [Fe/H] = 0.30, and the solar helium value Y : X ini = , Y ini = , Z ini = (Fig. 1, lower panel, and Table 3 for the case without overshooting; Fig. 1. Evolutionary tracks computed for solar metallicity [Fe/H] (upper panel), overmetallicity [Fe/H]=0.30 with a helium abundance following the law of the chemical evolution of galaxies Y G (middle panel), and overmetallicity with a solar helium abundance Y (lower panel). All these tracks are computed without overshooting. The masses represented are: 1.05, 1.10, 1.15, 1.20, and 1.25 M. The crosses represent the transition model for each evolutionary track, or first model from which we found negative small separations below 3.5 mhz. The characteristics of these models are displayed in Tables 1 3. Fig. 2, lower panel, and Table 6 for the case with overshooting). We computed adiabatic oscillation frequencies for a large number of models along each evolutionary track, using the PULSE code (Brassard et al. 1992). The oscillation frequencies were computed for degrees l = 0 to l = 3, which are the only degrees observable for solar-like stars, because of the lack of spatial

109 M. Soriano and S. Vauclair: Signatures of convective and/or helium cores 977 stellar age. For each computed track, we picked up the transition model for which the frequency of the crossing point is 3.5 mhz. These models are represented by crosses in Figs. 1 and 2, and their characteristics are given in Tables 1 to 6. Fig. 2. Evolutionary tracks computed with the same hypothesis as in Fig. 1 but with overshooting. Here, the overshooting parameter is fixed asα ov = The masses represented are the same ones as in Fig. 1. On each evolutionary track, we have represented the transition model by crosses, or first model from which we have negative small separations below 3.5 mhz. The characteristics of these models are displayed in Tables 4 6. resolution. We only kept frequencies between 1.5 and 3.5 mhz, corresponding to the typical observational range for solar-type stars. Their radial orders range between 4 to 100. Using these frequencies, we computed the small separations for each model and analysed in what conditions these quantities can become negative. For all evolutionary tracks, we found models where the small separations become negative at some frequencies, which means that thel = 0 andl = 2 lines cross over at a given point in the echelle diagram (cf. Fig. 3, for example). In all cases, the frequencies of these crossing points decrease for increasing 3. Analysis of the results A first analysis of the possibilities of negative small separations in stars was given in Soriano et al. (2007) for the specific case of the exoplanet-host star HD When we computed models for this star, taking spectroscopic constraints into account, we were surprised to find two models that showed this specific behaviour: one model at the end of the main sequence with a mass of 1.31 M, which had a convective core, and one model at the beginning of the subgiant branch with a mass of 1.20 M, in which the convective core, present during the main sequence, had disappeared. For both cases we realised that the main reason for the negative small separations was related to the high helium content of the cores. The basic role of convection in this respect was its action of concentrating helium inside a sharp core during the main sequence. We showed how negative small separations could be a signature of the size of a helium core, as well as that of a convective core when it is still present. We give below a more complete analysis of the results we obtained by doing systematic studies of this effect for solar-type stars. We first recall useful theoretical points, then we discuss our computational results Theoretical analysis In all our models, the acoustic frequencies were computed precisely using the PULSE adiabatic code (Brassard et al. 1992). The results take the particular features of the stellar interiors into account. That the small separations become negative in some cases is real. This seems surprising at first sight because it contradicts what is usually called asymptotic theory, as developed by Tassoul (1980). According to this analytical description of the oscillations, the large separations should be constant, equal to half of the inverse of the acoustic time, defined as the time needed for the acoustic waves to cross the stellar radius. Meanwhile, the small separation should vary quite slowly and remain positive. Although these approximate expressions are not used in real computations, they are very useful for understanding the underlying physics. As discussed in Soriano et al. (2007), the asymptotic theory has been derived with some assumptions that are no longer valid in the cases we are studying. The most drastic of these assumptions is related to integrals that should be computed between the internal turning point of the waves r t and the stellar surface, whereas they are replaced by integrations from zero to R. This means that the sound velocity at the turning point is assumed identical to that in the stellar centre. This assumption is completely wrong in stars with convective cores, and it becomes worse and worse as the helium-to-hydrogen ratio increases. A second important assumption is that the large separations for all frequencies and all modes are assumed identical to ν 0 = [ R 2 0 dr c ] 1 (1) This is not correct, as thel 0 modes do not travel down to the stellar centre. They are trapped at the turning point r t, so that

110 978 M. Soriano and S. Vauclair: Signatures of convective and/or helium cores Fig. 3. Small separations (upper-left panel), echelle diagram (upper-right panel), large separations (lower-left panel), and integral I(r) (lower-right panel) for a model with a solar metallicity, 1.20 M and Gyr. It is a main sequence model with a convective core. Here the integral I(r), although rapidly changing near the core, does not change sign. On the other hand, as can be seen in the lower-left graph, the large separations are higher forl=2 than forl=0, which is enough to induce a sign change in the small separations. For the echelle diagram, solid lines are forl=0, dotted lines for l = 1, dashed lines for l = 2, and dotted-dashed lines for l = 3. Table 1. Parameters of the transition models computed without overshooting, with solar metallicity [Fe/H] and solar helium value (Fig. 1, upper panel). M (M ) Age (Gyr) X C Y C R (cm) L /L log T eff logg R cc /R t cc (s) < e (0.07) (a) (124.4) (b) < e (0.07) (a) (128.6) (b) < e (0.06) (a) (127) (b) e e (a) The values in parenthesis correspond to the cases where the convective core has disappeared, leaving a helium core with abrupt limits; here the values correspond to the linear radii of the helium cores. (b) The values in parenthesis correspond to the acoustic radii of the helium cores. Table 2. Same as Table 1 for the overmetallic models ([Fe/H]=0.30) with a helium mass fraction Y G (Fig. 1, middle panel). M (M ) Age (Gyr) X C Y C R (cm) L /L log T eff logg R cc /R t cc (s) < e (0.07) (121.6) e e e e Table 3. Same as Table 1 for the overmetallic models ([Fe/H]=0.30) with a helium mass fraction Y (Fig. 1, lower panel) M (M ) Age (Gyr) X C Y C R (cm) L /L log T eff logg R cc /R t cc (s) < e (0.06) (104.6) < e (0.06) (108.1) < e (0.06) (111.4) e e

111 M. Soriano and S. Vauclair: Signatures of convective and/or helium cores 979 Table 4. Parameters of the transition models computed with overshooting, with solar metallicity [Fe/H] and solar helium value (Fig. 2, upper panel) M (M ) Age (Gyr) X C Y C R (cm) L /L log T eff logg R cc /R t cc (s) < e (0.7) (a) (124.4) (b) e e e e (a) The values in parenthesis correspond to the cases where the convective core has disappeared, leaving a helium core with abrupt limits; here the values correspond to the linear radii of the helium cores. (b) The values in parenthesis correspond to the acoustic radii of the helium cores. Table 5. Same as Table 4 for the overmetallic models ([Fe/H]=0.30) with a helium mass fraction Y G (Fig. 2, middle panel). M (M ) Age (Gyr) X C Y C R (cm) L /L log T eff logg R cc /R t cc (s) < e (0.07) (121.6) e e e e Table 6. Same as Table 4 for the overmetallic models ([Fe/H]=0.30) with a helium mass fraction Y (Fig. 2, lower panel). M (M ) Age (Gyr) X C Y C R (cm) L /L log T eff logg R cc /R t cc (s) < e (0.06) (104.4) < e (0.06) (107.7) e e e for each mode, integral (1) should be computed from r t to R, not from 0 to R. As a consequence, the mean large separation for a model is larger than ν 0, due to the smaller integral. This effect can be important if the sound velocity decreases strongly in the central regions. Following Tassoul (1980), but relaxing these assumptions, Soriano et al. (2007) derived the following approximate expressions for thel=0 l=2 and for thel=1 l=3 small separations: δν 02 (n+ 14 ) +α ( ν 0 ν 2 ) 6 ν R 2 dc dr (2) 4π 2 ν n 1,2 1 r t r δν 13 (n+ 3 ( 4 +α)( ν ν1 1 ν 3 )+ 6 ν 3 2π 2 ν n,1 2π 2 ν n 1,3 dr ) R r t 1 r dc dr dr(3) where n is the radial order of the modes,αcorresponds to a surface phase shift, and ν 0, ν 1, ν 2, and ν 3 are the large separations computed respectively for the degrees l = 0, 1, 2, and 3. From now on, we basically concentrate on theδν 02 separations, which are the most relevant for our purpose. We can see that the integral I(r)= R 1 dc r t r dr dr plays an important role in the computations of the small separations. Using the real boundary value r t instead of zero can lead to significant changes in the results. Also the difference between the large separations for the l=0 and thel=2 modes, which vanishes in the asymtotic theory, can be important, even if it is small. Indeed this difference is multiplied by the radial order n which can be significant for the considered modes (of order 30). We will see below that for some models, the integral I(r), which is generally negative, may become positive at the boundary of the core when the helium over hydrogen ratio is high enough. This is due to the resulting rapid variation of the sound velocity, which is significantly lower in the core than expected from simple extrapolation below the outer layers. In this case, the sign inversion in the integral is sufficient to explain why the small separations become negative (Fig. 4). The frequency for which this occurs corresponds to that of the l = 2 waves for which the turning point is at the core boundary. In other cases, it may happen that the integral value changes abruptly at the core boundary, but not enough to become positive. Then, a slight difference between the large separations for thel=0 and thel=2 modes may be enough to lead to the inversion of the sign of the small separations (Fig. 3). In this case, the frequency where this behaviour occurs may be slightly different from that related to the core boundary. As a conclusion, that the small separations change sign is related to the core boundary and may be physically understood. However the use of this sign inversion to derive the core size can only be done with precise model computations Analysis of the small separations along an evolutionary track Figures 5 to 7 present the internal parameters for three models along an evolutionary track of 1.15 M with [Fe/H]= 0.30, without overshooting. The first model lies on the main sequence, in a situation where the small separations are always positive in the considered frequency range (1.782 Gyr, Fig. 5). The second model is more evolved, and the small separations for the degrees l = 0 l = 2 become negative at a frequency of 3.4 mhz (4.654 Gyr, Fig. 6). It corresponds to what we have called the

112 980 M. Soriano and S. Vauclair: Signatures of convective and/or helium cores transition model. The third model is still more evolved on the subgiant branch (5.937 Gyr, Fig. 7). In each figure, four different graphs are presented: the small separations (upper-left panel), the echelle diagram (upperright panel), the sound speed profile (lower-left panel), and the integral I(r) (lower-right panel). At the beginning of the main sequence (model presented in Fig. 5), the convective core of the star is still small (R cc /R=0.03). The central helium abundance is low and there is no discontinuity in the sound speed profile at the centre of the star. The integral I(r) is negative in the whole star. In that case, the small separationsδν 02 are positive for the full range of frequencies considered, and there is no crossing point in the echelle diagram. When the age of the star increases, the values of the small separations decrease. The convective core develops, and there is more helium in the centre of the star. A discontinuity in the chemical composition and in the sound speed profile appears. The model shown in Fig. 6 is the first model for which we found negative small separations below 3.5 mhz. We call it the transition model and show its position as a cross on the corresponding track in Fig. 1. The convective core is larger (r cc /R=0.06) than for the previous model. We can see the discontinuity in the sound speed profile (Fig. 6, upper-left panel). As a consequence, the integral I(r) changes drastically between r=0 and r=r t = R cc. Here it does not change its sign but, as discussed before, its variations are large enough to lead to negative small separations. The linesl=0 andl=2 cross in the echelle diagram. In the third model presented in Fig. 7, the convective core has disappeared, leaving a helium core. There is still a sharp discontinuity in the sound speed profile at the edge of the core (Fig. 7, lower-left panel), and the small separations change sign at a lower frequency than for the previous model (Fig. 7, upper-left panel). The frequencies at which the small separations become negative go on decreasing while the star evolves along the subgiant branch, until the stellar structure begins to change deeply, with an increase in the outer convective layers and a shrinking of the core. A discussion of this evolutionary stage is beyond the scope of the present paper and will be given elsewhere. Here we concentrate on the main sequence and early subgiant phases Influence of the stellar mass Tables 1 to 6 present the parameters for the transition models for various physical assumptions. Let us recall the meaning of these models. As discussed in the previous section, the frequencies for which the small separationsδν 02 change sign decrease with increasing age along an evolutionary track. The transition model is arbitrarily defined on each track as the one for which this characteristic frequency is about 3.5 mhz. The interest of comparing such specific models is that it helps in analysing the influence of parameters like stellar mass or chemical composition on the behaviour of the small separations. In each table, the results are presented for the same five masses, between 1.05 and 1.25 M. We can see that the ages of the transition models decrease for increasing masses. This is not only due to the more rapid evolution time scales, as the corresponding helium mass fractions also decrease with increasing mass. On the other hand, we can see that the total radii of the models, as well as the radii of their convective or helium cores, do not show strong variations with mass. These results are quite understandable if we remember the reason for the appearance of the negative small separations. As discussed previously, they generally appear for frequencies for which the turning point of thel=2 waves corresponds to the edge of the core. The relation between the frequencies of the waves and their turning points is given by (see Soriano et al. 2007) 2πν= c(r) l(l+1), (4) r whereνis the frequency of the considered mode, r the radius, and c(r) the sound speeed. So that, for thel = 2 waves, the critical frequency for which the turning point is at the core edge is approximately ν c 0.4 c(r cc) R cc (5) Although c(r cc ) may slightly vary from model to model, it is not surprising to find that fixed values ofν c corresponding to models with similar values of R cc. As a consequence, this behaviour appears earlier for more massive stars and for models with similar sizes, but different luminosities, effective temperatures, and gravities Influence of the chemical composition. Tables 1 and 4 present the parameters of the transition models computed with the solar composition (here we use the Grevesse & Noels 1993, composition, compatible with helioseismology). As will be discussed below, Table 4 includes overshooting, which is not the case for Table 1. Tables 2 and 5 correspond to models computed with a larger abundance of metals ([Fe/H] = 0.30) and a helium value following the metallicityhelium relation obtained for the chemical evolution of galaxies (Izotov & Thuan 2004). Finally Tables 3 and 6 correspond to models with the same overmetallicity but with a solar helium abundance Y. The strongest effect of overmetallicity is to move the evolutionary tracks to lower effective temperatures. This is true for both helium values. In the case of the large helium mass fraction, the ages of the overmetallic transition models are similar to the case of solar values; however, this corresponds to different stages of evolution. For example, the models of 1.15 M presented in Tables 1 and 2 have similar ages, but the one with overmetallicity and large helium abundance (Table 2) is still on the main sequence with a convective core, whereas the one with solar abundances (Table 1) is already on the subgiant branch, with a helium core but no convective core anymore. As can be checked in the tables, their luminosities, effective temperatures, and log g are consequently quite different. For the case of overmetallic models with a solar helium abundance, the ages of the transition models are higher than for models with solar metallicity. As for the solar case, the less massive models are already on the subgiant branch with no convective core left, but their luminosities and effective temperatures are lower Influence of overshooting As discussed in Sect. 2, overshooting is added as an extension of the convective core, with a thickness equal to 0.20 times the pressure height scale. Figures 8 10 present the internal parameters of stars along an evolutionary track of 1.15 M, [Fe/H]=0.30 with overshooting. These figures are directly comparable to Figs. 5 7, which presented the same parameters for stars without overshooting. When overshooting is added, the radius of the mixed

113 M. Soriano and S. Vauclair: Signatures of convective and/or helium cores 981 Fig. 4. Small separations (upper-left panel), echelle diagram (upper-right panel), large separations (lower-left panel), and integral I(r) (lower-right panel) for a model with a solar metallicity, 1.20 M and Gyr. It is an evolved model (subgiant branch) with a helium core. Here the integral I(r) changes its sign near the core. This explains the sign change in the small separations that occur when thel=2 waves reach the core boundary and the crossing point in the echelle diagram. For the echelle diagram, solid lines are for l = 0, dotted lines for l = 1, dashed lines for l = 2, and dotted-dashed lines for l = 3. Fig. 5. Small separations (upper-left panel), echelle diagram (upper-right panel), sound speed profile (lower-left panel), and integral I(r)= R 1 dc dr (lower-right panel) for an overmetallic model ([Fe/H]=0.30) of 1.15 M r t r dr and Gyr, without overshooting. For the echelle diagram, solid lines are forl=0, dotted lines forl=1, dashed lines forl=2, and dotted-dashed lines forl=3.

114 982 M. Soriano and S. Vauclair: Signatures of convective and/or helium cores Fig. 6. Small separations (upper-left panel), echelle diagram (upper-right panel), sound speed profile (lower-left panel), and integral I(r)= R 1 dc dr (lower-right panel) for an overmetallic model ([Fe/H]=0.30) of 1.15 M r t r dr and Gyr, without overshooting. It is the first model for which we obtain negative small separations below 3.5 mhz. This model has a convective core. There is an important discontinuity in its sound speed profile at the boundary of the core. For the echelle diagram, solid lines are forl=0, dotted lines forl=1, dashed lines forl=2, and dotted-dashed lines for l = 3. Fig. 7. Small separations (upper-left panel), echelle diagram (upper-right panel), sound speed profile (lower-left panel), and integral I(r)= R 1 dc dr (lower-right panel) for an overmetallic model ([Fe/H]=0.30) of 1.15 M r t r dr and Gyr without overshooting. This model is on the subgiant branch with a helium-rich core. Here the integral I(r) changes sign near the core. For the echelle diagram, solid lines are for l = 0, dotted lines for l = 1, dashed lines for l = 2, and dotted-dashed lines for l = 3.

115 M. Soriano and S. Vauclair: Signatures of convective and/or helium cores 983 Fig. 8. Small separations (upper-left panel), echelle diagram (upper-right panel), sound speed profile (lower-left panel), and integral I(r)= R 1 dc dr (lower-right panel) for an overmetallic model ([Fe/H]=0.30) of 1.15 M r t r dr and Gyr with overshooting. For the echelle diagram, solid lines are forl=0, dotted lines forl=1, dashed lines forl=2, and dotted-dashed lines forl=3. central core (convection plus overshoot) is increased so that the negative small separations appear for lower frequencies. The overshooting cases are presented in Tables 4 to 6. The transition models appear at similar ages as for the cases without overshooting. However, as can be seen in Fig. 2, this corresponds to a relatively earlier stage on the main sequence, as the evolution time scales are longer in the case of larger mixed zones in the stellar centre. In the overshooting case, due to the larger core radius, the oscillations predicted for the small separations (Bazot & Vauclair 2004, and references therein) begin to appear clearly (Figs. 9 and 10). For example, in the case of 1.15 M, Gyr (Fig. 10), the small separations forl=0 l=2 begin to decrease for increasing frequencies, become negative at ν = 1.8 mhz, go on decreasing, go through a minimum at 2.7 mhz, and then begin to increase. They eventually become positive again, for a frequency higher than 3.5 mhz. This behaviour is related to partial reflexion of the waves inside the mixed core, and the modulation period (in the frequency space) is of the order of the inverse of the acoustic time corresponding to the core boundary (given in the last column of Tables 1 to 6).That we only observe this behaviour for models with overshooting is due to the increase in the core size leading to a decrease in the modulation period. 4. Summary and discussion As powerful as asteroseismology may be, it will always give much less precise results about stellar internal structure than helioseismology does for the Sun. While more than ten million modes can be identified for the Sun, only tens of modes may be observed for stars. In this framework, skilled recipes are needed to better characterise the stellar structures from the observed acoustic frequencies. Among the frequency combinations that have been proposed to test stellar interiors, the small separations, which represent the frequency differences between modesl, n, andl+2, n 1, are known to give important hints about the stellar cores. In the present paper, we have shown that the small separations, which should, in a first approximation, have a positive sign, may become negative during stellar evolution. Moreover, this behaviour occurs systematically for solar-type stars and may become observable at the end of the main-sequence or at the beginning of the subgiant branch for thel=0 l=2 separations. It also occurs for thel=1 l=3 separations, at higher frequencies that are generally outside the observing range. For this reason, we concentrated on thel=0 l=2 ones. We found that this effect is directly related to the presence of a helium core, itself induced by convection in the central stellar regions. Although convective cores by themselves lead to a significant decrease in the sound velocities in the central stellar regions, the resulting gradients are not sufficient to inverse the sign of the small separations, until enough helium has accumulated. At the end of the main sequence, or at the beginning of the subgiant branch, the chemical gradient induces a much larger sound velocity gradient than convection alone and leads to negative small separations in the observing frequency region. When the star lies at the beginning of the subgiant branch, the convective core has disappeared but the effect continues due to the remaining helium core. From then on, this behaviour goes on, until the stellar structure becomes strongly modified on the subgiant branch. The occurrence of negative small separations stems from the modes of differentl not seeing exactly the same stellar regions. In particular, while thel = 0 modes travel down to the stellar centre, thel = 2 modes travel between the stellar surface and a turning point that depends on its frequency. Modes with

116 984 M. Soriano and S. Vauclair: Signatures of convective and/or helium cores Fig. 9. Small separations (upper-left panel), echelle diagram (upper-right panel), sound speed profile (lower-left panel), and integral I(r) = R 1 dc dr (lower-right panel) for an overmetallic model ([Fe/H]=0.30) of 1.15 M r t r dr and Gyr, with overshooting. It is the first model for which we obtain negative small separations below 3.5 mhz. For the echelle diagram, solid lines are forl=0, dotted lines forl=1, dashed lines for l = 2, and dotted-dashed lines for l = 3. Fig. 10. Small separations (upper-left panel), echelle diagram (upper-right panel), sound speed profile (lower-left panel), and integral I(r)= R 1 dc dr (lower-right panel) for an overmetallic model ([Fe/H]=0.30) of 1.15 M r t r dr and Gyr, without overshooting. This model is on the subgiant branch, with a helium-rich core. For the echelle diagram, solid lines are forl=0, dotted lines forl=1, dashed lines forl=2, and dotted-dashed lines for l = 3.

117 M. Soriano and S. Vauclair: Signatures of convective and/or helium cores 985 low frequencies may penetrate the stellar core, whereas modes with high frequencies stay outside. Thel=2 modes for which the turning point corresponds to the edge of the stellar core play a special role in this respect. In most cases, negative small separations begin to occur at the frequency of these modes. The interest of this behaviour of the small separations is evident, as it may help for characterising convective and helium cores and for constraining overshooting, at least for stars at the end of the main sequence or the beginning of the subgiant branch. However, this may not be very simple in real life. When we observe the acoustic spectra of a solar-type star, the identification of the modes is not easy. That there may be a mode crossing point adds a new difficulty in this respect. Once an observed echelle diagram has been obtained, it may be difficult to decide whether it shows a crossing point or not. We will discuss these observational versus theoretical points in a forthcoming paper, in which we will give a new analysis of the starµarae (after Bazot et al. 2005). We will show that models with crossing points for thel=0 l=2 modes can be obtained if overshooting is added to the convective core. However, only very specific models may fit the overall echelle diagram, so that the constraints are really strong. We will also show that, in the presence of rotational splitting, the modes can be separated without ambiguity, asl = 0 modes cannot show the splitting effects. As a conclusion, the negative small separations are quite a helpful tool for characterising convective and helium cores, and they may give strong constraints for the possible overshooting at the edge of the convective cores. References Angulo, C., Arnould, M., & Rayet, M., (NACRE collaboration) 1999, Nuclear Physics A, 656, 1, Bazot, M., & Vauclair, S. 2004, A&A, 427, 965 Bazot, M., Vauclair, S., Bouchy, F., & Santos, N. C. 2005, A&A, 440, 615 Bouchy, F., Bazot, M., Sanots, N. C., Vauclair, S., & Sosnowska, D. 2005, A&A, 440, 609 Brassard, P., Fontaine, G., Wesemael, F., & Tassoul, M. 1992, ApJS, 81, 747 Castro, M., & Vauclair, S. 2006, A&A, 456, 611 Gough, D. O. 1990, in Progress of Seismology of the Sun and Stars, Proc. Oji International Seminar Hakone (Japan: Springer Verlag), Lect. Notes Phys., 367, 283 Grevesse, N., & Noels, A. 1993, in Origin and evolution of the elements: Proceedings of a symposium in honour of H. Reeves, ed. N. Prantzos, E. Vangioni-Flam, & M. Cassé (Cambridge University Press), 15 Hui-Bon-Hoa, A. 2007, Ap&SS, 340 Iglesias, C. A., & Rogers, F. J., 1996, ApJ, 464, 943 Izotov, Y. I., & Thuan, T. X. 2004, ApJ, 602, 200 Laymand, M., & Vauclair. S., 2007, A&A, 463, 657 Michaud, G., Richard, O, Richer, J., & VandenBerg, D. 2004, ApJ, 606, 452 Monteiro, M. J. P. F. G., & Thompson, M. J. 1998, in New eyes to see inside the Sun and stars (Dordrecht: Kluwer), ed. F. L. Deubner, J. Christensen- Dalsgaard & D. W. Kurtz, Proc. IAU Symp., 185, 317 Paquette, C., Pelletier, C., Fontaine, G., & Michaud, G. 1986, ApJS, 61, 177 Richard, O., Théado, S., & Vauclair, S. 2004, Sol. Phys., 220, 243 Rogers, F. J., & Nayfonov, A., 2002, ApJ, 576, 1064 Roxburgh, I. W., & Vorontsov, S. V. 1994, MNRAS, 267, 297 Roxburgh, I. W. 2007, MNRAS, 379, 801 Soriano, M., Vauclair, S., Vauclair, G., & Laymand, M. 2007, A&A, 471, 885 Tassoul, M. 1980, ApJS, 43, 469 Vauclair, S., & Théado, S. 2004, A&A, 425, 179 Vauclair, S., Laymand, M., Bouchy, F., et al. 2008, A&A, 482, L5

118

119 Ô ØÖ ØÙ ½ È ½ È Ø Ð ÔÖ Ñ Ö ØÓ Ð ÙØÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ ÙÒ ÔÐ Ò Ø ÜØÖ ÓÐ Ö Ø ÓÙÚ ÖØ Ô Ö Å ÝÓÖ ² ÉÙ ÐÓÞ ½ µº ØØ ÓÙÚ ÖØ Ø Ù Ø ÙÒ Ò ³Ó ¹ ÖÚ Ø ÓÒ Ú Ð Ô ØÖÓ Ö Ô ÄÇ Á Ð³Ç ÖÚ ØÓ Ö À ÙØ ¹ÈÖÓÚ Ò º Ä ÔÐ Ò Ø Ø ÙÒ ÒØ Þ Ù ÓÖ Ø ÒØ ¼º¼ ¾ Í Ð³ ØÓ Ð º Ë Ñ Ø ¼º Å J Ø Ô Ö Ó ÓÖ Ø Ð º¾ ÓÙÖ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ö Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ ØØ ØÓ Ð Ú Ð Ô ØÖÓ Ö Ô ËÇÈÀÁ Ò Ó Ø ¾¼¼ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ø Ø ÔÓÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ð Ó ÐÐ Ø ÓÒ ØØ ØÓ Ð ÐÐ ÓÒØ ÙÒ Ô Ö Ó Ð³ÓÖ Ö Ñ ÒÙØ º ij Ò ÐÝ ÓÑÔÐ Ø ÓÒÒ Ø ÒÓÖ Ò ÓÙÖ º ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ò Ô ØÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö ÙÐØ Ø º º½ È Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ö Ä Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ ØØ ØÓ Ð ÓÒØ Ø Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÖÓÙÔ ³Ó Ö¹ Ú Ø ÙÖ Ö ÒØ Ö ÓÒÒ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ º Ú Ð ÙÖ ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò Ì Ð º½º Ä Ú Ð ÙÖ ÓÒÒ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÒØ ØÖ ÔÖÓ ¼º¾¼ Ø ¼º¾ µ Ø ÒÕ ÖÓÙÔ ³Ó ÖÚ Ø ÙÖ ³ ÓÖ ÒØ Ñ Ñ ÙÖ»À ¼º¾¼º Ä Ú Ð ÙÖ ÓÒÒ ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ø ÓÙ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú Ú Ö ÒØ ÙÒ Ô Ù ÔÐÙ ÐÓÒ Ð ÙØ ÙÖ º Ä Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º½º ½ È ÙÒ Ñ Ò ØÙ Ú Ù ÐÐ º Ë Ñ ØÖÓÒÓÑ Ð Ø µº Ä ÒÓÙÚ ÐÐ Ô Ö ÐÐ Ü À ÔÔ ÖÓ Ö Ú Ô Ö Ú Ò Ä ÙÛ Ò ¾¼¼ µ Ø π = ± 0.38 Ñ º ÆÓÙ Ò ÚÓÒ Ù Ø ÙÒ Ñ Ò ØÙ Ú Ù ÐÐ M V = 4.52 ± 0.05º Ò ÔÖ Ò ÒØ Ò ÓÑÔØ Ð ÓÖÖ Ø ÓÒ ÓÐÓÑ ØÖ ÕÙ ÓÒÒ Ô Ö ÐÓÛ Ö ½ µ Ø Ú ÙÒ Ñ Ò ØÙ ÓÐÙ ÓÐÓÑ ØÖ ÕÙ M bol, = 4.75 Ò Ö Ò ½ µ ÔÓÙÖ Ð ËÓÐ Ð ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÔÓÙÖ ½ È ÙÒ ÐÙÑ ÒÓ Ø ÐÓ Ä»Ä µ= 0.13 ± 0.03º ½½

120 ½½ À ÈÁÌÊ º ÌÍ ½ È Ì º º½ Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú Ö Ú Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ø Ó ÖÚ ÔÓÙÖ ½ È º Ì eff õ ÐÓ»À Ê Ö Ò ¼± ¼ º¾ ±¼º¼ ¼º¾ ±¼º¼ Àļ (a) ± º ±¼º¼ ¼º¾¼±¼º¼ μ (b) ¼ ± º ¾±¼º¼ ¼º¾¼±¼º¼ ËÁż (c) ±½ º ¼±¼º¼ ¼º¾¼±¼º¼¾ ÌÇËÃ˼ (d) ±½¼¼ º ±¼º½¼ ¼º¾¼±¼º½¼ ļ (e) ± ¼ º¾ ±¼º½¼ ¼º¾¼±¼º½¼ ¼ (f) Ê Ö Ò (a) À Ø Ö ² ÄÙ ¾¼¼ µ (b) Ö ² Î Ð ÒØ ¾¼¼ µ (c) Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µ (d) Ì Ø Ðº ¾¼¼ µ (e) Ò Ý Ø Ðº ¾¼¼ µ (f) Ò ² Ó ¾¼¼ µº º¾ º¾º½ Ä Ô ØÖÓ Ö Ô ËÇÈÀÁ Ö ÔØ ÓÒ Ò Ö Ð ÔÙ ÔÐÙ ÙÖ ÒÒ Ð Ñ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ Ú Ø Ö Ð ÓÒØ ÔÔÓÖØ Ö ÙÐØ Ø Ò Ø Ò Ð ÓÑ Ò Ð Ö Ö ³ ÜÓÔÐ Ò Ø Ø Ð³ Ø ÖÓ ÑÓÐÓ º Ò ÓÒØ ÜØ Ø Ò Ø Ò ÒØ ÓÑÔØ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ù Ô ØÖÓ Ö Ô ÄÇ Á Ö ÒÒ Ø Ðº ½ µ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò À ÊÈË È Ô Ø Ðº ¾¼¼¾ Å ÝÓÖ Ø Ðº ¾¼¼ µ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ËÇÈÀÁ ½ Ø ÓÙ Ý ² Ì ËÓÔ Ì Ñ ¾¼¼ µº Ä ÓÒ Ø ÓÒ Ñ ÙÖ Ø ÒØ ³ Ñ Ð ÓÖ Ö Ð³ Ø ÐÓ Ð Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô ØÖ Ð Ø Ð ÔÖ ÓÒ ÓÔÔÐ Ö Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÄÇ Á º Ô ØÖÓ Ö Ô ÐÐ Ô Ö ÓÒ ÖÓ Ø Ò Ø ÐÐ ÙÖ Ð Ø Ð ÓÔ ½º Ñ Ð³Ç ÖÚ ØÓ Ö À ÙØ ÈÖÓÚ Ò ÇÀȵ Ò ÂÙ ÐÐ Ø ¾¼¼ Ø ÓÙÚ ÖØ Ð ÓÑÑÙÒ ÙØ ÒØ ÕÙ Ò ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ º ÆÓ٠г ÚÓÒ ÙØ Ð Ù ÓÙÖ Ð³ Ø ¾¼¼ º ËÇÈÀÁ ÓÙ ÙÒ ÖÐ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ð Ù Ú Ð Ñ ÓÒ Ô Ø Ð ÓÊÓÌ Ò Ö Ø Ö ÒØ Ð Ò Ø ÜÓÔÐ Ò Ø ÓÙÚ ÖØ º Ö Ø Ðº ¾¼¼ ÓÙ Ý Ø Ðº ¾¼¼ Ð Ù Ð Ø Ðº ¾¼¼ µº º¾º¾ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ø Ò ÕÙ ËÇÈÀÁ Ø ÙÒ Ô ØÖÓ Ö Ô ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÙÜ Ò Ñ Ð Ö ÓÔØ ÕÙ Ô Ö º ÙÒ ³ ÒØÖ ÙÜ Ø ÓÒ Ø ØÙ ÙÜ ÓÙÚ ÖØÙÖ ÖÙÐ Ö Ö Ñ ØÖ Ô Ö Ô Ö ½º Ö Ò Ð ÔÐ Ò Ó Ðº ÙÜ ÙÜ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ÑÓ ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÒØ ½ ØØÔ»»ÛÛÛºÓ ¹ Ôº Ö»ÛÛÛ» Ù» ÓÔ» ÓÔ ¹ Ò º ØÑÐ

121 º¾º Ä ËÈ ÌÊÇ Ê ÈÀ ËÇÈÀÁ ½½ º º½ Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÔÓÙÖ ½ È ÔÓÙÖ Ð ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ ¹ Ø»À ¼º¾¼ Ö ² Î Ð ÒØ ¾¼¼ µ ØÖ Ò Ð µ Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µ ÐÓ Ò µ Ì Ø Ðº ¾¼¼ µ ÖÓ Üµ Ò Ý Ø Ðº ¾¼¼ µ Ø Ö ÕÙ µ Ò ² Ó ¾¼¼ µ ØÖ ¹ Ò Ð ÒÓ Ö µ Ø»À ¼º¾ À Ø Ö ² ÄÙ ¾¼¼ µ ÖÐ ÒÓ Ö µº ÙÒ ÑÓ ÀÊ À Ê ÓÐÙØ ÓÒµ ÑÓ ÙØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô ØÖ Ð ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³ ØØ Ò Ö Ê ¼¼¼ Ú ÙÒ ÒØ Ò ÓÖØ Ö º ÙÒ ÑÓ À À Òݵ ÑÓ ÙØ Ø ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³ ØØ Ò Ö Ê ¼¼¼ ÙØ Ð Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÙÖ Ó ÖÚ Ö Ð Ó Ø Ð º ÈÓÙÖ ÙÒ ÙÜ ÙÜ Ö ÙÒ ÓÒ Ö Ø ÔÖ ÒØ Ø Ô ÙØ ØÖ ÙØ Ð ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ ÙÖ ÑÙÐØ Ò Ù ÓÒ Ù Ð ÓÙ Ð Ð ÑÔ Ì ÓÖ ÙÑ Ö ÓÒº ÇÒ Ô ÙØ Ò Ù ÚÖ Ø Ú Ø Ö ØÓÙØ Ö Ú Ò ØÖÙÑ ÒØ Ð º Ä ÔÖ Ò Ô Ð Ö Ø ÓÒ Ù Ô ØÖ Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ ³ÓÒ Ù Ø Ð ÔÖÓ ÙÖ ÙØ Ð ÔÓÙÖ À ÊÈË ÓÙ ÄÇ Á º ÍÒ Ð Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÙØ ÒÙ Ø Ò Ö Ð ÒØ Ð Ô ØÖ Ó Ø ³ÙÒ Ð ÑÔ ÌÙÒ Ø Ò Ó Ø ³ÙÒ Ð ÑÔ Ì ¹ Ö ØÖ Ú Ö Ð ÙÜ Ö º Ä ÓÑ Ò Ô ØÖ Ð ÓÙÚ ÖØ ØÙ ÒØÖ Ø ÒѺ Ä Ñ ÙÖ Ø ÒØ ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ Ò Ð ÙÜ Ö Ú Ò ØÖÙÑ ÒØ Ð Ð Ø Ò Ö ³ ÙÖ Ö Ð Ø Ð Ø Ð³ Ò ØÖÙÑ Òغ ÈÓÙÖ Ð Ð Ô ØÖÓ Ö Ô Ø Ò¹ ÖÑ Ò ÙÒ Ô ÓÐ Ó Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ö ÙÐ Ø Ð ± ¼º¼½ µ Ø Ð³ ÙÑ Ø ÓÙ ÓÒØÖÐ º ÇÒ Ú Ø Ò ØÓÙØ Ö Ú Ù Ú Ö Ø ÓÒ ÔÖ ¹ ÓÒ ØÑÓ Ô Ö ÕÙ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ÔÖ ÙØ ÓÒ Ô ÙÚ ÒØ Ñ Ð Ö ØÓÙØ Ò Ô Ù Ö ÒÓÙ Ò ÚÓÒ Ø Ð³ ÜÔ Ö Ò Ô Ò ÒØ ÒÓ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ú ÙÒ ÖÖ Ø Ð Ö ÙÐ Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ð ÐÓ Ð ËÇÈÀÁ Ô Ò ÒØ ÕÙ ÐÕÙ ÙÖ ÕÙ ÒØÖ Ò ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ú Ò ØÖÙÑ ÒØ Ð ººº

122 ½½ À ÈÁÌÊ º ÌÍ ½ È Ì º º¾ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ø Ò ÕÙ Ù Ô ØÖÓ Ö Ô ËÇÈÀÁ º Ò ÓÔØ ÕÙ ÑÔ ÙÖ Ð Ð Ê ÓÐÙØ ÓÒ ØÝÔ ÕÙ ÓÑ Ò Ô ØÖ Ð Ø Ø ÙÖ ËÔ ØÖÓ Ö Ô ÐÐ Ô Ö ÓÒ ÖÓ Ö ¼¼¼¼ Ò ÑÓ À ¼¼¼ Ò ÑÓ ÀÊ ÒÑ ¹ ÒÑ ½ Î ¾ Ü ½ Ü ½ Ñѵ Ø ÐÐ Ù Ô Ü Ð ½ µñ ËÇÈÀÁ ÔÓ ÙÒ ÐÓ Ð Ö ÙØ ÓÒ ÓÒÒ Ê˵ Ø ÔØ ÙÖ ÐÙ À ÊÈË Ð Ô ØÖ ÓÒØ ÓÒ Ö Ù Ø Ò Ø ÑÔ Ö Ð Ô Ò ÒØ Ð Ó ÖÚ ¹ Ø ÓÒ º Ä Ø Ð º¾ Ö ÙÑ Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ö Ø Ö Ø Õ٠г Ò ØÖÙÑ Òغ º Ä Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÆÓÙ ÚÓÒ ØÙ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ ½ È Ù Ù ½ Ó Ø ¾¼¼ Ð³Ç ÖÚ ØÓ Ö À ÙØ ¹ÈÖÓÚ Ò ÇÀȵº Ì º º ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ ½ È Ø ÆÓÑ Ö ÙÖ µ Ë»Æ σ Ñ» µ Ñ ÙÖ ¼Òѵ ¾¼¼»¼»¼ ¾º ½¹½ º ¾¼¼»¼»¼ ½½ ¼º ½¹½½ ¾º ¾¼¼»¼»¼ ½ º ¼¹½¾¼ ½º ¾¼¼»¼»¼ ½¾ º¼ ¹½½½ ¾º ¼ ¾¼¼»¼»½¼ ½ º ¼ ½¼ ¹½ ¾ º ½ ¾¼¼»¼»½½ ½ º ¾ ½ ¼¹¾¼ º ¾¼¼»¼»½¾ ½ ¾ º¾ ¹½ º ¾ ¾¼¼»¼»½ ½¾¾ º ¼¹½ º ¾¼¼»¼»½ º ¾ ¹½ º Ä Ø ÑÔ ³ ÜÔÓ Ø ÓÒ Ø Ø ½¾¼ ÙÜÕÙ ÐÐ Ð ÙØ ÓÙØ Ö Ð ¾¾ Ò Ö Ð Ð ØÙÖ Ù º Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒØ Ø Ö Ð Ò ÑÓ ÀÊ Ú ÔÓ ÑÙÐØ Ò Ð Ð ÑÔ Ì ¹ Öº ÆÓÙ ÚÓÒ Ò ÔÙ Ù ÚÖ Ô Ò ÒØ Ð ÒÙ Ø Ð Ö Ú Ò ØÖÙÑ ÒØ Ð º

123 º º ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Ë ÇÆÆ Ë ½½ ÍÒ Ö ÙÑ Ð ÑÔ Ò ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø ÓÒÒ Ò Ì Ð º º ÆÓÙ ÚÓÒ Ó Ø ÒÙ Ù ØÓØ Ð ½¼½ Ñ ÙÖ Ú ÙÒ Ö ÔÔÓÖØ Ë»Æ ÙÔ Ö ÙÖ ¼º Ä ÙÜ ÔÖ Ñ Ö ÒÙ Ø Ò ÕÙ Ð ÖÒ Ö ÓÒÒ ÒØ Ô Ù Ñ ÙÖ Ù Ù Ñ ÙÚ Ø ÑÔ º Ä ÒÙ Ø Ù ½½ ½¾ Ø ½ Ó Ø ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ ØÖ ÓÖØ Ô Ö ÓÒº ÔÐÙ ÖØ Ò ÒÙ Ø ÑÓÒØÖ ÒØ ÙÒ Ö Ú ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓØ ÑÑ ÒØ Ú Ö Ð ½ Ó Ø Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÕÙ Ö ÙÐ Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ µ ÓÒØ ÒØÖ Ò ³ ÑÔÓÖØ ÒØ Ú Ð ÙÖ Ù Ö Øº º º¾ Î Ø Ö Ð Ñ ÙÖ ÔÓÙÖ ½ È º Ä Ð Ò Ò ØÖ Ø ÔÐ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ð³ÓÖ Ø Ð ÔÐ Ò Ø º Ä ÓÙÖ Ú Ø Ö Ð Ø ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º¾ ÔÓÙÖ Ð Ò Ù ÒÙ Ø ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ÇÒ ÚÓ Ø Ð Ö Ñ ÒØ Ð³ Ò Ù Ò Ð ÔÐ Ò Ø Ú ÙÒ Ô Ö Ó ³ Ò¹ Ú ÖÓÒ ½¼¾ ÙÖ º ËÙÖ Ð ÞÓÓÑ Ð ÙÖ º ÕÙ ÑÓÒØÖ Ð Ñ ÙÖ Ú Ø Ö Ð Ð ØÖÓ Ñ ÒÙ Ø Ð Ô ÒØ ÐÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ù Ð³ Ò Ù Ò Ð ÔÐ Ò Ø º ÇÒ Ö Ñ ÖÕÙ Ó ÐÐ Ø ÓÒ ØÖ Ò ØØ Ú ÙÒ Ô Ö Ó Ð³ÓÖ Ö ¹½¼ Ñ ÒÙØ º º ÌÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒÒ ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ú Ø Ö Ð ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ô ØÖ Ò ÔÙ Ò Ð³ ØÓ Ð º ÁÐ Ø ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º º ÆÓÙ ÚÓÒ Ù ÐÙÐ Ð Ô ØÖ Ð Ò ØÖ ³Ó ÖÚ Ø ÓÒº ÁÐ Ø ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º º ÓÒØ Ð Ð Ù ÓÙÖ Ú ÙÒ ÖØ Ò Ö ÕÙ Ò ½½º µàþ

124 ½½ À ÈÁÌÊ º ÌÍ ½ È º º ÓÓÑ Ñ ÙÖ Ú Ø Ö Ð ÒÙ Ø Ù ¼ Ó Ø ¾¼¼ µº Ä Ô ÒØ ÐÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ð³ Ò Ù Ò Ð ÔÐ Ò Ø º ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ô Ö Ó ³ÙÒ ÓÙÖº Ò Ø Ð³ ÐØ ÖÒ Ò ÓÙÖ»ÒÙ Ø ÒØÖ Ò Ð³ ÔÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ô ØÖ Ô ÕÙ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ô Ö ÕÙ Ò Ö ÐÐ º Ô ÓÒØ ÑÔÐ ØÙ ÑÔÓÖØ ÒØ º Á г ÑÔÐ Ø٠г Ð Ø Ð ± Ù Ò Ð Ö Ð ÚÓ Ö ÙÖ º µº ÙÜ Ô Ó Ú ÒØ ØÖ Ð Ñ Ò Ù Ô ØÖ º ÆÓÙ ÚÓÒ ÒØÖ ÔÖ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÒÒ Ò Ô Ö Ð Ø Ð ÙÖ ÒØ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÓÑÔ Ö Ö ÙÜ ÑÓ Ð º ØÖ Ú Ð Ò³ Ø Ô ÑÔÐ Ö Ð ÓÒÒ Ó Ø ÒÙ Ò ÓÒØ Ô Ù ÓÒÒ ÕÙ ÔÓÙÖ µ Ö ÓÙ ι ÀÓÖº ÆÓÙ ÚÓÒ Ø ÔÐÙ ÙÖ ³ ÒØ Ø ÓÒ ÑÓ º ÈÓÙÖ Ð ÒÓÙ ÚÓÒ Ø Ð Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ð Ò ØÖ ³Ó Ö¹ Ú Ø ÓÒ ÙÖ º µ ÙÖ Ð Ô ØÖ º Ð ÒÓÙ Ô ÖÑ Ö Ô Ö Ö Ð Ô ÔÖ Ò Ô ÙÜ º º Ý ÒØ Ð ÔÐÙ Ö Ò ÑÔÐ ØÙ µ Ø Ð ÙÖ Ð º ÆÓÙ ÚÓÒ Ò Ù Ø ÙØ Ð Ð ÐÓ Ð È Ö Ó ¼ Ä ÒÞ ² Ö Ö ¾¼¼ µ ÔÓÙÖ ÓÙ ØÖ Ö Ô º È Ö Ó ¼ ÓÙ ØÖ Ø Ò Ð ÓÑ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð ÙÒ ÓÙ ÔÐÙ ÙÖ ÒÙ Ó Ý ÒØ Ð ÓÙ Ð Ö ÕÙ Ò ÒØ º Ù ÓÙÖ ØØ Ø Ô Ð ÐÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ÙÒ ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ ØÓÙ Ð ÑÓ ÒØ Ö ÕÙ Ò ÑÔÐ ØÙ Ô µ Ö ÙÒ Ñ Ø Ó ÑÓ Ò Ö ÖÖ º ÓÒØ ÓÒ Ò Ö Ð Ø ÒÙ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÔØ Ñ ÕÙ ÓÒØ ÓÙ ØÖ Ø Ð Ö Ø ÑÔÓÖ ÐÐ º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÐÓÖ ÙÒ Ô ØÖ Ò ØØÓÝ ÙÖ Ð ÕÙ Ð ÓÒ Ô ÙØ ÒØ Ö ÒÓÙÚ ÙÜ Ô ÕÙ Ò³ Ø ÒØ Ô Ú Ð ÙÔ Ö Ú Òغ ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÔÐ ÕÙ ØØ Ñ Ø Ó ÙÖ ØÓÙØ Ð Ô ØÖ ÕÙ ÒÓÙ Ô ÖÑ Ö Ô Ö Ö ¾½ ÑÓ Ø Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ º µàþº

125 º º ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Ë ÇÆÆ Ë ½½ º º ËÔ ØÖ Ò ÔÙ Ò Ñ ÙÖ Ú Ø Ö Ð ½ È º Å Ð Ö ÙÒ Ô ØÖ ØÖ ÖÙ Ø Ð Ø ÔÓ Ð ³ ÒØ Ö ÙÒ Ú Ò Ø Ò ÑÓ Ò Ð ÞÓÒ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ó ÐÐ Ø ÓÒ º º º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ð Ò ØÖ ³Ó ÖÚ Ø ÓÒº Ú Ð³ ÑÓ Ð Ø ÓÖ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ Ø ÒØ ³ ÒØ Ö ÑÓ Ø Ö Ö ÙÒ Ö ÑÑ ÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ Ðº Ä Ö ÙÐØ Ø Ó Ø ÒÙ ÓÒØ ÓÒÒ Ò

126 ½¾¼ À ÈÁÌÊ º ÌÍ ½ È Ì º º Ö ÕÙ Ò ÒØ Ò Ð Ô ØÖ Ò ÔÙ Ò ½ È Ø Ø ÒØ Ø Ú ³ ¹ Ø Ø ÓÒ Ð ÙÖ ÑÓ º n l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 ½ ºººº ºººº ºººº ½º ¾ ½ ºººº ºººº ºººº ºººº ½ ºººº ¾º¼¼ ºººº ºººº ¾¼ ¾º¼ ½ ¾º½ ¾º½¼¾ ºººº ¾½ ¾º½ ºººº ¾º¾ ¾ ¾º¾ ¾¾ ººº ºººº ¾º ºººº ¾ ¾º ºººº ¾º ºººº ¾ ¾º ¾ ºººº ¾º ¾ ºººº ¾ ºººº ¾º ¼ ¾º ¾ ºººº ¾ ¾º ¾ ºººº ºººº ºººº ¾ ºººº ºººº ºººº ¾º ¼µ ¾ ºººº ºººº ¾º ½ ºººº ¾ ºººº ºººº ºººº ºººº ¼ º¼¾¼ ºººº º½½ º¼ µ º º Ö ÑÑ ÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ Ð ½ È º Ä Ð Ò Ò Ø Ö Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð³ÙÒ ÑÓ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ ÚÓ Ö Ø ÜØ µº

127 º º ÌÊ ÁÌ Å ÆÌ Ë ÇÆÆ Ë ½¾½ Ð Ì Ð º Ò ÕÙ ÙÖ Ð ÙÖ º º Ä Ö ÑÑ ÐРгÙÒ ÑÓ Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ Ø Ù ÓÒÒ ÙÖ Ð ÙÖ º Ø ØÖ Ò Ø º ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ ÑÓ Ð ½º½¼ Å Ú»À ¼º¾¼ Ø ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ù Ú ÒØ Ð ÐÓ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü ÁÞÓØÓÚ ² Ì Ù Ò ¾¼¼ µº ÍÒ ØÙ ÓÑÔÐ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÖ ÕÙ ÓÑÔØ ¹Ø ÒÙ Ú Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ö Å»À µ Ø Ð ÙÖ ÓÑÔ Ö ÓÒ ÙÜ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ö Ù¹ Ö Ñ Òغ ØØ ØÙ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ ÐРг ØÓ Ð ½ È Ô٠г ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ð³Ç ÖÚ ØÓ Ö À ÙØ ¹ÈÖÓÚ Ò Ù ÕÙ³ Ð Ö Ø Ö Ø ÓÒ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ò Ø Ø ÓÒ ÙÜ ÔÖÓ Ù Ð³ Ø ÖÓ ÑÓÐÓ Ò ÕÙ³ÙÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÜ ØÖ Ú ÙÜ ÑÓ Ð Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙØÖ Ô ÖØ ØØ Ø º

128

129 Ô ØÖ Ò ÐÝ Ñ ÕÙ µ Ö µ Ö Ø ÙÒ ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö ÔÓ ÒØ ÕÙ ØÖ ÔÐ Ò Ø º Ó ÖÚ Ø ÓÒ ØØ ØÓ Ð ÓÒØ Ø ØÙ Ò ¾¼¼ Ú Ð Ô ØÖÓ Ö Ô À ÊÈË ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ñ ÙÖ Ú Ø Ö Ð ØØ ØÓ Ð º ÍÒ ÔÖ Ñ Ö Ò ÐÝ Ñ ÕÙ Ø Ö Ð Ô Ö ÞÓØ Ø Ðº ¾¼¼ µº Ä ÙÖ ÙØ Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ÓÖ Ò Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø Ð³ ØÓ Ð º ÈÓÙÖ Ö Ð ÓÒØ ÐÙÐ ÑÓ Ð Ú ÙÜ ÝÔÓØ Ö ÒØ ÔÓÙÚ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Ö Ð³ Ü Ò Ñ Ø ÙÜ Ó ÖÚ ÙÒ ÙÖ ÓÒ Ò ÔÖ ÑÓÖ Ð ÔÖ ÒØ Ò Ð ÒÙ ÔÖÓØÓ Ø ÐÐ Ö Ó٠г Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ö Ð ÔÐ Ò Ø Ö ÙÖ Ð³ ØÓ Ð º Ä Ö ÙÐØ Ø Ó Ø ÒÙ Ò³ÓÒØ Ô Ô ÖÑ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö Ñ ÒØ ØØ ÓÖ Ò º Ä Ö Ò ÒØÖ Ð ÑÓ Ð ÐÙÐ Ò³ Ø ÒØ Ô Þ Ò ØØ ÔÓÙÖ Ô ÖÑ ØØÖ ØÖ Ò Ö ÒØÖ Ð ÙÜ Ò Ö Ó º ÔÙ ³ ÙØÖ ØÙ ÓÒØ Ô ÖÑ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø Ó ÖÚ ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö Ú Ø ØÖ ÔÖ ÑÓÖ Ð Î ÙÐ Ö Ø Ðº ¾¼¼ ØÖÓ Ø Ðº ¾¼¼ µº ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ò Ô ØÖ ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ ÕÙ ØØ ØÓ Ð º ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÖ Ò ÓÑÔØ Ð ÒÓÙÚ ÐÐ Ú Ð ÙÖ Ð Ô Ö ÐÐ Ü À ÔÔ ÖÓ Ø ÒÓÙ ÚÓÒ Ð Ñ ÒØ Ø Ø ÑÓ Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº Ä ÙØ Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ð³ ØÓ Ð Ú ÔÐÙ ÔÖ ÓÒ ÕÙ³ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ô ØÖÓ ÓÔ ÙÐ Ø ÓÒÒ Ö ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ º º½ È Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ö º½º½ Ä Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö Ä³ ØÓ Ð µ Ö À ½ ¼ ½µ Ø ØÝÔ Áικ ÐÐ Ø Ù ÒØÖ ³ÙÒ Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø ÓÒØ Ð Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÓÒØ ÓÒÒ Ò Ì Ð º½º ½¾

130 ½¾ À ÈÁÌÊ º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ µ Ê Ä ÔÖ Ñ Ö ÔÐ Ò Ø ÙØÓÙÖ µ Ö À ½ ¼ ½ µ Ø ÓÙÚ ÖØ Ô Ö ÙØÐ Ö Ø Ðº ¾¼¼½µ Ö ÙÜ ÓÒÒ Ó Ø ÒÙ Ú Í Ä Ëº Ä Ô Ö Ñ ØÖ ÓÖ Ø ÙÜ ØØ ÔÐ Ò Ø ÓÒØ Ø ÓÖÖ Ô Ö ÂÓÒ Ø Ðº ¾¼¼¾µ ÔÖ ÚÓ Ö Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö Ú Ð Ô ØÖÓ Ö Ô Í Ä Ë Ò ÐÓ¹ Ù ØÖ Ð Ò Ç ÖÚ ØÓÖݵº ÒÓÙÚ ÙÜ ÑÓ Ð ÔÐ Ö Ò ÓÒØ Ð Ñ ÒØ Ö Ú Ð Ð ÔÖ Ò ³ÙÒ ÓÒ ÓÑÔ ¹ Ò ÓÒ À ½ ¼ ½ µ ÓÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÒØ Ð Ñ ÒØ ÓÒØÖ ÒØ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÖÑ Å ÖØ Ý Ø Ðº ¾¼¼ µ Ö ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÒÒ Í Ä Ëº Ò ¾¼¼ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ú Ð Ô ØÖÓ Ö Ô À ÊÈË Ç ÖÚ ØÓ Ö Ð Ë ÐÐ Ð µ ÓÒØ Ô ÖÑ ÓÙ Ý Ø Ðº ¾¼¼ µ ÓÙÚÖ Ö ÙÒ ØÖÓ Ñ ÔÐ Ò Ø ÙØÓÙÖ µ Ö À ½ ¼ ½µ Ô Ö Ó ÓÙÖØ Ø Ñ Ñ Ð Ð ÐÐ Æ ÔØÙÒ º Ò Ò Ð³ ÓÒÒ À ÊÈË Ñ Ù ÇÊ ÄÁ Ç ÖÚ ØÓ Ö Ð Ë ÐÐ Ð µ Ø Í Ä Ë ÙÒ ÕÙ ØÖ Ñ ÔÐ Ò Ø Ø ÓÙÚ ÖØ Ô Ö È Ô Ø Ðº ¾¼¼ µ À ½ ¼ ½ º ÖÒ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒØ Ð Ñ ÒØ Ô ÖÑ Ñ ÙÜ ÓÒØÖ Ò Ö À ½ ¼ ½ º Ì º º½ È Ö Ñ ØÖ ÓÖ Ø ÙÜ ÔÐ Ò Ø Ù Ý Ø Ñ µ Ö º À ½ ¼ ½ À ½ ¼ ½ À ½ ¼ ½ À ½ ¼ ½ È ÓÙÖ µ º¾ ± ¼º ¼ º ± ¼º¼¼½ ½¼º ± ¼º ¾¼ º ± º ¼º½¾ ± ¼º¼½ ¼º½ ¾ ± ¼º¼ ¼º¼ ± ¼º¼½¾ ¼º¼ ± ¼º¼ ¾ Í µ ½º ¼º¼ ½ ¼º ¾½¼ º¾ ω µ ¾¾ ± ¾½¾º ± ½ º ½ º ± º º ± º Å Ò ½º M J ½ M ¼º ¾½ M J ½º ½ M J Ê Ö Ò ½ Ø ¾ ¾ Ø Ê Ö Ò ½ ÙØÐ Ö Ø Ðº ¾¼¼½µ ¾ ÂÓÒ Ø Ðº ¾¼¼¾µ Å ÖØ Ý Ø Ðº ¾¼¼ µ Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µ È Ô Ø Ðº ¾¼¼ µº º½º¾ ÓÒØÖ ÒØ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÒÕ ÖÓÙÔ ³Ó ÖÚ Ø ÙÖ ÓÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ô ØÖÓ ÓÔ Ð Ó Ö¹ Ú Ð µ Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú Ö Ú Ø Ñ Ø ÐÐ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö»À µº Ä Ú Ð ÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ð Ö ÒØ ÖÓÙÔ ³Ó ¹ ÖÚ Ø ÙÖ ÓÒØ Ð Ø Ò Ì Ð º¾º º½º Ä ÐÙÑ ÒÓ Ø µ Ö Ä Ñ Ò ØÙ Ú Ù ÐÐ µ Ö Ø V = 5.15 ËÁÅ ØÖÓÒÓÑ Ð Ø µº Ä ÓÒÒ À ÔÔ ÖÓ ÒÓÙ ÓÒÒ ÒØ ÙÜ Ú Ð ÙÖ ÔÓÙÖ Ð Ô Ö ÐÐ Ü º ÄÓÖ ³ÙÒ

131 º½º È Ê Å ÌÊ Ë ËÌ ÄÄ ÁÊ Ë ½¾ Ì º º¾ Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú Ö Ú Ø Ø Ñ Ø ÐÐ Ø Ó ÖÚ ÔÓÙÖ µ Ö º Ì (K) ÐÓ»À Ê Ö Ò ¼¼±½¼¼ º ¼±¼º½¼ ¼º ¾±¼º½¼ Ò Ý Ø Ðº ¾¼¼ µ ½½± º ¾±¼º¼ ¼º¾ ±¼º¼ Ä Û Ø Ðº ¾¼¼ µ ± º ½±¼º¼ ¼º ¾±¼º¼ Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µ ½ ± ¼ º¾ ±¼º¼ ¼º ¾±¼º¼ Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µ ± º ¼±¼º¼ ¼º¾ ±¼º¼ Ö ² Î Ð ÒØ ¾¼¼ µ ÔÖ Ñ Ö Ò ÐÝ È ÖÖÝÑ Ò Ø Ðº ½ µ ÓÒØ Ö Ú Ð Ú Ð ÙÖ Ù Ú ÒØ π = ± 0.80 Ñ º ÈÐÙ Ö ÑÑ ÒØ Ú Ò Ä ÙÛ Ò ¾¼¼ µ ØÙ ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ò ÐÝ ÓÒÒ À ÔÔ ÖÓ º ÁÐ Ò ÔÙ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ú Ð ÙÖ Ð Ô Ö ÐÐ Ü ØØ ØÓ Ð π = ± 0.31 Ñ º ØØ Ú Ð ÙÖ Ø Ò Ö ÙÖ Ð ÔÖ ÒØ Ø Ð³ ÖÖ ÙÖ Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ù Ø º Ú ØØ ÒÓÙÚ ÐÐ Ú Ð ÙÖ ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÙ Ù Ö ÙÒ Ñ Ò ØÙ ÓÐÙ M V = 4.20 ± 0.04º Ô ÖØ Ö ÓÒÒ ÔÖ ÒØ Ò Ì Ð º¾ ÓÒ ØÖÓÙÚ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ Ø Ú Ì eff = 5800 ± 100 ú Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ø Ð ÐÓÛ Ö ½ µ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÓÖÖ Ø ÓÒ ÓÐÓÑ ØÖ ÕÙ BC = 0.08 ± 0.02º Ú ÙÒ Ñ ¹ Ò ØÙ ÓÐÙ ÓÐ Ö M bol, = 4.75 Ò Ö Ò ½ µ ÒÓÙ ÚÓÒ Ù Ø ÔÓÙÖ µ Ö ÙÒ ÐÙÑ ÒÓ Ø ÐÓ Ä»Ä µ= 0.25 ± 0.03º ØØ Ú Ð ÙÖ Ø ÔÐÙ Ð ÕÙ ÐÐ ÕÙ Ú Ø Ø ØÖÓÙÚ Ô Ö ÞÓØ Ø Ðº ¾¼¼ µ Ò Ð ÙÖ Ò ÐÝ ØØ ØÓ Ð ÐÓ Ä»Ä µ= 0.28 ± µº ØØ Ö Ò Ú ÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ Ù Ø ÕÙ ÒÓÙ Ò³ ÚÓÒ Ô ÙØ Ð Ð Ñ Ñ Ú Ð ÙÖ Ð Ô Ö ÐÐ Ü º º½º ÓÒØÖ ÒØ Ñ ÕÙ µ Ö Ø Ó ÖÚ Ô Ö Ð Ô ØÖÓ Ö Ô À ÊÈË Ò ØÖÙÑ ÒØ Ð Ö Ö ³ ÜÓÔÐ Ò Ø Ð³ Ð Ø Ò ÕÙ Ñ ÙÖ Ú Ø Ö Ð º À ÊÈË Ø Ò Ø ÐÐ ÙÖ Ð Ø Ð ÓÔ º Ñ Ð³ ËÇ Ð³Ç ÖÚ ØÓ Ö Ä Ë ÐÐ Ù Ð º ØØ ÑÔ Ò ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ô ÖÑ Ð³ ÒØ Ø ÓÒ ÑÓ ¹Ô Ö l = 0 l = 3 ÓÙ Ý Ø Ðº ¾¼¼ µº Ä ÙÖ Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÓÑÔÖ ÒØÖ ½º¾ Ø ¾º ÑÀÞº Ä Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ò Ø ½º µàþ Ø Ð³ Ò ÖØ ØÙ ÙÖ Ð ÑÓ ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø Ú ÐÙ ¼º µàþº Ä Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ ÒØÖ ÙÜ ÑÓ ³ÓÖ Ö ÓÒ ÙØ Ø ν 0 = 90 µàþº Ä Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÒØÖ ÒØ Ú Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒØ Ò Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ º Ä ÙÖ Ú Ð ÙÖ ÑÓÝ ÒÒ Ø < δν >= 5.7 µàþº

132 ½¾ À ÈÁÌÊ º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ µ Ê º¾ ÐÙÐ ÑÓ Ð ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ö ÒØ Ö ØÖ ÚÓÐÙØ Ú Ú Ð Ó Ì Ú Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ ÒØÖ Ö Ø Ù Ô ØÖ ¾ Ë Ø ÓÒ ¾º½º½º Ä Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ Ù Ø Ð Ô ØÖÓ ÓÔ Ì Ð º¾µ ÒÓÙ ÓÒÒ ÒØ ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø»À ¼º¾ Ä Û Ø Ðº ¾¼¼ Ö ² Î Ð ÒØ ¾¼¼ µ Ø»À ¼º ¾ Ò Ý Ø Ðº ¾¼¼ Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µº ÈÓÙÖ ÕÙ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø ÒÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÙÜ Ö ØÖ ÚÓÐÙØ Ú Ö ÕÙ Ö ÒØ ÒØÖ ÐÐ Ô Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð³ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÕÙ Ù Ñ ÒØ Ú Ð Ñ Ø ÐÐ Ø ÐÓÒ Ð ÐÓ ³ ÚÓÐÙ¹ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü ÓÒÒ Ô Ö ÁÞÓØÓÚ ² Ì Ù Ò ¾¼¼ µ ÒÓÑÑ G º ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ü Ú Ð ÙÖ ÓÐ Ö ¼º¾ ½ º ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ò ÙÖ º½ Ø º¾ Ð Ö ÙÐØ Ø Ó Ø ÒÙ Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ ÐÓ Ì eff Ø ÐÓ Ä»Ä µ ¹ ÐÓ Ì eff º ÕÙ Ö Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÓÙÔÐ Ú Ð ÙÖ»À µº ËÙÖ ÕÙ Ö Ô Ð ÒÕ Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÒØ Ö ¹ ÔÖ ÒØ Ñ ÒÓÙ ÚÓÒ Ñ Ò Ö ÐÐ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø ØÙ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ð Ñ ÒØ ÐÙÐ ÙÜ Ö Ñ Ð Ö ØÖ ÚÓÐÙØ Ú Ñ Ò ÓÙØ ÒØ Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº ÆÓÙ ÚÓÒ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ Ü Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò α ov = 0.20º Ä Ö ÙÐØ Ø ÓÒØ ÑÓÒØÖ Ò ÙÖ º Ø º Ø ÓÒØ ÙØ Ò Ë Ø ÓÒ º º¾º Ò Ò ÒÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÙÒ Ö ÑÓ Ð Ñ ½º½¼ Å Ú»À ¼º ¾ Ø G Ò Ù Ñ ÒØ ÒØ ÔÖÓ Ö Ú Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÑÓ Ð ÓÒØ ÙØ Ò Ë Ø ÓÒ º º¾º º Ò ÐÝ Ñ ÕÙ Ø Ö ÙÐØ Ø º º½ ÅÓ Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ Ö Ò ÒÓÑ Ö ÑÓ Ð Ð ÐÓÒ ÕÙ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú Ú Ð Ó ÈÍÄË Ö Ö ² ÖÔ Ò Ø ¾¼¼ µº Ö ÕÙ Ò ÓÒØ ÐÙÐ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 l = 3 Ø ÔÓÙÖ ÓÖ Ö Ö ÙÜ ÐÐ ÒØ ½¼¼º ËÙÖ ÕÙ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÒÓÙ ÚÓÒ Ð Ø ÓÒÒ Ð ÑÓ Ð Ý ÒØ ÙÒ Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ ¼ µàþº ÆÓÙ ÚÓÒ ØÖ ÙÖ ÕÙ Ö Ô ÙÖ º½ Ø º¾µ ÙÒ Ð Ò ³ Ó¹ ν 0 ¼ µàþº Ä Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ Ð ÓÒØ ÓÒÒ Ò Ì Ð º º º ÇÒ ÓÒ Ø Ø ÕÙ ØÓÙ Ð ÑÓ Ð ÕÙ Ù Ø ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÓÒØ Ð Ñ Ñ Ú Ð ÙÖ Ù Ö ÔÔÓÖØ g/m ÓÙ M/R 3 Ó g M Ø R ÓÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ö Ú Ø Ð Ñ Ø Ð Ö ÝÓÒ Ð³ ØÓ Ð º

133 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ Ì Ê ËÍÄÌ ÌË ½¾ º º½ ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ ÐÓ Ì eff ÔÓÙÖ Ð ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø Ù Ø Ð Ô ØÖÓÓÔ»À ¼º¾ Ö Ô Ù µ Ø ¼º ¾ Ö Ô ÖÓ Ø µ Ø Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ä ÒÕ Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ý Ø Ðº ¾¼¼ µ Ø Ö ÕÙ µ Ä Û Ø Ðº ¾¼¼ µ ÖÓ Üµ Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µ ØÖ Ò Ð µ Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µ ÐÓ Ò µ Ø Ö ² Î Ð ÒØ ¾¼¼ µ ØÖ Ò Ð ÒÓ Ö µº Ä Ð Ò Ò ØÖ Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ð Ð Ò ³ Ó¹ ν ¼µÀÞº

134 ½¾ À ÈÁÌÊ º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ µ Ê º º¾ ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ Ä»Ä µ ¹ ÐÓ Ì eff ÔÓÙÖ Ð ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø Ù Ø Ð Ô ØÖÓÓÔ»À ¼º¾ Ö Ô Ù µ Ø ¼º ¾ Ö Ô ÖÓ Ø µ Ø Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ä Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º½º Ä Ð Ò Ò ØÖ Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ð Ð Ò ³ Ó¹ ν ¼µÀÞº

135 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ Ì Ê ËÍÄÌ ÌË ½¾ Ø Ù Ø ÕÙ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ú Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ ÓÑÑ c/r Ó c Ø Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ò Ð³ ØÓ Ð ÕÙ Ú Ö ÐÐ ¹Ñ Ñ Ò T/µº Ò ÙØ Ð ÒØ T µm/r ÓÒ ØÖÓÙÚ ÐÓÖ ÕÙ (c/r) 2 Ú Ö ÓÑÑ M/R 3 Ø Ò Ô Ò ÑÑ ÒØ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ º Ì º º Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ú»À ¼º ¾ Ø G º Å Å µ ÝÖµ ÐÓ g ÐÓ Ì ÐÓ Ä»Ä Ê Ü½¼ 10 ѵ Å»Ê 3 χ 2 ½º¼ º½½¾ º¾½¾½ º ¼º¾ ½ º ¼ ¾º ½º ¼¼ ½º½¼ º ½ º¾½ º ¼º¾ ¼ º ¾º ½º ½½ ½º½¾ º º¾½ ¾ º ¾ ¼º¾ º ¾ ¾º ½º ½º½ º º¾¾¼¼ º ¼º¾ º ¾º ½º ¾ ½º½ º º¾¾ º ¾ ¼º¾ º ½ ¾º ½º ½ Ì º º Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ú»À ¼º¾ Ø G º Å Å µ ÝÖµ ÐÓ g ÐÓ Ì ÐÓ Ä»Ä Ê Ü½¼ 10 ѵ Å»Ê 3 χ 2 ½º¼ º ½ º¾¼ º ½ ¼º¾ ½ º ¾º ½º ½º¼ º½ ¾ º¾¼ ¾ º ¼ ¼º¾ º ½ ¾º ½º ¼ ½º½¼ º º¾½ ¾ º ¼º¾ ¼½ º ¾º ½º ¾¼ ½º½¾ º ½ º¾½ º ¼º ¼ º ¾ ¾º ½º ½º½ º½ º¾¾½ º ¾ ¼º ¼¼ º ¼ ¾º ¾º½¼¼ ÇÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö ÙÖ Ð ÙÖ º½ ÕÙ Ð Ð Ò ³ Ó¹ ν 0 ¼ µàþ Ò Ô ÒØ Ñ Ô Ö Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ä Û Ø Ðº ¾¼¼ µ Ø Ë ÒØÓ Ø Ðº ¾¼¼ µº Ä ÑÓ Ð Ú ν = 90 µàþ ÓÒØ ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÐÓ g Ò ÔÐÙ Ð ÕÙ ÐÐ Ù Ø Ô Ö ÙÜ ÖÓÙÔ ³Ó ÖÚ Ø ÙÖ º ÈÓÙÖ ÕÙ ÓÙÔÐ Ú Ð ÙÖ»À Ø ÒÓÙ ÚÓÒ Ö Ô ÖÑ Ð ÑÓ Ð Ý ÒØ ÙÒ Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ ¼ µàþ ÐÙ ÕÙ Ù Ø Ð Ñ ÙÜ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ Ð µ Ö º ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÓÙÖ Ð ØÙ ÙÒ Ñ Ò Ñ Ø ÓÒ ØÝÔ χ 2 ÔÓÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ ÑÓ Ð º ÆÓÙ ÚÓÒ ÙØ Ð Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ù Ú ÒØ N ( ) 2 νth (i) ν obs (i), º½µ χ 2 = 1 N i=1 σ obs

136 ½ ¼ À ÈÁÌÊ º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ µ Ê Ì º º Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ú»À ¼º ¾ Ø º Å Å µ ÝÖµ ÐÓ g ÐÓ Ì ÐÓ Ä»Ä Ê Ü½¼ 10 ѵ Å»Ê 3 χ 2 ½º¼ º ½ º¾¼ º ¼º½ ½ º ½ ¾º ½º ½º½¼ º º¾½¾¼ º ½ ¼º¾½ ¾ º ¾º ½º ¾ ½º½ º¼¼¾ º¾½ º ¼º¾ º ¾º ½º ¼ ½º½ º¼ º¾¾ ¼ º ¾ ¼º¾ º ¾º ¾º¼ ¼ ½º¾¼ º ½¾ º¾¾ ½ º ¼º¾ ½ º ¼ ¾º ¼ º ¾ Ì º º Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ Ú»À ¼º¾ Ø º Å Å µ ÝÖµ ÐÓ g ÐÓ Ì ÐÓ Ä»Ä Ê Ü½¼ 10 ѵ Å»Ê 3 χ 2 ½º½¼ º º¾½½ º ¼ ¼º¾ ½ º ¾º ½º ¾ ½º½¾ º º¾½ ½ º ¼º¾ ¼ º ½ ¾º ½º ¼ ½º½ º º¾½ º ¼ ¼º¾ ½ º ¾º ½º ½½ ½º½ º¾¾ º¾½ º ¼ ¼º¾ º ¾º ½º ¾ ½º½ º ¼¾ º¾¾ ¼ º ¼ ¼º¾ ¾ º ¾º ¼ ½º Ó ν obs (i) Ø Ð Ö ÕÙ Ò Ó ÖÚ ÑÓ ÙÐÓ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ν th (i) ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø ÓÖ ÕÙ Ø σ obs г Ò ÖØ ØÙ ÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò Ó ÖÚ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ ÒÓÙ ÚÓÒ ÙØ Ð Ð Ú Ð ÙÖ ÓÒÒ Ô Ö ÓÙ Ý Ø Ðº ¾¼¼ µ ¼º µàþº ÈÓÙÖ ÕÙ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ Ù χ 2 ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÔÓÙÖ ÑÓ Ð ½º½¼ Å Ö ÝÓÒ R = 9.46Ü10 10 Ñ Ø Ö Ú Ø ÐÓ g = 4.21 ÙÖ º µº ÑÓ Ð ÓÒØ Ð ÕÙ ØÖ Ñ ÐÐ ÙÖ ÑÓ Ð ÙÒ ÔÓÙÖ ÕÙ ÓÙÔÐ Ú Ð ÙÖ»À µº Ä ÙÖ Ö ÑÑ ÐÐ ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º º ÕÙ ØÖ ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ØÓÙ ØÓ Ð ÚÓÐÙ ÒØ ÙÖ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ º Ò Ð Ó Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒÒ Ð ÙÜ Ñ Ø ÙÜ G µ Ø ÕÙ ÐÐ ÕÙ Ó Ø Ð Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø Ð ÑÓ Ð ÐÙÐ Ð ÐÓÒ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÓÒØ ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ô Ò ÒØ Ð Ô ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ô ÖÙ Ð ÒØ ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ Ú Ð Ñ Ø ÖÙÔØ º Ä ÑÓ Ð Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÓÐ Ö Ò Ú ÐÓÔÔ ÒØ Ô ÙÖ ÓÒÚ Ø Ô Ò ÒØ Ð ÙÖ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ð ÓÒØ ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙÑ Ú ÖÓÒØ Ö ÖÙÔØ º ÈÓÙÖ ÙÒ Ú Ð ÙÖ Ü»À г Ù Ñ ÐÐ ÙÖ ÑÓ Ð Ñ ÒÙ ÕÙ Ò Ð³ ÓÒ¹ Ò ³ Ð ÙÑ Ù Ñ ÒØ ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö Ò ÓÑÔ Ö ÒØ Ð Ø Ð º Ø º

137 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ Ì Ê ËÍÄÌ ÌË ½ ½ º º ÚÓÐÙØ ÓÒ Ù χ 2 Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ñ ÑÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ØÖ ÓÑÔÓ ¹ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ»À ¼º ¾ G Ð Ò Ò ØÖ Ø ÔÐ Ò µ»à ¼º¾ G ÔÓ ÒØ ÐÐ µ»à ¼º ¾ Ø Ö Ø µ Ø»À ¼º¾ Ø Ö Ø ¹ÔÓ ÒØ µº Ø Ð Ø Ð º Ø º º Ø ÙÜ Ö ÒØ ÐÐ Ø ÑÔ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒº Ä Ô ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ø ÔÐÙ ÐÓÒ Ù ÕÙ Ò Ù Ñ ÒØ º ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö ÙÖ Ð ÙÖ º½ Ø º¾ ÔÓÙÖ ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÓÒÒ Ñ Ø ÐÐ Ø Ð ÑÓ Ð Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÔÐÙ Ð ÓÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú ÔÐÙ Ð º Ñ Ñ ÔÓÙÖ ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÓÒÒ Ð ÑÓ Ð ÓÒØ ÔÐÙ ÖÓ ÕÙ Ò»À Ù Ñ ÒØ º ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÐ ÕÙ ØÖ ÑÓ Ð Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ ÐÓ Ì eff Ú Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÙÖ º µº ÇÒ ÚÓ Ø Ð Ö Ñ ÒØ ÕÙ Ð ÑÓ Ð Ú Ð³ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÓÐ Ö Ò ÓÒØ Ô ØÙ Ò Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖº Ä ÙÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú ÓÒØ ØÖÓÔ Ð ÓÑÔ Ö ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ù Ø Ð Ô ØÖÓ ÓÔ º ³ÙÒ ÙØÖ Ø Ð ÑÓ Ð Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÔÐÙ Ö Ò G µ ØÖÓÙÚ ÒØ Ò Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ð ÙÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ ÓÒØ Ò ÓÖ Ú ÙÜ Ù Ø Ð Ô ØÖÓ ÓÔ º ÓÒØ Ù Ð ÑÓ Ð ÕÙ ÓÒØ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ú Ð ÙÖ χ 2 Ì Ð º º µº Ä ÐÙÑ ÒÓ Ø ÑÓ Ð Ø Ò ÓÖ Ú ÐÐ Ù Ø Ô ÖØ Ö Ð Ô Ö ÐÐ Ü À ÔÔ ÖÓ Ó Ø ÐÓ Ä»Ä µ= 0.25 ± 0.03 Ë Ø ÓÒ º½º µº ÑÓ Ð ÓÒØ Ö ÒØ Ù ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÕÙ Ú Ø Ø ØÖÓÙÚ Ô Ö ÞÓØ Ø Ðº ¾¼¼ µ Ø ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ø ÙÒ ØÓ Ð ÔÐÙ Ñ Ú ½º½ Å µ ÚÓÐÙ ÒØ ÙÖ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º Ø ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ Ù Ø ÕÙ ÞÓØ Ø Ðº ¾¼¼ µ ÓÒØ ÙØ Ð Ð ÐÙÑ ÒÓ Ø ÓÑÑ ÓÒØÖ ÒØ Ø ÕÙ ØØ Ú Ð ÙÖ Ù ÓÙÖ ³ Ù Ø

138 ½ ¾ À ÈÁÌÊ º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ µ Ê º º Ö ÑÑ ÐÐ Ñ ÐÐ ÙÖ ÑÓ Ð ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ø ÐÐ Ø»À ¼º¾ Ö Ô Ù Ùص»À ¼º ¾ Ö Ô Ù µ Ø ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ G Ö Ô Ù µ Ø Ö Ô ÖÓ Ø µº Ä Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð Ö ÕÙ Ò Ø Ó¹ Ö ÕÙ Ø Ð ÝÑ ÓÐ Ð ÙÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ Ð º Ä Ð Ò Ò ØÖ Ø ÔÐ Ò Ø Ð ÐÓ Ò ÓÒØ ÔÓÙÖ l ¼ Ð ÔÓ ÒØ ÐÐ Ø Ð ØÖ Ò Ð ÔÓÙÖ l ½ Ð Ø Ö Ø Ø Ð ÖÓ Ü ÔÓÙÖ l ¾ Ø Ð Ø Ö Ø ¹ÔÓ ÒØ Ø Ð Ø Ö ÕÙ ÔÓÙÖ l º

139 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ Ì Ê ËÍÄÌ ÌË ½ º º Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ ÐÓ Ì eff Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ µ Ö ÔÓÙÖ Ð Ö ÒØ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø º Ä ÝÑ ÓÐ ÓÙÚ ÖØ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÕÙ ØÖ ÑÓ Ð Ø ÒØ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ñ ÕÙ º Ò Ø Ò ÒØ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔØ ÓÒØÖ ÒØ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÜ Ñ ÐÐ ÙÖ ÑÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö Ð ÙÜ ÝÑ ÓÐ Ð ÔÐÙ Ù º

140 ½ À ÈÁÌÊ º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ µ Ê º º ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ ÐÓ Ì eff ÔÓÙÖ Ð ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ñ ¹ Ø ÐÐ Ø Ù Ø Ð Ô ØÖÓÓÔ»À ¼º¾ Ö Ô Ù µ Ø ¼º ¾ Ö Ô ÖÓ Ø µ Ø Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ä Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º½º Ä Ð Ò Ò ØÖ Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ð Ð Ò ³ Ó¹ ν ¼µÀÞº

141 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ Ì Ê ËÍÄÌ ÌË ½ º º ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ Ä»Ä µ ¹ ÐÓ Ì eff ÔÓÙÖ Ð ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø Ù Ø Ð Ô ØÖÓÓÔ»À ¼º¾ Ö Ô Ù µ Ø ¼º ¾ Ö Ô ÖÓ Ø µ Ø Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ä Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º½º Ä Ð Ò Ò ØÖ Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ð Ð Ò ³ Ó¹ ν ¼µÀÞº

142 ½ À ÈÁÌÊ º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ µ Ê ÑÓ º ÙÜ ÑÓ Ð Ø ÒØ ØÓÙØ Ð ÓÒØÖ ÒØ ÒÓÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÓÒ Ù Ö ÔÖ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ µ Ö Ñ ½º½¼ ± ¼º¼¾ Å Ö ÝÓÒ ½º ± ¼º¼ Ê ÐÙÑ ÒÓ Ø ½º ¼ ± ¼º½¼ Ä Ì eff ¾¼ ± ¼ à ÐÓ g º¾½ ± ¼º¼¼»À ¼º ¾ ± ¼º¼½ ¾ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ¼º ¼ ± ¼º¼½ º ± ¼º ¼ ÝÖ º º¾ ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÅÓ Ð Ú α ov = 0.20 Ä Ö ÑÑ ÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ Ð µ Ö ÔÖ ÒØ Ú Ö Ø ÓÒ Ö ¹ Ø Ö Ø ÕÙ Ò Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ º Ò Ø ÓÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö Ð Ö Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ö ν = 2 ÑÀÞ Ð Ð Ò l = 0 Ø l = 2 Ö ÔÔÖÓ ÒØ ÕÙ ÒØÖ Ò ÙÒ Ú Ð ÙÖ ØÖ Ð Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒº ÆÓÙ ÚÓÒ ÚÙ Ù Ô ØÖ ÕÙ Ð Ô Ø Ø Ô Ö ¹ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ö l = 0 ¹ l = 2 Ô ÙÚ ÒØ Ú Ò Ö Ò Ø Ú ÔÓÙÖ ØÓ Ð Ò Ò ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ø Ù Ð ÙÖ ÙÖ ³ Ð ÙѺ Ò Ð Ý ÙÒ ÔÓ ÒØ ÖÓ Ñ ÒØ ÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ú ÙÒ ÒÚ Ö ÓÒ ÒØÖ Ð ÑÓ l = 0 Ø l = 2 ÔÓÙÖ Ð ÙØ Ö ÕÙ Ò º ÆÓÙ ÚÓÒ ÚÓÙÐÙ ÚÓ Ö ÙÒ ÓÙØ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ ÔÓÙÖÖ Ø ÓÒ Ù Ö Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú Ø Ò Ö ÔÖÓ Ù Ö Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ Ðº ÆÓÙ ÚÓÒ Ý ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÑÓ Ð ÕÙ Ù Ø Ö Ø Ð Ö ÑÑ ÐÐ µ Ö Ø ÕÙ ÙÖ Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ ÖÓ Ñ ÒØ Ð Ò l = 0 Ø l = 2 ÙÒ Ö ÕÙ Ò ÔÖÓ ¾ ÑÀÞº ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú Ú ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò α ov = 0.20 ÔÓÙÖ Ð ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø ÐÐ Ø»À ¼º¾ Ø ¼º ¾ Ð ÙÜ Ú Ð ÙÖ ³ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ G Ø Ø ÔÓÙÖ Ñ ÐÐ ÒØ ½º¼ ½º¾¼ Å ¹ ÙÖ º Ø º µº Ð Ñ Ñ Ñ Ò Ö ÕÙ Ò Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÒÓÙ ÚÓÒ Ð Ø ÓÒÒ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ Ð ÑÓ Ð Ý ÒØ ÙÒ Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ð ¼ µàþº Ò ØÓÙ ÑÓ Ð ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ú ÐÓÔÔ Ñ Ñ Ò Ð Ñ Ò Ö ÙÖ ½º½¼ Å º Ä ÑÓ Ð Ý ÒØ Ñ ÐÐ ÒØ ½º¼ ½º½ Å ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ØÓ Ð Ò Ò ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º Ä ÙÖ ÓÒ Ò ÒØÖ Ð ³ Ð ÙÑ C Ú Ö ÒØÖ ¼º Ø ¼º º Ä ÔÐÙÔ ÖØ ÑÓ Ð ÑÓÒØÖ ÙÒ ÔÓ ÒØ ÖÓ Ñ ÒØ ÒØÖ Ð Ð Ò l = 0 Ø l = 2 Ò Ð ÑÑ Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ö º

143 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ Ì Ê ËÍÄÌ ÌË ½ º º Ö ÑÑ ÐÐ ÙÜ ÑÓ Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò α ov ¼º¾¼µ ½º¼ Å º ÝÖ»À ¼º ¾ Ö Ô Ù µ Ò ½º¾¼ Å º ¼¾ ÝÖ»À ¼º¾ Ö Ô ÖÓ Ø µº Ä ÝÑ ÓÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º º º ÌÖ ÚÓÐÙØ Ú Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ÐÓ Ì eff ÔÓÙÖ ½º½¼ Å G»À ¼º ¾ Ø Ö ÒØ Ú Ð ÙÖ Ù Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò α ov ¼ ¼º¼¼½ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼½ ¼º¼ ¼º½¼ Ø ¼º¾¼º Ä Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò ØÖ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ð Ð Ò ³ Ó¹ ν ¼µÀÞº Ô Ò ÒØ ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö ÙÖ Ð³ Ü ÑÔÐ ÑÓÒØÖ Ò ÙÖ º Ö Ô Ù µ Ð ÖÓ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ù Ø ÔÓÙÖ ÙÒ Ö ÕÙ Ò ÙÔ Ö ÙÖ ¾ ÑÀÞ Ø Ð ÓÙÖ ÙÖ Ð Ò Ò³ Ø Ô ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÔÖÓ Ù Ø º Ä ÑÓ Ð Ú ÙÒ Ñ ÙÔ Ö ÙÖ ½º½ Å ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ØÓ Ð ÔÐÙ

144 ½ À ÈÁÌÊ º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ µ Ê ÙÒ ÚÓÐÙ ÒØ ÙÖ Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º Ä ÙÖ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø Ú ÐÓÔÔ Ñ Ð ÙÖ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ C Ò³ Ø Ô Þ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÙÖ Ò Ù Ö ÙÒ ÓÒØ ¹ ÒÙ Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÕÙ Ò ÓÒ Ö º ÁÐ Ò³Ý Ô ÔÓ ÒØ ÖÓ Ñ ÒØ ÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ º ÑÓ Ð Ò Ö ÔÖÓ Ù ÒØ Ô ÒÓÒ ÔÐÙ Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ Ð ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö ÙÖ Ð ÙÖ º Ö Ô ÖÓ Ø µº Ö ÙÐØ Ø ÑÓÒØÖ ÒØ ÕÙ Ð Ö ÑÑ ÐÐ µ Ö Ò Ô ÙØ Ô ØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÑÑ Ý ÒØ ÙÒ ÔÓ ÒØ ÖÓ Ñ ÒØ ÒØÖ Ð Ð Ò l = 0 Ø l = 2º Ø Ó Ö ÒØ Ú Ð³ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÓÙ Ð Ø Ó ÖÚ ÔÓÙÖ Ð ÔÓ ÒØ l = 2 Ò Ø ÖÑ ÔÐ ØØ Ò ÖÓØ Ø ÓÒÒ Ð ÓÙ Ý Ø Ðº ¾¼¼ µº Ò Ð Ô ÖØ ÙÔ Ö ÙÖ ØØ Ð Ò Ò Ô ÙØ Ô ØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÑÑ Ø ÒØ Ò Ö Ð Ø ÔÓ ÒØ l = 0º ÆÓÙ ÔÓÙÚÓÒ ÓÒ ÜÐÙÖ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ¼º¾¼º ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ø Ø Ö Ú Ð ÙÖ ÔÐÙ Ô Ø Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò ³Ó Ø Ò Ö ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð ÔÓ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ù ÙÖ Ù Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ØÖ ÚÓÐÙØ Ú ÔÓÙÖ ÑÓ Ð ½º½¼ Å»À ¼º ¾ Ø G Ò Ù Ñ ÒØ ÒØ ÔÖÓ Ö Ú Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò α ov = Ø 0.20º Ä Ö ÙÐØ Ø Ó Ø ÒÙ Ò Ð ÔÐ Ò ÐÓ g ¹ ÐÓ Ì eff ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º º ÒÓÙÚ Ù ÒÓÙ ÚÓÒ Ð Ø ÓÒÒ Ð ÑÓ Ð Ý ÒØ ÙÒ Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ¼ µàþº ÆÓÙ ÚÓÒ ØÖ Ð ÙÖ Ö ÑÑ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ø Ø χ 2 º Ä Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÑÓ Ð ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò Ì Ð º Ø Ð ÙÖ Ö ÑÑ ÐÐ Ò ÙÖ º½¼º Ä ÑÓ Ð Ú α ov = Ø Ò ÓÒØ Ô Ö ÒØ Ð Ù ÑÓ Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º Ì º º Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ½º½¼ Å Ú G Ø»À ¼º ¾ ÔÓÙÖ Ö ÒØ Ú Ð ÙÖ Ù Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º α ov ÝÖµ ÐÓ Ì eff ÐÓ Ä»Ä µ ÐÓ g C Ö cc»ê ¼º¼¼ º º ¼º¾ º¾½ ¾ ¼º ¾ ¼º¼ ¼ ¼º¼½¼ º º ¼º¾ ¾ º¾½ ¼º ½ ¼º¼ ¼º¼ ¼ º º ¼º¾½ º¾½ ¼ ¼º ¾ ¼º¼ ½ ¼º½¼¼ º ½¾ º ¾ ¼º¾¼ º¾½ ¼º ¾ ¼º¼ ÈÐÙ ÓÒ ÓÙØ Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ Ø ÔÐÙ Ð ÐÐ Ø ÑÔ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ñ ÒØ ÒØ ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö ÙÖ Ð ÙÖ º º Ä Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø Ù Ñ ÒØ ÙÖ ÒØ ÙÒ Ô ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÔÐÙ ÐÓÒ Ù º

145 º º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ Ì Ê ËÍÄÌ ÌË ½ º º½¼ Ö ÑÑ ÐÐ ÔÓÙÖ ÑÓ Ð ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ G»À ¼º ¾µ ½º½¼ Å Ú α ov ¼º¼¼ Ö Ô Ò ÙØ Ù µ α ov ¼º¼½ Ö Ô Ò ÙØ ÖÓ Ø µ α ov ¼º¼ Ö Ô Ò Ù µ Ò α ov ¼º½¼ Ö Ô Ò ÖÓ Ø µº Ä ÝÑ ÓÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙÖ º º

146 ½ ¼ À ÈÁÌÊ º Æ Ä Ë ËÁËÅÁÉÍ µ Ê Ä ÑÓ Ð Ý ÒØ ÙÒ Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ ÒÒ ¼ µàþ Ò ÓÒØ Ô Ð Ñ Ñ Ø Ô Ð ÙÖ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÐÓÒ Ð Ú Ð ÙÖ α ov Ø Ò³ÓÒØ ÓÒ Ô Ð Ñ Ñ ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ º Ä ÑÓ Ð Ú α ov < ÓÒØ Ù ÙØ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÉÙ Ò α ov Ù Ñ ÒØ ÒØÖ ¼º¼¼¾ Ø ¼º½¼ Ð ÑÓ Ð ÓÒØ Ò Ð Ô ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø º Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ð ÑÓ¹ Ð Ú α ov > 0.10 ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ØÓ Ð Ò ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð º ØØ Ö Ò Ò Ð Ø ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÜÔÐ ÕÙ Õ٠г ÓÒ Ò ÒØÖ Ð ³ Ð ÙÑ Ó Ø ÔÐÙ Ð ÕÙ Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ù Ñ ÒØ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ø٠г ÚÓÐÙØ ÓÒ Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÕÙ Ò α ov Ù Ñ ÒØ º ÈÓÙÖ Ð Ú Ð ÙÖ α ov ¼º¼¼½ Ø ¼º¼¼¾µ Ð Ò³Ý Ô ³ Ò Ù Ò Ú Ð ÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒº ÈÓÙÖ α ov = ÒÓÙ Ó Ø ÒÓÒ ÙÒ χ 2 Ö Ù Ø ÙÒ Ô Ù ÔÐÙ Ö Ò χ 2 = 1.66µ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÇÒ Ô ÙØ ÚÓ Ö ÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ ÙÖ º½¼µ ÕÙ Ð Ð Ò l = 0 ¹ l = 2 ÓÒØ ØÖ ÔÖÓ ÔÓÙÖ Ð ÙØ Ö ÕÙ Ò º ÈÓÙÖ α ov = 0.01 Ð Ò ÖÓ ÒØ ÔÓÙÖ ÙÒ Ö ÕÙ Ò ¾º ÑÀÞ ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö ÙÖ Ð Ö ÑÑ ÐÐ ÙÖ º½¼µº Ä Ú Ð ÙÖ Ù χ 2 Ø ½º ÐÐ Ù Ñ ÒØ º ÈÓÙÖ Ú Ð ÙÖ ÔÐÙ Ö Ò α ov ÙÔ Ö ÙÖ ¼º¼½µ Ð ÔÓ ÒØ ÖÓ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ù Ø ÔÓÙÖ Ö ÕÙ Ò ÔÐÙ Ð º ØØ Ö ÕÙ Ò Ñ ÒÙ ÕÙ Ò α ov Ù Ñ ÒØ ÙÖ º½¼µº Ä Ú Ð ÙÖ χ 2 ÓÒØ ÔÐÙ Ö Ò Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¾º Ø º¼ º ÑÓ Ð Ò³ Ù Ø ÒØ Ô Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ò ÓÒÐÙÖ ÕÙ ÔÓÙÖ µ Ö Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ø Ô Ø Ø Ò Ö ÙÖ ¼º¼½º Ö ØØ Ò ÐÝ Ñ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÙ ÓÒÒ Ö ÓÖØ ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð ÔÓ Ð Ø ³ÙÒ ÜØ Ò ÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø ØØ ØÓ Ð Ô Ö Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ ØØ ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò Ö ÙÖ ½± г ÐÐ ÙØ ÙÖ ÔÖ ÓÒº Ô Ò ÒØ Ø ÒØ ÓÒÒ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖ Ø Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò ÓÑÑ ÙÒ ÑÔÐ ÜØ Ò ÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø ÒÓÙ Ò ÔÓÙÚÓÒ Ô ÜÐÙÖ ³ ÙØÖ ØÝÔ Ñ Ð Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº º ÓÒÐÙ ÓÒ ÆÓÙ ÚÓÒ Ö Ð ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ Õ٠г ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö µ Ö º ÆÓÙ ÚÓÒ ÙØ Ð Ð Ñ Ñ Ñ Ø Ó ÓÑÔ Ö ÓÒ ÑÓ Ð ¹ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÕÙ Ò Î ÙÐ Ö Ø Ðº ¾¼¼ µº ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ö ÒØ Ö ÑÓ Ð Ò Ø Ø ÒØ Ö ÒØ ÓÑÔÓ ¹ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ»À µ ÔÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ð ÙÖ Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒº ÆÓÙ ÚÓÒ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ Ö Ð ÑÓ Ð Ù Ø ÒØ Ù Ñ ÙÜ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ð³ ØÓ Ð Ø Ð Ö ÑÑ ÐÐ Ù Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ó ¹ Ø ÒÙ ÑÓ Ð Ø ÒØ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ñ ÕÙ º È ÖÑ ÑÓ Ð ÒÓÙ ÚÓÒ Ö ÙÜ Ù Ø ÒØ Ð Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ Ù Ø Ð Ô ØÖÓ ÓÔ º

147 º º ÇÆ ÄÍËÁÇÆ ½ ½ ØØ Ñ Ò Ö Ð ÓÒØÖ ÒØ Ñ ÕÙ Ó Ð Ô ØÖÓ ÓÔ ÒÓÙ ÓÒØ Ô ÖÑ ÓÒØÖ Ò Ö ØÖ ÔÖ Ñ ÒØ Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ ØØ ØÓ Ð º ÆÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ µ Ö Ò ÔÐÙ ³ ØÖ ÙÖÑ Ø ÐÐ ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÑÔÓÖØ ÒØ ¼º ¼µ ÓÑÑ Ð ÔÖ ÚÓ Ø Ð ÐÓ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü º ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ð ÕÙ Ð Ñ Ð Ö ÝÓÒ Ø Ð³ Ú ÙÒ ÖÖ ÙÖ Ò Ö ÙÖ ½¼±º ÆÓ Ö ÙÐØ Ø ÓÒØ Ö ÒØ ÙÜ ØÖÓÙÚ Ô Ö ÞÓØ Ø Ðº ¾¼¼ µ Ò Ð ÙÖ ÔÖ Ñ Ö Ò ÐÝ ØØ ØÓ Ð º Ä Ö Ò Ú ÒØ Ò Ö Ò Ô ÖØ Ù Ø ÕÙ ÞÓØ Ø Ðº ¾¼¼ µ ÓÒØ ÙØ Ð Ð ÐÙÑ ÒÓ Ø ÓÑÑ ÓÒØÖ ÒØ º Ë Ú Ð ÙÖ ÔÙ Ø ÑÓ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ù Ò ÐÝ ÑÓ Ð Ú Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖ ØÖ Ø ÓÑÑ ÙÒ ÜØ Ò ÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø º ÆÓÙ ÚÓÒ ÙØ Ð Ð³ Ø Ø ÓÖ Õ٠г ÔÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÔÓÙÖ ÓÒØÖ Ò Ö Ø ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ÆÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ ØØ ÜØ Ò ÓÒ Ø Ø ÔÓ Ð Ñ ÕÙ Ø ÐÐ Ú Ø ØÖ Ò Ö ÙÖ ½± г ÐÐ ÙØ ÙÖ ÔÖ ÓÒº ØØ ØÙ Ô ÖÑ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÓÒØÖ Ö Ñ ÒØ ι ÀÓÖ µ Ö ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÐÐ ÕÙ ÔÖ Ø Ô Ö Ð ÐÓ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü º

148

149 ÈÙ Ð Ø ÓÒ Æ Û Ñ Ò ÐÝ Ó Ø ÜÓÔÐ Ò Ø¹ Ó Ø Ø Ö µ Ö ØÖ Ø Åº ËÓÖ ÒÓ ² ˺ Î ÙÐ Ö ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ ÙÒ ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø ÐРг ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö µ Ö Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ñ Ø Ó ÔÓÙÖ Ð³ Ò ÐÝ Ñ ÕÙ Ø Ò ÔÖ Ò ÒØ Ò ÓÑÔØ Ð ÒÓÙÚ ÐÐ Ú Ð ÙÖ Ð Ô Ö ÐÐ Ü À ÔÔ ÖÓ º Ä ÙØ Ø ³Ó Ø Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÔÖ ÔÓÙÖ ØØ ØÓ Ð Ø ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ Ý ÓÑÔÖ ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÒÓÙÚ ÙÜ ÑÓ Ð Ø ÐÐ Ö Ò ÙÒ ÑÑ ÔÐÙ Ð Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ÞÓØ Ø Ðº ¾¼¼ µ Ú Ö ÒØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ»À Ø µ Ú Ø Ò ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ Ð ÙÖ Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ø ÒÓÙ Ð ÚÓÒ ÓÑÔ Ö ÙÜ Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ÈÓÙÖ ÕÙ Ò Ñ Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ Ö Ð ÑÓ Ð Ù Ø ÒØ Ð Ñ ÙÜ Ð Ö ÑÑ ÐÐ º Ò Ù Ø Ò ÓÑÔ Ö ÒØ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ú Ð Ö Ú Ø Ø Ð ÐÙÑ ÒÓ Ø ÑÓ Ð Ú Ð Ó Ø ³ ÖÖ ÙÖ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÔÖ ÔÓÙÖ ØØ ØÓ Ð º ÌÓÙØ ³ ÓÖ ÒÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ Ð ÑÓ Ð Ù Ø ÒØ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ð Ö ÑÑ ÐÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ Ú Ð ÙÖ Ñ Ø Ö ÝÓÒ Ú ÙÒ Ò ÖØ Ø٠гÓÖ Ö ½ ±º Ò Ò Ð ÓÑÔ Ö ÓÒ Ú Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ ÒÓÙ Ô ÖÑ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ò ÔÐÙ ÙÖÑ Ø ÐÐ Ø µ Ö ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð³ÓÖ Ö ¼º º ÒÓÙ ÐÓÖ Ô ÖÑ Ø ÖÑ Ò Ö Ú Ð ÙÖ ÔÖ ÙØÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ð Ñ Ð Ö ÝÓÒ Ø Ð³ º ¾¼¼ ÓÙÑ ØÖÓÒÓÑÝ Ò ØÖÓÔ Ý ½

150

151 Astronomy & Astrophysics manuscript no. sv08v7 c ESO 2009 September 11, 2009 New seismic analysis of the exoplanet-host star µ Arae. M. Soriano and S. Vauclair Laboratoire d Astrophysique de Toulouse et Tarbes - UMR Université de Toulouse - CNRS, 14, av. E. Belin, Toulouse, France Received ; accepted ABSTRACT Aims. We present detailed modelling of the exoplanet-host star µ Arae, using a new method for the asteroseismic analysis, and taking into account the new value recently derived for the Hipparcos parallax. The aim is to obtain precise parameters for this star and its internal structure, including constraints on the core overshooting. Methods. We computed new stellar models, in a wider range than Bazot et al. (2005), with various chemical compositions ([Fe/H] and Y), with or without overshooting at the edge of the core. We computed their adiabatic oscillation frequencies and compared them to the seismic observations. For each set of chemical parameters, we kept the model which represented the best fit to the echelle diagram. Then, by comparing the effective temperatures, gravities and luminosities of these models with the spectroscopic error boxes, we were able to derive precise parameters for this star. Results. First we find that all the models which correctly fit the echelle diagram have the same mass and radius, with an uncertainty of order one percent. Second, the final comparison with spectroscopic observations leads to the conclusion that, besides its high metallicity, µ Arae has a high helium abundance of order Y=0.3. Knowing this allows finding precise values of all the other parameters, mass, radius and age. 1. Introduction Asteroseismology of solar type stars is a powerful tool which can lead to precise determination of the stellar parameters, when associated with spectroscopic observations. Special tools have been developed for this purpose, which help constraining the internal structure of the stars from the observable acoustic frequencies. In previous papers (e.g. Vauclair et al. 2008), we have developed a systematic way of comparing models with observations. First, for each set of chemical composition [Fe/H] and Y, we compute evolutionary tracks and derive for each mass the model which fits the best the observed large separation. Then we keep only the model which also fits the best the observed echelle diagram. We finally have a set of models correctly fitting the seismic data, with different abundances. Interestingly enough, all these models have the same mass and radius, and of course the same log g (see Vauclair et al for the starιhor). We place all these models in a log g - log T e f f diagram, together with the observed spectroscopic boxes. Finally we only keep the models which satisfy all the constraints, including seismology and spectroscopy. In this way, we find precise values of the stellar parameters. Here we test this method on the exoplanet-host starµarae (HD ). This G3 IV-V type star is at the center of a fourplanets system: Send offprint requests to: M. Soriano Correspondence to: msoriano@ast.obs-mip.fr µ Arae b, a 1.7 M J planet with an eccentric orbit (e=0.31) and a period P 638 days (Butler et al. 2000; Jones et al. 2002). µ Arae c, a 14 M planet with P 9.5 days. (Santos et al. 2004b). µ Arae d, recently discovered by Pepe et al. (2007), with a period P 310 days and a mass of 0.52 M J. µ Arae e, a long period planet (P 11.3 years) with a mass of 1.81 M J (Jones et al. 2002; McCarthy et al. 2004; Pepe et al. 2007). The star s overmetallicity has been established by many groups of observers: Bensby et al. (2003), Laws et al. (2003), Santos et al. (2004a), Santos et al. (2004b) and Fischer & Valenti (2005) (see Table 1). µ Arae was observed with the HARPS spectrometer at La Silla Observatory during eight nights in June 2004 to obtain radial velocity time series. The analysis of these data led to the discovery of up to 43 frequencies that could be identified with p-modes of degreel=0 to 3 (Bouchy et al. 2005). A detailed modelling was given by Bazot et al. (2005). They computed models with two different assumptions that could explain the observed overmetallicity: overabundance of metals in the original interstellar cloud or accretion of planetary material onto the star. They tried to obtain evidence of the origin ofµarae s overmetallicity. The results were not conclusive in that respect, as the differences were not large enough to decide between the two scenarii. Later on, other evidences were obtained that the

152 2 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae Table 1. Effective temperatures, gravities, and metal abundances observed forµarae. [Fe/H] ratios are given in dex. T eff (K) log g [Fe/H] Reference 5800± ± ±0.10 Bensby et al ± ± ±0.03 Laws et al ± ± ±0.04 Santos et al. 2004a 5813± ± ±0.05 Santos et al. 2004b 5784± ± ±0.03 Fischer & Valenti 2005 observed overmetallicity in exoplanet host stars must be original, not due to accretion (see Castro et al. 2009). We computed new models, testing various values of the original metallicity and helium abundance. We compared the parameters of these models with those obtained from spectroscopy, and introduced the new value of the Hipparcos parallax, as given by van Leeuwen (2007). We also analysed models with overshooting at the edge of the stellar core. In some of these models, negative small separations appear so that there is a crossing point in the echelle diagram for the linesl=0 - l=2. This effect was specially discussed in Soriano & Vauclair (2008), who showed that all solar type stars go through a stage where the small separations become negative in the observable range of frequencies. Here, we present a direct application of this theoretical effect, which is used to constrain core overshooting. 2. Stellar parameters 2.1. Spectroscopic constraints In Bazot et al. (2005), the effective temperatures and luminosities of the models were the first parameters used for comparisons with the observations. We now prefer to compare the models with the spectroscopic observations in a more consistent way, by using the triplets T e f f, log g and [Fe/H]. These three parameters are indeed consistently given be the same observers, while the luminosities are obtained in a different way, using Hipparcos parallaxes. Here we compare the luminosities as a second step. For this reason, we do not use exactly the same set of references as given by Bazot et al. (2005) as we only keep those which give constraints on the surface gravity (see Table 1) The luminosity ofµarae The visual magnitude of µ Arae is V = 5.15 (SIMBAD Astronomical data base). Van Leeuwen (2007) carried out a new analysis of the Hipparcos data. He derived a new value of the parallax ofµarae:π=64.48±0.31 mas, which is lower than the first one derived by Perryman et al. (1997) and has a reduced error. Using this new value, we deduced an absolute magnitude of M V = 4.20±0.04. From Table 1, we have an average value of effective temperature forµarae of T e f f = 5800±100 K. Using the tables of Flower (1996), we obtained BC = 0.08±0.02 for the bolometric correction. With a solar absolute magnitude of M bol, = 4.75 (Lejeune et al. 1998), we deduced forµarae a luminosity of log (L/L )= 0.25±0.03. This value is lower than the one derived by Bazot et al (2005) in their analysis of this star, namely log (L/L )= 0.28± Seismic constraints The star µ Arae was observed with the HARPS spectrograph, dedicated to the search for exoplanets by the means of precise radial velocity measurements. HARPS is installed on the 3.6m- ESO telescope at la Silla Observatory, Chile. These measurements led to the identification of 43 p-modes of degreesl=0 tol=3 with frequencies between 1.3 and 2.6 mhz (Bouchy et al. 2005). The frequency resolution of the time-series was 1.56 µhz, and the uncertainty on the oscillation modes has been evaluated to 0.78µHz. The mean large separation between two modes of consecutive order, computed in the observed range of frequencies, is ν 0 = 90µHz, with an uncertainty of 1.1 µhz. The small separations present variations which are clearly visible in the echelle diagram. Their average value in the observed range of frequencies is<δν>= 5.7µHz. 3. Evolutionary tracks and models We computed evolutionary tracks using the TGEC code (Hui Bon Hoa 2008; Richard et al. 1996), with the OPAL equations of state and opacities (Rogers & Nayfonov 2002; Iglesias & Rogers 1996) and the NACRE nuclear reaction rates (Angulo et al. 1999). For all models, the microscopic diffusion was included as in Paquette et al. (1986) and Michaud et al. (2004). The treatment of the convection is done in the framework of the mixing length theory and the mixing length parameter is adjusted as in the Sun:α=1.8 (Richard et al. 2004). We also computed cases withα=1.7 andα=1.9 to test the corresponding uncertainties. We found that for 1.10 M andα=1.7, the track is very close to that of 1.12 M andα=1.8. On the other side, the 1.10 M andα=1.9 track is close to the 1.08 M andα=1.8 one. This was taken into account in the determination of the uncertainties on the final results (Section 5). From the literature, we found two values for the metallicity ofµarae: [Fe/H]=0.29 (Laws et al. 2003, Fischer & Valenti 2005) and [Fe/H]=0.32 (Bensby et al. 2003, Santos et al. 2004a and 2004b). For each value of [Fe/H], we first computed two series of evolutionary tracks, for two different values of the helium abundance: a helium abundance increasing with Z as given by the Isotov & Thuan (2004) law for the chemical evolution of the galaxies: we label this value Y G. a solar helium abundance Y = The results obtained in the log g - log T e f f and log (L/L ) - logt e f f planes are displayed in Fig.1 and 2. Each graph corresponds to one value of the metallicity. On each graph, the five error boxes are plotted but the ones that correspond to the same value of [Fe/H] as given by the groups of observers are drawn in thicker lines. We then computed two similar series including overshooting at the edge of the convective core. Here overshooting is

153 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae 3 Fig. 1. Evolutionary tracks in the log g - log T e f f plane, for the two values of metallicities found in the literature: [Fe/H]=0.29 (left panels) and [Fe/H]=0.32 (right panels). The five error boxes shown are from: Bensby et al (asterisks), Laws et al (crosses), Santos et al. 2004a (diamonds), Santos et al 2004b (triangles), and Fischer & Valenti 2005 (black triangles). The represented masses are: 1.06, 1.08, 1.10, 1.12, 1.14, 1.16, 1.18, and 1.20 M. The horizontal thick line represent the iso- ν 0 90µHz line, i.e. the models that have a mean large separation of exactly 90µHz. Fig. 2. Evolutionary tracks in the log (L/L ) - log T e f f plane, for the two values of metallicities found in the literature: [Fe/H]=0.29 (left panels) and [Fe/H]=0.32 (right panels). The represented error boxes and masses are the same as in Fig. 1.

154 4 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae simply described as an extension of the convective core by a lengthα ov H P, whereα ov is the overshooting parameter, and H P the pressure scale height. In these two series, the overshooting parameter is fixed atα ov = 0.2 (Fig. 7 and 8). Finally, we tested more precisely the seismic constraints on overshooting by varyingα ov in small steps between 0.0 and 0.2, for models of masses 1.1 M. 4. Seismic tests and results 4.1. Models without overshooting We computed the adiabatic oscillation frequencies for a large number of models along each evolutionary track with the PULSE code (Brassard & Charpinet 2008). These frequencies were computed for degreesl=0 tol=3, and for radial orders typically ranging from 4 to 100. For each track, we selected the model that has a mean large separation of 90µHz, computed in the same frequency range as the observed one. We plotted on each graph (Figs. 1 and 2) the corresponding iso- ν 0 90µHz line. The parameters of these models are given in Tables 2 to 5. We can check that all the models which fit the same large separation present the same value of the parameter g/r or M/R 3 where g, M and R are respectively the gravity, mass and radius of the star. This is due to the fact that the large separation approximately varies like c/r, where c represents the mean sound velocity in the star, which itself approximately varies like T/µ. Using the usual scaling for the stellar temperature T µm/r, we obtain that (c/r) 2 varies like M/R 3, independently of the chemical composition. Note on Fig. 1 that the iso- ν 0 90µHz lines never cross Laws et al. (2003) or Santos et al. (2004a) error boxes. Models with ν=90µhz have a value of log g much lower than the one derived by these two groups of observers. Kjeldsen et al (2008) discussed possible corrections on the frequencies, due to near-surface effects. They gave a parameterisation formula including three parameters, in which two of them can be deduced from the third one. As this parameter is not known, they suggest using for all solar type stars the same value as deduced for the Sun, in first approximation. They find that the induced shifts increase with the frequency values, so that it can slightly modify the computed mean large separation, according to the frequency range. In our echelle diagrams for µ Arae, the models and the observations correctly fit for all lines without any such correction in the observed range of frequencies (Fig. 4). We deduce that these near-surface effects are negligible in our case. For each values of [Fe/H] and Y, we searched, among the models which fit a mean large separation of 90µHz, the one which also gives the best fit to the observational echelle diagram. In order to find this best model, we performed aχ 2 minimization for the echelle diagram of the models. Tables 2 to 5 show the parameters of some models close to the minimum ofχ 2. We used the following expression: χ 2 = 1 N N ( ) 2 νth (i) ν obs (i), (1) i=1 σ obs whereν obs (i) is the observational modulated frequency,ν th (i) its theoretical counterpart, andσ obs the uncertainty of the observed frequencies, for which we used the value given by Bouchy et al. (2005): 0.78µHz. For all sets of chemical composition, theχ 2 values present a minimum for models of mass M = 1.10 M, radius R=9.46x10 10 cm, and gravity log g=4.21 (Fig. 3). These models represent the four best models, one for each couple ([Fe/H], Y). Their echelle diagrams are displayed in Fig. 4. For a better visibility of the figures, we give the observed mode frequencies separately and the modelled ones as lines. The fact that their masses, radii and thus gravities are identical is remarkable and has important consequences which will be discussed below. They all lie at the beginning of the subgiant branch. In the case of Y G, for both values of the metallicity, the models computed along the evolutionay track have a convective core during the main sequence phase which disappears at the present stage, leaving a helium core with sharp edges. Models with a solar helium abundance Y do not develop a convective core during their evolution, they have a helium core with sharp boundaries. For a fixed value of [Fe/H], the age of the best model decreases when the helium abundance increases (compare respectively Tables 2 and 4 and Tables 3 and 5). This is due to the difference in the evolutionary time scales according to the value of Y. The main sequence time scale increases for increasing helium abundance. As can be seen in Figs. 1 and 2, for a given value of [Fe/H], the effect of a smaller helium abundance is to move the models to lower effective temperatures. For a given value of Y, the models are cooler for a higher metallicity. We plotted these four models in a log g - log T e f f plane, together with the spectroscopic error boxes (Fig. 6). We clearly see that models with the lower helium abundance Y (models 2 and 4) lie outside the spectroscopic error boxes. Their effective temperatures are too small compared to the values derived by the spectroscopists. On the other hand, the models computed with a high helium content (models 1 and 3) lie right inside the error boxes: their external parameters correspond to the ones derived by spectroscopy. These are also the models with the lowestχ 2 (see Tables 2 to 5). The luminosities of all these models are in agreement with the one derived from the Hipparcos parallax, namely log (L/L )= 0.25±0.03 (Section 2.2). The echelle diagram for the best model 3 is also presented in Fig. 5 in a more detailed way, with all the observed and modelled oscillation modes given separately. These models differ from the overmetallic model proposed by Bazot et al. (2005), which corresponded to a more massive star (1.18 M ) on the main sequence. One of the reasons for this difference is related to the fact that in Bazot et al. (2005) the luminosity was the basic parameter used for comparisons, and that its value has been modified. The present analysis is more precise and consistent in the comparison with the observations. Another reason for the different results obtained here is related to the helium content of the star. We find that only models with a high helium value (Y=0.30) correctly reproduce all the observations. The helium abundance, which was kept as a free parameter by Bazot et al. (2005), is now well constrained. This determination of Y represents an important improvement.

155 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae 5 Fig. 3. Evolution of theχ 2 value with the mass of the models, between 1 M and 1.20 M, for the four sets of chemical composition: [Fe/H]=0.32, Y G (solid line), [Fe/H]=0.29, Y G (dotted line), [Fe/H]=0.32, Y (dashed line), and [Fe/H]=0.29, Y (dotted-dashed line). Table 2. Characteristics of some overmetallic models with [Fe/H]=0.32 and Y G Mass Age (Gyr) log g log T eff log L/L R (x10 10 cm) M/R 3 χ Table 3. Characteristics of some overmetallic models with [Fe/H]=0.29 and Y G Mass Age (Gyr) log g log T eff log L/L R (x10 10 cm) M/R 3 χ Interestingly enough the case of µ Arae is different from that ofιhor, discussed by Vauclair et al. (2008). The asteroseismic study ofιhor showed that its helium abundance was low (Y=0.255), comtrary to that ofµarae. These two different results have interesting implications for the details of the nuclear processes which lead to the observed overmetallicity. This will be discussed in the conclusion Constraints on core overshooting Models withα ov =0.20 The observational echelle diagram presents characteristic variations in the small separations. We were specially interested in the fact that aroundν=2 mhz the linesl=0 andl=2 come close to each other, so that the small separation is smaller that average. In a previous paper (Soriano & Vauclair 2008), we noticed that the small separations betweenl=0 andl=2 may vanish and become negative in stars at the end of the main sequence phase, due to their helium cores. In such a case, there is a crossing point in the echelle diagram, with an inversion between l = 0 and l = 2 modes at high frequencies. Here we wanted to check whether adding an overshooting layer at the edge of the convective core could lead to such an effect and reproduce the observed echelle diagram in a different way. We tried to find a model that could fit the observational echelle diagram and present a crossing point between the lines l=0 -l=2at a frequency close to 2 mhz. We computed evolutionary tracks with an overshooting parameterα ov = 0.20, for the two values of metallicity: [Fe/H]=0.29 and 0.32, the two values of helium abundance: Y G and Y, and for masses ranging from 1.06 to 1.20 M (Figs. 7 and 8). As for the cases without overshooting, we picked up the models with a large separation of 90µHz and draw curves of iso large separations.

156 6 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae Table 4. Characteristics of some overmetallic models with [Fe/H]=0.32 and Y Mass Age (Gyr) log g log T eff log L/L R (x10 10 cm) M/R 3 χ Table 5. Characteristics of some overmetallic models with [Fe/H]=0.29 and Y Mass Age (Gyr) log g log T eff log L/L R (x10 10 cm) M/R 3 χ Fig. 4. Echelle diagrams for the best models with a metallicity of [Fe/H]=0.29 (upper panels) and [Fe/H]=0.32 (lower panels), and an helium abundance Y G (left panels) and Y (right panels). The lines represent the theoretical frequencies, and the symbols their observational counterpart. Solid lines and diamonds are for l=0, dotted lines and triangles are for l=1, dashed lines and crosses are for l=2, and dotted-dashed lines and asterisks are forl=3. In all these models, a convective core develops, even for masses smaller than 1.10 M. Models with masses ranging from 1.06 to 1.14 M lie at the end of the main sequence. They have a high central helium abundance Y C, between 0.8 and 0.9. Most of these models present a crossing point between thel=0 andl=2 curves, in the observed frequency range. However, as can be seen on the example shown in Fig. 9 (left panel), the computed lines do not reproduce the observed ones. Models with masses higher than 1.14 M correspond to younger stars, still on the main sequence. Their convective core is well developed but their helium-content Y C is not high enough to induce a discontinuity in the sound speed profile and

157 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae 7 Fig. 5. Echelle diagram for the best model with a metallicity of [Fe/H)=0.32 and a helium abundance Y G. Crosses and plus signs are for the observed frequencies, open circles and squares are for their theoretical counterpart. Fig. 6. Representation of the five spectroscopic error boxes presented in Table 1 for the two values of metallicity: [Fe/H]=0.29 (filled circles): Laws et al. 2003, Fischer & Valenti 2005; and [Fe/H]=0.32 (filled triangles): Bensby et al. 2003, Santos et al. 2004a and 2004b. The open symbols represent the four best models described in Table 2. They correspond to the two values of metallicities given above, and to two different values of helium abundances: Y G (Y=0.301) and Y (Y=0.271). For models with the same [Fe/H], the one with a high Y is on the left, and the one with the low Y is on the right. so to obtain negative small separations in the considered range of frequencies. There is no crossing point in their echelle diagram. These models do not fit the observational echelle diagram either, as can be seen in the example on Fig. 9 (right panel). These results show that the observed frequencies inµarae cannot be interpreted in terms of a crossing point between the l=0 andl=2 curves. This is consistent with the interpretation of the doublets observed in thel=2 curve in terms of rotational splitting (Bouchy et al. 2005). In this framework, the upper part of this curve could not be misinterpreted asl=0 frequencies. As overshooting withα ov = 0.20 is excluded, we decided to test smaller overshooting parameters to obtain a strong constraint on the possibility of overshooting in this star Constraints on the overshoot parameter We computed new evolutionary tracks for models with 1.10 M, [Fe/H]=0.32, and Y G, increasing gradually the overshoot parameter:α ov = 0.001, 0.002, 0.005, 0.01, 0.04, 0.10 and The results obtained in the log g - log T e f f plane are displayed in Fig 10. Here again, we picked up the models with a mean large separation of 90µHz (iso- ν line on the tracks). We plotted their echelle diagrams and performedχ 2 tests. The

158 8 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae Fig. 7. Evolutionary tracks in the log g - log T e f f plane, for the two values of metallicities found in the literature: [Fe/H]=0.29 (left panels) and [Fe/H]=0.32 (right panels), with overshooting at the edge of the core (α ov =0.20). The represented error boxes and masses are the same as in Fig. 1. Fig. 8. Evolutionary tracks in the log (L/L ) - log T e f f plane, for the two values of metallicities found in the literature: [Fe/H]=0.29 (left panels) and [Fe/H]=0.32 (right panels), with overshooting at the edge of the core (α ov =0.20). The represented error boxes and masses are the same as in Fig. 1.

159 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae 9 Fig. 9. Echelle diagrams for two models with overshooting (α ov =0.20): 1.06 M, Gyr, [Fe/H]=0.32 (left panel), and 1.20 M, Gyr, [Fe/H]=0.29 (right panel). The symbols are the same as in Fig. 4. internal characteristics of four of these models are presented in Table 6 and their echelle diagram are displayed in Fig. 11. Models withα ov = and are undistinguishable from models without overshooting. The more we add overshooting at the edge of the stellar core, the more the evolutionary time scales increase, as can be seen in Fig. 10. The developpement of the convective core is increased during a longer main sequence phase. The models that have a mean large separation of 90µHz are not in the same evolutionary stage depending on the value ofα ov, and they do not have the same internal structure. Models withα ov < are at the beginning of the subgiant branch, as well as models without overshooting. Whenα ov increases, with a value between and 0.10, the models are in the phase of contraction of the convective core. And finally, forα ov > 0.10, the models are at the end of the main sequence. This difference of evolutionary stages explains that the central helium abundance is lower for models with a higher overshooting parameter. We studied the evolution of the oscillation frequencies whenα ov increases. For small values of overshooting (α ov = andα ov = 0.002), there is no visible influence on the oscillations frequencies. Forα ov = 0.005, the reducedχ 2 is a little higher (χ 2 = 1.66) than for the model without overshooting. We can see on the echelle diagram (Fig. 11, upper left panel) that the linesl=0 -l=2 are closer for high frequencies. Forα ov = 0.01, these lines cross atν=2.6 mhz, as can be seen in the echelle diagram (Fig. 11, upper right panel). The χ 2 has increased: For larger values ofα ov (α ov > 0.01), the crossing point appears for lower frequencies decreasing for increasingα ov (Fig. 11, lower panels). Theirχ 2 value is high (2.45 and 3.04, respectively). These models do not fit the observations. We conclude from these computations that the overshooting parameter is small inµarae, less than Let us remind however that in these computations, overshooting is simply treated as an extension of the convective core. We have demonstrated that the seismic analysis of stars is able to give precise constraints on their central mixed zone. This does not exclude other kinds of mild macroscopic motions, plumes for instance, provided they do not lead to complete mixing. 5. Summary and Discussion This new analysis of the star µ Arae confirms that seismology is very powerful and can provide precise values of the stellar parameters, with the help of spectroscopy to raise the final degeneracy between the best computed models. The procedure we use may be summarized as follows. We need at least the identification ofl=0, 1 and 2 observational modes, and hopefully alsol=3 as in the present paper. Detailed comparisons of observed and computed modes are necessary. Global values of the so-called large and small separations are not precise enough to derive these parameters. The comparisons of detailed frequencies are needed to take into account the fluctuations and modulations induced by the internal structure of the star, in particular by the central mixed zone. In this framework, we first compare models and observations in the log g - log T e f f plane. We may check that, whatever the chemical composition, models with the same large separation have the same value of the M/R 3 ratio, as predicted by the asymptotic theory. We then go further, by computing for various chemical compositions (Y, [Fe/H]) the model which fits the best the observed echelle diagram, using aχ 2 minimization process. One of the most important results at this stage, which was already pointed out for the case of the starιhor by Vauclair et al (2008), is that these best models, obtained for various chemical compositions, all have the same mass, radius, and thus gravity. With this method, mass and radius are obtained with one percent uncertainty. On the other hand, the age of the star still depends on the chemical composition, basically the helium value. Then we compare the position of these best models with the spectroscopic error boxes in the log g - log T e f f diagram. This leads to the best choice of the chemical composition. In particular, we now constrain the Y value, which represents an important improvement compared to previous studies.

160 10 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae Fig. 10. Evolutionary tracks for models of 1.10 M, with Y G, [Fe/H]=0.32, and a variable overshooting parameterα ov. The tracks are for: α ov =0, 0.001, 0.002, 0.005, 0.01, 0.04, 0.10, and The horizontal thick line represent the iso- ν 90µHz line. Table 6. Characteristics of the overmetallic models of 1.10 M, [Fe/H]=0.32, for several values of the oovershooting parameter. α ov Age (Gyr) log T e f f log (L/L ) log g Y C r cc /R Finally we check that the luminosity of the best of all models is compatible with that derived from the apparent magnitude and the Hipparcos parallax. The parameters found for µ Arae are given in Table 7. The uncertainties have been tentatively evaluated by allowing a possibleχ 2 increase of 0.1 for each set of models and an uncertainty of 0.1 on the mixing length parameter. They take into account the fact that all computations done with various sets of chemical parameters converge on the same model values. The new model is different from that given in Bazot et al. (2005). Besides the constraint on the Y value, the basic reason is that in this previous paper the comparisons were only based on the stellar luminosity, which was wrong due to the Hipparcos parallax which has later been modified. Also the method used at that time was not as precise as the one we now use. Note that the scaling of parameters for stars in which the seismic modes cannot be precisely identified may lead to wrong results. This is the case, for example, for the mass proposed by Kallinger et al. (2008) for the starµarae, which is much too large (1.23 M ). We also performed an analysis of the size of the mixed core, by testing the implications of overshooting on the mode frequencies. We found a strong constraint on the possibility of core overshooting, treated as an extension of convection: the size of this extension must be less than 0.5 % of the pressure scale height (overshooting parameter). This does not exclude other kinds of mild boundary effects at the edge of the core, provided that they do not lead to strong mixing. At the present time, we were able to perform this deep seismic analysis on two solar type stars hosting planets, both with a large metallicity (about twice solar): ι Hor (Vauclair et al 2008) and µ Arae (this paper). In both cases, precise stellar parameters could be obtained. We found however an important difference between these two overmetallic stars. In ι Hor, the helium abundance is low, even lower than the solar value, in accordance with the helium value determined for the Hyades stellar cluster. As other observational parameters also coincide, we concluded that ι Hor is an ejected member of the Hyades. The reason why the helium abundance is so low in these stars while the metallicity is high is still a mystery, although it certainly depends on the mass of the stars which polluted the original nebula. InµArae, on the other hand, the helium abundance is large, as expected from the usual laws for the chemical evolution of galaxies (Isotov & Thuan 2004). This star was formed in a nebula which suffered normal pollution from stars, with proportional yields of helium and metals. The fact that, besides all other results and constraints, seismology can lead to precise values of the helium abundances in solar type stars, where helium cannot be directly derived from spectroscopy, represents a success which may be of importance for the study of the chemical evolution of our Galaxy.

161 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae 11 Fig. 11. Echelle diagram for two overmetallic models ([Fe/H]=0.32) of 1.10 M, with Y G and:α ov =0.005 (upper-left panel),α ov =0.01 (upperright panel),α ov =0.04 (lower-left panel) andα ov =0.10 (lower-right panel). The symbols are the same as in Fig. 4. Table 7. Parameters ofµarae M/M 1.10±0.02 T e f f (K) 5820±50 R/R 1.36±0.06 [Fe/H] 0.32±0.02 log g 4.215±0.005 Y 0.30±0.01 L/L 1.90±0.10 Age (Gyr) 6.34±0.80 References Angulo C., Arnould M., Rayet M., et al. 1999, Nuclear Physics A 656, 3, Bazot, M., Vauclair, S., Bouchy, F. & Santos, N. C. 2005, A&A, 440, 615 Bensby, T., Feltzing, S., & Lundström, I. 2003, A&A, 410, 527 Bouchy, F., Bazot, M., Santos, N. C., Vauclair, S., & Sosnowska, D. 2005, A&A, 440, 609 Brassard, P. & Charpinet, S. 2008, Ap&SS, 316, 107 Butler, R. P., Tinney, C. G., Marcy, G. W. et al. 2001, ApJ, 555, 410 Castro, M., Vauclair, S., Richard, O., Santos, N. C. 2009, A&A, 494, 663 Fischer, D. A. & Valenti, J. A. 2005, ApJ, 622, 1102 Flower, P. J. 1996, ApJ, 469, 355 Hui-Bon-Hoa, A. 2008, Ap&SS, 316, 55 Iglesias, C. A. & Rogers, F. J., 1996, ApJ, 464, 943 Isotov, Y. I., & Thuan, T. X. 2004, ApJ, 602, 200 Jones, H. R. A., Butler, R. P., Marcy, G. W. et al. 2002, MNRAS, 337, 1170 Kallinger, T., Weiss, W. W., Barban C., et al. 2008, arxiv: Kjeldsen, H., Bedding, T. R., & Christensen-Dalsgaard, J. 2008, ApJ, 683, L175 Laws, C., Gonzalez, G., Walker, K. M. et al. 2003, AJ, 125, 2664 Lejeune, T., Cuisinier, F., & Buser, R. 1998, A&AS, 130, 65 McCarthy, C., Butler, R. P., Tinney, C. G. et al. 2004, ApJ, 617, 575 Michaud, G., Richard, O, Richer, J., VandenBerg, D. 2004, ApJ, 606, 452 Paquette, C., Pelletier, C., Fontaine, G., & Michaud, G. 1986, ApJS, 61, 177 Pepe, F., Correia, A. C. M., Mayor, M. et al. 2007, A&A, 462, 769 Perryman, M. A. C., Lindegren, L., Kovalevsky, J. et al., 1997, A&A, 323, L49 Richard, O., Théado, S., Vauclair, S. 2004, Sol. Phys., 220, 243 Richard, O., Vauclair, S., Charbonnel, C., & Dziembowski, W. A. 1996, A&A, 312, 1000 Rogers, F. J.& Nayfonov, A., 2002, ApJ, 576, 1064 Santos, N. C., Israelian, G., Mayor, M. 2004a, A&A, 415, 1153 Santos, N. C., Bouchy, F., Mayor, M. et al. 2004b, A&A, 426, 19 Simbad Astronomical Database, Soriano, M., Vauclair, S., Vauclair, G., Laymand, M. 2007, A&A, 471, 885

162 12 M. Soriano and S. Vauclair: New seismic analysis ofµarae Soriano, M. & Vauclair, S. 2008, A&A, 488, 975 Tassoul, M., 1980, ApJS, 43, 469 van Leeuwen, F., ed. 2007, Astrophysics and Space Science Library, Vol. 350, Hipparcos, the New Reduction of the Raw Data Vauclair, S., Laymand, M., Bouchy, F. et al. 2008, A&A, 482, L5

163 ÓÒÐÙ ÓÒ ÙÖ ÒØ ØÖÓ ÒÒ Ø Ñ Ù ÒØ Ö ÙÜ ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö Ð Ó ÙÖ Ð ÔÐ Ò Ø ÓÖ ÕÙ Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒÒ Ðº ³ ÔÐÙ Ô Ð Ñ ÒØ ØÙ Ð ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö º Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ Ñ Ù ÒØ Ö À ¾¾ ÙÐ Ð ÔÖ Ò ¹ Ô Ð Ð Ñ ÓÒ ÓÊÓÌ ÔÓ Ö ÙÒ ÔÐ Ò Ø º ³ ØÙ ÙÒ ÑÓ Ð Ø ÓÒ ØØ ØÓ Ð Ò ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ ÙÜ Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÖ ÓÑÑ ÓÒØÖ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ Ö Ú Ö Ð Ô ØÖÓ ÓÔ º Ä Ú Ð ÙÖ ØÖÓÙÚ Ú ¹ Ö ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ ÖÓÙÔ ³Ó ÖÚ Ø ÙÖ Ð³ ÙØÖ º ÆÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð Ö ÒØ ÑÓ Ð Ù Ø ÒØ Ð Ó ÖÚ Ð Ð³ ØÓ Ð ÔÖ ÒØ ÒØ Ö Ò ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ ÕÙ ÒØÖ Ò ÒØ Ö Ò ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú ÔÓÙÖ Ð Ø Ø ¹ Ñ ÕÙ Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÓÖÑ Ù Ö ÑÑ ÐÐ µº ØÖ Ú Ð ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÙÖ À ¾¾ ÒÓÙ Ð Ñ ÒØ Ô ÖÑ Ñ ØØÖ Ò Ú Ò Ð³ Ò Ù Ò Ù ÙÖ Ð³ ØÓ Ð ÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒº ÆÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ ÔÓÙÖ ÑÓ Ð ÚÓÐÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÙÒ ØÓ Ð Ò Ò ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ó Ø ÙÒ ÓÙ ¹ ÒØ Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ú ÒÒ ÒØ Ò ¹ Ø Ú Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ Ò Ó ÖÚ Ð º Ö ÙÐØ Ø Ø Ð Ð ÔÖ Ò ³ÙÒ ÙÖ ÓÒÚ Ø Ö Ò Ð ÙÑ ÓÙ ³ÙÒ ÙÖ ³ Ð ÙѺ ³ ØÙ Ô ÒÓÑ Ò Ò Ð Ò Ö Ð ØÓ Ð ØÝÔ ÓÐ Ö º ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÙ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ØÓÙØ ØÓ Ð Ô ÒØ Ô Ö ÙÒ Ø Ù ÓÙÖ Ð ÙÖ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ð ÙÖ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ú ÒÒ ÒØ Ò Ø Ú º Ø ÙÖÚ ÒØ Ð Ò Ð ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÓÙ Ù ÙØ Ð Ö Ò ÓÙ ¹ ÒØ º Ò Ø ØÓ Ð ÚÓÐÙ ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ ÓÖØ Ö ÒØ ³ Ð ÙÑ Ò Ð ÙÖ ÒØÖ ÕÙ ÒØÖ Ò ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ð ÙÖ ÔÖÓ Ð Ú Ø Ù ÓÒ Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº Ò Ñ ÒØ Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ Ò Ù Ò Ð Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ù Ø ØØ Ò ØÙÖ Ñ ÕÙ Ö Ø Ö Ø ÕÙ º ÁÐ Ø ÔÓ Ð ³ÙØ Ð Ö Ø Ø Ø ÓÖ ÕÙ ÔÓÙÖ ÓÒÒ Ö ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð Ø ÐÐ ÙÖ ÓÒÚ Ø ÓÙ ³ Ð ÙÑ Ò ÕÙ ÙÖ Ð³ ÜØ Ò ÓÒ ÔÓ Ð Ù ÙÖ Ù Ð³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ½

164 ½ Â Ñ Ù Ò Ù Ø ÒØ Ö Ð³ ØÓ Ð ½ È ÔÖ Ñ Ö ØÓ Ð ÙØÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ ÙÒ ÔÐ Ò Ø Ø ÓÙÚ ÖØ º ³ Ó ÖÚ ØØ ØÓ Ð Ú Ð Ô ØÖÓ Ö Ô ËÇÈÀÁ Ð³Ç ÖÚ ØÓ Ö À ÙØ ¹ÈÖÓÚ Ò Ò Ó Ø ¾¼¼ º Ë Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÓÒØ Ø Ø Ø º ÆÓÙ ÚÓÒ ØÙ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ò ÐÝ ÓÒÒ Ò Ð ÙØ ³ ÜØÖ Ö Ð Ö ÕÙ Ò Ø ³ ÒØ Ö Ð ÑÓ º ÆÓÙ ÚÓÒ ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ µàþµ Ø ÒØ Ö ¾½ ÑÓ ³Ó ÐÐ Ø ÓÒº Ò Ò ³ Ö Ð ÙÒ Ò ÐÝ Ñ ÕÙ ÓÑÔÐ Ø µ Ö Ò Ø Ò ÒØ ÓÑÔØ Ø ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ØØ ØÓ Ð Ø Ù ÒØÖ ³ÙÒ Ý Ø Ñ ÕÙ ØÖ ÔÐ Ò Ø º Ó ÖÚ Ø ÓÒ ØÙ Ú Ð Ô ØÖÓ Ö Ô À ÊÈË ÓÒØ Ô ÖÑ ³ ÒØ Ö Ö ÕÙ Ò ³Ó ÐÐ Ø ÓÒº ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ ÔÐÙ ÙÖ Ö ÑÓ Ð ÔÓÙÖ ØØ ØÓ Ð Ò Ø Ø ÒØ ¹ Ö ÒØ Ñ Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ò Ù Ø Ö Ø ÒÙ Ð ÑÓ Ð Ù Ø ÒØ Ù Ñ ÙÜ Ð ÓÒØÖ ÒØ Ñ ÕÙ Ø Ô ØÖÓ ÓÔ ÕÙ º ÆÓÙ ÚÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ ÙÐ Ð ÑÓ Ð ÐÙÐ Ú ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ù Ú ÒØ Ð ÐÓ ³ ÚÓÐÙ¹ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü ¼º ¼µ Ø ÓÒØ Ù Ñ ÙÜ ØÓÙØ Ð ÓÒØÖ ÒØ º ÆÓÙ ÚÓÒ Ù Ø Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ð³ ØÓ Ð Ø Ð Ð Ñ Ð³ ÓÙ Ð Ö ÝÓÒ Ú ÙÒ Ö Ò ÔÖ ÓÒº ij Ø ÖÓ ÑÓÐÓ ÓÙÔÐ Ð Ô ØÖÓ ÓÔ ÒÓÙ ÓÒ Ô ÖÑ Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð³ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ ÕÙ Ò³ Ø Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ñ ÙÖ Ð Ô Ö Ô ØÖÓ ÓÔ º ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ Ö ÐÐ Ú Ò º ij ØÙ ι ÀÓÖ Î ÙÐ Ö Ø Ðº ¾¼¼ µ ÑÓÒØÖ ÕÙ ØØ ØÓ Ð Ú Ø ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ð Ð Ñ Ñ ÕÙ ÐРг Ñ ÀÝ º Ù ÓÒØÖ Ö ÔÓÙÖ µ Ö ÒÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ Õ٠г ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ø Ð Ú º ØØ ØÓ Ð ÓÒ Ø ÓÖÑ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÒÙ ÔÖÓØÓ Ø ÐÐ Ö ÕÙ Ù ÙÒ ÔÓÐÐÙØ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÓÑÑ Ð ÔÖ ÚÓ Ø Ð ÐÓ ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü º ÆÓÙ ÚÓÒ Ð Ñ ÒØ Ø Ø ÑÓ Ð Ú ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº ij Ø Ø ÓÖ Õ٠г ÔÔ Ö Ø ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÔÙ ØÖ ÙØ Ð ÔÓÙÖ ÔÔÓÖØ Ö ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖ ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò º ij ÜØ Ò ÓÒ Ù ÙÖ ÓÒÚ Ø Ø ÔÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ø Ò Ö ÙÖ ½ ± г ÐÐ ÙØ ÙÖ ÔÖ ÓÒº Ä ÓÒÒ ÓÊÓÌ ÓÒ ÖÒ ÒØ À ¾¾ ÓÒØ Ñ ÒØ Ò ÒØ ÔÓÒ Ð ÙÒ ÔÖ Ñ Ö ØÖ Ø Ñ ÒØ Ø ØÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØ ÌÓÙÐÓÙ Ø ÙÒ Ò ÐÝ ÔÐÙ ÔÓÙ Ö ØÙ Ú Ð ÓÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÊÓ̺ Ä Ö Ò Ô Ö Ø ÓÒ Ø Ú ÐÙ µàþ Ø Ð Ô Ø Ø Ô Ö Ø ÓÒ µàþº Ö ÙÐØ Ø ÔÖ Ð Ñ Ò Ö Ð Ñ Ò ÒØ ³ÓÖ Ø Ð ÑÓ Ð ÚÓÐÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ Ô Ö Ñ ØÖ ÜØ ÖÒ Ö Ú Ô Ö Ì Ø Ðº ¾¼¼ µº ÁÐ Ö ØÖ ÒØ Ö ÒØ ÙÒ Ó Ð Ö ÕÙ Ò Ø Ð ÑÓ ³Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ü¹ ØÖ Ø ÓÒÒ ÔÓÙÖ Ù ÚÖ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö ØÖ Ú Ð Ò Ò ÒØ ÒÓ ÑÓ Ð Ñ Ù Ò ÜÔÐÓÖ ÒØ ³ ÙØÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÙÖ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÕÙ Ò ÓÒØÖ Ò Ö ÔÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ Ð³ ØÓ Ð º

165 ½ ØØ Ñ Ñ Ò ÐÝ ÔÓÙÖÖ ØÖ Ö Ð ÔÓÙÖ ½ È Ò ÐÙÐ ÒØ ÑÓ Ð Ø ÐÐ Ö ÔÓÙÖ ÙÒ Ð Ö ÑÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ö Ø Ò Ò ÐÝ ÒØ Ð Ø ³ÓÚ Ö ÓÓØ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù ÙÖº Ö ÙÐØ Ø ³ Ò Ö Ú ÒØ Ò ÔÐ Ò Ð Ô Ý ÕÙ Ø ÐÐ Ö Ò ÔÐ Ò ¹ ÓÖ Ð³ Ø ÖÓ ÑÓÐÓ Ø Ð³ ØÙ ØÓ Ð ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ö º ÆÓÙ ÚÓÒ ÑÓÒØÖ Õ٠г Ø ÖÓ ÑÓÐÓ Ø ÙÒ ÓÙØ Ð ÔÙ ÒØ ÔÓÙÖ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö ¹ Ø Ö Ø ÕÙ ØÝÔ ³ ØÓ Ð º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ø Õ٠гÓÒ ÔÙ Ö Ú Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð³ ÓÒ Ò ³ Ð ÙÑ Ô Ö Ð ÑÓÐÓ ÓÙÔÐ Ð Ô ØÖÓ ÓÔ Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ù ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³ Ø٠г ÚÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÕÙ Ð Ü º ij Ø ÖÓ ÑÓ¹ ÐÓ Ô ÖÑ Ø Ð Ñ ÒØ ÓÒÒ Ö ÓÖØ ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ Ø ÒÓØ ÑÑ ÒØ ÙÖ Ð ÙÖ ÓÒÚ Ø ÓÙ ³ Ð ÙѺ Ò Ð ÑÓ Ø Ð ÒÒ Ú Ò Ö Ð ÓÒÒ ÔÔÓÖØ Ô Ö ÓÊÓÌ ÓÙ Ã ÔÐ Ö Ò ÕÙ Ô Ö Ð Ò ØÖÙÑ ÒØ Ù ÓÐ Ô ÖÑ ØØÖÓÒØ ÓÒ Ö ³ ÙØÖ ØÓ Ð ØÝÔ Ø ÓÒØÖ Ò Ö Ð ÙÖ ØÖÙØÙÖ ÒØ ÖÒ º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ Ô ÙØ Ô Ö Ö Ó Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ÙÖ ÓÒØÖ ÒØ ÙÖ Ð ÙÖ ÓÒÚ Ø ÓÒØ Ð Ø ÐÐ Ø Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò Ù Ò ÒØ Ð³ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ØÓ Ð º Ä ÓÑÔ Ö ÓÒ ØÓÙ Ö ÙÐØ Ø Ô ÖÑ ØØÖ Ñ ÙÜ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ù Ô Ý ÕÙ Ð Ð ÔÖ Ò ³ ÜÓÔÐ Ò Ø º

166

167 ÒÒ Ü ½ ½

168

169 ÒÒ Ü ÈÙ Ð Ø ÓÒ Ì ÜÓÔÐ Ò Ø¹ Ó Ø Ø Ö µ Ö Ò Û Ñ Ò ÐÝ º ź ËÓÖ ÒÓ ² ˺ Î ÙÐ Ö ¾¼¼ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ë ÓÒ À Ä Ë ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý ÓÒ Ö Ò Ë Ö ÚÓк ½½ ¼½¾¼ ¾º ½

170

171

172

173

174

175 ÒÒ Ü ÈÙ Ð Ø ÓÒ Ë Ñ ÔÖ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÊÓÌ Ñ Ò Ø Ö Ø À ¾¾ º ź ËÓÖ ÒÓ Ëº Î ÙÐ Ö º Î ÙÐ Ö Åº Ä ÝÑ Ò ¾¼¼ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ë ÓÒ À Ä Ë ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý ÓÒ Ö Ò Ë Ö ÚÓк ½½ ¼½¾¼ º ½

176

177

178

179

180

181 ÒÒ Ü ÈÙ Ð Ø ÓÒ Ø ÖÓ Ñ ÑÓ Ð ÓÖ Ø ÜÓÔÐ Ò Ø¹ Ó Ø Ø Ö À ½ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ ÔÔÖÓ º ź º Ó Ö Åº ËÓÖ ÒÓ Ëº Ì Ó Ëº Î ÙÐ Ö ¾¼¼ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÖÓ ÑÓÐÓ Ý ÚÓк ½ ¼ º ½

182

183

184